2 Các phương pháp xấp xỉ giải bài toán quy hoạch ngẫu nhiên
2.4 Quy tắc quyết định tuyến tính cô lập
2.4.1 Khái niệm
Một hạn chế của những quy tắc quyết định tuyến tính lệch đó là nó chỉ làm việc với những quyết định hiệu chỉnh nửa đầy đủ. Trong mục này, chúng
ta đưa ra sự cải tiến khác của những quy tắc quyết định tuyến tính mà áp dụng cho những bài toán hiệu chỉnh tổng quát.
Đầu tiên, ta định nghĩa những yếu tố ngẫu nhiên cô lập từ việc phân tích mỗi yếu tố ngẫu nhiên sau đây:
˜
zj1 , z˜j+−zˆj,
˜
zj2 , −z˜j− + ˆzj, (2.40) với zˆj = E(˜zj+).
Vì những yếu tố ngẫu nhiên có các giá trị trung bình bằng không nên chúng ta có:
E(˜zj+) = E(˜zj−), (2.41) và từ đó, ta có:
E(˜zj1) = E(˜zj2) = 0. (2.42) Ta ký hiệu S là không gian các hàm quyết định tuyến tính cô lập. Từ w(·) ∈ S ⊆ Y suy ra rằng tồn tại một tập các vectơ w0,w11, . . . ,w1N và w21, . . . ,w2N sao cho: w(˜z1,˜z2) =w0 + N X j=1 (w1jz˜j1 +w2jz˜2j), (2.43) ta gọi nó là quy tắc quyết định tuyến tính cô lập.
Khi w1j = w2j, quy tắc quyết định w(˜z1,˜z2) là một hàm tuyến tính của
˜
z. Do vậy, L ⊆ S. Về bản chất, quy tắc quyết định tuyến tính cô lập là sự tổ hợp của các quy tắc quyết định tuyến tính trên mỗi tập các yếu tố ngẫu nhiên cô lập.
Nhưng chúng ta lưu ý rằng khi các giá trị z˜j không bị chặn cả trên và dưới thì những quy tắc quyết định tuyến tính có thể là không chấp nhận được hoặc quy tắc quyết định tuyến tính chấp nhận được là tầm thường (một hàm hằng). Kết quả sau đây chỉ ra rằng trong những trường hợp xác định thì những quy tắc quyết định tuyến tính cô lập khắc phục được hạn chế của những quy tắc quyết định tuyến tính.
2.4.2 Tính chất
Định lý. Nếu với mỗi x, hệ sau đây:
T(z)x+Ww(z) = h(z),
có một phương án chấp nhận được w(z) với mọi z ∈ RN, khi đó tồn tại một quy tắc quyết định tuyến tính cô lập là chấp nhận được cho hệ (2.44). Chứng minh. Đầu tiên, với bất kỳ quy tắc quyết định chấp nhận được, vì
Ww(z) =h0 −T0x+
N
X
j=1
(hj −Tjx)zj, (2.45) nên tồn tại w0 = w(0) ≥ 0 sao cho Ww0 = h0 −T0x.
Tiếp theo, chúng ta xem xét tới những quy tắc quyết định tuyến tính cô lập dạng sau: w(z) = w0 + N X j=1 (ujzj++vjzj−). (2.46) Chú ý rằng w(z) ≥ 0 với mọi z ∈ RN nếu uj,vj ≥ 0.
Bây giờ chúng ta chứng minh bằng phản chứng rằng tồn tại uj,vj ≥ 0
sao cho
Wuj = −Wvj = hj −Tjx. (2.47) Nếu không tồn tại uj ≥ 0 sao cho Wuj = hj −Tjx thì từ lý thuyết đối ngẫu mạnh của bài toán quy hoạch tuyến tính suy ra tồn tại y thỏa mãn: WTy ≤ 0và (hj −Tjx)Ty > 0. (2.48) Chú ý rằng với bất kỳ quan hệ z = tej, với ej là một vectơ đơn vị của thành phần thứ j thì đều tồn tại ˆw(t) ≥ 0 sao cho:
Wwˆ(t) t = h
j −Tjx+ 1
t(h
0 −T0x). (2.49) Tuy nhiên, ở trên tồn tại y sao cho WTy ≤ 0và (hj−Tjx)Ty > 0. Ngoài ra, chúng ta còn có: (hj −Tjx)Ty = yTWwˆ(t) t − 1 t(h 0 −T0x) = lim t−→∞yTWwˆ(t) t ≤ 0, (2.50) là một mâu thuẫn.
Từ đó, tồn tại uj ≥ 0 sao cho Wuj = hj−Tjx. Tương tự, tồn tại vj ≥0
sao cho Wvj = −(hj −Tjx).
Do đó, quy tắc quyết định tuyến tính cô lập: w(z) = w0+ N X j=1 (ujzj++vjzj−) =w0+ N X j=1 (uj+vj)ˆzj+ N X j=1 (ujzj1−vjzj2) (2.51) là một phương án chấp nhận được của hệ (2.44).