bài giảng tối ưu chương 4 bài toán quy hoạch phi tuyến có ràng buộc- ths. trần thị thùy nương

NỘI DUNG− Bài toán QHPT có ràng buộc − Điều kiện tối ưu − Một số phương pháp giải bài toán QHPT có − Một số phương pháp giải bài toán QHPT có ràng buộc... − Bài toán QHPT có ràng buộc− Đ

NỘI DUNG

− Bài toán QHPT có ràng buộc

− Điều kiện tối ưu

− Một số phương pháp giải bài toán QHPT có

− Một số phương pháp giải bài toán QHPT có

ràng buộc

Bài toán Quy hoạch phi tuyến có ràng buộc có

− Bài toán QHPT có ràng buộc

− Đ iều kiện tối ưu

− Một số phương pháp giải bài toán QHPT có

ràng buộc

I Điều kiện tối ưu

Nói cách khác, nếu tồn tại dãy số

T X x = ∈ v ℝ ∃ x ⊂ X x  → x

Bổ đề 1 Giả sử là một dãy thuộc

hội tụ đến theo hướng v và hàm f khả

vi liên tục cấp một trên Khi đó

2 Điều kiện tối ưu

Đị nh lý 1 i) Giả sử f khả vi trên một tập

mở chứa X Nếu là nghiệm cực tiểu

địa phương của bài toán thì

ii) Ngược lại, nếu thỏa mãn điều kiện

thì là một nghiệm cực tiểu địa phương

chặt của bài toán

Hệ quả 1 Giả sử và là điểm cực tiểu địa phương của bài toán

Định lý 2 Cho f là hàm lồi khả vi trên một tập

mở chứa tập lồi Điều kiện cần và đủ

để là điểm cực tiểu toàn cục của bài toán quy hoạch lồi là

Hệ quả 2 Cho f là hàm lồi khả vi trên tập một tập mở chứa tập lồi Điểm là điểm cực tiểu toàn cục của bài toán quy hoạch

3 Định lý Karush – Kuhn – Tucker

Xét bài toán QH phi tuyến

Bổ đề 2 Với mọi ta có

Đị nh nghĩa 3 Ta nói đ iều kiện chính quy được

thỏa mãn tại nếu

Định lý 3 Điều kiện chính quy được thỏa mãn tại

nếu có một trong các điều kiện sau:

Đị nh lý 4.(Định lý Karush – Kuhn – Tucker KKT)

là các hàm khả vi liên tục trên một tập mở chứa

Giả sử là nghiệm cực tiểu địa phương của bài

toán và đk chính quy được t/m tại Khi đó

Đị nh lý KKT cho quy hoạch lồi

Xét bài toán quy hoạch lồi

Đị nh lý 5 (Định lý KKT cho quy hoạch lồi)

Giả sử các hàm f , là các hàm lồi khả vi trên một tập mở chứa X và đk Slater được thỏa mãn Khi đó là nghiệm cực tiểu của bài toán khi và chỉ khi thỏa mãn đk KKT ( đk (6.4) – (6.6)) sau:

II Các phương pháp giải bài

1 0, , m 0, 1, , k ,

λ ≥ λ ≥ µ µ

Ký hiệu ∇x L là gradient của hàm L theo x

Mỗi một nghiệm của hệ trên tương ứng với một

của bài toán đang xét

Ví dụ 1 Giải bài toán sau bằng pp nhân tử Lagrange

Ví dụ 2 Giải bài toán sau bằng pp nhân tử Lagrange

min{ ( )f x = x − 2x + x − +x 4x x − +x 2x = 2}

2 Phương pháp Frank – Wolfe giải bài toán quy hoạch lồi với ràng buộc tuyến tính.

Xét bài toán QH lồi

min{ ( ) : f x x X ∈ }, (P2conv)

n

ℝ X ⊂ ℝn

lồi đa diện xác định bởi

Đị nh nghĩa 4 Cho điểm Véctơ

đgl một hướng chấp nhận được của tập X tại

nếu tồn tại một số sao cho

với mọi t thỏa mãn

Giả sử Khi đó là hướng chấp

nhận được của X tại với mọi

Giả sử là nghiệm tối ưu của bt này Khi đó:

là nghiệm cực tiểu của bài toán đang xét

thì là một hướng giảm chấp nhận đượccủa bài toán

u − x

2(P conv)

Thuật toán 2 ( Thuật toán Frank - Wolfe)

Bước khởi đầu

If Then Dừng thuật toán

Ví dụ Cho bài toán

Cho Xây dựng một vài phần tử của

dãy lặp theo thuật toán Frank – Wolfe