Về sự tồn tại nghiệm của bài toán quy hoạch ngẫu nhiên với ràng buộc cân bằng

Mục lục trang Mở đầu .5 Chương Kiến thức sở 1.1 Một số kiến thức giải tích lồi 1.1.1 Nón lồi 1.1.2 Hàm lồi 1.1.3 Tính chất 1.2 Bất đẳng thức biến phân toán quy hoạch 10 1.2.1 Bất đẳng thức biến phân 10 1.2.2 Nón bất đẳng thức biến phân toán quy hoạch 11 1.3 Một số kiến thức sở lý thuyết xác suất 13 1.3.1 Đại lượng ngẫu nhiên 13 1.3.2 Các đặc trưng đại lượng ngẫu nhiên 15 1.4 Bài tốn quy hoạch tuyến tính ngẫu nhiên 16 1.4.1 Bài toán 16 1.4.2 Tính chất 19 Chương Sự tồn nghiệm lớp toán quy hoạch ngẫu nhiên với ràng buộc cân 21 2.1 Bất đẳng thức biến phân ngẫu nhiên 21 2.1.1 Một số ký hiệu 21 2.1.2 Khái niệm tính chất bất đẳng thức biến phân ngẫu nhiên 23 2.2 Bài toán quy hoạch ngẫu nhiên với ràng buộc cân 24 2.2.1 Bài toán (SM P EC) 24 2.2.2 Sự tồn phương án tối ưu toán (SM P ECΩ ) 25 2.3 Một số trường hợp đặc biệt 29 2.3.1 Về toán ưu cáp treo 29 2.3.2 Về toán ưu với hàm phạt khơng xác 29 Kết luận 36 Tài liệu tham khảo 37 Mở đầu Bài toán sau gọi toán quy hoạch với ràng buộc cân bằng: min{f (x, y)}, (x,y) với điều kiện x ∈ X ⊂ Rn , −F (x, y) ∈ NC (y), f : Rn × Rm → R, y ∈ Rm , C ⊂ Rm tập lồi đa diện, F (x, y) bất đẳng thức biến phân thuộc tập nón pháp tuyến (nón chuẩn) NC (y) sinh C, đỉnh y Bài tốn bất đẳng thức biến phân nói chung toán quy hoạch với ràng buộc cân nói riêng, có nhiều ứng dụng thực tế Chẳng hạn tốn "Thiết kế mạng giao thơng", "Tối ưu việc chẩn đoán điều trị bệnh" (xem [6]), "Kinh doanh chứng khoán", Ngày nay, nhiều nhà khoa học nước giới quan tâm lớp toán "cân bằng" Chẳng hạn, nước có nhóm xêmina Giáo sư Phan Quốc Khánh TP Hồ Chí Minh, ngồi nước có tác giả M Patriksson and L Wynter, (1999); A Shapiro, (2006); C Cromvik and M Patriksson (2010) Ràng buộc cân gắn liền với ứng dụng bất đẳng thức biến phân thực đề tài luận văn "Một lớp bất đẳng thức biến phân toán quy hoạch ngẫu nhiên ứng dụng" tác giả Ngô Quang Anh [1] Khi tiếp cận với báo tác giả A Evgrafov M Patriksson, (2004) [7], chúng tơi thấy có nhiều điều thú vị Vì chúng tơi mạnh dạn lựa chọn đề tài "Về tồn nghiệm toán quy hoạch ngẫu nhiên với ràng buộc cân bằng" Nội dung luận văn chia làm chương Chương Kiến thức sở Trong chương chúng tơi trình bày khái niệm giải tích lồi; bất đẳng thức biến phân; số vấn đề lý thuyết xác suất Ngoài ra, chúng tơi trình bày thêm số khái niệm kiến thức liên quan toán quy hoạch tuyến tính ngẫu nhiên nhằm phục vụ việc nghiên cứu đề tài Chương Sự tồn nghiệm lớp toán quy hoạch với ràng buộc cân Đây nội dung Luận văn Trong chương này, chúng tơi trình bày lớp toán quy hoạch ngẫu nhiên, với ràng buộc cân Trên sở nghiên cứu tồn nghiệm Từ vận dụng xem xét tồn nghiệm hai mơ hình tốn học xây dựng từ toán thực tế Luận văn hoàn thành Trường Đại học Vinh hướng dẫn thầy giáo, PGS.TS Trần Xuân Sinh Nhân dịp tơi xin tỏ lịng biết ơn sâu sắc tới thầy cảm ơn thầy giáo tổ Xác suất thống kê giảng dạy, bảo cho suốt thời gian học tập nghiên cứu Cũng xin gửi lời cảm ơn thầy giáo, giáo khoa Tốn, khoa Sau Đại học, trường Trung học Phổ thông Nam Yên Thành tạo điều kiện cho tơi q trình cơng tác, học tập nghiên cứu Tôi xin bày tỏ lịng biết ơn bạn bè gia đình tạo điều kiện thuận lợi cho tơi hồn thành luận văn Vinh, tháng 12 năm 2011 Tác giả Chương Kiến thức sở 1.1 Một số kiến thức giải tích lồi 1.1.1 Tập lồi nón lồi 1.1.1.1 Tổ hợp lồi Cho k điểm x(1) , x(2) , , x(k) ∈ Rn , điểm k k (i) x= λi = 1, λi ≥ 0, i = 1, , k λi x , i=1 i=1 gọi tổ hợp lồi hệ điểm cho 1.1.1.2 Đoạn thẳng Cho x(1) , x(2) ∈ Rn , tập hợp x(1) x(2) = {x ∈ Rn : x = λx(1) + (1 − λ)x(2) , ≤ λ ≤ 1} gọi đoạn thẳng nối hai điểm cho Tập hợp x(1) x(2) = {x ∈ Rn : x = λx(1) + (1 − λ)x(2) , λ ≥ 0} gọi nửa đường thẳng hay tia xuất phát từ x(2) Tập hợp x(1) x(2) = {x ∈ Rn : x = λx(1) + (1 − λ)x(2) , λ ∈ R} gọi đường thẳng nối hai điểm cho 1.1.1.3 Tập hợp lồi Tập hợp M ∈ Rn gọi tập hợp lồi đoạn thẳng nối hai điểm thuộc M nằm trọn M Nghĩa với x(1) , x(2) ∈ M, x = λx(1) + (1 − λ)x(2) , ≤ λ ≤ 1, x ∈ M 1.1.1.4 Điểm cực biên Cho tập lồi M ⊂ Rn Điểm x ∈ M gọi điểm cực biên M không tồn x(1) , x(2) ∈ M mà x = λx(1) + (1 − λ)x(2) , < λ < 1, nghĩa x điểm đoạn thẳng thuộc M 1.1.1.5 Siêu phẳng nửa không gian Cho c ∈ Rn số thực α, tập hợp H = {x ∈ Rn : c, x = α} gọi siêu phẳng thuộc không gian Rn Tập hợp S = {x ∈ Rn : c, x ≤ α} gọi nửa không gian giới hạn siêu phẳng H 1.1.1.6 Tập lồi đa diện Cho tập hợp M = x ∈ Rn : Ai , x ≤ bi , i = 1, , m, Ai = (aij ) ∈ Rn Dễ dàng kiểm tra thấy tập hợp M cho tập lồi gọi tập lồi đa diện Như vậy, tập lồi đa diện giao nửa khơng gian Khi chứng minh rằng: Điểm x ∈ M tập lồi đa diện cực biên M x giao n siêu phẳng giới hạn nửa khơng gian tương ứng M 1.1.1.7 Nón lồi Tập K ∈ Rn gọi nón có đỉnh x(0) ∈ K với ∀x ∈ K số thực α > 0, ta có x(0) + α(x − x(0) ) ∈ K, tức x ∈ K K chứa nửa đường thẳng nối x(0) với x Điểm gốc O thuộc khơng thuộc K Nếu K nón chứa gốc O, O đỉnh nó, ta nói K nón nhọn có mũi O Nếu nón K tập lồi ta nói K nón lồi Cho A tập lồi thuộc Rn , nón lồi mũi O nhỏ chứa A gọi nón lồi sinh A, ký hiệu KA Chúng ta chứng minh KA = {λx : x ∈ A, λ > 0} Cho M tập lồi thuộc Rn , vectơ z = gọi hướng lùi xa M với x ∈ M λ > 0, ta có x + λz ∈ M Từ định nghĩa, kiểm tra thấy rằng: Tập K tất hướng lùi xa tập hợp lồi M nón lồi Nón K xác định gọi nón lùi xa M ký hiệu recM 1.1.2 Hàm lồi 1.1.1.7 Hàm lồi Hàm f (x) xác định tập lồi M gọi hàm lồi, với x, y ∈ M λ ∈ [0, 1] có bất đẳng thức f (λx + (1 − λ)y) ≤ λf (x) + (1 − λ)f (y) Ta gọi bất đẳng thức nêu bất đẳng thức lồi 1.1.1.8 Quy hoạch lồi Cho toán quy hoạch f (x) : x ∈ M ⊂ Rn Nếu f (x) hàm lồi M tập lồi toán quy hoạch cho gọi toán quy hoạch lồi 1.1.3 Tính chất 1.1.3.1 Mỗi đỉnh khơng thối hố tập lồi đa diện M có hữu hạn cạnh kề 1.1.3.2 Nếu x(0) điểm cực biên tập lồi đa diện M , M nằm trọn hình nón sinh tập hợp cạnh M , kề x(0) 1.1.3.3 Tập K thuộc Rn nón lồi có đỉnh gốc O với x, y ∈ K số thực λ > ta có λx ∈ K x + y ∈ K 10 Thật vậy, K nón lồi với x ∈ K, ta có λx ∈ K (theo định nghĩa nón đỉnh O) Hơn K tập lồi nên với x, y ∈ K (x + y) = x + y) ∈ K Khi chọn λ = x + y = 12 (x + y) ∈ K Ngược lại, lấy x, y ∈ K, theo điều kiện nêu với số thực λ, (0 ≤ λ ≤ 1), ta có λx ∈ K, (1 − λ)y ∈ K λx + (1 − λ)y ∈ K Điều chứng tỏ K nón lồi Ví dụ: Tập hợp K = {x ∈ Rn : , x ≤ 0, i = 1, , m}, ∈ Rn , nón nhọn có mũi O 1.1.3.4 (Bất đẳng thức Jensen) Điều kiện cần đủ để hàm f (x) lồi k f k λi x (i) i=1 k i=1 λi λi f (x(i) ) , ≤ i=1 = 1, λi ≥ 0, i = 1, , k 1.1.3.5 Nếu tốn quy hoạch lồi có phương án tối ưu phương án tối ưu tồn cục trùng với phương án tối ưu địa phương, nghĩa f (x∗ ) = min{f (x) : x ∈ M } tồn lân cận Wx∗ x∗ cho f (x∗ ) = min{f (x) : x ∈ M ∩ Wx∗ } 1.2 Bất đẳng thức biến phân toán quy hoạch 1.2.1 Bất đẳng thức biến phân Cho M ⊂ Rn tập hợp lồi đóng khác rỗng ánh xạ G : Rn → Rn Khi bất đẳng thức G(y), y − y ≥ 0, ∀y ∈ M gọi bất đẳng thức biến phân y gọi nghiệm bất đẳng thức biến phân 11 Với góc độ ứng dụng vơ đa dạng Khi hàm G khả vi, thể G(y) G(y) = ∇f (y) Nếu f hàm lồi xác định M việc tìm nghiệm bất đẳng thức biến phân tương đương với việc tìm cực tiểu hàm f xác định M Để tiện trình bày khái niệm, luận văn viết lại bất đẳng thức biến phân nêu (G(y))T (y − y) ≥ 0, ∀y ∈ M (1.1) 1.2.2 Nón bất đẳng thức biến phân toán quy hoạch 1.2.2.1 Định nghĩa Cho tập hợp M lồi, đóng, khác rỗng, thuộc không gian Rn điểm y ∈ M Khi tập hợp sau nón lồi đỉnh y    G(y) ∈ Rn : G(y)T (y − y) ≤ , y ∈ M NM (y) :=   ∅, ngược lại Nón NM (y) gọi nón pháp tuyến y nón chuẩn đỉnh y Lúc với hàm F : M → Rn cho −F (y, y) ∈ NM (y) cho ta bất đẳng thức biến phân Do tập hợp NM (y) cịn gọi nón bất đẳng thức biến phân Ký hiệu S tập hợp nghiệm bất đẳng thức biến phân −F (y, y) ∈ NM (y), nghĩa S := {y ∈ Rn : −F (y, y) ∈ NM (y)} Về bất đẳng thức biến phân nón bất đẳng thức biến phân ứng dụng nhiều nhà toán học đề cập tới (chẳng hạn, [6]) Bất đẳng thức biến phân dạng (1.1), với thông tin liệu đầy đủ, bất đẳng thức biến phân tất định Trong thực tế, nhiều tốn dẫn 12 đến việc tìm nghiệm bất đẳng thức biến phân, thông tin liệu lại phụ thuộc vào đại lượng ngẫu nhiên Khi ta có bất đẳng thức biến phân ngẫu nhiên Cho biến ngẫu nhiên ω thuộc không gian xác suất (Ω, F, P ) Eω kỳ vọng F (ω) hàm phân phối ω ∈ Ω Giả sử F liên tục, khả vi Ω dF (ω) = Khi bất đẳng thức biến phân ngẫu nhiên viết (G(y, ω))T (y − y) ≥ 0, ∀y ∈ M (1.2) nón bất đẳng thức biến phân chịu ảnh hưởng biến ngẫu nhiên ω tác động lên bất đẳng thức biến phân, nghĩa ta có    {G(y, ω) ∈ Rn : G(y, ω)T (y − y) ≤ 0}, y ∈ M NM (y, ω) :=   ∅, ngược lại Lúc tập nghiệm bất đẳng thức biến phân ngẫu nhiên có dạng S(ω) := {y ∈ Rn : −F (y, y, ω) ∈ NM (y, ω)} Dĩ nhiên thấy phần tử y ∈ S(ω) phải phụ thuộc vào ω, nghĩa nghiệm bất đẳng thức biến phân (1.2) phải y(ω) Bài toán quy hoạch có mối liên hệ với bất đẳng thức biến phân Cho toán quy hoạch min{f (x) : x ∈ M } Ba định lý sau thể đơn giản mối liên hệ 1.2.2.2 Định lý Cho hàm lồi thường f : Rn → [−∞, +∞] tập lồi M ⊂ int(domf ) Lúc x∗ ∈ arg min{f (x) : x ∈ M } O ∈ ∇x f (x∗) + NM (x∗ ), NM (x∗ ) nón pháp tuyến M x∗ 23 Tập lồi, đóng, khác rỗng X ⊆ Rn tập phương án Bất đẳng thức biến phân −F (x, y) ∈ NC (y) biểu diễn đẳng thức dạng tổng quát Chẳng hạn với C ≡ Rm , bất đẳng thức biến phân tương đương với hệ phương trình F (x, y) = 0m , với C ≡ Rm + , bất đẳng thức biến phân tương đương với tổ hợp điều kiện 0m ≤ y ⊥ F (x, y) ≥ 0m , a ⊥ b ký hiệu cho aT b = Tổ hợp điều kiện nêu ví dụ ràng buộc cân Nó cho thấy toán (M P EC) thường xảy phi tuyến Nếu F (x, y) := ∇y φ(x, y), với φ(x, ) hàm lồi bất đẳng thức biến phân ∇y φ(x, y)T (y − y) ≥ 0, ∀y ∈ C, biểu diễn điều kiện tối ưu cho toán quy hoạch tham số φ(x, y) y∈C toán (M P EC) toán quen biết giải tích lồi (xem [2]) Dạng tổng quát bất đẳng thức biến phân người ta cho thấy số tốn tối ưu chuyển toán (M P EC) 2.1.2 Khái niệm tính chất bất đẳng thức biến phân ngẫu nhiên Cho biến ngẫu nhiên ω thuộc không gian xác suất (Ω, F, P ) Eω kỳ vọng F (ω) hàm phân phối ω ∈ Ω Giả sử F liên tục, khả vi 24 Ω dF (ω) = Khi bất đẳng thức biến phân ngẫu nhiên viết (G(y, ω))T (y − y) ≥ 0, ∀y ∈ M (2.1) nón bất đẳng thức biến phân chịu ảnh hưởng biến ngẫu nhiên ω tác động lên bất đẳng thức biến phân, nghĩa ta có NM (y, ω) = {G(y, ω) ∈ Rn : (G(y, ω))T (y − y) ≥ 0, ∀y ∈ M } Lúc tập nghiệm bất đẳng thức biến phân ngẫu nhiên có dạng S(ω) := {y ∈ Rn : G(y, ω) ∈ NM (y, ω)} Dĩ nhiên thấy phần tử y ∈ S(ω) phải phụ thuộc vào ω, nghĩa nghiệm bất đẳng thức biến phân (2.1) phải y(ω) Chúng ta thấy trực tiếp tính chất sau đây: 2.1.2.1 NM (y) ⊆ NM (y, ω) 2.1.2.2 S ⊆ S(ω) 2.2 Bài toán quy hoạch ngẫu nhiên với ràng buộc cân Trong mục này, trình bày tốn quy hoạch ngẫu nhiên với ràng buộc cân Từ chúng tơi đề cập tới nội dung quan trọng, có tính định tính lớp tốn nêu, tồn nghiệm tối ưu toán 2.2.1 Bài toán (SM P EC) Xét toán SM P EC (Stochastic Mathematical Programs with Equilibrum Constraints) sau: (SM P EC −Ω) Eω [f (x, ξ(ω), ω)] := f (x, ξ(ω), ω)dF (ω), (2.2) Ω với điều kiện (x, ξ(ω)) ∈ L(ω), P − hầu chắn 25 ξ(ω) ∈ S(x, ω), P − hầu chắn ξ : Ω → Rm biến ngẫu nhiên (Ω, F, P ), L : Ω ⇒ Rn × Rm điểm từ tập hợp ánh xạ biểu diễn ràng buộc mức S : Rn × Ω ⇒ Rm tập hợp nghiệm bất đẳng thức biến phân tham số mức S(x, ω) := {ξ ∈ Rm : T (x, ξ, ω) ∈ N } Bài toán mức định nghĩa ánh xạ T := Rn × Rm × Ω → Rm ánh xạ Y : Rn × Ω ⇒ Rm có tập ảnh tập lồi, đóng NY(x,ω) : Rm ⇒ Rm ký hiệu ánh xạ chuẩn tắc nón tập Y(x, ω) Chú ý toán mức có nhiều nghiệm khơng có nghiệm x, ω cho 2.2.2 Sự tồn phương án tối ưu toán (SM P ECΩ ) Ta ký hiệu X := {x ∈ Rn | ∃ξ(ω) : (x, ξ(ω)) ∈ L(ω), ∀ω.} Ta ký hiệu T (x, ω) x-lát cắt tập phương án toán (2.2), tức T (x, ω) := Lx (ω) ∩ S(x, ω) Chúng ta nói hàm f : Rn × Rm × Ω hàm cưỡng yếu tập hợp {x ∈ X | ∃ξ ∈ Rm , ω ∈ Ω : f (x, ξ, ω) ≤ c} 26 bị chặn với c ∈ R Đã có nhiều kết chứng minh tồn nghiệm tối ưu lớp toán quy hoạch với ràng buộc cân Tuy nhiên, chứng minh nêu thường dựa vào số giả thiết riêng Điều quan trọng chứng minh tồn nghiệm tối ưu luận văn sử dụng tính đóng tập phương án Đặc biệt đây, với toán (SM P EC) với ω ∈ Ω, xét tới tính đóng ω-lát cắt T (x, ω) := L(ω) ∩ gr[x → S(x, ω)] tập phương án sử dụng; gr ký hiệu cho đồ thị (graph) Bây xét điểm x ∈ Rn Giả sử với ω, nhận điểm (x, ξ(ω)) ∈ Tω Hàm mục tiêu đánh giá điểm (x, ξ(.)) hàm ξ(ω) T -đo Do câu hỏi đặt là: Chúng ta đảm bảo tồn hàm ξ T -đo thoả mãn với ω hai điều kiện sau hay khơng? Hai điều kiện (x, ξ(ω)) ∈ Tω (phương án), f (x, ξ(ω), ω) ≤ f (x, ξ(ω), ω) (phương án không tồi) Để trả lời câu hỏi nêu trên, tác giả A Evgrafov M Patriksson sử dụng tính đo theo ω, cố định x S(x, ω) Lx (ω) := {ξ ∈ Rm |(x, ξ) ∈ L(ω)} Trong toàn nội dung tiếp theo, giả thiết Lx (ω) Y(x, ω) đo theo ω, với x ∈ Rn Để chứng minh định lý tồn phương án tối ưu, nêu bổ đề sau tác giả R T Rockafellar R J B Wets chứng minh năm 1975 27 2.2.2.1 Bổ đề (Về tính đo S(x, )) Giả sử ánh xạ Y đo theo ω, với x xác định Đồng thời có ánh xạ lồi, đóng với x hầu hết ω Cho ánh xạ T liên tục theo y đo theo ω, với x Khi ánh xạ S đo theo ω, với x Định lý sau sử dụng ràng buộc mức L, khơng địi hỏi tính liên tục ánh xạ liên quan tới ω xét cách tuỳ ý độ đo xác suất khơng gian đầy đủ Tuy nhiên, định lý địi hỏi số giả thiết sau: (A1) ánh xạ Lx (.) S(x, ) đo được, với x (A2) Tập L(ω) ánh xạ x → S(x, ω) đóng, với hầu hết ω ∈ Ω (A3) ánh xạ f (x, ξ, ω) liên tục theo (x, ξ), đo theo ω, cưỡng yếu với x tập X bị chặn hàm (F, P ) khả tích (A4) Với x ∈ X , tồn lân cận Ux x thoả mãn tập x∈Ux ∩X Zx (ω) bị chặn, với ω (A5) Tập T (x0 , ω) khác rỗng, với x ∈ X hầu hết ω 2.2.2.2 Định lý (Về tồn phương án tối ưu) giả sử toán (SM P ECΩ ) thoả mãn giả thiết (A1)-(A5) Khi tốn có phương án tối ưu Chứng minh Do giả thiết (A1), (A5) người ta tồn biến ngẫu nhiên ξ(ω) ∈ T (x0 , ω), với ω, nghĩa tập phương án toán khác rỗng Cho dãy tuỳ ý {(xk , ξ k )} Tính cưỡng yếu giả thiết (A3) kéo theo tồn dãy dãy cho hội tụ theo toạ độ x Ta xếp lại số cho toàn dãy cho x := lim xk k→∞ 28 Ta xét hàm đo f (ω) := lim inf f (xk , ξ k (ω), ω) k→∞ Sử dụng tính bi chặn f giả thiết (A3) ta có Eω [f (ω)] ≤ lim Eω [f (xk , ξ k (ω), ω)] k→∞ Mặt khác, theo giả thiết (A4) cho ta, với ω, có dãy vơ hạn số k(ω) cho tồn tại, khơng cần tới tính đo được, ξ(ω) := lim ξ k(ω) (ω) k(ω)→∞ vậy, tương ứng có f (ω) := lim f (xk(ω) , ξ k(ω) , ω) k(ω)→∞ Giả thiết (A2) tính đóng ánh xạ L S cho thấy ξ(ω) ∈ T (x, ω), hầu ω Chú ý giả thiết tính liên tục f kéo theo f (x, ξ(ω), ω) = f (ω), hầu khắp nơi Bây ta xét tham số ω toán tối ưu theo biến ξ(ω) f (x, ξ(ω), ω) (2.3a) (x, ξ(ω)) ∈ L(ω), P − hầu chắn (2.3b) ξ(ω) ∈ S(x, ω), P − hầu chắn (2.3c) với điều kiện Chúng ta biết tốn có tập phương án khác rỗng (ít có ξ(ω)), đóng, bị chặn với hầu ω Vì vậy, ta sử dụng kết 29 biết tác giả J P Aubin H Frankowska (1990), nhận tồn nghiệm đo ξ thoả mãn f (x, ξ(ω), ω) ≤ f (x, ξ(ω), ω) Điều cho ta ξ phương án tối ưu tốn (2.3) Khi ta tìm phương án tối ưu (x, ξ(ω)) thoả mãn điều kiện nêu định lý Định lý chứng minh xong 2.3 Một số trường hợp đặc biệt Bài toán nêu mục 2.2 trường hợp tổng quát toán quy hoạch ngẫu nhiên với ràng buộc cân Trong nhiều tác phẩm khoa học khác nhau, tác giả mơ hình thực tế, đáng ý mơ hình cấu trúc liên kết tối ưu (Topology Optimization) Chẳng hạn sách: Topology Optimization: Theory, Methods, and Applications tác giả M P Bendsøe O Sigmund, xuất Đức năm 2003 (dày 600 trang) đưa nhiều mơ hình thực tế Trong phạm vi luận văn chưa cho phép nghiên cứu mơ hình Các tác giả [7] sử dụng mơ hình đó, dạng mơ hình tốn học, để minh hoạ cho việc xem xét tồn nghiệm, xem trường hợp riêng tốn tổng qt Sau chúng tơi cố gắng diễn đạt kết tác giả A Evgrafov and M Patriksson 2.3.1 Về toán ưu cáp treo Bài toán tối ưu cáp treo xuất phát từ toán thực tế sau: Một hệ thống dàn cáp treo (gồm cáp ngang xà ngang) xác định tham số (xem Hình 2.1): 30 + xi , i = 1, , n1 , biến sức chịu lực cáp mức xà ngang i Xj , j = 1, , n2 , biến sức chịu lực cáp mức dây cáp j Những chỗ không bố trí xà cáp tương ứng với xi = Xj = 0) Ký hiệu x = (xi ) vectơ có toạ độ xi ; X = (Xj ) vectơ có toạ độ Xj + si (.), i = 1, , n1 , biến mức dưới, biểu diễn lực xà ngang i phụ thuộc chiều dài xà ngang Sj , j = 1, , n2 , biến mức dưới, phụ thuộc chiều dài dây cáp j + E1 , E2 > môđun kỹ thuật cấu trúc vật chất xà dây cáp + σ1 , σ2 ứng suất lớn thừa nhận xà dây cáp + F : Ω → Rk trọng tải ngẫu nhiên tác động lên dàn cáp + Bi , i = 1, , n1 ; Γj , j = 1, , n2 ma trận phép biến đổi động lực học cấp × k + E : Rn1 +n2 × Rn1 +n2 → R ∪ {∞} mở rộng hàm giá trị thực, biểu diễn lượng đàn hồi cấu trúc Hình 2.1 Hình ảnh cáp treo 31 Khi đó, kỹ thuật người ta có tốn mức liên quan đến định luật học xác định cực tiểu lượng bù đắp C(x,X) (ω) dạng C(x,X) (ω) n1 E(x, X, s, S) := với điều kiện n1 i=1 + n2 Sj2 /E2 Xj j=1 n2 BiT si i=1 s2i /E1 xi ΓTj Sj = F (ω) + j=1 S ≥ Từ người ta dẫn đến tốn quy hoạch ngẫu nhiên với ràng buộc cân (W) {eT x + eT X} (x,X,s(.),S(.)) với điều kiện ≤ (x, X) |s(ω)| ≤ σ1 x, P − hầu chắn |S(ω)| ≤ σ2 X, P − hầu chắn e vectơ n1 chiều gồm toạ độ 1, (s(ω), S(ω)) nghiệm toán C(x,X) (ω) P -hầu chắn Ký hiệu L := (x, X, s, S) ∈ Rn1 +n2 × Rn1 +n2 : ≤ (x, X); |s| ≤ σ1 x, |S| ≤ σ2 X S(x, X, ω) := (s, S) ∈ Rn1 +n2 : (s, S) nghiệm toán C(x,X) (ω) Chúng ta thấy tốn (W) có tính chất khn khổ tốn (SM P EC − Ω) 2.3.1.1 Định lý Cho F : Ω → Rk hàm đo Giả sử toán (W) tồn phương án (x, X, s(ω), S(ω)) cho P [E(x, X, s(ω), S(ω)) < ∞] = 32 Khi (W) tồn phương án tối ưu Chứng minh Trước hết thấy giả thiết (A1) (A3)(A5) định lý 2.2.2.2 thoả mãn Đồng thời tập L đóng Vấn đề cịn lại thiết lập tính đóng ánh xạ (x, X) → S(x, X, ω), với ω bất kỳ, thử lại giả thiết (A1) kết luận tồn nghiệm Từ kết chứng minh tác giả M Patriksson J Petersson (2002) cho thấy tính bị chặn hàm lượng E(x, X, s, S) Đồng thời theo M Patriksson J Petersson (2002) thêm ràng buộc E(x, X, s, S) ≤ v cho tốn W Theo tập L := {(x, X, s, S) ∈ L : E(x, X, s, S) ≤ v} đóng Như toán (W) hội đủ giả thiết định lý 2.2.2.2 Từ suy điều kết luận định lý 2.3.2 Về toán ưu với hàm phạt khơng xác Như thấy giai đoạn hai toán quy hoạch ngẫu nhiên thường toán phi tuyến Trong trường hợp toán với ràng buộc cân bằng, giai đoạn hai ràng buộc chuyển vào hàm mục tiêu Lúc hàm phạt xác tốn cho ta nghiệm Tuy nhiên, thực tế mong đợi có hàm phạt xác Ví dụ Cho khơng gian xác suất (Ω, F, P ) := ([0; 1], B, λ), λ độ đo Lơbe B σ-đại số tập đo Lơbe [0; 1] 33 Ký hiệu L := [0, ω] × {0}; f (x, ξ, ω) := x − Y = {0}; T (x, ξ, ω) = ; Đối với ω ∈ [0, 1], hàm phạt xác tốn ω-cố định ví dụ chẳng hạn G(x, ξ, ω) = max{x − ω; 0} Tuy nhiên, từ hàm ∞ [(x − 1/2)2 + µ max{x − ω, 0}]λ(dω) = x − 2 + µx2 dãy cực tiểu → 0, (µ → ∞) µ+2 Vì vậy, tốn khơng thể đạt điểm tối ưu (nhưng thực tế có xµ = thể) tốn (SM P EC) x∗ = 0, với giá trị hữu hạn ω Bây ta xét tốn với hàm phạt khơng xác (SM P EC − Ω)µ Eω [f (x, ξ(ω), ω) + µG(x, ξ(ω), ω)] với điều kiện (x, ξ(ω)) ∈ L(ω), P − hầu chắn Trước phát biểu định lý tồn phương án tối ưu cho tốn hàm phạt khơng xác khắc lại ký hiệu val(P) giá trị tối ưu hàm mục tiêu toán P 2.3.2.1 Định lý Giả sử giả thiết định lý 2.2.2.2 thoả mãn tốn (SM P EC − Ω) có phương án tối ưu Cho hàm (x, ξ, ω → G(x, ξ, ω) không âm, liên tục theo (x, ξ) với ω, đo theo ω với (x, ξ) ∈ Rn × Rm thoả mãn S(x, ω) := {ξ : G(x, ξ, ω) = 0} 34 Khi tốn phạt (SM P EC − Ω)µ có phương án tối ưu với µ ≥ sup val(SM P EC − Ω)µ = lim val(SM P EC − Ω)µ µ→∞ λ≥0 = val(SM P EC − Ω) Ngoài ra, điểm giới hạn dãy phương án tối ưu mức {xµ } tốn (SM P EC −Ω)µ phương án tối ưu toán (SM P EC − Ω) Chứng minh Đối với µ ≥ 0, tài tốn (SM P EC − Ω)µ thoả mãn giả thiết định lý 2.2.2.2 Ta đặt Sµ (x, ω) := {ξ ∈ Rm : (x, ξ) ∈ L(ω)} Do tốn có phương án (xµ , ξ µ (.)) Từ việc chứng minh kết tác giả M S Bazaraa cộng (1993) cho thấy val(SM P EC − Ω) ≥ sup val(SM P EC − Ω)µ µ≥0 = lim val(SM P EC − Ω)µ µ→∞ = lim Eω [f (xµk ), ξ µk (ω), ω)], k→∞ (2.4) số dãy {µk }, với k → ∞ Do tính cưỡng (giả thiết A(3)) f treo x tính chất hàm phạt G, dãy {µk } bị chặn Lúc ta chọn dãy hội tụ, giả sử lim xµk = x k→∞ Từ tính bị chặn f (giả thiết (A3)), ta có lim Eω [f (xµk ), y µk (ω), ω)] ≥ Eω lim inf f (xµk , y µk (ω), ω) k→∞ k(ω)→∞ 35 Vì tính bị chặn tập phương án (giả thiết (A4)), với ω, ta có dãy k(ω) thoả mãn ξ µk (ω) → ξ(ω) lim inf f (xµk , ξ µk (ω), ω) = k→∞ lim f (xµk (ω), ξ µk (ω), ω) k(ω)→+∞ ≥ f (x, ξ(ω), ω) P -hầu ω Do tính đóng L (giả thiết (A2)) (x, ξ(ω)) ∈ L(ω), P − hầu chắn Cũng theo tác giả M S Bazaraa cộng (1993) = lim Eω [G(xµk , ξ µk (ω), ω)] ≥ Eω [lim inf G(xµk , ξ µk (ω), ω)] k→∞ k→∞ lim inf G(xµk , ξ µk (ω), ω) ≥ G(x, ξ(ω), ω) ≥ 0, k→∞ P -hầu ω Vì tính liên tục không âm G nên ξ(ω) ∈ T (x, ω), P − hầu bất kỳω Xét toán tối ưu tham số (2.3), tìm hàm đo ξ(.) ∈ T (x, ) cho f (x, ξ(ω), ω) ≥ f (x, ξ(ω), ω), P − hầu chắn Khi ta thấy sup val(SM P EC − Ω)µ ≥ Eω [f (x, ξ(ω), ω)] ≥ val(SM P EC − Ω) µ≥0 Kết hợp với (2.4) ta có điều phải chứng minh 36 Kết luận Luận văn giải số vấn đề sau: Trình bày số khái niệm sở giải tích lồi, bất đẳng thức biến phân, lý thuyết xác suất, khái niệm kiến thức sở toán quy hoạch tuyến tính ngẫu nhiên Nêu khái niệm bất đẳng thức biến phân ngẫu nhiên thể Trình bày mơ hình tốn học toán quy hoạch ngẫu nhiên với ràng buộc cân Phát biểu chứng minh định lý 2.2.2.2 điều kiện tồn phương án tối ưu toán (SM P EC − Ω) Phát biểu chứng minh định lý 2.3.1.1 định lý 2.3.2.1 tồn nghiệm hai lớp tốn đặc biệt, xuất phát từ mơ hình thực tế Khi có điều kiện cho phép, tơi cố gắng thiết lập thuật tốn đưa ví dụ số giải lớp toán đặt 37 Tài liệu tham khảo [1] Ngô Quang Anh (2010), Một lớp bất đẳng thức biến phân toán quy hoạch ngẫu nhiên ứng dụng, Luận văn Cao học thạc sĩ, chuyên ngành Xác suất thống kê toán học [2] Nguyễn Văn Quảng (2007), Giáo trình xác suất, NXB Đại học Quốc gia, Hà Nội [3] Trần Xuân Sinh (2004), Các phương pháp ngẫu nhiên giải toán quy hoạch, Bài giảng dùng cho Sau Đại học, chuyên ngành XSTK Toán học, Đại học Vinh [4] Nguyễn Duy Tiến - Vũ Viết Yên (2001), Lý thuyết xác suất, NXB Giáo dục, Hà Nội [5] Hoàng Tụy (2003), Lý thuyết tối ưu, Bài giảng CH, Viện Toán học [6] C Cromvik and M Patriksson (2010), On the Robustness of Global Optima and Stationary Solutions to Stochastic Mathematical Programs with Equilibrium Constraints, Part 2: Applications, J Optim Theory Appl., (2010) 144: 479Ọ500 DOI 10.1007/s10957-009-9640-2 [7] A Evgrafov and M Patriksson (2004), On the Existence of Solutions to Stochastic Mathematical Programs with Equilibrium Constraints, Journal of Optimization Theory and Applications, Vol.121, No1, 65Ọ76 [8] A Shapiro (2006), Stochastic Programming with Equilibrium Constraints, Journal of Optimization Theory and Applications: Vol 128, No 1, pp 223-243, January 2006 ... (y) ⊆ NM (y, ω) 2.1.2.2 S ⊆ S(ω) 2.2 Bài toán quy hoạch ngẫu nhiên với ràng buộc cân Trong mục này, chúng tơi trình bày toán quy hoạch ngẫu nhiên với ràng buộc cân Từ chúng tơi đề cập tới nội dung... lớp toán quy hoạch ngẫu nhiên, với ràng buộc cân Trên sở nghiên cứu tồn nghiệm Từ vận dụng xem xét tồn nghiệm hai mơ hình toán học xây dựng từ toán thực tế 2.1 Bất đẳng thức biến phân ngẫu nhiên. .. kỳ vọng tuyến tính Dĩ nhiên tập phương án tập lồi Do toán (1.3) toán quy hoạch lồi Định lý chứng minh xong 21 Chương Sự tồn nghiệm toán quy hoạch ngẫu nhiên với ràng buộc cân Trong chương này,