Tìm cực tiểu của hàm số
vớix ∈ D =nx ∈ R2 : (x1−3)2+ (x2−2)2−9≤0,−x1+ (x2−2)2+1≤0o. Bài toán này cón=2biến,m=2ràng buộc và
g1(x)≡ g1(x1,x2) = (x1−3)2+ (x2−2)2 ≥0, g2(x)≡ g2(x1,x2) = −x1+ (x2−2)2+1 ≤0.
Ta thấy rằng đây là bài toán quy hoạch lồi với hàm mục tiêu tuyến tính. Ta giải bài toán theo phương pháp đã trình bày ở trên. Trước tiên tính
∇g1(x) = (2x1−6; 2x2−4)T,∇g2(x) = (−1; 2x2−4)T.
Bước 1. Xây dựng đa diện ban đầuD1 ⊃D. Chọn ba điểm(p=3) :
x1= (2; 0)T,x2 = (2; 4)T vàx3= (6; 2)T. Ta xét lần lượt từng điểm 1. Vớix1 = (2; 0)T. Tính • ∇g1(x1) = (−2;−4)T,∇g2(x1) = (−1;−4)T. • g1(x1) =−4,g2(x1) =3. • h11 =∇g1(x1)(x−x1) +g1(x1) =2(−x1−2x2) ≤g1(x)≤0. • h12 =∇g2(x1)(x−x1) +g2(x1) =−x1−4x2+5 ≤g2(x) ≤0. 2. Vớix2 = (2; 4)T. Tính • ∇g1(x2) = (−2; 4)T,∇g2(x2) = (−1; 4)T. • g1(x2) =−4,g2(x2) =3. • h21 =∇g1(x2)(x−x2) +g1(x2) =2(−x1+2x2−8) ≤g1(x)≤0. • h22 =∇g2(x2)(x−x2) +g2(x2) =−x1+4x2−11 ≤g2(x) ≤0. 3. Vớix3 = (6; 2)T. Tính • ∇g1(x3) = (6; 0)T,∇g2(x3) = (−1; 0)T. • g1(x3) =0,g2(x3) = −5.
• h31 =∇g1(x3)(x−x3) +g1(x3) =6(x1−6) ≤g1(x)≤0.
• h32 =∇g2(x3)(x−x3) +g2(x3) =−x1+1 ≤g2(x) ≤0.
Đa diện lồiD1⊃ Dđược xác định bởi
D1≡nx ∈ R2 : hk,i(x) ≤0,k =1, 2, 3;i=1, 2o.
Hai ràng buộch11(x)vàh21là thừa. Do đó đa diệnD1được xác định D1 ≡nx ∈ R2 : x1+4x2≥5,−x1+4x2 ≤11, 1≤x1≤6o.
Bước 2. Bước lặpk=1, 2, ...
Bước lặp 1. Lần lượt theo trình tự sau 1. Giải quy hoạch tuyến tính(CTD1)
f(x) = x1+2x2→min,
với điều kiện
x1+4x2 ≥5, x1+4x2 ≤11, x1 ≤6, x1 ≥1.
nghiệm tối ưu của bài toánCTD1là x4 = (1, 1)T và f(x4) =3.
2. Do g1(x4) = −4vàg2(x4) = 1 > 0nên I1 = {2} và ta thực hiên bước tiếp theo.
3. Ta có∇g2(x4) = (−1,−2)T,
∇g2(x4)(x−x4) +g2(x4) = −(x1−1)−2(x2−1) +1 =−x1−2x2+4.
Đặt
D2 =D1∩nx∈ R2: ∇g2(x4)(x−x4) +g2(x4)≤0o =D1∩nx∈ R2: x1+x2≥4o.
Bước lặp 2. Tương tự như bước lặp1
1. Giải bài toán quy hoạch tuyến tính(CTD2)
min{f(x) =x1+2x2: x∈ D2}.
Nghiệm tối ưu bài toán(LP2)vàx5= (3;1 2)
T, f(x5) = 4.
2. Do g1(x5) = −6, 75vàg2(x5) = 0, 25 > 0 nên I2 = {2} và ta thực hiện bước tiếp theo.
3. Ta có∇g2(x5) = (−1,−4)T,
∇g2(x5)(x−x5) +g2(x5) = −x1−4x2+6, 75.
4. Đặt
D3 =D2∩nx∈ R2: ∇g2(x5)(x−x5) +g2(x5)≤0o
=D2∩nx∈ R2: x1+4x2≥6, 75o.
Đặt lại giá trịk:=k+1=3và chuyển sang bước lặpk=3.
Bước lặp 3. Lặp lại tính toán như bước2ta có 1. Giải bài toán quy hoạch tuyến tính(CTD3)
min{f(x) =x1+2x2: x∈ D3}.
Nghiệm tối ưu bài toán(LP3)vàx6= (2, 5; 0, 75)T, f(x6) =4.
2. Do g1(x6) = −7, 1875vàg2(x6) = 0, 0625 > 0nên I2 = {2} và ta thực hiện bước tiếp theo.
3. Ta có∇g2(x6) = (−1,−2, 5)T,
∇g2(x6)(x−x5) +g2(x6) = −(x1−2, 5)−2, 5(x2−0, 75) +0, 0625
4. Đặt
D4 =D3∩nx∈ R2: ∇g2(x6)(x−x6) +g2(x6)≤0o
=D2∩nx∈ R2: x1+x2≥4, 4375o.
Đặt lại giá trịk:=k+1=4và chuyển sang bước lặpk=4.
Lời giải của bài toán ở ví dụ trên là điểm (2, 1)T và fmin = 4. Thực tế, ta có thể dừng ở bước lặp thứ 2 bởi vì thuật toán đã tìm được giá trị tối ưu là bằng
4, nhưng phải qua rất nhiều bước nữa ta mới có điểm tối ưu xấp xỉ(2, 1)T (ta sẽ theo dõi ở bảng kết quả sau khi chạy thuật toán trên máy để rõ hơn).