Bài toán quy hoạch phi tuyến có ràng buộc

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN KHOA TOÁN - CƠ - TIN HỌC Nguyễn Trường Giang BÀI TOÁN QUY HOẠCH PHI TUYẾN CÓ RÀNG BUỘC LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Chuyên ngành: Toán - Giải tích Mã số: 60.46.01.02 Người hướng dẫn: PGS.TS Nguyễn Hữu Điển Hà Nội - 2014 BẢNG KÝ HIỆU Ký hiệu Ý nghĩa DFP Davidon- Fletcher- Powell QHPT Quy hoạch phi tuyến Rn Không gian thực n chiều ∇ f (x) Gradient f x ∇2 f ( x ) Hessian f x o Vô bé ∆ Số gia 0( x, ε) Lân cận x với bán kính ε AT Chuẩn vector Ma trận chuyển vị ma trận A LỜI CẢM ƠN Để hoàn thành luận văn nhận giúp đỡ to lớn Thầy, Cô giáo, gia đình bạn bè xung quanh Tôi xin bày tỏ lòng kính trọng biết ơn sâu sắc tới thầy giáo hướng dẫn PGS.TS Nguyễn Hữu Điển, Khoa Toán- Cơ- Tin học, Trường Đại học khoa học tự nhiên, ĐHQG Hà Nội Trong trình giảng dạy hướng dẫn ân cần động viên, giúp đỡ bảo tận tình cho Tôi gửi lời cảm ơn tới thầy cô Khoa Toán- Cơ- Tin học, Phòng sau đại học, Trường Đại học khoa học tự nhiên, ĐHQG Hà Nội dạy dỗ giúp đỡ nhiều suốt trình học tập nghiên cứu luận văn Đặc biệt thầy cô Seminar môn Toán giải tích có ý kiến đóng góp quý báu giúp cho luận văn hoàn chỉnh Cuối xin gửi lời cảm ơn tới gia đình nơi sinh thành, nuôi nấng, giúp đỡ, động viên nhiều suốt thời gian qua Dù cố gắng luận văn tránh khỏi thiếu sót hạn chế Mọi ý kiến đóng góp xin đón nhận với lòng biết ơn trân trọng sâu sắc Hà Nội, ngày 29 tháng 10 năm 2014 Học Viên Nguyễn Trường Giang Mục lục LỜI MỞ ĐẦU Chương Một số kiến thức chuẩn bị 12 1.1 Một số khái niệm sở 12 1.2 Điều kiện tối ưu 16 1.2.1 Điều kiện cấp 18 1.2.2 Điều kiện cấp 23 Chương Phương pháp tuyến tính hóa 29 2.1 Tổng quan quy hoạch phi tuyến 29 2.1.1 Giới thiệu chung QHPT 29 2.1.2 Bài toán QHPT 30 2.1.3 Các vấn đề cần giải giải toán QHPT 31 2.2 Tuyến tính hóa ràng buộc 33 2.2.1 Bài toán hướng giải 33 2.2.2 Thuật toán siêu phẳng cắt Kelley 34 2.2.3 Sự hội tụ thuật toán 39 2.2.4 Ví dụ minh họa 39 2.2.5 Chương trình giải ví dụ thuật toán Kelley 43 2.3 Tuyến tính hóa mục tiêu 48 2.3.1 Bài toán hướng giải 48 2.3.2 Thuật toán Frank- Wolfe 48 2.3.3 Sự hội tụ thuật toán 51 2.3.4 Ví dụ minh họa 52 2.3.5 Chương trình giải ví dụ thuật toán Frank- Wolfe 54 KẾT LUẬN 59 TÀI LIỆU THAM KHẢO 60 LỜI MỞ ĐẦU Tối ưu hóa lĩnh vực kinh điển toán học, có ảnh hưởng đến hầu hết lĩnh vực khoa học- công nghệ kinh tế- xã hội Trong thực tế, việc tìm giải pháp tối ưu cho vấn đề chiếm vai trò quan trọng Phương án tối ưu phương án hợp lý nhất, tốt nhất, tiết kiệm chi phí, thời gian, tài nguyên, nguồn nhân lực mà lại cho tiệu cao Những năm gần nhiều toán thực tế giải phương pháp mô hình hóa toán học thành công Trong số mô hình toán học áp dụng có nhiều mô hình tối ưu giải thông qua toán tối ưu kinh điển Bài toán tối ưu phát biểu sau: Cho D ∈ Rn , D = ∅ với Rn không gian vector hàm f : D → R tùy ý Tìm giá trị cực tiểu hàm f ( x ) x ∈ D nghĩa toán tìm vector w thuộc vào tập D cho với giá trị x thuộc D f ( w ) ≤ f ( x ) Trong • f gọi hàm mục tiêu • D gọi tập ràng buộc • x ∈ D phương án chấp nhận • w ∈ D phương án tối ưu • f (w) giá trị tối ưu Trong trường hợp hàm mục tiêu tất ràng buộc tuyến tính, toán tối ưu BTQHTT BTQHTT giải số phương pháp tối ưu quen biết phương pháp đơn hình, phương pháp đơn hình cải biên phương pháp điểm BTQHTT sử dụng rộng rãi quy hoạch tài nguyên, quản lý sử dụng đất nhiều lĩnh vực quản lý kinh tế quản trị kinh doanh Trong trường hợp hàm mục tiêu số ràng buộc phi tuyến có BTQHPT Cụ thể, thực tế có nhiều vấn đề kinh tế hoạt động kinh doanh có mối liên hệ với tuyến tính mà phi tuyến Sự tồn mối quan hệ không theo tỉ lệ doanh số đạt không theo tỷ lệ với giá bán (vì giá bán tăng doanh số giảm) Khi tập ràng buộc D Rn ta có toán QHPT không ràng buộc Ngược lại, ta có toán QHPT có ràng buộc Luận văn trình bày phần nhỏ lý thuyết tối ưu, tìm hiểu toán QHPT có ràng buộc sau f ( x ) → với x ∈ D = x ∈ Rn : gi ( x ) ≤ 0, i = 1, m; h j ( x ) = 0, j = 1, p , (1) f : D → R hàm tùy ý Như biết, có nhiều phương pháp giải lớp toán tối ưu phi tuyến riêng biệt , chưa có phương pháp tỏ hữu hiệu cho toán tối ưu phi tuyến Do vậy, điểm qua số phương pháp giải BTQHPT có ràng buộc để làm rõ ưu nhược điểm phương pháp chọn phương pháp phù hợp cho toán thực tế Đầu tiên, phương pháp hình học coi phương pháp đơn giản để tìm nghiệm tối ưu cho toán cực trị cỡ nhỏ với thuật toán sau Bước Vẽ miền chấp nhận D toán (1) Nếu miền D rỗng kết luận toán (1) vô nghiệm Bước Vẽ mặt mức f ( x1 , , xn ) = α với α ∈ R Bước Giảm dẫn mức α (tăng dẫn mức α) để xác định mặt mức thấp hay xác lập toán không giải hàm mục tiêu f giảm vô hạn trện D Bước Nếu toán giải tìm điểm thuộc D mà mặt mức thấp qua Điểm tìm nghiệm tối ưu toán (1) tính giá trị hàm mục tiều f điểm vừa tìm ta có f Nhóm phương pháp với ý tưởng đưa toán quy hoạch có ràng buộc toán quy hoạch không ràng buộc, cách thay t hế hàm mục tiêu ban đầu f ( x ) hàm mục tiêu mở rộng F ( x, r ) chứa thông số r có tính đến ràng buộc Giá trị hàm mục tiêu mở rộng phải trùng với giá trị hàm mục tiêu ban đầu miền ràng buộc giá trị hàm mục tiêu mở rộng khác với giá trị hàm mục tiêu ban đầu Khi x → w dẫn đến F (w, r ) → f (w) Với tập ràng buộc khác ta có hàm mục tiêu mở rộng F ( x, r ) chọn khác nhau, ta có phương pháp khác Phương pháp nhân tử Lagrange Phương pháp thường dùng để tìm cực trị hàm với ràng buộc đẳng thức hàm mục tiêu mở rộng xây dựng hàm Lagrange sau m L( x, r ) = f ( x ) + ∑ λ j g j ( x ), j =1 với λ j nhân tử Lagrange, j = 1, 2, , m Điều kiện cần để tồn cực trị địa phương L( x, r )  ∂L   = 0; với i = 1, n ∂xi   g ( x ) = 0; với j = 1, m j Như vậy, ta có (n + m) phương trình để xác định (n + m) ẩn Phương pháp có ưu điểm cho phép đưa toán cực trị có điều kiện toán cực trị không điều kiện, nhờ vận dụng nhiều phương pháp tìm cực trị khác Trường hợp ràng buộc đẳng thức đưa giải hệ phương trình tuyến tính toán cỡ nhỏ phương pháp dùng có hiệu Tuy nhiên, muốn nhận biết nghiệm dừng max hay ta phải tiếp tục xét đạo hàm cấp hai L, phức tạp Phương pháp Carroll Hàm mục tiêu f ( x ) → min(max), ràng buộc gi ( x ) ≥ 0; i = 1, 2, , m Hàm mục tiêu mở rộng xây dựng m F ( x, r ) = f ( x ) ± rk wj ∑ gj (x) , j =1 • dấu ” + ” tìm f ( x ) • dấu ” − ” tìm max f ( x ) • rk nhân tử bước lặp thứ k • w j trọng số Phương pháp Fiacco Cormick hàm mục tiêu f ( x ) → min(max) với ràng buộc • gi ( x ) ≥ với i = 1, n • h j ( x ) = với j = 1, m Hàm mục tiêu mở rộng xây dựng có dạng n F ( x, r ) = f ( x ) ± r ∑ i =1 −1 ±r gi ( x ) m ∑ h j ( x ) j =1 Phương pháp chọn r0 F ( x, r ) → n i = gi ( x ) không gần biên ràng buộc Đặt p( x ) = ∑ Khi x (0) T −∇ f ( x0 ) p( x0 ) r0 = [∇ p( x0 )] Khi x0 gần biên ràng buộc r0 = ∇ f ( x ) H −1 ∇ f ( x ) , ∇ p ( x ) H −1 ∇ p ( x ) H ma trận Hessian Phương pháp Pietrzykoski Hàm mục tiêu f ( x ) → min(max) với ràng buộc • gi ( x ) ≥ với i = 1.n, • h j ( x ) = với j = 1, m Hàm mục tiêu mở rộng m n j =1 i =1 F ( x, r ) = r f ( x ) − ∑ h j ( x ) − ∑ wi gi ( x ) Trong • wi = gi ( x ) ≥ 0, • wi = gi ( x ) < Tiếp theo phương pháp Sai lệch linh hoạt Ý tưởng phương pháp mở rộng miền ràng buộc cách đưa hàm T ( x ) tổ hợp ràng buộc Như toán (1) đưa dạng • Tìm cực tiểu f ( x ) với x ∈ Rn • Thỏa mãn ràng buộc φ(k) − T ( x ) ≥ • Sai lệnh so với ràng buộc bước lặp thứ k  r +1   φ(k) = φ(k−1) , mr++11 ∑ xi (k) − xc (k) , i   φ (0) = ( m + ) , – d kích thước đơn hình ban đầu – xk (k) điểm thứ i đơn hình Rn – r = n − m số bậc tự f ( x ) – xc (k) trọng tâm đơn hình Rõ ràng ta có φ(0) ≥ φ(1) ≥ ≥ φ(k) ≥ dần đến điểm cực tiểu kích thước đơn hình dần đến φ(k) → tổ hợp ràng buộc T (x) = m p i =1 i = m +1 ∑ hi ( x ) + ∑ u i gi ( x ) Ta có kết chương trình đưa vào bảng tóm tắt Bước k Xấp xỉ x3+k Tập Ik f ( x 3+ k ) x4 = (1; 1) T {1, 2} x5 = (3; 0, 5) T {2} x6 = (2, 5; 0, 75) T {2} 4 x7 = (2, 25; 0, 875) T {2} 4 x8 = (2, 125; 0, 9375) T {2} x9 = (2, 0625; 0, 96875) T {2} x10 = (2, 03165; 0, 984375) T {2} x11 = (2, 015625; 0, 9921875) T {2} x12 = (2, 0078125; 0, 99609375) T {2} 10 x13 = (2, 00390625; 0, 998046875) T {2} 11 x14 = (2, 001953125; 0, 9990234375) T {2} 12 x15 = (2, 0009765625; 0, 99951171875) T {2} 13 x16 = (2, 00048828125; 0, 999755859375) T {2} 14 x17 = (2, 000244140625; 0, 9998779296875) T {2} 15 x18 = (2, 0001220703125; 0, 99993896484375) T {2} 16 x19 = (2, 00006103515625; 0, 999969482421875) T {2} Bảng 2.1: Kết tính toán bước lặp Từ bảng kết quả, k tăng gía trị x k tiến gần tới giá trị nghiệm (2, 1) T Nên nghiệm x k toán hội tụ tới (2, 1) T k → ∞ Chính lý để dừng lại số bước lặp k (nếu không vô hạn) chương trình lập trình ta thay điều kiện dừng (dk[k ] > 0) (dk [k ] > 10(−10) ) 47 2.3 Tuyến tính hóa mục tiêu 2.3.1 Bài toán hướng giải Xét toán qui hoạch lồi với ràng buộc tuyến tính µ = { f ( x ) : Ax ≤ b, x ≥ 0} , f ( x ) = f ( x1 , x2 , , xn ) hàm lồi, A = aij m×n (2.7) , b ∈ Rm , x ∈ Rn vector biến cần tìm Ký hiệu D = { x ∈ Rn : Ax ≤ b, x ≥ 0} Ta giả thiết: Hàm mục tiêu f ( x ) khả vi liên tục Với a ∈ D hàm tuyến tính ∇ f ( a), x bị chặn miền D (điều chắn xảy D đa diện lồi) Để giải toán ta dùng tới thuật toán Frank- Wolfe, hướng giải xây dựng dãy điểm x1 , x2 , , x k , với ∀ x k ∈ D f ( x k ) giảm dần theo k f (xk ) µ = { f ( x ) : x ∈ D } 2.3.2 Thuật toán Frank- Wolfe Dựa hướng giải nêu phần ta thấy thuật toán có hai điều kiện dừng ∇ f ( x k )( x ∗k − x k ) hướng dk Để phân tích bước tiến trình thuật toán, ta dựa sơ đồ khối sau đây: 48 Sơ đồ khối thuật toán Tìm x1∈Rn đạt min{l=x1+…+xn}, k=1 Tìm x*k đạt min{ f(xk)x: x∈ D} f(xk)(x*k – xk) Đ Dừng ≥0 S dk= x*k–xk k:=k+1 Đ Dừng =0 S Tìm t’ đạt min{φ(t)=f(xk+tdk)} Tìm tk đạt min{1,t’} xk+1=xk+tkdk Hình 2.2: Sơ đồ khối phương pháp Frank- Wolfe Các bước thuật toán gồm: Bước (Bước chuẩn bị) Tìm điểm chấp nhận ban đầu x1 ∈ D Có hai cách chọn: Cách bất phương trình tuyến tính nên ta tìm x1 giải toán phụ P( x, x g ) x1 phương án cực biên (PACB) Cách tìm cách mò ngẫu nhiên x1 ∈ D, không thiết phải đỉnh D Khi x1 không PACB 49 Bước (Bước tổng quát k = 1, 2, ) Giả sử bước lặp k, ta có điểm x1 ∈ D Tìm hướng giảm dk từ điểm x k Giải qui hoạch tuyến tính ∇ f ( x k )( x − x k ) : x ∈ D Bài toán tương đương với ∇ f ( x k ) x : x ∈ D , (2.8) theo giả thiết thứ hai toán thì(2.8) có lời giải Tính độ dài bước tk > Giả sử x ∗k ∈ D lời giải (phương án tối ưu) (2.8) Có hai khả xảy a Trường hợp ∇ f ( x k )( x ∗k − x k ) ≥ Khi đó, ta có ∇ f ( x k )( x k − x k ) ≥ với x ∈ D Do f lồi nên f ( x ) − f ( x k ) ≥ ∇ f ( x k )( x − x k ) với x ∈ D Vì vậy, x k lời giải cần tìm toán Dừng thuật toán b Trường hợp ∇ f ( x k )( x ∗k − x k ) < Khi ấy, dk = x ∗k − x k hướng giảm hàm f ( x ) x k Tìm số t đạt cực tiểu hàm ϕ(t) = f ( x k + tdk ) với t ≥ Cũng tính xấp xỉ t nhờ giải phương trình ϕ (t) = Sau đó, để làm độ dài bước, ta đặt tk = {1, t } Xác định xấp xỉ x k+1 Chọn điểm xấp xỉ x k+1 = x k + tk dk Tiếp tục trình giải nêu Nếu trình giải diễn vô hạn ta có định lý hội tụ phát biểu sau 50 2.3.3 Sự hội tụ thuật toán Định lý 2.2 [10] Giả sử trình thuật toán Frank- Wolfe diễn vô hạn Khi ta có a Dãy f ( x k ) giảm dần tiến tới giá trị cực tiểu µ toán (2.7) b Với k ≤ f ( x k ) − µ ≤ ∇ f ( x k ) x k − x ∗k Như vậy, dừng bước lặp k nhận phương án xấp xỉ tối ưu x k với sai số (về giá trị hàm mục tiêu) không vượt ∇ f ( x k ) x k − x ∗k Chứng minh Ta gọi M tập tất đỉnh D có mặt dãy x ∗k Dãy x1 , x2 , , x k , nằm bao lồi cảu x1 M Bao lồi tập hợp compac, nên dãy nói có điểm tụ x˜ f ( x1 ) > f ( x2 ) > > f ( x k ) > nên f ( x k ) → f ( x˜ ) Do tập hợp đỉnh D hữu hạn nên M hữu hạn Vì dãy vô hạn x k phải tìm dãy cho tất đỉnh x ∗kq xqk với xqk → x˜ q → +∞ trùng Gọi đỉnh trùng x ∗ , ta có với λ cố định (0 < λ < 1) f ( x kq + λ( x ∗ − x kq )) ≥ f ( x kq +1 ) ≥ f ( x kq+1 ), từ qua giới hạn q → +∞ ta nhận f ( x˜ + λ( x ∗ − x˜ )) ≥ f ( x˜ ) Và điều với ∀λ ∈ (0, 1) nên lim λ ↓0+ f ( x˜ + λ( x ∗ − x˜ )) − f ( x˜ ) = f ( x˜ )( x ∗ − x˜ ) ≥ λ Mặt khác, theo cách xây dựng x ∗kq , ta có với x ∈ D ∇ f ( x kq )( x − x kq ) ≥ ∇ f ( x kq )( x ∗kq − x kq ), 51 qua giới hạn ta ∇ f ( x˜ )( x − x˜ ) ≥ ∇ f ( x˜ )( x ∗ − x˜ ) ≥ Kết hợp với tính lồi hàm f ( x ), ta có f ( x ) − f ( x˜ ) ≥ ∇ f ( x˜ )( x − x˜ ) ≥ 0, ∀ x ∈ D Như vậy, x˜ điểm cực tiểu hàm f ( x ) D, nghĩa f ( x˜ ) = µ = { f ( x ) : x ∈ D } ta lại có với x ∈ D f ( x ) − f ( x k ) ≥ ∇ f ( x k )( x − x k ) ≥ ∇ f ( x k )( x ∗k − x k ) Do đó, với x = x˜ f ( x k ) − µ ≤ ∇ f ( x k )( x k − x ∗k ) Định lý chứng minh đầy đủ 2.3.4 Ví dụ minh họa Tìm cực tiều hàm f ( x ) = x12 + 2x22 − 16x1 − 20x2 với điều kiện    −2x1 − x2 ≤ −2,        − x1 + 2x2 ≤ 8,    x1 + x2 ≤ 10,       − x1 + x2 ≤ −4,       x1 ≥ 0, x2 ≥ Lời giải Tính vector gradient hàm mục tiêu     ∂ f (x)   2x1 − 16   ∇ f ( x ) =  ∂x1  =   ∂ f (x) 4x2 − 20 ∂x2 52 Để làm xấp xỉ ban đầu ta chọn điểm x1 = (1; 0) T (x1 nhận cách giải toán tuyến tính l ( x ) = x1 + x2 với ràng buộc tuyến tính nêu trên), f ( x1 ) = −15 Bước lặp k=1 Tại điểm x1 vector gradient ∇ f ( x1 ) = (−14; −20) T Tìm d1 Để tìm hướng giảm d1 = d11 ; d12 T ta giải quy hoạch tuyến tính: −14( x1 − 1) − 20( x2 − 0) → hay − 0, 7x1 − x2 → min, với điều kiện cho Giải toán ta nhận x ∗1 = (4; 6) T , d1 = x ∗1 − x1 = (3; 6) T Tính t1 Xét tia x = x1 + td1 với t ≥ hay x1 = + 3t; x2 = 6t với t ≥ Để xác đinh số t , ta tìm cực tiểu hàm ϕ(t) = (1 + 3t)2 + 2(6t)2 − 16(1 + 3t) − 20(6t) = 81t2 − 162t − 15 Dễ dàng tính cực tiểu hàm cách giải phương trình ϕ (t) = ta nhận t = nghiệm, t1 = {1, t } = Tính x2 Điểm xấp xỉ tính theo công thức x2 = x1 + t1 d1 = (4; 6) T , f ( x2 ) = −56 Bước lặp k = Tính vector gradient x2 ∇ f ( x2 ) = (−8; 4) T Tìm d2 Để tìm hướng giảm d2 == d21 ; d22 T ta giải quy hoạch tuyến tính: −8( x1 − 4) + 4( x2 − 6) → hay − 2x1 + x2 → min, với điều kiện cho Giải toán ta nhận x ∗2 = (7; 3) T , d2 = x ∗2 − x2 = (3; −3) T 53 Tính t2 Xét tia x = x2 + td2 với t ≥ hay x2 = + 3t; x2 = − 3t với t ≥ Để xác đinh số t , ta tìm cực tiểu hàm ϕ(t) = (4 + 3t)2 + 2(6 − 3t)2 − 16(4 + 3t) − 20(6 − 3t) = 27t2 − 36t − 96 Dễ dàng tính cực tiểu hàm cách giải phương trình 1 ϕ (t) = ta nhận t = nghiệm, t2 = {1, t } = 3 Tính x3 Điểm xấp xỉ tính theo công thức x3 = x2 + t2 d2 = (6; 4) T , f ( x3 ) = −108 Bước lặp k = Tính vector gradient x3 ∇ f ( x3 ) = (−4; 4) T Tìm d3 Để tìm hướng giảm d3 == d31 ; d32 T ta giải quy hoạch tuyến tính: −4( x1 − 6) + 4( x2 − 4) → min( hay − x1 − x2 → min) với điều kiện cho Giải toán ta nhận x ∗3 = (6; 4) T , d3 = x ∗3 − x3 = (0; 0) T Điểm x3 = (6; 4) T nghiệm tối ưu toán, từ x3 hướng, dọc theo hàm mục tiêu giảm Vậy f = f (6; 4) = −108 đạt điểm x ∗ = x3 = (6; 4) T 2.3.5 Chương trình giải ví dụ thuật toán Frank- Wolfe Đầu vào Ví dụ phần Đầu Nghiệm cực tiểu giá trị cực tiểu nghiệm Chương trình viết maple 16 sau 54 > restart; > with(linalg); with(LinearAlgebra); with(student); with(geometry); with(simplex); with(combinat); # Nhập hàm hai biến > f := proc (x, y) options operator, arrow; x^2+2*y^2-16*x-20*y end proc; # Điều kiện ràng buộc > dkrb := {x >= 0, y >= 0, -2*x-y minimize(fbd(x, y), dkrb); > tnbd := minimize(fbd(x, y), dkrb); > assign(tnbd); #Tao mang luu tru nghiem > ng := array(1 30); g := array(1 30); ngtg := array(1 2); d := array(1 30); tk := array(1 30); > for i to 30 ng[i] := array(1 2); g[i] := array(1 2); d[i] := array(1 2) 55 end do; > k := 1; # Gan gia tri nghiem ban dau vaof nghiem[1] ung voi x^1 > ng[k][1] := x; > ng[k][2] := y; > unassign(’x’); unassign(’y’); # Tinh gradient cua gia tri ban dau > g[k][1] := dhrx(ng[k][1]); > g[k][2] := dhry(ng[k][2]); > eval(g[k]); > unassign(’x’); unassign(’y’); #Ham tich vo huong cua gradient > tvhg := proc (x, y) options operator, arrow; g[k][1]*(x-ng[k][1])+g[k][2]*(y-ng[k][2]) end proc; > eval(tvhg(x, y)); > minimize(tvhg(x, y), dkrb); > tntg := minimize(tvhg(x, y), dkrb); > assign(tntg); > ngtg[1] := x; > ngtg[2] := y; > unassign(’x’); unassign(’y’); # Dieu kien cho vong lap > dk := g[k][1]*(ngtg[1]-ng[k][1])+g[k][2]*(ngtg[2]-ng[k][2]); > Digits := 4; > if dk >= then printl("Bai toan co gia tri nho nhat:"); 56 print(f(ng[k][1], ng[k][2])); printl("Tai diem: "); print(ng[k]) end if; > while dk < g[k][1] := dhrx(ng[k][1]); g[k][2] := dhry(ng[k][2]); tvhg := proc (x, y) options operator, arrow; g[k][1]*(x-ng[k][1])+g[k][2]*(y-ng[k][2]) end proc; minimize(tvhg(x, y), dkrb); tntg := minimize(tvhg(x, y), dkrb); assign(tntg); ngtg[1] := x; ngtg[2] := y; unassign(’x’); unassign(’y’); dk := g[k][1]*(ngtg[1]-ng[k][1])+g[k][2]*(ngtg[2]-ng[k][2]); d[k][1] := ngtg[1]-ng[k][1]; x := ng[k][1]+t*d[k][1]; d[k][2] := ngtg[2]-ng[k][2]; y := ng[k][2]+t*d[k][2]; if ‘and‘(d[k][1] = 0, d[k][2] = 0) then break end if; ‘ϕ‘ := proc (t) options operator, arrow; f(x, y) end proc; tkk := fsolve(diff(‘ϕ‘(t), t) = 0); if tkk >= then tk[k] := else tk[k] := tkk end if; tk[k]; ng[k+1][1] := ng[k][1]+tk[k]*d[k][1]; ng[k+1][2] := ng[k][2]+tk[k]*d[k][2]; f(ng[k+1][1], ng[k+1][2]); k := k+1; 57 unassign(’x’); unassign(’y’) end do; Kết trình chạy chương trình ví dụ cho bảng sau k dk tk x k +1 f ( x k +1 ) (3; 6)T (4; 6)T −96 (6; −6)T 0, 33333333 (6; 4)T −108.000 (−2; 2)T (6; 4)T −108.000 Bảng 2.2: Kết tính toán bước lặp 58 KẾT LUẬN Luận văn tìm hiểu nghiên cứu bao quát phương pháp giải toán tối ưu phi tuyến có ràng buộc với ưu nhược điểm nêu phần mở đầu Tiếp theo số kiến thức chuẩn bị giúp ích cho việc chứng minh giải thích số vấn đề liên quan đến hai thuật toán siêu phẳng cắt Kelley FrankWolfe nêu chương Cuối phần nội dung, luận văn trình bày trình thực thuật toán, giải thích điều kiện dừng thuật toán ứng dụng công cự lập trình Maple để kiểm tra kết ví dụ cách nhanh chóng Tuy nhiên, luận văn dừng lại việc giải ví dụ f ( x ) hàm hai biến đơn giản Do vậy, hướng phát triển luận văn giải toán nhiều biến tổng quát Mặc dù cố gắng để hoàn thành luận văn tránh có thiếu sót, mong nhận góp ý chân thành quý thầy cô bạn đọc 59 Tài liệu tham khảo [1] Nguyễn Hữu Điển (2006), Một số vấn đề thuật toán, NXB Giáo dục [2] Nguyễn Nhật Lệ (2001), Tối ưu hóa ứng dụng, NXB Khoa học kỹ thuật [3] Nguyễn Đức Nghĩa - Vũ Văn Thiệu - Trịnh Anh Phúc (2012), Các phương pháp cực tiểu hóa ràng buộc, Bộ môn KHMT, Viện CNTT trường ĐHBK Hà Nội [4] Bùi Thế Tâm - Trần Vũ Thiệu (1998), Các phương pháp tối ưu hóa, NXB Giao thông vận tải [5] Nguyễn Hải Thịnh (2006), Tối ưu hóa, NXB Bách khoa Hà Nội [6] Danzig G.B and Thapa M.N (2003), Linear programming - Theory and Extensions,Springer Verlag, New York Berlin, Heideiberg [7] David G.Luenberger - Yingu Ye (2008), Linear and Nonlinear programming, Dept of Mgmt, Sience and Engineering Stanford University, Stanford, CA, USA [8] Enrique Dell Castillo - Douglas C.montgomery - Daniel R Mc Carville (1996), Modified Desirability Function for multiple response optimization, University of Texes, Arizana state University Tenpe, AZ 85287 − 5906 [9] Makhatar S.bazara - Hanif d.Sherali - C.M Shetty (2006), Nonlinear programming Theory and Algorithins, John Wiley and Suns, Inc 60 [10] Wenya sun - Ya-xiang Yuan (2006),Optimization theory and methods , Sprinjer Science Pusiness Media, LLC,23 street NewYork NY 10013, USA 61 [...]... chúng ta đã biết thì đối với một bài toán qui hoạch nói chung và bài toán qui hoạch phi tuyến có ràng buộc hiển nói riêng thì việc xét điều kiện để tìm xem bài toán đó có nghiệm hay không được coi là việc đầu tiên trong quá trình giải quy t bài toán đó Vì thế, việc tìm hiểu về những điều kiện để có nghiệm tối ưu cho bài toán QHPT có ràng buộc là rất quan trọng Ta xét bài toán sau Cho không gian vector... nghiệm của bài toán qui hoạch lồi nhưng không đưa ra nột thuật toán cụ thể nào để giải một bài toán Có rất nhiều phương pháp khác nhau được áp dụng cho các bài toán qui hoạc lồi với cấu trúc khác nhau Hai trong các thuật toán đó là thuật toán siêu phẳng cắt Kelley và thuật toán Frank- Wolfe 2.2 Tuyến tính hóa ràng buộc 2.2.1 Bài toán và hướng giải quy t Xét bài toán tối ưu lồi với hàm mục tiêu tuyến tính... ) khả vi liên tục trên tập mở bao tập phương án D Tuy bài toán QHPT đã được giới hạn như trên nhưng tính phi tuyến của bài toán luôn tạo ra nhưng phức tạp đáng kể khi tiệm cận với nó Với bài toán QHPT người ta sử dụng phương pháp tiệm cận giống như bài toán có ràng buộc cổ điển 29 trong giải tích- tức là tìm bài toán cực trị có ràng buộc về bài toán cực trị tự do rồi tìm cách đưa về điều kiện Kunh-... D = ∅ hay D = ∅ Đây là bài toán khó, thậm chí rất khó khi các ràng buộc của bài toán có tính chất giải tích phức tạp Vấn đề 2 Với một điểm x k ∈ D thì bằng các nào xác định được tại đó không có hướng chấp nhận được giảm của f ( x ) và nếu tại x k không có hướng chấp nhận giảm của f ( x ) thì x k có tính chất gì? Liệu x k có phải là lời giải của bài toán hay không? Nếu tai x k có hướng chấp nhận giảm... ∈ D Do f ( x ) lồi nên ta có f ( x ) − f (w) ≥ ∇ f (w)( x − w) ≥ 0 với mọi x ∈ D Do đó f ( x ) ≥ f (w) với mọi x ∈ D và w là điểm cực tiểu địa phương của f ( x ) trên D 28 Chương 2 Phương pháp tuyến tính hóa 2.1 Tổng quan về quy hoạch phi tuyến 2.1.1 Giới thiệu chung về QHPT Bài toán QHPT sẽ nói dưới đây không phải là bài toán QHPT tổng quát, mà ta chỉ xét lớp bài toán QHPT có hàm mục tiêu là hàm khả... giải quy t khi giải bài toán QHPT Trước khi đi vào chi tiết, ta sẽ đề cập tới bản chất của các thuật toán giải bài toán QHPT nói chung.Xét bài toán tổng quát có dạng    f ( x ) → min, (2.4)   x ∈ D, D ∈ Rn với bài toán (2.4) tùy theo cấu trúc của nó mà người ta đưa ra thuật toán khác nhau Cho tới thời điểm này, số phương pháp được đề xuất là rất lớn và đa dạng Những phương pháp này đều có ý tưởng... Sau đây là hướng giải quy t của phương pháp tuyến tính hóa ràng buộc giải bài toán (CTD ) do Kelley đề xuất năm 1960 (còn được gọi là phương pháp siêu phẳng cắt Kelley) Tại mỗi bước lặp (k = 1, 2, ), ta sẽ thực hiên lần lượt các thao tác sau: • Tập lồi compac D được thay bằng đa diện lồi Dk sao cho D1 ⊃ D2 ⊃ Dk ⊃ Dk+1 ⊃ D • Bài toán (CTD ) được thay bằng dãy bài toán quy hoạch tuyến tính (CTDk ) 33... tưởng tuyến tính hóa ràng buộc Tương tự, thay đổi giả thiết của bài toán (1) thành bài toán tối ưu lồi với ràng buộc tuyến tính như sau f ( x ) → min với x ∈ D = { x ∈ Rn : Ax ≤ b, x ≥ 0} , (3) trong đó • f ( x ) là hàm lồi • A là ma trận cấp m × n • b ∈ Rm Giả thiết rằng • f ( x ) là hàm khả vi liên tục • ∀ a ∈ D thì hàm tuyến tính x ∇ f ( a) bị chặn dưới trong miền D Để giải bài toán (3) vào năm 1956... Như vậy, thuật toán xiết chặt dần nêu trên là sự kết hợp hai khái niệm gradient và hướng chấp nhận được tại một phương án Có rất nhiều phi n bản thuật toán khác nhau được đưa ra cho các dạng bài toán khác nhau Ta gọi phương pháp loại này là phương pháp hướng có thể Khi đó các vấn đề cần giải quy t gồm: Vấn đề 1 Tìm phương án xuất phát x0 như thế nào? Rõ ràng việc tìm phương án xuất phát có liên quan... trên mâu thuẫn với nhau Suy ra điều giả sử lúc đầu là sai Vậy w là nghiệm cực tiểu của bài toán được xét 1.2.2 Điều kiện cấp 2 Với điều kiện cấp 1, ta thấy rằng vẫn có những bài toán với điều kiện sau đây sẽ làm ta không xét được tính chất của điểm w có hay không là điểm cực tiểu của 23 bài toán Cụ thể ta xét bài toán (1.1) với hai điều kiện sau Cho D là tập con không thực sự trong không gian vector ... số giảm) Khi tập ràng buộc D Rn ta có toán QHPT không ràng buộc Ngược lại, ta có toán QHPT có ràng buộc Luận văn trình bày phần nhỏ lý thuyết tối ưu, tìm hiểu toán QHPT có ràng buộc sau f ( x )... kiện tối ưu Như biết toán qui hoạch nói chung toán qui hoạch phi tuyến có ràng buộc hiển nói riêng việc xét điều kiện để tìm xem toán có nghiệm hay không coi việc trình giải toán Vì thế, việc tìm... Như biết, có nhiều phương pháp giải lớp toán tối ưu phi tuyến riêng biệt , chưa có phương pháp tỏ hữu hiệu cho toán tối ưu phi tuyến Do vậy, điểm qua số phương pháp giải BTQHPT có ràng buộc để