2 Một số mơ hình ngẫu nhiên trong tài chính
2.2 Mơ hình định giá cổ phiếu
2.2.2 Mơ hình GBM
Năm 1965 P. Samuelson trên cơ sở phân tích thực nghiệm các q trình giá cổ phiếu tại thị trường chứng khốn Mỹ đã đưa ra mơ hình mơ tả động thái giá cổ phiếu gọi là "Chuyển động Brown kinh tế". Về mặt tốn học, q trình giá cổ phiếu theo mơ hình của Samuelson gọi là "Chuyển động Brown hình học" (GBM).
2.2.2.1 Mô tả trực quan động thái giá cổ phiếu
Chot là thời điểm hiện tại vàt+δtlà thời điểm trong tương lai. Giá tại thời điểm
t+δt phải thể hiện hai khuynh hướng:
• Tăng ổn định và tỉ lệ với giá hiện tại cũng như khoảng thời gian δtđể đảm bảo giá trị theo thời gian của tiền tệ.
• Biến động ngẫu nhiên dưới tác động của nhiễu trắng. Lợi suất cổ phiếu trong khoảng thời gian [t, t+δt]:
rt= St+δt−St St =
δSt
St . (2.20)
Lợi suất rt cũng có hai khuynh hướng:
• Tăng ổn định và tỉ lệ với khoảng thời gian δt. Nếu kí hiệu µlà lợi suất tức thời trung bình thì khuynh hướng này c biu th bi i lng àt.
ã Bin ng ngu nhiên và không ổn định với mức độ tỉ lệ với độ biến động của cố phiếu σ, thời gian √δt và nhiễu phát sinh t.
Với hai khuynh hướng biến động trên, tổng hợp lại ta có thể biểu diễn:
rt=µδt+σt√
δt (2.21)
trong đó t ∼N(0,1).
Dễ thấy lợi suất cổ phiếu trong khoảng thời gian [t, t+ δt] có phân phối chuẩn
rt∼N(µδt, σ2δt).
Với lợi suất rt trong khoảng thời gian [t, t+δt] và giá đầu kì St thì giá cuối kì
St+δ theo cách tính lãi gộp liên tục là
St+δt=Stexp(µδt+σt√
δt). (2.22)
Phương trình (2.22) là phương trình mơ tả động thái giá cổ phiếu. Có thể mở rộng phương trình trên cho nhiều chu kì (k chu kì):
St+kδt=Stexp(kµδt+σt√
2.2.2.2 Mơ hình GBM
Nếu q trình giá cổ phiếu {St} trong khoảng thời gian [t, t+δt] có số gia δS =
St+δt−St thỏa mãn phương trình:
δSt =µStδt+σStt√
δt (2.24)
với mọit và t ∼N(0,1)thì quá trình {St} gọi là quá trình GBM. Tham số µgọi là lợi suất kì vọng (tức thời), σ là độ dao động của cổ phiếu.
Nếu quá trình {St} tn theo mơ hình GBM thì kì vọng và phương sai của giá tại thời điểm t là
E(St) =S0eµt (2.25)
V ar(St) =S02e2µt(eσ2t−1). (2.26) Trong trường hợp thời gian liên tục, q trình {St} tn theo mơ hình GBM thỏa mãn phương trình vi phân ngẫu nhiên:
dSt =µStdt+σStdWt. (2.27)
Ví dụ 2.5. Cổ phiếu A hiện thời có giá 20.000đ, lợi suất kì vọng µ= 20%/năm, độ
dao động σ = 40%/năm.
Khi đó kì vọng của giỏ c phiu A l
E(St) = S0eàt = 20.000ìe0.2 24.428.
Phng sai của giá cổ phiếu S là
V ar(St) = S02e2µt(eσ2t−1) = 20.0002×e0.4(e(0.4)2 −1)≈103.54.
2.2.2.3 Mơ hình GBM và q trình loga giá cổ phiếu
Nếu quá trình {St}tn theo mơ hình GBM thì quá trình loga của giáXt = lnSt
sẽ là quá trình Itơ có phương trình
dXt= µ−σ
2
2
dt+σdWt (2.28)
Từ phương trình trên chuyển sang dạng rời rạc:
δXt= lnSt+δt St = µ− σ 2 2 δt+σt√ δt. (2.29) Như vậy lnSt+δtSt ∼N[ µ− σ2 2
δt, σ2δt]. Từ phương trình (2.29) suy ra quỹ đạo giá
St =St−1exp[ µ− σ 2 2 δt+σt√ δt]. (2.30)
Với δt= 1 ta có: St=St−1exp[ µ− σ 2 2 +σt]. (2.31)
Từ đó nếu ước lượng được các tham số µ, σ ta có thể mơ phỏng q trình giá {St}.