Đang tải... (xem toàn văn)
Ôn tập chương 1 A Lý thuyết 1 Mệnh đề, mệnh đề chứa biến 1 1 Mệnh đề Những khẳng định có tính đúng hoặc sai gọi là mệnh đề logic (gọi tắt là mệnh đề) Những câu không xác định được tính đúng sai không[.]
Ôn tập chương A Lý thuyết Mệnh đề, mệnh đề chứa biến 1.1 Mệnh đề - Những khẳng định có tính sai gọi mệnh đề logic (gọi tắt mệnh đề) Những câu không xác định tính sai khơng phải mệnh đề - Mỗi mệnh đề phải hoặc sai Một mệnh đề khơng thể vừa vừa sai Ví dụ 1: Câu “Hoa hồng đẹp loài hoa” câu khẳng định không xác định tính sai nên câu khơng mệnh đề Câu “Bây giờ?” câu hỏi khơng xác định tính sai nên câu không mệnh đề Câu “8 + > 9” câu khẳng định xác định tính sai nên câu mệnh đề Câu “Số tỉ số lớn” câu khẳng định nhiên câu mang tính quan điểm cá nhân khơng xác định đước tính sai nên không mệnh đề Chú ý: - Người ta thường sử dụng chữ P, Q, R, … để biểu thị mệnh đề - Những mệnh đề liên quan đến toán học gọi mệnh đề toán học - Những câu nghi vấn, câu cảm thán, câu cầu khiến khơng phải mệnh đề Ví dụ 2: + “Hà Nội thủ đô Việt Nam” mệnh đề khơng phải mệnh đề tốn học khơng phải kiện tốn học + “Số π số hữu tỉ” mệnh đề toán học 1.2 Mệnh đề chứa biến - Mệnh đề chứa biến câu khẳng định chứa biến nhận giá trị tập D mà với giá trị biến thuộc vào D ta mệnh đề - Ta thường kí hiệu mệnh đề chứa biến n P(n); mệnh đề chứa biến x, y P(x, y), … Ví dụ: + “Với giá trị thực biến x, |x| ≥ x”: mệnh đề chứa biến vì: Ta có |x| ≥ x với giá trị thực biến x nên khẳng định Do phát biểu mệnh đề mệnh đề chứa biến + “5n chia hết cho 2” mệnh đề chứa biến Khi n = mệnh đề mệnh đề đúng, n = mệnh đề mệnh đề sai Mệnh đề phủ định - Để phủ định mệnh đề P, người ta thường thêm (hoặc bớt) từ “không” “không phải” vào trước vị ngữ mệnh đề P Ta kí hiệu mệnh đề phủ định mệnh đề P P - Mệnh đề P mệnh đề P hai phát biểu trái ngược Nếu P P sai, cịn P sai P Ví dụ: “5 không chia hết cho 3” mệnh đề phủ định mệnh đề “5 chia hết cho 3”; “3 hợp số” mệnh đề phủ định mệnh đề “3 không hợp số” Mệnh đề kéo theo, mệnh đề đảo 3.1 Mệnh đề kéo theo - Mệnh đề “Nếu P Q” gọi mệnh đề kéo theo kí hiệu P ⇒ Q - Các định lí tốn học mệnh đề thường có dạng P ⇒ Q Khi ta nói: P giả thiết định lí, Q kết luận định lí “P điều kiện đủ để có Q”, “Q điều kiện cần để có P” Chú ý: Mệnh đề P ⇒ Q sai P Q sai Do ta cần xét tính sai mệnh đề P ⇒ Q P Khi đó, Q P ⇒ Q đúng, Q sai P ⇒ Q sai Ví dụ: Cho mệnh đề: P: “9 chia hết cho 9”; Q: “9 chia hết cho 3” “Nếu chia hết cho chia hết cho 3” mệnh đề kéo theo P Q P mệnh đề Q mệnh đề nên mệnh đề kéo theo P ⇒ Q mệnh đề 3.2 Mệnh đề đảo - Mệnh đề Q ⇒ P gọi mệnh đề đảo mệnh đề P ⇒ Q Nhận xét: Mệnh đề đảo mệnh đề khơng thiết Ví dụ: Cho mệnh đề: P: “n = 0”; Q: “n số nguyên” Mệnh đề kéo theo P ⇒ Q phát biểu là: “Nếu n = n số nguyên” Mệnh đề đảo Q ⇒ P phát biểu “Nếu n số nguyên n = 0” - Mệnh đề P ⇒ Q mệnh đề mệnh đề Q ⇒ P không Mệnh đề tương đương - Mệnh đề “P Q” gọi mệnh đề tương đương kí hiệu P ⇔ Q Nhận xét: - Nếu hai mệnh đề Q ⇒ P P ⇒ Q hai mệnh đề tương đương P ⇔ Q Khi ta nói “P tương đương với Q” “P điều kiện cần đủ để có Q” “P Q” Ví dụ: Cho mệnh đề: P: “Tứ giác ABCD hình bình hành”; Q: “Tứ giác ABCD có hai cặp cạnh đối song song” “Nếu tứ giác ABCD hình bình hành tứ giác ABCD có hai cặp cạnh đối song song” mệnh đề P ⇒ Q “Nếu tứ giác ABCD có hai cặp cạnh đối song song tứ giác ABCD hình bình hành” mệnh đề Q ⇒ P Hai mệnh đề nên P Q hai mệnh đề tương đương Khi mệnh đề P ⇔ Q phát biểu sau: “Tứ giác ABCD hình bình hành tứ giác ABCD có hai cặp cạnh đối song song” Mệnh đề có chứa kí hiệu ∀ ∃ - Kí hiệu ∀ đọc “với mọi” - Kí hiệu ∃ đọc “có một” “tồn tại” - Cho mệnh đề “ P x , x D ” + Phủ định mệnh đề “ x D,P x ” mệnh đề “ x D,P x ” + Phủ định mệnh đề “ x D,P x ” mệnh đề “ x D,P x ” Chú ý: + Phát biểu “Với số tự nhiên n” kí hiệu n + Phát biểu “Tồn số tự nhiên n” kí hiệu n Ví dụ: Phủ định mệnh đề “ x , x ” mệnh đề: “ x , x ” Các khái niệm tập hợp 6.1 Tập hợp • Có thể mơ tả tập hợp hai cách sau: Cách Liệt kê phần tử tập hợp; Cách Chỉ tính chất đặc trưng cho phần tử tập hợp a ∈ S: phần tử a thuộc tập hợp S a ∉ S: phần tử a không thuộc tập hợp S Chú ý: Số phần tử tập hợp S kí hiệu n(S) Ví dụ: - Cho tập hợp A tập hợp số tự nhiên chia hết cho 2, lớn nhỏ 15 + Ta mô tả tập hợp A hai cách sau: Cách 1: Liệt kê phần tử tập hợp: A = {6; 8; 10; 12; 14}; Cách 2: Chỉ tính chất đặc trưng phẩn tử: A = { n | n ⁝ 2, < n < 15} + Tập hợp A có phần tử, ta viết: n(A) = + 10 thuộc tập hợp A, ta viết 10 ∈ A + 15 không thuộc tập hợp A, ta viết 15 ∉ A • Tập hợp không chứa phần tử gọi tập rỗng, kí hiệu Ví dụ: + Tập hợp nghiệm phương trình x2 + = tập rỗng; + Tập hợp người sống Mặt Trời tập rỗng 6.2 Tập hợp • Nếu phần tử tập hợp T phần tử tập hợp S ta nói T tập hợp (tập con) cỉa S viết T ⊂ S (đọc T chứa S T tập S) - Thay cho T ⊂ S, ta viết S ⊃ T (đọc S chứa T) - Kí hiệu T ⊄ S để T không tập S Nhận xét: - Từ định nghĩa trên, T tập S mệnh đề sau đúng: ∀ x, x ∈ T ⇒ x ∈ S - Quy ước tập rỗng tập tập hợp • Người ta thường minh họa tập hợp hình phẳng bao quanh đường kín, gọi biểu đồ Ven Minh họa T tập S sau: Ví dụ: Cho tập hợp: T = {2; 3; 5}, S = {2; 3; 5; 7; 9}, M = {2; 3; 4; 5} - Tập hợp T tập tập hợp S (do phần tử T thuộc S) - Tập hợp M không tập hợp tập hợp S (do có phần tử thuộc M không thuộc S) 6.3 Hai tập hợp - Hai tập hợp S T gọi hai tập hợp phần tử T phần tử tập hợp S ngược lại Kí hiệu S = T - Nếu S ⊂ T T ⊂ S S = T Ví dụ: Cho tập hợp: S = {n | n bội chung 3; n < 20} T = {n | n bội 6; n < 20} Ta có: S = {0; 6; 12; 18}; T = {0; 6; 12; 18} Vậy S = T Các tập hợp số 7.1 Mối quan hệ tập hợp số - Tập hợp số tự nhiên ℕ = {0; 1; 2; 3; 4; } - Tập hợp số nguyên ℤ gồm số tự nhiên số nguyên âm: ℤ = { ; – 3; – 2; – 1; 0; 1; 2; 3} - Tập hợp số hữu tỉ ℚ gồm số viết dạng phân số ≠ a , với a, b ∈ ℤ, b b Số hữu tỉ biểu diễn dạng số thập phân hữu hạn vô hạn tuần hoàn - Tập hợp số thực ℝ gồm số hữu tỉ số vô tỉ Số vô tỉ số thập phân vô hạn không tuần hoàn - Mối quan hệ tập hợp số: ℕ ⊂ ℤ ⊂ ℚ ⊂ ℝ Ví dụ: Cho tập hợp B = {– 1; 2; 4; 10} - Tập hợp B chứa số – số tự nhiên nên B không tập ℕ - Tập hợp B gồm số nguyên: – 1; 2; 4; 10 nên B tập ℤ - Các số nguyên số hữu tỉ số thực, nên B tập ℚ ℝ 7.2 Các tập thường dùng ℝ - Một số tập thường dùng tập số thực ℝ: + Khoảng: a;b x | a x b a; a | x a ;b x | x b ; + Đoạn a;b x | a x b + Nửa khoảng a;b x | a x b a;b x | a x b a; x | x a ;b x | x b Kí hiệu + ∞: Đọc dương vơ cực (hoặc dương vơ cùng) Kí hiệu – ∞: Đọc âm vô cực (hoặc âm vô cùng) a, b gọi đầu mút đoạn, khoảng hay nửa khoảng Ví dụ: + Ta có: < x ≤ 10 ta viết x ∈ (5; 10] + Ta có: D = {x | x < 3} = (– ∞; 3) Các phép toán tập hợp 8.1 Giao hai tập hợp Tập hợp gồm phần tử thuộc hai tập hợp S T gọi giao hai tập hợp S T, kí hiệu S ∩ T S ∩ T ={x | x ∈ S x ∈ T} Ví dụ: Cho tập hợp: A = {5; 7; 8} B = {1; 2; 4; 5; 8} Giao tập hợp tập hợp C = A ∩ B = {5; 8} 8.2 Hợp hai tập hợp - Tập hợp gồm phần tử thuộc tập hợp S thuộc tập hợp T gọi hợp hai tập hợp S T, kí hiệu S ∪ T S ∪ T = {x | x ∈ S x ∈ T} Ví dụ: Cho tập hợp: S = {1; 2; 3; 5} T = {2; 4; 6; 7} Tập hợp hợp hai tập hợp K = S ∪ T = {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7} 8.3 Hiệu hai tập hợp - Hiệu hai tập hợp S T tập hợp gồm phần tử thuộc S khơng thuộc T, kí hiệu S \ T S \ T = {x | x ∈ S x ∉ T} - Nếu T ⊂ S S \ T gọi phần bù T S, kí hiệu CST Chú ý: CsS Ví dụ: Cho tập hợp: S = {1; 2; 3; 4; 5; 7; 8}; T = {4; 5; 6; 7; 8; 9}; X = {x | x số nguyên dương nhỏ 9} Ta có: S \ T = {1; 2; 3}; T \ S = {6; 9} Lại có: X = {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8} Vì phần tử tập S thuộc tập X nên S ⊂ X Phần bù S X X \ S = CXS = {6} B Bài tập tự luyện B1 Bài tập tự luận Bài Cho tập hợp: A x | x 3, x 10 B x | x 2, x 10 a) Viết tập hợp A B cách liệt kê phần tử tập hợp b) Xác định tập hợp A ∩ B, A ∪ B, A \ B, B \ A Hướng dẫn giải a) Vì A x | x 3, x 10 nên A tập hợp số tự nhiên chia hết cho nhỏ 10 Do đó: A = {0; 3; 6; 9} Vì B x | x 2, x 10 nên B tập hợp số tự nhiên chia hết cho nhỏ 10 Do đó: B = {0; 2; 4; 6; 8} b) A ∩ B = {x | x ∈ A x ∈ B} = {0; 6}; A ∪ B = {x | x ∈ A x ∈ B} = {0; 2; 3; 4; 6; 8; 9}; A \ B = {x | x ∈ A x ∉ B} = {3; 9}; B \ A = {x | x ∈ B x ∉ A} = {2; 4; 8} Bài Phát biểu mệnh đề sau lập mệnh đề phủ định dạng kí hiệu: a) P(x): “ x , x ” b) Q(x): “ x , x ” Hướng dẫn giải a) + Phát biểu mệnh đề P(x): “Mọi số ngun có bình phương lớn 0” + Phủ định mệnh đề P(x) P x : “ x , x ” b) + Phát biểu mệnh đề Q(x): “Có số nguyên nhỏ 0” + Phủ định mệnh đề Q(x) Q x : “ x , x ” Bài Cho tứ giác ABCD Xét tính sai mệnh đề P ⇒ Q với: a) P: “ABCD hình vng”, Q: “ABCD hình bình hành”; b) P: “ABCD hình thoi”, Q: “ABCD hình chữ nhật” Hướng dẫn giải a) Mệnh đề P ⇒ Q: “Nếu ABCD hình vng ABCD hình bình hành” Mệnh đề mệnh đề b) Mệnh đề P ⇒ Q: “Nếu ABCD hình thoi ABCD hình chữ nhật” Mệnh đề mệnh đề sai Bài Lập mệnh đề phủ định mệnh đề sau xét tính sai mệnh đề phủ định đó: a) “Số 50 chia hết cho 3” b) “Số 10 hợp số” Hướng dẫn giải a) Mệnh đề phủ định mệnh đề “Số 50 chia hết cho 3” “Số 50 không chia hết cho 3” Mệnh đề phủ định mệnh đề b) Mệnh đề phủ định mệnh đề “Số 10 hợp số” “Số 10 hợp số” Mệnh đề phủ định mệnh đề sai Bài Những quan hệ quan hệ sau đúng? a) A ⊂ (A ∪ B); b) A ⊂ (A ∩ B); c) (A ∩ B) ⊂ (A ∪ B); d) (A ∪ B) ⊂ B; e) (A ∩ B) ⊂ A Hướng dẫn giải a) A ⊂ (A ∪ B) A ∪ B chứa tồn phần tử tập hợp A b) A ⊂ (A ∩ B) sai A ∩ B chứa phần tử chung A B Sửa lại (A ∩ B) ⊂ A c) (A ∩ B) ⊂ (A ∪ B) d) (A ∪ B) ⊂ B sai A ∪ B chứa phần tử thuộc A e) (A ∩ B) ⊂ A Bài Dùng kí hiệu ∀ ∃ để viết mệnh đề sau: a) Có số ngun khơng chia hết cho b) Mọi số thực cộng với Hướng dẫn giải a) “ x , x x ” b) “ x , x x ” Bài Cho A = {3; 5}, B = {3; x}, C = {5; y} D = {m; n} Tìm x, y, m, n để A = B = C A D Hướng dẫn giải + Ta có: A = B = C phần tử A thuộc B C Do đó: x = y = + Để A D m n phải khác Bài Xác định tập hợp sau biểu diễn chúng trục số a) [– 3; 1) ∪ (0; 4]; b) (− 2; 15) ∪ (3; + ∞); c) (− 12; 3] ∩ [− 1; 4]; d) \ (2; + ∞) Hướng dẫn giải a) [– 3; 1) ∪ (0; 4] = [– 3; 4] b) (− 2; 15) ∪ (3; + ∞) = (− 2; +∞) c) (− 12; 3] ∩ [− 1; 4] = [− 1; 3] d) \ (2; + ∞) = (− ∞; 2] Bài Cho tam giác ABC Xét mệnh đề: P: “Tam giác ABC có cạnh nhau” Q: “Tam giác ABC tam giác đều” Hai mệnh đề P Q có tương đương khơng? Nếu có, phát biểu nhiều cách? Hướng dẫn giải + P ⇒ Q: “Nếu tam giác ABC có cạnh tam giác ABC tam giác đều” Đây mệnh đề + Q ⇒ P: “Nếu tam giác ABC tam giác tam giác ABC có cạnh nhau” Đây mệnh đề Do đó: P Q hai mệnh đề tương đương Ta phát biểu mệnh đề P ⇔ Q sau: + “Tam giác ABC có cạnh tương đương với tam giác ABC tam giác đều” + “Tam giác ABC có cạnh tam giác ABC tam giác đều” + “Tam giác ABC có cạnh điều kiện cần đủ để có tam giác ABC tam giác đều” Bài 10 Hãy viết tập hợp sau cho biết tập hợp có phần tử a) A tập hợp số tự nhiên chia hết cho nhỏ 20 b) B tập hợp tỉnh thuộc vùng Bắc Trung Bộ Hướng dẫn giải a) Các số tự nhiên chia hết cho nhỏ 20 là: 0, 3, 6, 9, 12, 15, 18 Ta viết tập hợp A cách liệt kê phần tử sau: A = {0; 3; 6; 9; 12; 15; 18} Tập hợp A có phần tử, ta viết n(A) = Ngồi ta viết tập hợp A cách tính chất đặc trưng là: A = {x | x ⁝ 3; x < 20} b) Các tỉnh thuộc vùng Bắc Trung Bộ là: Thanh Hóa, Nghệ An, Hà Tĩnh, Quảng Bình, Quảng Trị Do đó: B = {Thanh Hóa; Nghệ An; Hà Tĩnh; Quảng Bình; Quảng Trị} Tập hợp B có phần tử, ta viết n(B) = B2 Bài tập trắc nghiệm Bài Cho hai tập A = [–1 ; 3); B = [a; a + 3] Với giá trị a A B a A ; a a B ; a a C ; a 4 a D a Hướng dẫn giải Đáp án là: A a a AB a a Bài Cho A = {0; 1; 2; 3; 4}; B = {2; 3; 4; 5; 6} Tìm tập A \ B B \ A A {5; 6}; B {1; 2}; C {2; 3; 4}; D {0; 1; 5; 6} Hướng dẫn giải Đáp án là: D Ta có tập hợp A\B tập phần tử thuộc tập A không thuộc tập B nên A \ B {0;1} Tập hợp B\A tập phần tử thuộc tập B không thuộc tập A nên B \ A {5;6} A \ B B \ A 0;1;5;6 Bài Một lớp học có 16 học sinh học giỏi mơn Tốn; 12 học sinh học giỏi mơn Văn; học sinh vừa học giỏi mơn Tốn Văn; 19 học sinh khơng học giỏi hai mơn Tốn Văn Hỏi lớp học có học sinh? A 31; B 54; C 39; ... (? ?? 12 ; 3] ∩ [− 1; 4]; d) \ (2 ; + ∞) Hướng dẫn giải a) [– 3; 1) ∪ (0 ; 4] = [– 3; 4] b) (? ?? 2; 15 ) ∪ (3 ; + ∞) = (? ?? 2; +? ??) c) (? ?? 12 ; 3] ∩ [− 1; 4] = [− 1; 3] d) \ (2 ; + ∞) = (? ?? ∞; 2] Bài Cho tam giác... {6; 8; 10 ; 12 ; 14 }; Cách 2: Chỉ tính chất đặc trưng phẩn tử: A = { n | n ⁝ 2, < n < 15 } + Tập hợp A có phần tử, ta viết: n(A) = + 10 thuộc tập hợp A, ta viết 10 ∈ A + 15 không thuộc tập hợp... Tập hợp T tập tập hợp S (do phần tử T thuộc S) - Tập hợp M không tập hợp tập hợp S (do có phần tử thuộc M không thuộc S) 6.3 Hai tập hợp - Hai tập hợp S T gọi hai tập hợp phần tử T phần tử tập