bài giảng tối ưu chương 1 lý thuyết trò chơi - ths. trần thị thùy nương

Chương LÝ THUYẾT TRÒ CHƠI 10/6/2012 MaMH: C02012 Chương 1: Lý thuyết trò chơi NỘI DUNG Giới thiệu tốn tổng qt Trị chơi người tổng không Chiến lược túy, chiến lược hỗn hợp Lý thuyết trò chơi dạng QHTT 10/6/2012 MaMH: C02012 Chương 1: Lý thuyết trò chơi GIỚI THIỆU BÀI TỐN TỔNG QT Giới thiệu −Trị chơi thường có hai người chơi dựa vào quy luật đưa trước bắt đầu trò chơi Cuối trò chơi, người chơi nhận thu hoạch (payoff) đó, tùy theo thỏa thuận người chơi, ví dụ tiền hay hình thức phạt −Trị chơi mang tính ngẫu nhiên (ném xúc xắc, chia bài…); trị chơi dùng kỹ thuật, kỹ (cờ tướng, cờ ca rô…) 10/6/2012 MaMH: C02012 Chương 1: Lý thuyết trò chơi GIỚI THIỆU BÀI TỐN TỔNG QT −Trong trị chơi, người ta thường xét đến yếu tố: chiến lược, quy luật trò chơi thu hoạch −Lý thuyết trò chơi nghiên cứu tình chiến lược đối thủ (người chơi) lựa chọn hành động khác để cố gắng làm tối đa kết nhận 10/6/2012 MaMH: C02012 Chương 1: Lý thuyết trị chơi GIỚI THIỆU BÀI TỐN TỔNG QT − Lý thuyết trò chơi ứng dụng nhiều lĩnh vực: • Kinh tế kinh doanh: đấu giá, mặc cả… • Sinh học: phần lợi trị chơi thích nghi, ứng dụng vào việc giải thích tiến hóa (và bền vững) tỉ lệ giới tính gần : • Khoa học máy tính logic • Chính trị học • Triết học 10/6/2012 MaMH: C02012 Chương 1: Lý thuyết trị chơi TRỊ CHƠI NGƯỜI TỔNG - Giả sử pi thu hoạch người chơi Pi , i = 1, , k có k người tham gia k Khi đó, ∑p i =1 i = trị chơi gọi trò chơi k người tổng - Trường hợp k = 2, ta có trị chơi người tổng 10/6/2012 MaMH: C02012 Chương 1: Lý thuyết trị chơi TRỊ CHƠI NGƯỜI TỔNG Dạng ma trận - Người chơi thứ (P1) có m chiến lược, biểu diễn hàng ma trận - Người chơi thứ hai (P2) có n chiến lược, biểu diễn cột ma trận - Ta biểu diễn ma trận A = (aij) cấp m × n thu hoạch P1 Và P2 –A 10/6/2012 MaMH: C02012 Chương 1: Lý thuyết trị chơi TRỊ CHƠI NGƯỜI TỔNG  a11 ⋯ a1 j  ⋮  A = (aij ) =  ⋯ aij   ⋮ a amj  m1 ⋯ a1n    ain     amn  P1 chọn chiến lược i , P2 chọn chiến lược j người lựa chọn người Khi đó, P1 nhận aij (P2 trả aij ) 10/6/2012 MaMH: C02012 Chương 1: Lý thuyết trò chơi TRỊ CHƠI NGƯỜI TỔNG • Nếu ma trận A = (aij ) thỏa mãn max aij = max aij = ars j i i j ma trận nói có điểm yên ngựa (r,s) • Khi đó, r gọi chiến lược tối ưu P1 , s gọi chiến lược tối ưu P2 • ars gọi giá trị trị chơi, kí hiệu v 10/6/2012 MaMH: C02012 Chương 1: Lý thuyết trò chơi CHIẾN LƯỢC HỖN HỢP m • x = { x1, , xm } với xi ≥ 0, i = 1, , m, ∑ xi = gọi i =1 chiến lược hỗn hợp Với xi xác suất mà người chơi chọn chiến lược thứ i 10/6/2012 MaMH: C02012 Chương 1: Lý thuyết trò chơi 10 CHIẾN LƯỢC THUẦN TÚY Chiến lược hỗn hợp x = ξ i ξ i = 1, thành phần cịn lại gọi chiến lược túy 10/6/2012 MaMH: C02012 Chương 1: Lý thuyết trò chơi 11 HÀM THU HOẠCH Gọi X = { x } tập chiến lược P1, Y = { y } tập chiến lược P2 Khi đó, P1 chọn chiến lược hỗn hợp x, P2 chọn chiến lược hỗn hợp y, hàm thu hoạch là: m n A( x, y ) = ∑∑ xi aij y j = xAT y i =1 j =1 10/6/2012 MaMH: C02012 Chương 1: Lý thuyết trò chơi 12 ĐỊNH LÝ MINIMAX Đặt VI := max A( x, y ) giá trị thu P1, x∈ X y ∈Y VII := minmax A( x, y ) giá trị thu P2 y ∈Y x∈ X Ta có: VI = max xi aij ; VII = minmax y i aij x∈ X y ∈Y j i Định lý Minimax VI = VII 10/6/2012 MaMH: C02012 Chương 1: Lý thuyết trị chơi 13 TÍNH TRỘI • Trong ma trận A, ta nói hàng i trội hàng k aij ≥ akj , ∀j    ∃j : aij > aik  • Trong ma trận A, ta nói cột j trội cột l aij ≤ ail , ∀i   ∃i : aij < ail  → Áp dụng tính trội để rút ngắn cỡ ma trận A 10/6/2012 MaMH: C02012 Chương 1: Lý thuyết trị chơi 14 CÁCH GIẢI TRỊ CHƠI x Xét ma trận thu hoạch (khơng có điểm yên ngựa) a b  A=  c d  Đặt r = a + d − b − c Giá trị trò chơi: ad − bc v= r Các chiến lược tối ưu: d −c a−b d −b a−c  X = , ; Y =  r , r  r   r   10/6/2012 MaMH: C02012 Chương 1: Lý thuyết trò chơi 15 CÁCH GIẢI TRÒ CHƠI x n Ma trận thu hoạch có hàng, n cột - Vẽ đường thẳng z j := a1 j x1 + a2 j x2 ( x1 + x2 = 1) hay z j = a2 j + (a1 j − a2 j )x1 , ≤ x1 ≤ - Chọn z j đường (gấp khúc) nằm j hình vẽ Sau đó, lấy max z j tức điểm j x (đoạn) cao đường (gấp khúc) 10/6/2012 MaMH: C02012 Chương 1: Lý thuyết trò chơi 16 CÁCH GIẢI TRÒ CHƠI x n (tt) - Giao điểm cho ta nghiệm toán Cụ thể, xác định x1 , v x2 - Để tìm chiến lược tối ưu cho Y = ( y1, y , , y n ), ta xem điểm cao nhận giao đường zj nào, chẳng hạn đường j’ j’’ , ta có ma trận cấp x hai cột tương ứng j’ j’’ ma trận A Giải trò chơi với ma trận này, ta nhận y j ' , y j '' - Vậy, ngoại trừ hai giá trị y j ' , y j '' vừa tính được, thành phần cịn lại Y có giá trị 10/6/2012 MaMH: C02012 Chương 1: Lý thuyết trò chơi 17 TRÒ CHƠI m x - Ma trận thu hoạch có m hàng, cột → Cách giải tương tự trò chơi x n - Đối với trị chơi m x n, ta dùng tính trội để đưa dạng trò chơi x 2; x n hay m x để giải 10/6/2012 MaMH: C02012 Chương 1: Lý thuyết trò chơi 18 DẠNG QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH Bài tốn P1 , m max ∑ xi aij x∈ X 1≤ j ≤ n i =1  x1 + x2 + + xm =   xi ≥ 0, i = 1, , m Vì hàm mục tiêu chưa phải hàm tuyến tính, nên ta thêm biến p : p ≤ xi aij 1≤ j ≤ n 10/6/2012 MaMH: C02012 Chương 1: Lý thuyết trò chơi 19 DẠNG QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH Bài tốn trở thành: Tìm p, xi cho max p m   p ≤ ∑ xi i =1  ⋮  m   p ≤ ∑ xi ain i =1   x1 + x2 + + xm =   xi ≥ 0, i = 1, , m   10/6/2012 MaMH: C02012 (1) Chương 1: Lý thuyết trị chơi 20 DẠNG QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH Tương tự, tốn P2 : Tìm w, yj cho w n  w ≥ ∑ a1 j y j j =1  ⋮  n  w ≥ ∑ a1 j y j j =1   y + y + + y = n   y j ≥ 0, j = 1, , n   10/6/2012 MaMH: C02012 (2) Chương 1: Lý thuyết trò chơi 21 DẠNG QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH (1), (2) có dạng tuyến tính → Dùng phương pháp đơn hình để giải 10/6/2012 MaMH: C02012 Chương 1: Lý thuyết trò chơi 22 ... Triết học 10 /6/2 012 MaMH: C02 012 Chương 1: Lý thuyết trò chơi TRÒ CHƠI NGƯỜI TỔNG - Giả sử pi thu hoạch người chơi Pi , i = 1, , k có k người tham gia k Khi đó, ∑p i =1 i = trị chơi gọi trị chơi k... lược tối ưu P1 , s gọi chiến lược tối ưu P2 • ars gọi giá trị trò chơi, kí hiệu v 10 /6/2 012 MaMH: C02 012 Chương 1: Lý thuyết trị chơi CHIẾN LƯỢC HỖN HỢP m • x = { x1, , xm } với xi ≥ 0, i = 1, ... 1, , n   10 /6/2 012 MaMH: C02 012 (2) Chương 1: Lý thuyết trò chơi 21 DẠNG QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH (1) , (2) có dạng tuyến tính → Dùng phương pháp đơn hình để giải 10 /6/2 012 MaMH: C02 012 Chương 1: