2 Một số mơ hình ngẫu nhiên trong tài chính
2.5 Hàm lỗ lãi và một số tính chất
2.5.3 Hà mP &L và martingale
Vẫn giả sử Ωhữu hạn, P({ω})>0với ω∈Ωvà có một số hữu hạn các thời điểm
t ∈T:= [0...T]δt, nδt =T, gọi S là q trình ngẫu nhiênS : Ω×T7→R, S(ω, t) =:
St(ω). Mơ hình hóa các thơng tin có sẵn tạit bởi một đại số Ft⊆ P(Ω), sao cho mỗi
biến ngẫu nhiên St làFt- đo được (tức là giá của cổ phiếu tại t phụ thuộc vào thơng tin có sẵn tại t), do đó FS
t ⊆ Ft nhưng khơng nhất thiết FS
t =Ft. Một thị trường như thế gọi là bộ ba(Ω, S,F).
Như vậy ta đã xây dựng một chiến lược khả đốn là q trình α= (αt)t∈[0...T], tức làαt∈ Ft−δt với t∈[0...T]δt và hàm P&Lcủa nó đối với S vẫn được xác định là
P&LSt(α) = X
s∈[0...T]
αsδSs, δSs =Ss−Ss−δt.
Mệnh đề 2.7. Cho (Ω, S,F) là một thị trường nào đó, P∗ là xác suất trên Ω, kí
hiệu E∗ là kì vọng đối với P∗. Khi đó, S là một (P∗,F)- martingale khi và chỉ khi
E∗(P<(α)) = 0 với một chiến lược F- khả đốn bất kì.
Chứng minh. Ta sẽ chỉ ra S là martingale. Vì FS
t ⊆ Ft với mọi t nên S làF - tương thích. Vớit0 ∈[0..T]δt và A∈ Ft0, ta xác địnhαt=αA,t0t như sau:
αA,t0t :=
(
IA nếu t =t0+δt≥0 0 nếu t6=t0+δt≥0
có nghĩa là nếu A là đúng tại t = t0 thì mua một cổ phiếu và bán ngay sau đó tại
t = t+δt. Do đó αt là đặc trưng nếu t 6= t0+δt và là Ft0 đo được nếu t = t0+δt,
vậy α= (αt) làF - khả đoán. Bây giờ ta có
P&LST(α) = X
t∈[0..T]
αtδSt =IAδSt0+δt,
theo giả thiết:
0 =E∗(P&LS
T(α)) =E∗(IAδSt0+δt),
điều này đúng với t0 ∈ [0..T] và A ∈ Ft0 bất kì, vì thế E∗(δSt0+δt | Ft0) = 0 với
t0 ∈[0..T] bất kì. Do đó S là martingale.
Ngược lại, nếuS là(P∗,F)- martingale thì E∗(δSs | Fs−δt) = 0, s∈[0..T]bất kì. Gọiα là một chiến lượcF - khả đốn, khi đóαs làFs−δt đo được. Áp dụng tính chất của kì vọng có điều kiện và các điều kiện của Ft−δt:
E∗(P&LST(α)) = E∗( X s∈[0..T] αsδSs) = X s∈[0..T] E∗(E∗(αsδSs | Fs−δt)) = X s∈[0..T] E∗(αsE∗(δSs | Fs−δt)) = 0.
2.5.4 Thị trường khơng có Acbit (Khơng kinh doanh chênh lệch giá)
Định nghĩa 2.7. Ta nói một chiến lược F- khả đốn α là một chiến lược Acbit (hay Acbit) của thị trường (Ω, S,F) nếu và chỉ nếu P&LS
T(α)≥ 0, và tồn tại ω0 ∈ Ω sao cho P&LS
T(α)(ω0)>0.
Nói cách khác, một chiến lược Acbit là một chiến lược khả đoán mà ta bắt đầu khi khơng có tiền mà phải vay một khoản làαδtS0, khi kết thúc thì khơng cịn nợ với bất kì giá trị ω ∈ Ω nào (P&LS
T(α) ≥ 0), và sẽ thu được lãi ít nhất là tại ω0 ∈ Ω.
Như đã đề cập, một mơ hình Acbit như thế dường như khơng dễ nhận ra, do đó ta chỉ quan tâm đến thị trường khơng có Acbit (Ω, S,F).
Định lí 2.7. Một thị trường (Ω, S,F) không là Acbit khi và chỉ khi tồn tại một xác suất P∗, P∗({ω}) > 0 với ω ∈ Ω bất kì, sao cho S = (St)t∈[0...T] là một (P∗,F)-
martingale.
Ví dụ 2.10. Vẫn xét ví dụ của Pliska, δt = T, S0 = 5, Sδt ∈ {3; 4; 6}. Đặt p =
P∗{Sδt = 3}; q = P∗{Sδt = 4}, 1−p−q = P∗{Sδt = 6}. Giả sử F0 ={∅,Ω}, S = (St)t∈[0...T] là(P∗,F)- martingale khi và chỉ khi
5 =S0 =E∗(Sδt| F0) =E∗(Sδt) = 3p+ 4q+ 6(1−p−q) = 6−3p−2q ⇔q = 1 2−3
2p.
Cuối cùng, do S là martingale khi và chỉ khi3p+ 2q= 1 vàP∗{Sδt= 3}=p∈(0;1 3),
dẫn tớiq =P∗{Sδt= 4} ∈(0;1
2)và 1−p−q =P∗{Sδt= 6} ∈(1 2;2
3). Do đó theo định
lí trên, mơ hình của Pliska khơng Acbit khi và chỉ khi p∈(0;13) =: (p−;p+).
Mệnh đề 2.8. Giả sử S là một (P∗,F)- martingale và α là chiến lược F- khả đốn
nào đó. Khi đó P&L(α) là một (P∗,F)- martingale.
2.5.5 Sự tồn tại của P∗
Bổ đề 2.2. Nếu tồn tại một xác suất P∗ sao cho S là (P∗,F)- martingale thì thị
trường (Ω, S,F) hữu hạn không là Acbit.
Chứng minh. Đặt α = (αt) là một chiến lược F khả đốn, theo mệnh đề trên thì
P&L(α) là một (P∗,F) martingale. Do đó P&L0(α) = E∗(P<(α) | F0), nhưng theo định nghĩa, P&L0(α) = 0, do đó
E∗(P<(α)) = E∗(E(P<(α)) | F0) = E∗(P&L0(α)) = E∗(0) = 0.
Ta chứng minh chiều nghịch của bổ đề trên. Giả sử thị trường (Ω, S,F)khơng có ac-bit, ta cần xây dựng một xác suấtP∗ mà đối với xác suất này giả thiết của mệnh đề 2.3 là đúng, tức là kì vọng E∗(P<(α)) của hàm cuối cùng của một chiến lược khả đoán bất kì bằng 0. Nhắc lại định lí tách Haln - Banach:
Cho H ⊆ Rd là không gian con đầy đủ của Rd và Γ∩Γ =∅ thì tồn tại một ánh xạ tuyến tính Λ : Rd→Rsao cho Λ(h) = 0 với h∈H bất kì vàΛ(γ)>0với γ ∈Γ
bất kì. Áp dụng định lí tách cho trường hợp Rd=RΩ, khơng gian hữu hạn chiều của tất cả các biến ngẫu nhiên trên Ω, trong đó xét hai tập con:
H :={P<(α) | α làF khả đoán } và Γ := {X ∈(R+)Ω | Pω∈ΩX(ω) = 1}.
Rõ ràngH, K thỏa mãn các điều kiện của định lí tách, đặc biệt thị trường (Ω, S,F) khơng có ac-bit cho ta điều kiện H∩Γ =∅.
Gọi Λ : RΩ →R là ánh xạ tuyến tính tách tương ứng, xác định λω, ω ∈ Ω sao cho với X ∈ Rd bất kì, Λ(X) = P
ω∈ΩλωX(ω) (tọa độ của Λ trong các cơ sở của khơng gian các dạng tuyến tính trên RΩ gồm các phép chiếu: X 7→ X(ω), ω ∈ Ω).
Ta sẽ kiểm tra rằng P∗ xác định bởi P∗(ω) =pω = |Λ1|λω , với Λ|:=Pω∈Ωλω. Thật vậy, xét ω0 ∈ Ω, biến ngẫu nhiên I{ω0} ∈ Γ thỏa mãn 0 < Λ(I{ω0}) = λω0, do đó
pω > 0 ∀ω ∈ Ω và Pω∈Ωpω = 1. Điều này định nghĩa một xác suất P∗ sao cho P∗({ω})>0 với ω∈Ω và có
E∗(X) =X
ω∈Ω
p∗ωX(ω) = 1
|Λ|Λ(X),
Vì thế E∗(P<(α)) = 0 với một chiến lược α khả đốn bất kì vì P<(α)∈ H ⊆
Kết luận Luận văn đã giải quyết được các cơng việc chính là:
• Trình bày lí thuyết phân tích và định giá các tài sản tài chính có chứa đựng yếu tố ngẫu nhiên.
• Chỉ ra mối liên hệ giữa trường hợp thời gian rời rạc và liên tục đối với mơ hình định giá quyền chọn.
• Cung cấp nhiều bài tốn áp dụng thực tế về định giá và phịng hộ tài sản tài chính.
Tuy nhiên do thời gian thực hiện không nhiều cũng như kiến thức còn hạn chế, luận văn khơng tránh khỏi những thiếu sót, em mong nhận được sự góp ý của thầy cơ và các bạn đọc để luận văn hoàn chỉnh hơn.
Tài liệu tham khảo
[1] Trần Trọng Nguyên (2010) Bài giảng toán tài chính.
[2] Trần Hùng Thao (2009) Nhập mơn tốn tài chính, NXB Khoa học và kĩ
thuật.
[3] Hồng Đình Tuấn (2011) Mơ hình phân tích và định giá tài sản tài chính, tập 1, NXB Khoa học và kĩ thuật.
[4] Hồng Đình Tuấn (2011) Mơ hình phân tích và định giá tài sản tài chính, tập 2, NXB Khoa học và kĩ thuật.
[5] Marc, Francine Diener (2007) Discrete stochastic models for finance.
[6] Francine Diener (2009) Continuous time models in Finance and Stochastic calculas.