Ôn tập chương 3 (lý thuyết + bài tập toán lớp 10) – kết nối tri thức

Ôn tập chương 3 A Lý thuyết 1 Giá trị lượng giác của một góc Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, nửa đường tròn tâm O, bán kính R = 1 nằm phía trên trục hoành được gọi là nửa đường tròn đơn vị Cho trước một g[.]

Ôn tập chương A Lý thuyết Giá trị lượng giác góc Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, nửa đường trịn tâm O, bán kính R = nằm phía trục hồnh gọi nửa đường trịn đơn vị Cho trước góc α, 0° ≤ α ≤ 180° Khi đó, có điểm M(x0; y0) nửa đường tròn đơn vị để xOM   - Định nghĩa tỉ số lượng giác góc từ 00 đến 1800 Với góc α (0° ≤ α ≤ 180°), gọi M(x0; y0) điểm nửa đường tròn đơn vị cho xOM   Khi đó: + sin góc α tung độ y0 điểm M, kí hiệu sin α; + cơsin góc α hồnh độ x0 điểm M, kí hiệu cos α; + Khi α ≠ 90° (hay x0 ≠ 0), tang α y0 , kí hiệu tan α; x0 + Khi α ≠ 0° α ≠ 180° (hay y0 ≠ 0), côtang α x0 , kí hiệu cot α y0 - Từ định nghĩa ta có: tan  tan  sin  cos  (  90); cot  (  0và   180); cos  sin  (  {0;90;180}) cot - Bảng giá trị lượng giác (GTLG) số góc đặc biệt: Chú ý: Kí hiệu || giá trị lượng giác tương ứng không xác định Ví dụ: Tìm giá trị lượng giác góc 120° Gọi M điểm nửa đường tròn đơn vị cho xOM  1200 Gọi N, K tương ứng hình chiếu vng góc M lên trục Ox, Oy Do xOM  1200 xOK  900 nên KOM  300 MON  600 Từ bảng GTLG số góc đặc biệt: Ta có: cos 600 = cos 300 = 2 Các tam giác MOK MON tam giác vuông với cạnh huyền Suy ON = cos MON OM = cos600.1 = OK = cos MOK OM = cos300.1 = 2  3 Mặt khác, điểm M nằm bên trái trục tung nên M   ;   2  Theo định nghĩa giá trị lượng giác ta có: sin 1200 = cos 1200 =  tan 1200 = sin1200  cos1200 cos1200 cot 120 =  sin120 Vậy sin 1200 = ; cos 1200 =  ; tan 1200 =  ; cot 1200 =  2 - Ta dùng máy tính bỏ túi để tính giá trị gần giá trị lượng giác góc Ví dụ: - Ta tìm góc biết giá trị lượng giác góc Ví dụ: Chú ý: + Khi tìm x biết sin x, máy tính đưa giá trị x ≤ 90° + Muốn tìm x biết cos x, tan x, ta làm tương tự trên, thay phím tương ứng phím Mối quan hệ giá trị lượng giác hai góc bù Đối với hai góc bù nhau, α 180° – α, ta có: sin (180° – α) = sin α; cos (180° – α) = - cos α; tan (180° – α) = - tan α (α ≠ 90°); cot (180° – α) = - cot α (0° < α < 180°) Chú ý: - Hai góc bù có sin ; có cơsin , tang, cơtang đối Ví dụ: Tính giá trị lượng giác góc 135° Hướng dẫn giải Ta có 135° + 45° = 180°, góc 135° góc 45° hai góc bù nhau: Suy ra: sin135° = sin45° = 2 cos135° = - cos45° =  2 tan135° = - tan45° = -1 cot135° = - cot45° = -1 Vậy sin135° = 2 ; cos135° =  ; tan35° = -1 ; cot135° = -1 2 - Hai góc phụ có sin góc cơsin góc kia, tang góc cơtang góc Ví dụ: Ta có 30° + 60° = 90° nên góc 30° góc 60° hai góc phụ Khi đó: sin30° = cos60° = tan30° = cot60° = 3 Định lí cơsin Đối với tam giác ABC, ta thường kí hiệu A, B, C góc tam giác đỉnh tương ứng; a, b, c tương ứng độ dài cạnh đối diện với đỉnh A, B, C; p nửa chu vi; S diện tích; R, r tương ứng bán kính đường trịn ngoại tiếp, nội tiếp tam giác A b c B a C Định lí Cơsin Trong tam giác ABC: a2 = b2 + c2 – 2bc.cosA b2 = c2 + a2 – 2ca.cosB c2 = a2 + b2 – 2ab.cosC Ví dụ: Cho tam giác ABC có góc A 60° AB = cm, AC = cm Tính độ dài cạnh BC B ? 60° A C Hướng dẫn giải Áp dụng Định lí cơsin cho tam giác ABC, ta có: BC2 = AB2 + AC2 – 2AB AC cos 600 = 22 + 32 – 2.2.3 (cm) Suy BC = Vậy BC = = 7 cm Định lí sin Đối với tam giác ABC, ta thường kí hiệu A, B, C góc tam giác đỉnh tương ứng; a, b, c tương ứng độ dài cạnh đối diện với đỉnh A, B, C; p nửa chu vi; S diện tích; R, r tương ứng bán kính đường trịn ngoại tiếp, nội tiếp tam giác A b c B Định lí Cơsin Trong tam giác ABC: a2 = b2 + c2 – 2bc.cosA b2 = c2 + a2 – 2ca.cosB c2 = a2 + b2 – 2ab.cosC a C Ví dụ: Cho tam giác ABC có góc A 60° AB = cm, AC = cm Tính độ dài cạnh BC B ? 60° A C Hướng dẫn giải Áp dụng Định lí cơsin cho tam giác ABC, ta có: BC2 = AB2 + AC2 – 2AB AC cos 600 = 22 + 32 – 2.2.3 Suy BC = Vậy BC = = 7 (cm) cm Giải tam giác ứng dụng thực tế - Việc tính độ dài cạnh số đo góc tam giác biết số yếu tố tam giác gọi giải tam giác Chú ý: Áp dụng định lí cơsin, sin sử dụng máy tính cầm tay, ta tính (gần đúng) cạnh góc tam giác trường hợp sau: + Biết hai cạnh góc xen + Biết ba cạnh + Biết cạnh hai góc kề Ví dụ: Giải tam giác ABC biết b = 12, C  60 , A  100 Hướng dẫn giải Theo định lí tổng ba góc tam giác, ta có: A  B  C  180 Suy B  180  (A  C)  180  (100  60)  20 Áp dụng định lí sin, ta có:  a b c   sin A sin B sin C a 12 c   sin100 sin 20 sin 60 Suy ra: a 12  sin100  34,6 sin 20 c 12  sin 60  30, sin 20 Vậy tam giác ABC có: A  100 , B  20 , C  60 ; a ≈ 34,6 ; b = 12; c ≈ 30,4 Ví dụ: Để đo khoảng cách hai đầu C A hồ nước người ta trực tiếp từ C đến A, người ta tiến hành sau: Chọn điểm B cho đo khoảng cách BC, BA góc BCA Sau đo, ta nhận BC = 5m, BA = 12m, BCA  370 Tính khoảng cách AC (làm tròn kết đến hàng phần trăm) B 5m 37° C Hướng dẫn giải Áp dụng định lí sin tam giác ABC ta có: 12 m A BC AB  sin A sin C ⇒ 12  sin A sin 370 5.sin 370 ⇒ sin A =  0, 2508 12 ⇒ A ≈ 14°31’ ⇒ B ≈ 180° – (37° + 14°31’) = 128°29’ Áp dụng định lí sin, ta có: ⇒ AC = AC AB  sin B sin C 12 AB  sin12829' ≈15,61 (m)  sin B = sin 37 sin C Vậy khoảng cách AC ≈ 15,61 m Cơng thức tính diện tích tam giác Đối với tam giác ABC: A, B, C góc tam giác đỉnh tương ứng; a, b, c tương ứng độ dài cạnh đối diện với đỉnh A, B, C; p nửa chu vi; S diện tích; R, r tương ứng bán kính đường trịn ngoại tiếp, nội tiếp tam giác Ta có cơng thức tính diện tích tam giác ABC sau: +) S = pr = (a  b  c)r +) S = 1 bc sin A = ca sin B = ab sin C 2 +) S = abc 4R +) Công thức Heron: S = Ví dụ: p(p  a)(p  b)(p  c) a) Tính diện tích tam giác ABC biết cạnh b = 14 cm, c = 35 cm A  600 b) Tính diện tích tam giác ABC bán kính đường trịn nội tiếp, ngoại tiếp tam giác ABC, biết cạnh a = cm, b = cm, c = cm Hướng dẫn giải a) Áp dụng cơng thức tính diện tích tam giác ABC, ta có: S= 245 1 bc sin A = 14.35.sin 60° = 14.35 = (cm2) 2 2 Vậy diện tích tam giác ABC là: 245 cm2 b) Ta có nửa chu vi tam giác ABC là: p  a  b  c   12    (cm) 2 Áp dụng cơng thức Heron, ta có diện tích tam giác ABC là: S = p(p  a)(p  b)(p  c)  6.(6  4).(6  5).(6  3)  36  (cm2) Mặt khác: S = abc abc 4.5.3 ⇒R= =   2,5 (cm) 4.6 4R 4S Ta có: S = pr ⇒ r = S = = (cm) p Vậy diện tích tam giác ABC cm2, bán kính đường trịn ngoại tiếp 2,5 cm; bán kính đường trịn nội tiếp cm B Bài tập tự luyện B1 Bài tập tự luận Bài Tính diện tích tam giác ABC biết a = 12 cm, b = 15 cm , c = 23 cm Hướng dẫn giải Ta có p  a  b  c 12  15  23 50    25 (cm) 2 Áp dụng công thức Heron cho tam giác ABC ta có: S= p(p  a)(p  b)(p  c) S = 25.(25  12).(25  15).(25  23)  6500  80,62 (cm2) Vậy diện tích tam giác ABC 80,62 cm2 Bài Cho A  3sin   cos  tan α = sin   cos  Chứng minh A   Hướng dẫn giải Ta có tan   Suy A  sin    sin   cos  cos  3sin   cos  sin   cos   cos   cos  cos   cos   (3  1) cos  (  1) cos      1 1   1 1  74  1 1 Vậy A= – Bài Tính giá trị biểu thức sau: a) 3sin150° + tan135° + cot45° b) cot135° – tan60° cos230° Hướng dẫn giải a) 3sin 150° + tan 135° + cot 45° = 3.sin(180° – 30°) + tan(180° – 45°) + cot 45° = 3.sin30° – tan45° + cot45° =3 + (-1) + = 2 b) cot 135° – tan 60° cos2 30° = cot(180° – 45°) – tan60°.cos230° = – cot45° – tan60°.cos230° = (– 1) –  3 43   =   Bài Cho góc α, biết sin α = Tính giá trị biểu thức A = 4sin2 α + 3cos2 α Hướng dẫn giải Ta có: A = 4sin2 α + 3cos2 α = (3sin2 α + 3cos2 α) + sin2 α = (sin2 α + cos2 α) + sin2 α Vì cos2 α + sin α = sin α = 2  2 Thay vào A ta có: A = +   = ;   Vậy A = Bài Một hồ nước nằm góc tạo hai đường Hãy tính khoảng cách từ B đến C, biết góc tạo hai đường góc A 120° khoảng cách từ A đến B km, khoảng cách từ A đến C km Hướng dẫn giải Áp dụng định lí cơsin cho tam giác ABC ta có: BC2 = AB2 + AC2 – 2.AB.AC.cos A = 32 + 42 – cos 120° = 37 ⇒ BC = 37 ≈ 6,08 (km) Vậy khoảng cách từ B đến C khoảng 6,08 km Bài Giải tam giác ABC biết AB = 15, BC = 35, B  60 (Độ dài cạnh AC làm tròn đến chữ số thập phân thứ nhất, số đo góc A C làm trịn đến độ) Hướng dẫn giải Áp dụng định lí cơsin cho tam giác ABC, ta có: AC2 = AB2 + BC2 – AB BC cos B = 152 + 352 – 15 35 cos 60° = 925 Do AC = 925 ≈ 30,4 Mặt khác: BC2 = AB2 + AC2 – AB AC cos A AB2  AC2  BC2 152  925  352 ⇒ cos A = =  0,08 2.AB.AC 2.15 925 ⇒ A  95 ⇒ C  180  (A  B)  180  (95  60)  25 Vậy tam giác ABC có: A  95 ; B  60 ; C  25 AB = 15, AC ≈ 30,4; BC = 35 B2 Bài tập trắc nghiệm Bài Nếu 3cosx + sinx = sinx < giá trị sinx là: A  ; 13 B  ; 13 C  ; 13 D  12 13 Hướng dẫn giải Đáp án là: A Ta có: 3cosx + sinx =  (3cosx + sinx)2 =  9cos2x + 12cosx.sinx + 4sin2x = 4(sin2x + cos2x)  5cos2x + 12cosx.sinx =  cosx(5cosx + 12sinx) = cosx   5cosx  12sin x  Với cosx =  sinx = loại sinx <  sin x   5cosx  12sin x   13  Với 5cosx + 12sinx = 0, ta có hệ phương trình:  3cos x  2sin x  12  cosx   13 Vậy sin x   13 Bài Biết tanα = 2, giá trị biểu thức M  3sin   2cos  bằng: 5cos   7sin  A  ; B ; 19 C  D ; 19 Hướng dẫn giải Đáp án là: B Cách 1: Vì cos α ≠ nên chia tử mẫu M cho cosα ta có: sin  2 3.tan   3.2  cos  M    sin   7.tan   7.2 19 57 cos  Cách 2: Ta có: tan    vào M ta M  3.2cos   2cos  4cos    5cos   7.2cos  19cos  19 Bài Cho cos    A cot   ; 3 B sin   ; sin    cos     sin   2cos  , thay sinα = 2cosα cos  góc α thỏa mãn 90° < α < 180° Khi C tan   D sin    Hướng dẫn giải Đáp án là: B Ta có sin2α + cos2α = 16  4 ⇔ sin α = – cos α = –    = – = 25 25  5 2  sin    ⇔ sin     Vì 90° < α < 180° nên sinα > Do sin   ⇒ tanα = sin  cos    , cotα =  cos sin  Vậy đáp án B Bài Cho cos    góc α thỏa mãn 90° < α < 180° Khi A cot   ; 3 B sin   ; C tan   D sin    Hướng dẫn giải Đáp án là: B Ta có sin2α + cos2α = 16  4 ⇔ sin α = – cos α = –    = – = 25 25  5 2  sin   ⇔ sin     Vì 90° < α < 180° nên sinα > Do sin   ⇒ tanα = cos  sin    , cotα =  cos sin  Vậy đáp án B Bài Biết tanα = 2, giá trị biểu thức M  3sin   2cos  bằng: 5cos   7sin  A  ; B ; 19 C  D ; 19 Hướng dẫn giải Đáp án là: B Cách 1: Vì cos α ≠ nên chia tử mẫu M cho cosα ta có: sin  2 3.tan   3.2  cos  M    sin   7.tan   7.2 19 57 cos  Cách 2: Ta có: tan    vào M ta M  sin    cos     sin   2cos  , thay sinα = 2cosα cos  3.2cos   2cos  4cos    5cos   7.2cos  19cos  19 Bài Nếu 3cosx + sinx = sinx < giá trị sinx là: A  ; 13 B  ; 13 C  ; 13 D  12 13 Hướng dẫn giải Đáp án là: A Ta có: 3cosx + sinx =  (3cosx + sinx)2 =  9cos2x + 12cosx.sinx + 4sin2x = 4(sin2x + cos2x)  5cos2x + 12cosx.sinx =  cosx(5cosx + 12sinx) = cosx   5cosx  12sin x  Với cosx =  sinx = loại sinx <  sin x   5cosx  12sin x   13  Với 5cosx + 12sinx = 0, ta có hệ phương trình:  12 3cos x  2sin x  cosx   13 Vậy sin x   13 ... tan 135 ° + cot45° b) cot 135 ° – tan60° cos 230 ° Hướng dẫn giải a) 3sin 150° + tan 135 ° + cot 45° = 3. sin(180° – 30 °) + tan(180° – 45°) + cot 45° = 3. sin30° – tan45° + cot45° =3 + (-1) + = 2 b) cot 135 °... cot 135 ° – tan 60° cos2 30 ° = cot(180° – 45°) – tan60°.cos 230 ° = – cot45° – tan60°.cos 230 ° = (– 1) –  3? ?? 4? ?3   =   Bài Cho góc α, biết sin α = Tính giá trị biểu thức A = 4sin2 α + 3cos2... AC ≈ 30 ,4; BC = 35 B2 Bài tập trắc nghiệm Bài Nếu 3cosx + sinx = sinx < giá trị sinx là: A  ; 13 B  ; 13 C  ; 13 D  12 13 Hướng dẫn giải Đáp án là: A Ta có: 3cosx + sinx =  (3cosx + sinx)2