Quá trình ngẫu nhiên
Quá trình ngẫu nhiên
Cho không gian xác suất (Ω,F,P), một quá trình ngẫu nhiên (X t , t≥0) được định nghĩa là hàm hai biến X(t, ω) trên R + ×Ω, có giá trị trong R và là hàm đo được đối với σ-trường tích BR + × F Trong đó, BR + là σ-trường các tập Borel trên R +.
Trong tài chính, các quá trình giá chứng khoánSt, giá trái khoánPt, giá sản phẩm phái sinh Ct đều được xem là các quá trình ngẫu nhiên.
Quá trình ngẫu nhiên thích nghi với một bộ lọc
Một họ các σ - trường con (F t , t ≥ 0) của F được gọi là một bộ lọc thỏa mãn các điều kiện thông thường nếu:
• (F t ) là một họ tăng theo t, tức làF s ⊆ F t nếu s≤t,
• (Ft) là liên tục phải, tức làFt=∩>0Ft+,
Một quá trình ngẫu nhiênY = (Yt, t ≥0)gọi là thích nghi với bộ lọc(Ft, t≥0)nếu với mọit, Yt là đo được đối với σ - trường Ft.
Xét một quá trình ngẫu nhiên X = (Xt)và σ-trường Ft X được sinh bởi tất cả các biến ngẫu nhiên Xs với s ≤ t, trong đó Ft X = σ(Xs, s ≤ t) σ-trường này chứa đựng toàn bộ thông tin về diễn biến quá khứ của quá trình X cho đến thời điểm t, được gọi là bộ lọc tự nhiên hay lịch sử của X Do đó, mọi quá trình X = (Xt, t ≥ 0) đều thích nghi với lịch sử của nó.
Martingale
Định nghĩa 1.1 Cho một quá trình ngẫu nhiên X = (Xt)t ≥ 0 thích nghi với bộ lọc (F t ) và khả tích E|Xt|1)
Theo quy luật nhị phân với xác suất p, giá sẽ giảm theo hệ số d (0 < d < 1) với xác suất (1−p), và các biến động này diễn ra độc lập tại các thời điểm khác nhau.
Với n = 1,2, ta có mô hình cây nhị phân của giá cổ phiếu n - giai đoạn tương ứng. a Mô hình cây nhị phân một giai đoạn
Với giá cổ phiếu đầu chu kỳ là S0 ta có:S1 ( uS0 : xác suấtp dS0 : xác suất(1−p) (2.9)
Minh họa động thái giá như hình vẽ uS0 dS0
(Hình 1) b Mô hình cây nhị phân hai giai đoạn
Với giá cổ phiếu đầu chu kỳ là S0, giá cổ phiếu trong chu kỳ tiếp theo S1 được xác định bằng công thức: S1 = uS0 với xác suất p và S1 = dS0 với xác suất (1−p) Theo quy luật nhị phân, giá cổ phiếu S2 sẽ được tính toán như sau: S2 = uS1 với xác suất p và S2 = dS1 với xác suất (1−p).
Ta có minh họa như hình vẽ. dS 0
(Hình 2) c Mô hình cây nhị phân n giai đoạn
Mô hình cây nhị phân n giai đoạn cho giá cổ phiếu mô tả phân phối xác suất của Sn với công thức P(Sn = u i d n − i S0) = C n i p i (1−p) n − i, trong đó i có giá trị từ 0 đến n Giá cổ phiếu sẽ có i giai đoạn tăng và (n−i) giai đoạn giảm trong n giai đoạn Phân phối xác suất của Sn tương ứng với n phép thử Bernoulli, với hai kết quả là giá tăng hoặc giảm, do đó thuộc lớp phân bố nhị thức B(n, p), với các giá trị khả thi là u i d n − i S0, cho i từ 0 đến n.
Cây nhị phân trong quá trình giá cổ phiếu có hai quỹ đạo chính Khi n tiến tới vô cùng, mô hình cây nhị phân sẽ hội tụ về chuyển động Brown, điều này có thể được chứng minh một cách rõ ràng.
Mô hình CRR bao gồm ba tham số chính: u, d và p Để mô phỏng quỹ đạo giá, việc ước lượng các tham số này là cần thiết Nếu chúng ta có thể ước lượng lợi suất kỳ vọng và phương sai σ² của cổ phiếu, hai tham số này sẽ giúp ước lượng các tham số của mô hình cây nhị phân một cách hiệu quả.
Để phân tích lợi suất của cổ phiếu, chúng ta bắt đầu với việc xem xét giá cổ phiếu tại thời điểm đầu kỳ, giả sử là S0 Nếu vào cuối kỳ, giá cổ phiếu đạt giá trị u i d n − i S0, thì lợi suất đầu tư được tính bằng công thức r = ln(u i d n − i S0).
Phân bố của lợi suất
P{r= ln(u i d n − i )}=C n i p i (1−p) n − i với i= 1, , n (2.12) Khi đó lợi suất kì vọng
E(r) = r = ∑(i=0 đến n) C(n, i) p^i (1−p)^(n−i) ln(u^d)^(n−i) = ∑(i=0 đến n) C(n, i) p^i (1−p)^(n−i) [i ln u^d + n ln d] Do đó, r = ln u^d [∑(i=0 đến n) C(n, i) p^i (1−p)^(n−i) i] + n ln d [∑(i=0 đến n) C(n, i) p^i (1−p)^(n−i)] Biểu thức trong ngoặc của số hạng thứ hai bằng 1 (tổng các xác suất) và biểu thức trong ngoặc của số hạng thứ nhất chính là kỳ vọng của phân bố Nhị thức B(n, p), nên bằng np Từ đó, ta có r = n p ln u^d + n ln d.
Nếu gọirk là lợi suất cổ phiếu trong giai đoạn thứ k thì rk= ln(Sk/Sk − 1) Khi đó lợi suất r sau n giai đoạn có thể biểu diễn là r = lnSn
Do biến động giá sau mỗi giai đoạn độc lập với nhau nên các lợi suất rk là các biến ngẫu nhiên độc lập Suy ra V ar(r) =Pn k=1V ar(r k ).
Do Sk có phân bố Sk ( uSk − 1 : xác suất p dSk − 1 : xác suất (1−p) suy ra phân bố của rk : rk ( lnu: xác suất p lnd: xác suất (1−p)
Dễ dàng tính đượcV ar(rk) =p(1−p) ln 2 u d Do đó
Để ước lượng các tham số u, d và p của lợi suất cổ phiếu, chúng ta cần xác định kì vọng và phương sai Các tham số này có thể được tính toán từ các phương trình nplnu d + nlnd và np(1−p) ln 2 u d = σ 2.
Cox - Ross - Rubinstein đã đưa ra các lời giải xấp xỉ sau: u=e σ √ δt , d= 1/uvà p= e rδt − d u−d (2.18) u=e σ √
Dự báo giá cổ phiếu BBC được thực hiện dựa trên chuỗi số liệu giá đóng cửa từ ngày 4/1/2009 đến 31/12/2009.
Trong nghiên cứu này, chúng tôi đã tiến hành 250 phiên quan sát để ước lượng các tham số của mô hình thông qua việc thống kê giá cổ phiếu Chúng tôi đã chọn ngẫu nhiên 4 chu kỳ con: 50 phiên đầu tiên, 100 phiên đầu tiên, 150 phiên đầu tiên và toàn bộ 250 phiên Tại mỗi chu kỳ, chúng tôi thống kê số phiên tăng và giảm giá, từ đó tính toán tỷ lệ phiên tăng giá, tỷ lệ phiên giảm giá, cũng như tỷ lệ tăng giá trung bình và tỷ lệ giảm giá trung bình cho từng chu kỳ.
Sau khi tính toán ta thu được bảng thống kê như sau:
Mẫu Tỉ lệ phiên giá tăng Tỉ lệ tăng giá TB Tỉ lệ giảm giá TB
Từ đó ước lượng các tham số: p≈0.472, u≈1 + 0.036 = 1.036, d≈1−0.031 = 0.969.
Sử dụng công thức (2.13) ta thu được bảng dự báo giá cổ phiếu BBC trong khoảng thời gian ngắn hạn như sau:
Ngày Số phiên dự báo Giá thực tế Giá dự báo Chênh lệch
Ta ước lượng các tham số của mô hình cây nhị phân thông qua các tham số của chính lợi suất cổ phiếu Ta có các ước lượng: à= 0.00285, σ = 0.03354.
Dựa vào công thức xấp xỉ (2.18) và (2.19) ta thu được các tham số: u= 1.0021, d= 0.9979, p= 0.5027.
Từ đó thu được bảng giá trị sau:
Ngày Số phiên dự báo Giá thực tế Giá dự báo Chênh lệch
Cả hai phương pháp ước lượng đều mang lại dự báo tương đối chính xác trong các phiên ngắn hạn Tuy nhiên, khi thời gian dự báo kéo dài, sai số bắt đầu gia tăng, dẫn đến kết quả dự báo trở nên kém chính xác và không còn đáng tin cậy.
Mô hình GBM
Năm 1965, P Samuelson đã phát triển mô hình "Chuyển động Brown kinh tế" dựa trên phân tích thực nghiệm các quá trình giá cổ phiếu tại thị trường chứng khoán Mỹ Mô hình này mô tả động thái giá cổ phiếu và được biết đến với tên gọi "Chuyển động Brown hình học" (GBM) trong toán học.
2.2.2.1 Mô tả trực quan động thái giá cổ phiếu
Chot là thời điểm hiện tại vàt+δtlà thời điểm trong tương lai Giá tại thời điểm t+δt phải thể hiện hai khuynh hướng:
• Tăng ổn định và tỉ lệ với giá hiện tại cũng như khoảng thời gian δtđể đảm bảo giá trị theo thời gian của tiền tệ.
• Biến động ngẫu nhiên dưới tác động của nhiễu trắng.
Lợi suất cổ phiếu trong khoảng thời gian [t, t+δt]: rt= St+δt−St
Lợi suất rt cũng có hai khuynh hướng:
Tăng trưởng ổn định và tỉ lệ với khoảng thời gian δt Nếu kỷ hiệu là lợi suất tức thời trung bình, thì khuynh hướng này được biểu thị bởi đại lượng àδt.
Biến động ngẫu nhiên và không ổn định tỷ lệ với độ biến động của cổ phiếu σ, thời gian √ δt và nhiễu phát sinh t Từ hai khuynh hướng biến động này, ta có thể tổng hợp và biểu diễn công thức: rt = àδt + σt.
Dễ thấy lợi suất cổ phiếu trong khoảng thời gian [t, t+ δt] có phân phối chuẩn rt∼N(àδt, σ 2 δt).
Với lợi suất rt trong khoảng thời gian [t, t+δt] và giá đầu kì St thì giá cuối kì
S t+δ theo cách tính lãi gộp liên tục là
Phương trình (2.22) là phương trình mô tả động thái giá cổ phiếu Có thể mở rộng phương trình trên cho nhiều chu kì (k chu kì):
Nếu quá trình giá cổ phiếu {St} trong khoảng thời gian [t, t+δt] có số gia δS St+δt−St thỏa mãn phương trình: δSt =àStδt+σSt t
√δt (2.24) với mọit và t ∼N(0,1)thỡ quỏ trỡnh {St} gọi là quỏ trỡnh GBM Tham số àgọi là lợi suất kì vọng (tức thời), σ là độ dao động của cổ phiếu.
Nếu quá trình {St} tuân theo mô hình GBM thì kì vọng và phương sai của giá tại thời điểm t là
Trong trường hợp thời gian liên tục, quá trình {St} tuân theo mô hình GBM thỏa mãn phương trình vi phân ngẫu nhiên: dSt =àStdt+σStdWt (2.27)
Vớ dụ 2.5 Cổ phiếu A hiện thời cú giỏ 20.000đ, lợi suất kỡ vọng à= 20%/năm, độ dao động σ = 40%/năm.
Khi đó kì vọng của giá cổ phiếu A là
Phương sai của giá cổ phiếu S là
2.2.2.3 Mô hình GBM và quá trình loga giá cổ phiếu
Nếu quá trình {St}tuân theo mô hình GBM thì quá trình loga của giáXt = lnSt sẽ là quá trình Itô có phương trình dXt= à−σ 2
Từ phương trình trên chuyển sang dạng rời rạc: δXt= lnS t+δt
Như vậy ln S t+δt S t ∼N[ à− σ 2 2 δt, σ 2 δt] Từ phương trình (2.29) suy ra quỹ đạo giá
Từ đú nếu ước lượng được cỏc tham số à, σ ta cú thể mụ phỏng quỏ trỡnh giỏ {S t }.
Mô hình định giá quyền chọn
Mô hình cây nhị phân định giá quyền chọn
2.3.2.1 Mô hình 1 bước: Đầu tư phòng hộ
Tại thời điểm hiện tại t=0 và thời điểm đáo hạn t=T của một quyền chọn, trong mô hình một bước, không xem xét các thời điểm giữa 0 và T Giá hiện tại của tài sản cơ sở được ký hiệu là S0, trong khi giá trị tương lai ST không được biết rõ, cũng như hàm thu hoạch ϕ(ST) Giả sử rằng ST có thể nhận một trong hai giá trị: ST = S0 * u (khi tăng) hoặc ST = S0 * d (khi giảm) Giá trị hiện tại được giả định là R Euro tại thời điểm T, với điều kiện 0 < d < R < u và R > 1, trong đó R1 là nhân tử chiết khấu trong khoảng thời gian [0, T].
Giả sử quyền chọn là quyền chọn mua với giá thực hiện K nằm giữa S0d và S0u, người bán quyền này sẽ phải chi trả S0u−K nếu giá tài sản tại thời điểm đáo hạn ST bằng S0u, hoặc không phải trả gì nếu ST không đạt mức giá này.
Để đạt được mục đích trong tình huống giá tài sản cơ sở tăng, người đó có thể phòng ngừa rủi ro bằng cách mua một số lượng tài sản cơ sở thích hợp tại thời điểm t=0 Nếu thực hiện đúng chiến lược này, anh ta có khả năng gia tăng sự giàu có của mình.
Để xác định số lượng tài sản cơ sở và Euro trong một danh mục đầu tư, ta cần tính toán giá trị tại thời điểm t=0 là xS0+y và tại t=T là xS0u+yR hoặc xS0d+yR, tùy thuộc vào giá trị ST Mục tiêu là chọn x và y sao cho giá trị danh mục tại T tương đương với thu hoạch của quyền chọn, tức là S0u−K hoặc bằng 0 Danh mục này được gọi là danh mục phòng hộ, với các thành phần x và y phải thỏa mãn một hệ phương trình cụ thể.
Tại thời điểm 0, giá trị của danh mục xS0 + y được gọi là mức bù tối thiểu của quyền chọn, đại diện cho số tiền mà người mua phải trả cho người bán trong hợp đồng.
Ví dụ 2.6 trình bày một call option với giá thực hiện K = 180 Ba giá trị của tài sản cơ sở là 120, 180 và 60 Hai giá trị tương ứng với hàm thu hoạch ϕ(ST) = (ST − 80)+ là 180 và 0 Giá trị ban đầu được xác định là 50, có thể tính được từ các nghiệm của hệ phương trình với công thức 120x + y.
Nghiệm là (x, y) = (5/6, -50) Tại thời điểm t = 0, người bán quyền mua xây dựng danh mục đầu tư gồm 5/6 đơn vị S, tương đương với trị giá 5/6 * 120 = 100 Euro Họ sử dụng 50 Euro cho mức bù tối thiểu và vay 50 Euro Đến thời điểm t = T, giá trị danh mục này sẽ có hai trường hợp, mỗi loại tương ứng với số tiền mà họ phải trả cho chủ sở hữu quyền chọn.
2.3.1.2 Mô hình hai bước: Phòng ngừa năng động Ý tưởng về một danh mục phòng hộ (x, y) được xây dựng từ t = 0một lần cho tất cả là không đủ, trong một mô hình nhiều bước khi có nhiều hơn hai giá tài sản tồn tại cùng thời điểm đáo hạn Nhưng nếu thêm vào danh mục tại thời điểm hiện tại thì sẽ có nghiệm tồn tại, gọi là phòng hộ năng động Xét mô hình một tài sản cơ sở với hai bước thời gian t ∈ {0;δt; 2δt =T} Giả sử tài sản cơ sở (St) bằng S0 tại t= 0, có thể nhận một trong hai giá trịSδt=S0dhoặc Sδt=S0uvà bằng một trong các giá trị ST =S0d 2 , ST =S0ud, S0u 2 tại thời điểm t=T Để xây dựng một danh mục phòng hộ cho một quyền chọn đối với (St) với thu hoạch ϕ(ST), trước tiên ta nhận xét ba giá trị Π T tại thời điểm cuối cùng đã biết và hai giá trị khác nhau của nó: Πδt = xδt.Sδt+yδt ở thời điểm hiện tại, được suy ra từ ΠT giống như mô hình một bước bằng cách giải hệ:
( xS 0 u 2 +yR=ϕ(S 0 u 2 ) xS0ud+yR=ϕ(S0ud) đối với giá trị tăng (2.32) và hệ: ( xS0ud+yR=ϕ(S0ud) xS 0 d 2 +yR=ϕ(S 0 d 2 ) đối với giá trị giảm (2.33)
GọiΠ u δt vàΠ d δt là hai giá trị tăng, giảm củaΠδtvà có thể được tính từΠ u δt =xδtS0u+yδt
Giá trị ban đầu Π0, tương ứng với mức bù tối thiểu của quyền chọn, có thể được xác định bằng cách giải hệ phương trình liên quan đến các nghiệm xδt và yδt Khi hai giá trị này được tính toán, chúng sẽ cung cấp thông tin cần thiết để tính toán Π0.
( xS0u+yR= Π u δt xS0d+yR= Π d δt và đặt Π0 =x0S0+y0, với x0, y0 là nghiệm của hệ (2.34)
Ví dụ 2.7 Giả sử xét một call option với thời điểm đáo hạn T = 2δt, giá thực hiện
K = 80, R = 1, giả sử quá trình của (S t ) cho bởi:
Tại thời điểm t = T, giá trị của danh mục được xác định bởi công thức Π T = (S T − 80) + Trong ví dụ, khi Sδt = 120, giá trị Π u δt đạt 50 Tuy nhiên, khi Sδt giảm xuống 40, giá trị này trở về 0, cho thấy không còn rủi ro để phòng hộ Tại t = 0, các yếu tố x 0 và y 0 trong danh mục phòng hộ phải thỏa mãn phương trình x 0 S 0 + y 0 = Π δt, từ đó hình thành hệ phương trình cần thiết.
Nghiệm của hệ là x0 = 5/8, y0 = −25, dẫn đến Π0 = 25 Người bán quyền nhận được mức bù tối thiểu Π0 = 25 tại t = 0 và sử dụng 25 Euro đã vay để mua 5/8 tài sản với giá 80 Euro Tại t = δt, có hai khả năng xảy ra: Nếu Sδt = 40, anh ta có thể xóa danh mục với x0S0 = 5/8 * 40 = 25, đủ để trả hết khoản vay y0 = 25 Ngược lại, nếu Sδt = 120, anh ta cần mua thêm 5/6 - 5/8 = 10/48 tài sản với giá Sδt = 120, dẫn đến khoản vay mới 10/48 * 120 = 25 Euro, làm tăng tổng khoản vay.
Người bán quyền chọn cần áp dụng chiến lược phòng hộ rủi ro để đảm bảo danh mục đầu tư đạt giá trị mong muốn Nếu không thực hiện phòng hộ, hoặc chỉ thực hiện ở mức tối thiểu, danh mục có thể gặp rủi ro lớn Ví dụ, nếu chỉ đạt 25 Euro khi R = 1, người bán sẽ không đủ khả năng chi trả 100 Euro cho người sở hữu quyền chọn khi giá ST đạt 180 Việc xây dựng danh mục đầu tư mà không thường xuyên cân bằng sẽ dẫn đến thất bại, gây ra giá trị 0 tại thời điểm T.
• 5 8 180−25 = 87.5nếu giá tài sản là 180 trong khi anh ta phải trả100.
• 5 6 60−25 = 12.5 nếu giá tài sản là 60trong khi anh ta không phải trả gì khác.
• 5 8 20−25 =−12.5nếu giá tài sản là 20, anh ta không có gì phải trả nhưng cũng không thể trả hết nợ.
2.3.1.3 Mô hình cây nhị phân n giai đoạn Để định giá và phòng hộ một quyền chọn mua với thời điểm đáo hạn T = nδt, giá thực hiện K đối với một tài sản (St)t ∈ T, T = [0 T]δt = {0, δt, , nδt}, ta có thể tổng quát từ trường hợp 2 giai đoạn Danh mục đầu tư phòng hộ (Πt)t ∈ T đã biết ở thời điểm T và có thể được xác định ∀t ∈ T theo công thức quy nạp ngược Giả sử ta biết các giá trị khác nhau của nó tại thời điểm t+δt, gọi Π là một trong những giá trị này tại tứng với St=S và Bt=B, gọiΠ u và Π d là hai giá trị có thể có trong thời điểm tiếp theo Hai thành phần x, y là nghiệm của hệ:
( x= Π Su u − − Π Sd d y =e − rδt Π B(u d u − − Π d) u d (2.39) Vậy Π =xS+yB Có thể viết lại giá trị danh mục đầu tư là Π =xS+y = Π u −Π d
Các đại lượng này thỏa mãn p+q = 1, 0 < p < 1, 0 < q 0 và E Q V N > 0 Vì V là martingale dưới Q, ta có V0 = E Q V0 = E Q VN > 0, điều này tạo ra mâu thuẫn.
Nếu P là độ đo xác suất tương đương với Q thì P(V0 = 0) = 1 khi và chỉ khi Q(V0 = 0) = 1,P(VN ≥0) = 1 khi và chỉ khi Q(VN ≥ 0) = 1, và P(VN >0)>0 khi và chỉ khiQ(VN >0)>0.
Quan hệ giữa cặp đôi mua và bán, hay còn gọi là Put-Call parity, thể hiện mối liên hệ giữa giá trung bình của quyền chọn call và quyền chọn put kiểu Âu Cụ thể, giá trị của quyền chọn call được biểu diễn là c(SN) = (SN − K)+ và quyền chọn put là p(SN) = (K − SN)+ Từ đó, ta có thể suy ra rằng c(SN) − p(SN) = SN − K Nếu ký hiệu giá trị của quyền chọn call tại thời điểm n là Cn và giá trị của quyền chọn put là Pn, chúng ta dễ dàng thu được các mối quan hệ này.
Giới hạn trong mô hình CRR
Trong một chu kỳ giao dịch xác định trong khoảng thời gian [0, T], các giao dịch diễn ra tại các thời điểm t_n = n∆N, với ∆N = T/N Mô hình CRR (Cox-Ross-Rubinstein) được áp dụng trong bối cảnh thời gian rời rạc, với các tham số phụ thuộc vào N được thiết lập như sau: r_N = exp(r∆N) - 1 và u_N = exp(σp).
Giữ nguyên tham số N, chúng ta xem xét mô hình CRR thứ N với giá trái phiếu tại thời điểm ảo k là B k N Thời điểm ảo k tương ứng với thời điểm thực t N k, tại đó giá trái phiếu được xác định.
Trong mô hình định giá trái phiếu, quan hệ giữa hai giá trái phiếu được xác định bởi B k N = B N (t N k ) Đối với t thuộc khoảng [t N k , t N k+1 ), ta có B N (t) = B N (t N k ) Tại thời điểm t = k, giá trái phiếu B N (t) bằng (1 + rN) k = e rt Khi t cố định trong khoảng [0, T], với k = k(N) = [N T t], ta nhận thấy B N (t) tiến gần đến e rt khi N tăng lên vô hạn Mặc dù việc lựa chọn tham số cho giá trái phiếu tương đối đơn giản, nhưng đối với giá cổ phiếu thì phức tạp hơn Giá cổ phiếu tại thời điểm k trong mô hình CRR thứ N được ký hiệu là S k N Tương tự, với thời điểm t cố định, giá cổ phiếu S N (t) được xác định bởi S k N trong khoảng [t N k , t N k+1 ) Các xác suất trung hòa rủi ro qu(N) và qd(N) trong mô hình CRR thứ N được xác định bằng công thức qu(N) = e r∆ N − exp(−σ√.
Ta sẽ xét xem có gì xảy ra khi cho N → ∞ Sử dụng khai triển Taylor của hàm lũy thừa khi N → ∞ta có: qu(N) = 1
Trong trường hợp quyền chọn mua kiểu Âu, giá trị thu hoạch được xác định bằng công thức (S N (T)−K) + Tại thời điểm t∈[t N n , t N n+1 ), giá trung bình được tính toán theo công thức 2σ + O(∆N), dẫn đến q u (N) → 1/2 và q d (N) → 1/2.
Snπ(N −n, p, an)−K(1 +r) − N+n π(N −n, qu, an) (2.62) với các thay thế xấp xỉ Do đó ta xác định được p N = u N q u (N) và a N (t) = min{i :
S N (t)u i N d N N − n − i > K} Chú ý rằng ta có bất đẳng thức log S K
Tính các giới hạn của các xác suấtπ(N−n, p N , a N (t))và π(N−n, q u (N), a N (t))khi
Khi N tiến tới vô cùng và N n tương đương với T t sao cho t N n tiến tới t, chúng ta định nghĩa một biến ngẫu nhiên phụ YN với phân phối nhị thức B(N −n, pN) Sử dụng biến YN, ta có thể xác định π(N −n, pN, aN(t)) lớn hơn aN(t) Áp dụng định lý giới hạn trung tâm cho phép chúng ta phân tích hành vi của biến ngẫu nhiên này trong các điều kiện nhất định.
> αN(t)), với α N (t) = (V arY N ) − 1/2 (a N (t)−EY N ) Dễ thấy V arY N = 1 4 (N −n)(1 +O(∆ N )). Hơn nữa ta có pN = uNqu
Sử dụng công thức (2.63) và chú ý (N −n)√
∆N →(T −t), ta có: aN(t)−EYN =aN(t)−(N−n)pN = 2σ √ 1 ∆
Với S N (t) =s ta thu được π(N −n, pN, aN(t))→φ log(s/K)+(r+ 1 2 σ 2 )(T − t) σ √
Sự hội tụ của xác suất π(N −n, qu(N), aN(t)) đã được kiểm tra và tổng hợp trong định lý 2.3 Theo định lý này, dưới các giả thiết ban đầu, tại thời điểm t, khi giá cổ phiếu đạt giá trị S N (t) = s, giá trung bình của một quyền chọn mua kiểu Âu với thu hoạch (S N (T)−K) có biểu thức giới hạn là sφ(d1)−Ke − r(T − t) φ(d2), trong đó d1 được xác định là d1(t, s) = log(s/K)+(r+ 1/2 σ^2)(T − t)/σ√.
Mô hình Black - Scholes
Trong phần trước, chúng ta đã phát triển công thức cho sự hội tụ của mô hình CRR, trong đó các biến ngẫu nhiên S(tk) thỏa mãn điều kiện rằng số gia của quá trình logS(t) là độc lập Phân phối của logS(tk)−logS(tk − 1) tuân theo phân phối chuẩn với trung bình là (r− 1/2 σ²)(tk−tk − 1) và phương sai là σ²(tk − tk − 1) Đặc biệt, cần lưu ý rằng phân phối của chuyển động Brown có độ dịch chuyển.
X được cho bởi: X(t) = x 0 +at+σW(t), ta thừa nhận mô hình dưới đây cho quá trình giá S(t) dưới độ đo martingale tương đương Q logS(t) =logs+ (r−1
2σ 2 )t+σW Q (t), (2.66) trong đó W(t)là một chuyển động Brown đối với độ đo xác suất Q.
Độ đo martingale tương đương sẽ được giải thích trong bài viết này Quá trình giá chiết khấu S được xác định là một martingale, với nhân tử chiết khấu tại thời điểm t là B(t) = e^(rt) Từ phương trình (2.66), chúng ta có thể rút ra những kết luận quan trọng về mối quan hệ giữa các yếu tố này.
Trong việc xây dựng mô hình CRR, độ đo xác suất Q được sử dụng để định giá các phái sinh tài chính Tuy nhiên, độ đo tự nhiên P, phản ánh xác suất thực tế, lại khác biệt do sự biến động lên xuống của giá cổ phiếu.
Q Mặc dù vậy ta vẫn giả thiết về sự tương đương giữa các độ đo này theo nghĩa quá trình giá có xác suất dương dưới độ đo này thì cũng có xác suất dương dưới độ đo kia Ta sẽ chỉ ra các độ đo P tương đương với Q và xét xem phương trình (2.66) sẽ biến đổi thế nào dưới độ đo Pnhư thế Theo kết quả của định lí Girsanov, bất kì độ đo xác suất P nào đưa ra một tham số độ dịch chuyển không đổi (khác r− 1 2 σ 2 ) cho logS đều tương đương với Q, khi bị hạn chế trên F T , σ− đại số nhỏ nhất làm cho
W(s) (s≤T) là hàm đo được tên Ω Từ mục 3.1, bất kỳ độ đo xác suất nào cho phép gS có độ dịch chuyển không đổi có thể phát sinh từ giới hạn của quá trình thời gian rời rạc Cụ thể, ta có thể thay thế qu(N) bằng xác suất pu(N) = e^(α + 1/2 σ²)∆N - dN.
Quá trình S có thể được biểu diễn dưới dạng logS(t) = logs + αt + σW P(t), trong đó N − d N dẫn đến sự hình thành này Ngoài ra, có nhiều xác suất tương đương với Q Kết luận này được rút ra từ định lý cho rằng các hàm hằng là trù mật trong L2[0, T] Điều này cho phép chứng minh rằng mọi độ đo xác suất P đều thỏa mãn logS(t) = logS(0) +
Trong bài viết này, chúng ta xem xét một danh mục đầu tư bao gồm một đơn vị cổ phiếu và một số lượng trái phiếu nhất định, với a ∈ L²[0, T] và W_P là chuyển động Brown dưới P tương đương với Q khi bị hạn chế trên F_T Danh mục này là đa dạng, vì số lượng cổ phiếu và trái phiếu sẽ thay đổi theo thời gian Tại thời điểm t cố định, giá trị của cổ phiếu và trái phiếu phụ thuộc vào biến động và giá trị của cổ phiếu trước thời điểm t, nhưng không bị ảnh hưởng bởi giá cổ phiếu trong tương lai Các biến ngẫu nhiên này được ký hiệu là x_t và y_t, và quá trình (x, y) là một quá trình ngẫu nhiên hai biến số Giá trị của danh mục tại thời điểm t được ký hiệu là V(t).
Chúng ta sẽ xem xét các giá trị chiết khấu của các quá trình ngẫu nhiên Như đã đề cập ở các mục trước, kí hiệu Y đại diện cho phần chiết khấu của quá trình Y và được xác định bởi các yếu tố liên quan.
Y(t) =Y(t)/B(t) =Y(t)e − rt Đặc biệt giá trị chiết khấu V(t) được xác định là
Một danh mục được gọi là danh mục martingale khi quá trình giá trị chiết khấu V là một martingale theo độ đo Q Trong bối cảnh thời gian rời rạc, danh mục martingale được xem là tự cân đối tài chính, nhưng điều này không áp dụng trong trường hợp thời gian liên tục Tuy nhiên, chúng ta vẫn có thể thiết lập một biểu thức cho quá trình giá trị V của danh mục.
Giả sử r = 0, xem xét một danh mục tự cân đối tài chính với giá trị V Ký hiệu Vn(u) là giá trị của Vn khi Sn = Sn - 1u, trong khi Vn(d) là giá trị khi Sn = Sn - 1d Đồng thời, ký hiệu S n (u) = S n - 1 u và S n (d) = S n - 1 d Các biến x n và y n không phụ thuộc vào giá trị của S n.
Vn(d) = xnSn(d) +yn Kí hiệu D là toán tử hiệu sao cho DVn = Vn(u)−Vn(d) và
DSn=Sn(u)−Sn(d) Do đó ta có xn = DVn
Danh mục tài chính với r = 0 được coi là tự cân đối khi và chỉ khi giá trị V của nó là martingale đối với độ đo martingale tương đương Q Giả sử có một danh mục tự cân đối sao cho giá trị cuối cùng VN phụ thuộc vào SN, ví dụ VN = f(SN).
Vn = E Q [f(SN)|S0, , Sn], theo tính chất Markov của S đối với xác suất Q, được thu gọn thành một hàm chỉ theo S n , chẳng hạn V n = v n (S n ) Khi đó có thể viết
V n (u) =v n (S n − 1 u) và V n (d) =v n (S n − 1 d) Phương trình trên trở thành xn = vn(Sn − 1u)−vn(Sn − 1d)
Khi u giảm xuống 1 và d tăng lên 1, thì u−d tiến gần đến 0 Giả sử miền xác định của vn là R và đạo hàm v 0 n của vn tồn tại, biểu thức sẽ có dạng xn ≈ v n 0 (Sn − 1) Kết quả này là nền tảng cho định nghĩa về danh mục tự cân đối tài chính trong thời gian liên tục.
Trong phần trước, chúng ta đã thảo luận về cách thiết lập giới hạn cho mô hình CRR Đối với một số N lớn, chúng ta so sánh thị trường liên tục trong khoảng thời gian [0, T] với thị trường CRR ảo có tập thời gian {0, , N}, trong đó N và T được liên hệ qua công thức N∆N = T Khi cố định một thời điểm t ∈ [0, T], ta xác định n là thời điểm tương ứng trong thị trường ảo, với n = [ T t N] và điều kiện t N n ≤ t < t N n+1, trong đó t N n = N n T.
Kí hiệu Q N đại diện cho độ đo martingale tương đương trong thị trường CRR thứ N Xét các giá trị V n N = v n N (S n N ) với giả thiết f là hàm liên tục bị chặn Theo kết quả hội tụ, v n N (s) hội tụ tới hàm v(t, s) := E Q f( S(T S(t) ) s), trong đó Q là xác suất thỏa mãn biểu thức (2.66) Khi thay thế s bằng suN hoặc sdN, nếu khả vi đối với biến thứ hai, ta có xấp xỉ v N n (suN) ≈ v(t, x) + s(uN − 1)vx(t, s) và tương tự với v n N (sdN) Nếu x N n là lượng cổ phiếu tại thời điểm n của thị trường CRR thứ N.
N, ta có xấp xỉ x N n = DV DS n N N (s) n ≈v x (t, s). Định nghĩa 2.1 Một danh mục martingale trong thị trường Black - Scholes mà quá trình giá trị V của nó có thể viết là V(t) = v(t, S(t)) gọi là danh mục tự cân đối tài chính nếu đại lượng x t được đầu tư vào cổ phiếu tại thời điểm t thỏa mãn x t =v x (t, S(t)). Định nghĩa trên được đưa ra với ràng buộc lãi suất bằng0 Tuy nhiên có thể đưa ra định nghĩa với trường hợp lãi suất khác0 Xét một danh mục với quá trình giáV xác định bởiV(t) =v(t, S(t)) Quá trình giá trị chiết khấu khi đó bằng V(t) =v(t, S(t)), hàm v, v 0 liên hệ với nhau bởi công thứcv(t, x) =e − rt v(t, e rt x) Quan sát thấy trong thị trường chiết khấu Black - Scholes thì lãi suất bằng 0 Giả sử rằng có một danh mục tự cân đối tài chính trong thị trường chiết khấu Ta biết xt = vx(t, S(t)) Ta cũng có xt =vx(t, S(t)) Điều này có thể phát biểu là "một danh mục tự cân đối tài chính trong thị trường Black - Scholes nếu và chỉ nếu nó là tự cân đối tài chính trong thị trường chiết khấu đó".
Danh mục tự cân đối tài chính và sự phòng hộ
Xét một danh mục (x_t, y_t) với giá trị V, trong đó V(t) = x_t S(t) + y_t B(t) Nếu V là nửa martingale liên tục theo độ đo xác suất P, chúng ta có thể xem xét vi phân ngẫu nhiên của V Một danh mục được coi là tự cân đối tài chính nếu nó thỏa mãn điều kiện khả tích E Q R_T.
0 x(u) 2 du