Phân tích xấp xỉ khả năng lập lịch của hệ thời gian thực trong trường hợp độ ưu tiên cố định với kỳ hạn không ràng buộc và độ trễ phát hành

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƢỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHỆ PHẠM ĐỨC MẠNH PHÂN TÍCH XẤP XỈ KHẢ NĂNG LẬP LỊCH CỦA HỆ THỜI GIAN THỰC TRONG TRƢỜNG HỢP ĐỘ ƢU TIÊN CỐ ĐỊNH VỚI KỲ HẠN KHÔNG RÀNG BUỘC VÀ ĐỘ TRỄ PHÁT HÀNH LUẬN VĂN THẠC SĨ CÔNG NGHỆ THÔNG TIN Hà Nội - 2013 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƢỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHỆ PHẠM ĐỨC MẠNH PHÂN TÍCH XẤP XỈ KHẢ NĂNG LẬP LỊCH CỦA HỆ THỜI GIAN THỰC TRONG TRƢỜNG HỢP ĐỘ ƢU TIÊN CỐ ĐỊNH VỚI KỲ HẠN KHÔNG RÀNG BUỘC VÀ ĐỘ TRỄ PHÁT HÀNH Ngành: Công nghệ thông tin Chuyên ngành: Công nghệ phần mềm Mã số: 60 48 10 LUẬN VĂN THẠC SĨ CÔNG NGHỆ THÔNG TIN NGƢỜI HƢỚNG DẪN KHOA HỌC: TS NGUYỄN THỊ HUYỀN CHÂU Hà Nội - 2013 MỤC LỤC MỤC LỤC DANH MỤC CÁC TỪ VIẾT TẮT DANH MỤC CÁC BẢNG DANH MỤC CÁC HÌNH VẼ CHƢƠNG ĐẶT VẤN ĐỀ 1.1 Bối cảnh nghiên cứu 1.2 Mục tiêu nghiên cứu 1.3 Cấu trúc luận văn CHƢƠNG CƠ SỞ LÝ THUYẾT 2.1 Mô hình nhiệm vụ hệ thời gian thực 2.1.1 Hệ thống thời gian thực .3 2.1.1.1 Khái niệm 2.1.1.2 Tầm quan trọng hệ thời gian thực 2.1.1.3 Phân loại nhiệm vụ thời gian thực 2.1.2 Các tham số đặc trƣng cho hệ thời gian thực .4 2.2 Các phƣơng pháp kiểm định dựa độ ƣu tiên cố định 2.2.1 Một số khái niệm lập lịch 2.2.1.1 Lập lịch .7 2.2.1.2 Phân loại lập lịch .7 2.2.1.3 Lập lịch dựa độ ƣu tiên cố định 2.2.2 Những kết 2.2.2.1 Bài toán nghiên cứu 2.2.2.2 Hàm Request Bound Function (𝑅𝐵𝐹) .9 2.2.2.3 Hàm Workload Function (𝑊) 10 2.2.2.4 Thời điểm ngặt nghèo (Critical Instant) 11 2.2.2.5 Khoảng bận rộn mức i (level-i busy period) 12 2.2.3 Các phƣơng pháp kiểm định xác hệ có độ ƣu tiên cố định 12 2.2.3.1 Response Time Analysis (RTA) .12 2.2.3.2 Processor Demand Analysis (PDA) 16 CHƢƠNG PHÂN TÍCH XẤP XỈ KHẢ NĂNG LẬP LỊCH CỦA HỆ THỜI GIAN THỰC TRONG TRƢỜNG HỢP ĐỘ ƢU TIÊN CỐ ĐỊNH VỚI KỲ HẠN KHÔNG RÀNG BUỘC VÀ ĐỘ TRỄ PHÁT HÀNH 21 3.1 Một số khái niệm 21 3.2 Các kết ban đầu 24 3.3 Phân tích khả lập lịch hệ thời gian thực sử dụng biểu đồ xấp xỉ 28 3.3.1 Thuật toán: Approx(𝜏, 𝑖, 𝑘) .28 3.3.2 Ví dụ minh họa 31 3.4 Tính đắn thuật toán 33 CHƢƠNG THỰC NGHIỆM VÀ ĐÁNH GIÁ HIỆU QUẢ CỦA BIỂU ĐỒ XẤP XỈ .40 4.1 Phƣơng pháp thực nghiệm .40 4.2 Phƣơng pháp đánh giá 41 4.3 Kết thực nghiệm 41 CHƢƠNG KẾT LUẬN 45 5.1 Xuất xứ toán nghiên cứu 45 5.2 Phƣơng pháp đề xuất kết đạt đƣợc 45 5.3 Hƣớng phát triển tƣơng lai .45 TÀI LIỆU THAM KHẢO 47 DANH MỤC CÁC TỪ VIẾT TẮT RTA Phƣơng pháp phân tích thời gian đáp ứng nhiệm vụ (Response Time Analysis) PDA Phƣơng pháp phân tích lƣợng cơng việc u cầu xử lý thực (Processor Demand Analysis) RBF Hàm lƣợng công việc mà nhiệm vụ yêu cầu CPU thực (Request Bound Function) W Hàm lƣợng công việc mà nhiệm vụ yêu cầu CPU thực (Workload) RM Thuật toán gán độ ƣu tiên dựa vào tỉ lệ yêu cầu nhiệm vụ (Rate Monotonic) DM Thuật toán gán độ ƣu tiên tỉ lệ nghịch với kỳ hạn tƣơng đối nhiệm vụ (Deadline Monotonic) CPU Bộ xử lý trung tâm (Central Processing Unit) DANH MỤC CÁC BẢNG Số hiệu bảng Tên bảng Trang 2.1 Tập nhiệm vụ có độ ƣu tiên cố định 2.2 Tập nhiệm vụ đƣợc kích hoạt từ thời điểm 𝑡 = 2.3 Tập nhiệm vụ với kỳ hạn không ràng buộc 2.4 Hệ với kỳ hạn không ràng buộc độ trễ phát hành 14 3.1 Hệ với kỳ hạn không ràng buộc độ trễ phát hành 31 DANH MỤC CÁC HÌNH VẼ Số hiệu hình vẽ Tên hình vẽ Trang 2.1 Các tham số đặc trƣng nhiệm vụ thời gian thực 𝜏𝑖 2.2 Nhiệm vụ tuần hoàn với độ trễ phát hành 2.3 Chuỗi tác vụ nhiệm vụ tuần hoàn 𝜏𝑖 2.4 Hàm RBF (Request Bound Function) 10 2.5 Hàm W (Workload Function) 11 2.6 Thời điểm ngặt nghèo 12 2.7 Khoảng thời gian bận rộn mức i 12 2.8 Hàm W (Workload Function) phƣơng pháp RTA 13 2.9 Hàm W (Workload Function) phƣơng pháp PDA 17 3.1 Hàm RBF xấp xỉ nhiệm vụ 𝜏𝑖 22 3.2 Hàm tải công việc cho tác vụ 𝜏𝑖,𝑙 23 3.3 Các tác vụ hoàn thành khoảng thời gian nguyên tố 27 3.4 Tác vụ hoàn thành khoảng thời gian nguyên tố 30 3.5 Tác vụ cuối hoàn thành khoảng thời gian nguyên tố 31 4.1 Tỉ lệ chấp nhận SupD thuật toán đề xuất theo số nhiệm vụ hệ 41 4.2 Tỉ lệ chấp nhận SupD thuật toán đề xuất theo hệ số sử dụng CPU 42 4.3 Tỉ lệ chấp nhận SupD thuật toán đề xuất dựa ratioJ 43 4.4 Tỉ lệ chấp nhận SupD thuật toán đề xuất theo số nhiệm vụ hệ k 43 4.5 Tỉ lệ chấp nhận SupD thuật toán đề xuất theo hệ số sử dụng CPU k 44 CHƢƠNG ĐẶT VẤN ĐỀ 1.1 Bối cảnh nghiên cứu Trong năm gần đây, hệ thống thời gian thực đóng vai trị ngày quan trọng nhiều lĩnh vực ứng dụng Hệ thống thời gian thực đƣợc ứng dụng rộng rãi dây chuyền sản xuất tự động, robot, điều khiển lƣu thông, điều khiển thí nghiệm tự động, truyền thơng, điều khiển quân … Với hệ thống này, lƣợng cơng việc cần thực khơng đƣợc dự báo xác, nhiệm vụ sinh thêm thời gian chạy Do mà hệ thống cần có khả giải tình q tải tạm thời Điều đƣợc thực thông qua điều khiển gia nhập có khả định chấp nhận hay từ chối nhiệm vụ nhằm điều tiết lƣợng cơng việc dựa tính tốn khả lập lịch Những tính tốn đòi hỏi phải đủ nhanh chúng đƣợc thực thƣờng xuyên suốt thời gian tồn hệ thống Tồn phƣơng pháp phân tích xác khả lập lịch hệ thống thời gian thực với độ ƣu tiên cố định Response Time Analysis (RTA - [4, 6]) Processor Demand Analysis (PDA - [5, 6]) Mặc dù có độ phức tạp giả đa thức nhƣng phƣơng pháp đƣợc cài đặt hiệu thực tế Tuy nhiên, với hệ mà nhiệm vụ đƣợc sản sinh động, test kiểm định đƣợc gọi liên tiếp với số lƣợng lớn, thuật toán với độ phức tạp giả đa thức trở nên chậm Thay vào đó, hƣớng đến thuật tốn có độ phức tạp đa thức Một số phƣớng pháp biểu đồ xấp xỉ mà luận văn sử dụng Việc sử dụng phƣơng pháp xấp xỉ để phân tích tính khả thi hệ đƣợc trình bày [2] cho trƣờng hợp nhiệm vụ có độ ƣu tiên cố định với kỳ hạn ràng buộc đƣợc mở rộng cho hệ với kỳ hạn không ràng buộc [3] Những kiểm định xấp xỉ chạy thời gian đa thức đƣợc điều khiển tham số xác 𝜀 Trong [10] đƣa phƣơng pháp kiểm định xấp xỉ dựa khái niệm cận thời gian phản ứng cho hệ có độ ƣu tiên cố định với kỳ hạn ràng buộc độ trễ phát hành (release jitters) sau đƣợc chuẩn hóa mở rộng [12, 13] Tiếp đó, [14] trình bày sửa chữa vấn đề kỹ thuật [3], đồng thời đề xuất thuật toán xấp xỉ cải thiện cho hệ với kỳ hạn khơng ràng buộc Nó đƣợc mở rộng để tính tốn cận thời gian phản ứng [11] Nhƣ vậy, chƣa có phƣơng pháp kiểm định xấp xỉ cho hệ có độ ƣu tiên cố định với kỳ hạn không ràng buộc độ trễ phát hành Do đó, luận văn nghiên cứu đề xuất thuật toán kiểm định xấp xỉ cho hệ này, với mức độ xấp xỉ đƣợc tham số hóa, cho phép “co dãn” thuật toán để cân độ xác độ phức tạp thuật tốn 1.2 Mục tiêu nghiên cứu Trong đề tài này, sử dụng phƣơng pháp biểu đồ xấp xỉ để kiểm định khả lập lịch hệ thời gian thực trƣờng hợp độ ƣu tiên cố định với kỳ hạn không ràng buộc độ trễ phát hành Thuật tốn có độ phức tạp đa thức, cung cấp kết “xấp xỉ” khả lập lịch nhiệm vụ hệ thống Thêm vào đó, luận văn đƣa hàm RBF xấp xỉ thay để cải thiện thuật toán xấp xỉ đƣợc trình bày [14] Cuối cùng, luận văn trình bày kết thực nghiệm để đánh giá hiệu biểu đồ xấp xỉ so với phƣơng pháp kiểm định đƣợc biết đến khác 1.3 Cấu trúc luận văn Trong phần luận văn, tơi trình bày nội dung sau: Chƣơng trình bày sở lý thuyết đề tài Chƣơng đề cập đến mơ hình nhiệm vụ hệ thời gian thực Tiếp đến, mô tả phƣơng pháp kiểm định xác cho hệ có độ ƣu tiên cố định Trong phƣơng pháp, luận văn đƣa ý tƣởng, thuật tốn ví dụ minh họa cụ thể Chƣơng đƣa phƣơng pháp phân tích khả lập lịch hệ thời gian thực có độ ƣu tiên cố định với kỳ hạn không ràng buộc độ trễ phát hành sử dụng biểu đồ xấp xỉ Trong chƣơng này, luận văn đề xuất hàm RBF xấp xỉ để cải thiện chất lƣợng thuật tốn Phần cuối chƣơng, tơi trình bày ví dụ minh họa nhƣ phân tích tính đắn phƣơng pháp mà luận văn đề xuất Chƣơng trình bày kết thực nghiệm để đánh giá hiệu biểu đồ xấp xỉ so với phƣơng pháp kiểm định đƣợc biết đến khác Chƣơng tóm tắt kết đạt đƣợc nhƣ hƣớng phát triển tƣơng lại CHƢƠNG CƠ SỞ LÝ THUYẾT 2.1 Mơ hình nhiệm vụ hệ thời gian thực 2.1.1 Hệ thống thời gian thực 2.1.1.1 Khái niệm Hệ thống thời gian thực hệ thống máy tính có khả phản ứng xác kịp thời với kiện môi trƣờng Một phản ứng xảy muộn vơ ích gây nguy hiểm cho hệ thống Nhƣ vậy, hệ thời gian thực đƣợc hiểu nhƣ mơ hình xử lý mà tính đắn khơng phụ thuộc vào xác kết mà phụ thuộc vào thời điểm đƣa kết Hệ thống bị cho có lỗi yêu cầu thời gian không đƣợc đáp ứng 2.1.1.2 Tầm quan trọng hệ thời gian thực Ngày nay, hệ thống thời gian thực đóng vai trị quan trọng xã hội ngày có nhiều hệ thống phức tạp dựa phần hoàn tồn vào điều khiển máy tính Những ứng dụng thời gian thực đƣợc sử dụng rộng rãi nhiều lĩnh vực nhƣ: tự động hóa cơng nghiệp, robot, kiểm sốt tiến trình (điều khiển nhà máy hạt nhân, hệ thống chuyển mạch đƣờng sắt, hệ thống kiểm soát bay), y tế, quân viễn thông … Một vấn đề thu hút quan tâm giới khoa học nghiên cứu thời gian thực điều hành thời gian thực lập lịch tầm quan trọng Đa số vụ tai nạn xảy nhà máy điện hạt nhân, hệ thống phòng thủ thƣờng lỗi phần mềm hệ thống điều khiển Một lỗi xảy trình lập lịch thảm họa, gây thiệt hại lớn kinh tế chí gây hậu thảm khốc, bao gồm mát ngƣời 2.1.1.3 Phân loại nhiệm vụ thời gian thực Ở cấp độ xử lý, khác biệt nhiệm vụ thời gian thực nhiệm vụ thời gian thực nhiệm vụ thời gian thực đƣợc đặc trƣng kỳ hạn (deadline) Đó khoảng thời gian tối đa mà nhiệm vụ phải hoàn thành Tùy thuộc vào hậu xảy kỳ hạn bị lỗi, nhiệm vụ thời gian thực đƣợc phân thành loại sau: - Nhiệm vụ thời gian thực cứng (Hard real-time task): nhiệm vụ phải đƣợc thực thi khoảng thời gian xác định Sự sai sót kỳ hạn làm sụp đổ hệ thống gây hậu nghiêm trọng Một ví dụ cho loại hệ thống điều khiển không lƣu Việc phân phối đƣờng bay, thời gian cất cánh, hạ cánh không hợp lý gây tai nạn thảm khốc 34 - τ𝑖,𝑙𝑎𝑠𝑡 _𝑎𝑐𝑡𝑖𝑣𝑒 𝑎 tác vụ cuối τ𝑖 hoàn thành khoảng (0, 𝑡𝑎 ] - ∀𝑙 ≤ 𝑙𝑎𝑠𝑡_𝑎𝑐𝑡𝑖𝑣𝑒𝑎 , 𝑅𝑖,𝑙 > 𝑟𝑖,𝑙+1 Tôi chứng minh phát biểu phƣơng pháp quy nạp + Bƣớc 1: t = last_active0 = (giá trị khởi tạo trƣớc vịng lặp) Do khơng có tác vụ hồn thành trƣớc thời điểm t , phát biểu + Bƣớc 2: giả sử phát biểu từ vòng lặp vòng lặp thứ 𝑎 − 1, tơi chứng minh cho vịng lặp thứ a Theo bổ đề 2, ∀𝑙 ∈ 𝑁, 𝑙 > 𝐼𝑖 𝑡𝑎 𝑡ℎì 𝑊𝑖,𝑙 𝑡𝑎 > 𝑡𝑎 Tƣơng tự, 𝑙𝑎𝑠𝑡_𝑎𝑐𝑡𝑖𝑣𝑒𝑎−1 số tác vụ cuối hoàn thành khoảng (0, 𝑡𝑎−1 ] ⟹ ∀𝑙 ∈ 𝑁, 𝑙 > 𝑙𝑎𝑠𝑡_𝑎𝑐𝑡𝑖𝑣𝑒𝑎−1 , ∀𝑡 ≤ 𝑡𝑎−1 𝑊𝑖,𝑙 𝑡 > 𝑡 Theo Approx, 𝑙𝑎𝑠𝑡_𝑎𝑐𝑡𝑖𝑣𝑒𝑎 = 𝑚𝑎𝑥 𝑙𝑎𝑠𝑡_𝑎𝑐𝑡𝑖𝑣𝑒𝑎−1 , 𝐼𝑖 𝑡𝑎 (a) (b) Từ (a) (b), mặt khác 𝑊𝑖,𝑙 𝑡 lại hàm tuyến tính khơng giảm ⟹ ∀𝑙 > 𝑙𝑎𝑠𝑡_𝑎𝑐𝑡𝑖𝑣𝑒𝑎 , ∀𝑡 ≤ 𝑡𝑎 , 𝑊𝑖,𝑙 𝑡 > 𝑡 Điều chứng tỏ tác vụ sau τ𝑖,𝑙𝑎𝑠𝑡 _𝑎𝑐𝑡𝑖𝑣𝑒 𝑎 khơng hồn thành trƣớc 𝑡𝑎 (1) Trƣờng hợp 1: 𝐼𝑖 𝑡𝑎 ≤ 𝑙𝑎𝑠𝑡_𝑎𝑐𝑡𝑖𝑣𝑒𝑎−1 ⟹ 𝑙𝑎𝑠𝑡_𝑎𝑐𝑡𝑖𝑣𝑒𝑎 = 𝑙𝑎𝑠𝑡_𝑎𝑐𝑡𝑖𝑣𝑒𝑎−1 ⟹ phát biểu đƣợc chứng minh Trƣờng hợp 2: 𝐼𝑖 𝑡𝑎 > 𝑙𝑎𝑠𝑡_𝑎𝑐𝑡𝑖𝑣𝑒𝑎−1 ⟹ 𝑚𝑖𝑛𝑎 = 𝑙𝑎𝑠𝑡_𝑎𝑐𝑡𝑖𝑣𝑒𝑎−1 + 1; 𝑚𝑎𝑥𝑎 = 𝑙𝑎𝑠𝑡_𝑎𝑐𝑡𝑖𝑣𝑒𝑎 = 𝐼𝑖 𝑡𝑎 Theo giả thiết, τ𝑖,𝑙𝑎𝑠𝑡 _𝑎𝑐𝑡𝑖𝑣𝑒 𝑎 −1 tác vụ cuối hoàn thành 𝑡𝑎−1 ⟹ ∀𝑙 ∈ 𝑚𝑖𝑛𝑎 , 𝑚𝑎𝑥𝑎 , ∀𝑡 ≤ 𝑡𝑎−1 , 𝑊𝑖,𝑙 𝑡 > 𝑡 (c) Mặt khác, theo bổ đề 2, ∀𝑙 ∈ 𝑚𝑖𝑛𝑎 , 𝑚𝑎𝑥𝑎 , 𝑊𝑖,𝑙 𝑡𝑎 ≤ 𝑡𝑎 (d) Từ (c) (d) ⟹ ∀𝑙 ∈ 𝑚𝑖𝑛𝑎 , 𝑚𝑎𝑥𝑎 , ∃! 𝑡𝑖,𝑙 ∈ 𝑡𝑎−1 , 𝑡𝑎 để 𝑊𝑖,𝑙 𝑡𝑖,𝑙 = 𝑡𝑖,𝑙 Nhƣ vậy, ∀𝑙 ∈ 𝑚𝑖𝑛𝑎 , 𝑚𝑎𝑥𝑎 tồn 𝑡𝑖,𝑙 giao điểm hàm 𝑊𝑖,𝑙 𝑡 đƣờng 𝑦 = 𝑡 mà 𝜏𝑖,𝑙 hồn thành nhiệm vụ, giao điểm 𝑅𝑖,𝑙 ⟹ ∀𝑙 ∈ 𝑚𝑖𝑛𝑎 , 𝑚𝑎𝑥𝑎 , τ𝑖,𝑙 hoàn thành khoảng 𝑡𝑎−1 , 𝑡𝑎 (2) Từ (1), (2), mặt khác 𝑚𝑎𝑥𝑎 = 𝑙𝑎𝑠𝑡_𝑎𝑐𝑡𝑖𝑣𝑒𝑎 ⟹ τ𝑖,𝑙𝑎𝑠𝑡 _𝑎𝑐𝑡𝑖𝑣𝑒 𝑎 tác vụ cuối hoàn thành trƣớc thời điểm 𝑡𝑎 (Phát biểu đƣợc chứng minh) (3) Theo giả thiết, Approx chƣa trả f ⟹ thuật toán chƣa trả false Do đó, ta có: 𝑊𝑖,𝑚𝑎𝑥 𝑎 𝑟𝑖,𝑚𝑎𝑥 𝑎 +1 > 𝑟𝑖,𝑚𝑎𝑥 𝑎 +1 (𝑟𝑖,𝑚𝑎𝑥 𝑎 +1 < 𝑡𝑎 ) ⟹ 𝑅𝑖,𝑚𝑎𝑥 𝑎 > 𝑟𝑖,𝑚𝑎𝑥 𝑎 +1 Theo hệ ⟹ ∀𝑙 ∈ 𝑚𝑖𝑛𝑎 , 𝑚𝑎𝑥𝑎 , 𝑅𝑖,𝑙 > 𝑟𝑖,𝑙+1 (e) 35 Ngoài ra, theo giả thiết đệ quy ta có: ∀𝑙 ≤ 𝑙𝑎𝑠𝑡_𝑎𝑐𝑡𝑖𝑣𝑒𝑎−1 , 𝑅𝑖,𝑙 > 𝑟𝑖,𝑙+1 Mà 𝑚𝑖𝑛𝑎 = 𝑙𝑎𝑠𝑡_𝑎𝑐𝑡𝑖𝑣𝑒𝑎−1 ⟹ ∀𝑙 ≤ 𝑚𝑖𝑛𝑎 , 𝑅𝑖,𝑙 > 𝑟𝑖,𝑙+1 (f) Từ (e) (f) ⟹∀𝑙 ≤ 𝑚𝑎𝑥𝑎 , 𝑅𝑖,𝑙 > 𝑟𝑖,𝑙+1 (Phát biểu đƣợc chứng minh chứng minh) (4) Từ (3) (4) ⟹Bổ đề đƣợc chứng minh Tiếp theo, chứng minh tính đắn thuật tốn ngữ cảnh xấp xỉ thơng qua định lí sau: Định lý 3: Thuật toán Approx(𝝉, 𝒊, 𝒌) kết luận 𝜏𝑖 lập lịch đƣợc khi: ∀ 𝑙 ≤ 𝑁𝑖 𝑙 > , ∃𝑡 ∈ 𝑟𝑖,𝑙 , 𝑑𝑖,𝑙 , 𝑊𝑖,𝑙 (𝑡) ≤ 𝑡 Thuật toán Approx(𝝉, 𝒊, 𝒌) kết luận 𝜏𝑖 không lập lịch đƣợc ∃𝑙 ≤ 𝑁𝑖 𝑙 > , ∀𝑡 ∈ 𝑟𝑖,𝑙 , 𝑑𝑖,𝑙 , 𝑊𝑖,𝑙 𝑡 > 𝑡 Chứng minh: Chúng ta xét trƣờng hợp: Trƣờng hợp 1: Thuật toán return vịng lặp foreach chƣa cần tính số h lệnh sau vòng foreach Giả sử thuật tốn đƣa kết luận vịng lặp thứ a, ⟹ 𝐼𝑖 𝑡𝑎 > 𝑙𝑎𝑠𝑡_𝑎𝑐𝑡𝑖𝑣𝑒𝑎 , nghĩa có tác vụ hoàn thành khoảng (𝑡𝑎−1 , 𝑡𝑎 ] Gọi tác vụ hoàn thành tác vụ hoàn thành cuối khoảng lần lƣợt 𝑚𝑖𝑛𝑎 𝑚𝑎𝑥𝑎 - Nếu thuật toán kết luận 𝜏𝑖 lập lịch đƣợc 𝑊𝑖,𝑚𝑖𝑛 𝑎 𝑑𝑖,𝑚𝑖𝑛 𝑎 ≤ 𝑑𝑖,𝑚𝑖𝑛 𝑎 𝑑𝑖,𝑚𝑖𝑛 𝑎 > 𝑡𝑎−1 ⟹ 𝑅𝑖,𝑚𝑖𝑛 𝑎 ≤ 𝑑𝑖,𝑚𝑖𝑛 𝑎 ⇔ ∀𝑙 ∈ 𝑚𝑖𝑛𝑎 , 𝑚𝑎𝑥𝑎 𝑅𝑖,𝑙 ≤ 𝑑𝑖,𝑙 (Hệ 1) Từ định nghĩa 𝑁𝑖 , ta có 𝑚𝑖𝑛𝑎 ≤ 𝑁𝑖 ≤ 𝑚𝑎𝑥𝑎 ⟹ ∀𝑙 ∈ 𝑚𝑖𝑛𝑎 , 𝑁𝑖 𝑡ℎì 𝑅𝑖,𝑙 ≤ 𝑑𝑖,𝑙 ⟹ ∀𝑙 ∈ 𝑚𝑖𝑛𝑎 , 𝑁𝑖 , ∃𝑡 ∈ 𝑟𝑖,𝑙 , 𝑑𝑖,𝑙 , 𝑊𝑖,𝑙 (𝑡) ≤ 𝑡 (a) Mặt khác, 𝑚𝑖𝑛𝑎 − số tác vụ cuối hoàn thành thời điểm 𝑡𝑎−1 , theo bổ đề ta có ∀𝑙 ≤ 𝑚𝑖𝑛𝑎 − 1, ∀𝑡 ≤ 𝑡𝑎−1 , 𝑊𝑖,𝑙 (𝑡) ≤ 𝑡 (b) Từ (a) (b) ⟹ ∀𝑙 ≤ 𝑁𝑖 , ∃𝑡 ∈ 𝑟𝑖,𝑙 , 𝑑𝑖,𝑙 , 𝑊𝑖,𝑙 (𝑡) ≤ 𝑡 - Nếu thuật tốn kết luận 𝜏𝑖 khơng lập lịch đƣợc 𝑊𝑖,𝑚𝑖𝑛 𝑎 𝑑𝑖,𝑚𝑖𝑛 𝑎 > 𝑑𝑖,𝑚𝑖𝑛 𝑎 𝑑𝑖,𝑚𝑖𝑛 𝑎 ≤ 𝑡𝑎−1 Trong trƣờng hợp, 𝑅𝑖,𝑚𝑖𝑛 𝑎 > 𝑑𝑖,𝑚𝑖𝑛 𝑎 ⟹ ∃𝑙 ≤ 𝑁𝑖 𝑙 > , ∀𝑡 ∈ 𝑟𝑖,𝑙 , 𝑑𝑖,𝑙 , 𝑊𝑖,𝑙 𝑡 > 𝑡 Nhƣ vậy, định lý đƣợc chứng minh trƣờng hợp (1) Trƣờng hợp 2: Sau vịng lặp foreach, thuật tốn chƣa trả kết Nhƣ vậy, 𝑙𝑎𝑠𝑡_𝑎𝑐𝑡𝑖𝑣𝑒 số tác vụ cuối hồn thành giai đoạn trƣớc ℎ = 𝑙𝑎𝑠𝑡_𝑎𝑐𝑡𝑖𝑣𝑒 + số tác vụ hoàn thành giai đoạn 36 Vì khoảng bận rộn chƣa kết thúc nên ta có 𝑙𝑎𝑠𝑡_𝑎𝑐𝑡𝑖𝑣𝑒 < 𝑁𝑖 ⇔ ℎ ≤ 𝑁𝑖 - Nếu thuật tốn kết luận 𝜏𝑖 lập lịch đƣợc 𝑊𝑖,ℎ 𝑑𝑖,ℎ ≤ 𝑑𝑖,ℎ 𝑑𝑖,ℎ > 𝑡𝑚𝑎𝑥 ⟹ 𝑅𝑖,ℎ ≤ 𝑑𝑖,ℎ Vì ℎ ≤ 𝑁𝑖 nên theo định lý ta có ∀𝑙 ∈ ℎ, 𝑁𝑖 𝑡ℎì 𝑅𝑖,𝑙 ≤ 𝑑𝑖,𝑙 ⟹ ∀ 𝑙 ∈ ℎ, 𝑁𝑖 : ∃𝑡 ∈ 𝑟𝑖,𝑙 , 𝑑𝑖,𝑙 , 𝑊𝑖,𝑙 (𝑡) ≤ 𝑡 (c) Mặt khác, 𝑙𝑎𝑠𝑡_𝑎𝑐𝑡𝑖𝑣𝑒 số tác vụ cuối hồn thành giai đoạn 1, theo bổ đề ta có ∀𝑙 ≤ 𝑙𝑎𝑠𝑡_𝑎𝑐𝑡𝑖𝑣𝑒, ∀𝑡 ≤ 𝑡𝑚𝑎𝑥 𝑡ℎì 𝑊𝑖,𝑙 (𝑡) ≤ 𝑡 ⟹ ∀ 𝑙 ≤ ℎ − 1: ∃𝑡 ∈ 𝑟𝑖,𝑙 , 𝑑𝑖,𝑙 , 𝑊𝑖,𝑙 (𝑡) ≤ 𝑡 (d) Từ (c) (d)⟹ ∀ 𝑙 ≤ 𝑁𝑖 ∶ ∃𝑡 ∈ 𝑟𝑖,𝑙 , 𝑑𝑖,𝑙 , 𝑊𝑖,𝑙 (𝑡) ≤ 𝑡 (điều phải chứng minh) - Nếu thuật tốn kết luận 𝜏𝑖 khơng lập lịch đƣợc 𝑊𝑖,ℎ 𝑑𝑖,ℎ > 𝑑𝑖,ℎ ⟹ 𝑅𝑖,ℎ > 𝑑𝑖,ℎ , nghĩa giao điểm 𝑅𝑖,ℎ nằm sau kỳ hạn 𝑑𝑖,ℎ ⟹ ∃𝑙 ≤ 𝑁𝑖 𝑙 > , ∀𝑡 ∈ 𝑟𝑖,𝑙 , 𝑑𝑖,𝑙 , 𝑊𝑖,𝑙 𝑡 > 𝑡 Nhƣ vậy, định lý đƣợc chứng minh trƣờng hợp Từ (1) (2) ⟹ Định lý đƣợc chứng minh Bổ đề : ∀𝑡 ∈ 𝑁, 𝑅𝐵𝐹 τ𝑖 , 𝑡 ≤ 𝑅𝐵𝐹 (τ𝑖 , 𝑡) (2) Chứng minh: - Trƣờng hợp 1: ∀𝑡 ∈ 𝑁, 𝑡 ≤ 𝑘 − 𝑇𝑖 − 𝐽𝑖 𝑅𝐵𝐹 τ𝑖 , 𝑡 = 𝑅𝐵𝐹 τ𝑖 , 𝑡 Trƣờng hợp 2: ∀𝑡 ∈ 𝑁, 𝑡 > 𝑘 − 𝑇𝑖 − 𝐽𝑖 Trƣớc tiên chứng minh đẳng thức sau đây: ∀𝑡 ∈ 𝑁, 𝑡+𝐽 𝑖 𝑇𝑖 = 𝑡+𝑇𝑖 +𝐽 𝑖 −1 𝑇𝑖 (1) (2) Để chứng minh đẳng thức (2), sử dụng quy tắc bất đẳng thức sau: ∀𝑥, 𝑦, 𝑧 số nguyên 𝑥 = 𝑦 ∀𝑧, 𝑧 ≤ 𝑥 ⇔ 𝑧 ≤ 𝑦 Gọi z số nguyên tùy ý thỏa mãn 𝑧 ≤ Ta có 𝑡+𝐽 𝑖 ⟹𝑧< 𝑇𝑖 𝑡+𝐽 𝑖 𝑇𝑖 < 𝑡+𝐽 𝑖 𝑇𝑖 𝑡+𝐽 𝑖 𝑇𝑖 +1 +1⟹𝑧< 𝑡+𝑇𝑖 +𝐽 𝑖 ⟹ 𝑧𝑇𝑖 < 𝑡 + 𝑇𝑖 + 𝐽𝑖 𝑇𝑖 Vì 𝑧𝑇𝑖 𝑡 + 𝑇𝑖 + 𝐽𝑖 số nguyên ⟹ 𝑧𝑇𝑖 ≤ 𝑡 + 𝑇𝑖 + 𝐽𝑖 − ⟹ 𝑧 ≤ 𝑡+𝑇𝑖 +𝐽 𝑖 −1 Vì z số nguyên ⟹ 𝑧 ≤ 𝑡+𝑇𝑖 +𝐽 𝑖 −1 Xét số nguyên tùy ý 𝑧 ≤ Ta có ⟹ 𝑡+𝑇𝑖 +𝐽 𝑖 −1 𝑇𝑖 𝑡+𝑇𝑖 +𝐽 𝑖 −1 𝑇𝑖 < ≤ 𝑇𝑖 𝑇𝑖 𝑡+𝑇𝑖 +𝐽 𝑖 −1 𝑇𝑖 𝑡+𝑇𝑖 +𝐽 𝑖 𝑇𝑖 Vì z số nguyên 𝑧 ≤ = 𝑡+𝐽 𝑖 𝑇𝑖 < 𝑡+𝐽 𝑖 𝑇𝑖 ≤ 𝑡+𝑇𝑖 +𝐽 𝑖 −1 𝑇𝑖 (3) 𝑡+𝑇𝑖 +𝐽 𝑖 𝑇𝑖 +1⟹𝑧 < 𝑡+𝐽 𝑖 𝑇𝑖 ⟹𝑧≤ 𝑡+𝐽 𝑖 𝑇𝑖 𝑡+𝐽 𝑖 𝑇𝑖 + Từ (3) (4) ⟹ Đẳng thức (2) đƣợc chứng minh (4) 37 𝑡 + 𝐽𝑖 𝑡 + 𝑇𝑖 + 𝐽𝑖 − 𝑡 + 𝑇𝑖 + 𝐽𝑖 − 𝐶𝑖 = 𝐶𝑖 ≤ 𝐶𝑖 𝑇𝑖 𝑇𝑖 𝑇𝑖 ⟹ 𝑅𝐵𝐹 τ𝑖 , 𝑡 ≤ 𝑅𝐵𝐹 (τ𝑖 , 𝑡) Từ (1) (5) ⟹ Bổ đề đƣợc chứng minh ⟹ (5) Bổ đề 5: ∀𝑡, 𝑖, 𝑙 ∈ 𝑁, 𝑊𝑖,𝑙 𝑡 ≤ 𝑊𝑖,𝑙 (𝑡) Chứng minh: Từ Bổ đề 4, ta có ∀𝑗, 𝑙, 𝑡 ∈ 𝑁, 𝑅𝐵𝐹 τ𝑗 , 𝑡 ≤ 𝑅𝐵𝐹 (τ𝑗 , 𝑡) ⟹ ∀𝑖, 𝑙, 𝑡 ∈ 𝑁, 𝑅𝐵𝐹 τ𝑗 , 𝑡 ≤ 𝑗 ⟹ 𝑅𝐵𝐹 τ𝑖 , 𝑡 ≥ 𝑘𝐶𝑖 ⇔ 𝐶𝑖 ≤ 𝑅𝐵𝐹 τ 𝑖 ,𝑡 𝑘 (2) Ta có 𝑅𝐵𝐹 τ𝑖 , 𝑡 − 𝑅𝐵𝐹 τ𝑖 , 𝑡 = 𝑡 + 𝐽𝑖 + 𝑇𝑖 − Vì 𝑡+𝐽 𝑖 𝑇𝑖 𝐶𝑖 ≥ 𝑡+𝐽 𝑖 𝑇𝑖 𝐶𝑖 ⟹ − 𝑡+𝐽 𝑖 𝑇𝑖 𝐶𝑖 ≤ − 𝑡+𝐽 𝑖 𝑇𝑖 𝐶𝑖 𝑇𝑖 − 𝑡+𝐽 𝑖 𝑇𝑖 𝐶𝑖 𝐶𝑖 ⟹ 𝑅𝐵𝐹 τ𝑖 , 𝑡 − 𝑅𝐵𝐹 τ𝑖 , 𝑡 ≤ 𝑡 + 𝐽𝑖 + 𝑇𝑖 − 𝑡 + 𝐽𝑖 𝐶𝑖 − 𝐶𝑖 𝑇𝑖 𝑇𝑖 ⟹ 𝑅𝐵𝐹 τ𝑖 , 𝑡 − 𝑅𝐵𝐹 τ𝑖 , 𝑡 ≤ 𝑇𝑖 − 𝐶𝑖 < 𝐶𝑖 𝑇𝑖 ⟹ 𝑅𝐵𝐹 τ𝑖 , 𝑡 − 𝑅𝐵𝐹 τ𝑖 , 𝑡 < 𝐶𝑖 ⇔ 𝑅𝐵𝐹 τ𝑖 , 𝑡 < 𝑅𝐵𝐹 τ𝑖 , 𝑡 + 𝐶𝑖 Từ (2) ⟹ 𝑅𝐵𝐹 τ𝑖 , 𝑡 < 𝑅𝐵𝐹 τ𝑖 , 𝑡 + 𝑅𝐵𝐹 τ 𝑖 ,𝑡 𝑘 38 ⇔ 𝑅𝐵𝐹 τ𝑖 , 𝑡 < 𝑘+1 𝑘 𝑅𝐵𝐹 τ𝑖 , 𝑡 (3) Từ (1) (3) ⟹ ∀𝑡, 𝑅𝐵𝐹 τ𝑖 , 𝑡 < Bổ đề 7: ∀𝑡, 𝑖, 𝑙, 𝑊𝑖,𝑙 𝑡 < 𝑘+1 𝑘 𝑘+1 𝑘 𝑅𝐵𝐹(τ𝑖 , 𝑡) (Bổ đề đƣợc chứng minh) 𝑊𝑖,𝑙 (𝑡) Chứng minh: Từ bổ đề 6, ta có ∀𝑡, 𝑗, 𝑙, 𝑅𝐵𝐹 τ𝑗 , 𝑡 < ⟹ 𝑅𝐵𝐹 (τ𝑗 , 𝑡) < 𝑗