2 Một số mơ hình ngẫu nhiên trong tài chính
2.4 Từ mơ hình với thời gian rời rạc đến mơ hình với thời gian liên tục
2.4.3 Mơ hình Blac k Scholes
Ở phần trên ta đã xây dựng cơng thức về sự hội tụ của mơ hình CRR. Đó là các biến ngẫu nhiên S(tk)thỏa mãn số gia của quá trình logS(t)là độc lập, và phân phối của logS(tk)−logS(tk−1) là chuẩn tắc với trung bình (r−1
2σ2)(tk−tk−1) và phương saiσ2(tk−tk−1). Chú ý là phân phối của một chuyển động Brown với độ dịch chuyển
X được cho bởi: X(t) = x0+at+σW(t), ta thừa nhận mơ hình dưới đây cho quá
trình giá S(t) dưới độ đo martingale tương đương Q
logS(t) =logs+ (r−12σ2)t+σWQ(t), (2.66) trong đó W(t)là một chuyển động Brown đối với độ đo xác suất Q.
Ta sẽ giải thích về độ đo martingale tương đương. Ta đã biết quá trình giá chiết khấu S là một martingale, nhân tử chiết khấu tại thời điểmt làB(t) =ert, do đó từ phương trình (2.66) ta có
S(t) =sexp{σWQ(t)−12σ2t}. (2.67) Trong q trình xây dựng mơ hình CRR, độ đo xác suất Q được xây dựng để tính giá của các phái sinh tài chính, nhưng độ đo tự nhiên, chẳng hạn như độ đo P quy cho các xác suất thực là do sự chuyển động lên xuống của giá cổ phiếu là rất khác Q. Mặc dù vậy ta vẫn giả thiết về sự tương đương giữa các độ đo này theo nghĩa quá trình giá có xác suất dương dưới độ đo này thì cũng có xác suất dương dưới độ đo kia. Ta sẽ chỉ ra các độ đo P tương đương với Q và xét xem phương trình (2.66) sẽ biến đổi thế nào dưới độ đo Pnhư thế. Theo kết quả của định lí Girsanov, bất kì độ đo xác suất P nào đưa ra một tham số độ dịch chuyển không đổi (khác r− 12σ2) cho
logS đều tương đương với Q, khi bị hạn chế trên FT, σ− đại số nhỏ nhất làm cho
W(s) (s≤T)là hàm đo được tên Ω. Từ mục 3.1 ta có bất kì độ đo xác suất nào làm
chologS có độ dịch chuyển khơng đổi có thể phát sinh từ giới hạn của quá trình thời gian rời rạc. Thực vậy, thay thếqu(N)bằng một xác suấtpu(N) = e(α+ 12σ2)∆N
−dN uN−dN , dẫn tới một q trìnhS có biểu diễn làlogS(t) =logs+αt+σWP(t). Tuy nhiên cũng có
nhiều xác suất tương đương với Q. Kết luận này suy ra từ định lí nói rằng các hàm hằng là trù mật trong L2[0, T] và có thể chứng minh rằng mọi độ đo xác suấtP thỏa mãn
logS(t) =logS(0) +
Z t
0
a(s)ds+σWP(t), (2.68) với a ∈L2[0, T] và WP là chuyển động Brown dưới P tương đương với Q khi bị hạn chế trên FT. Ta sẽ xét một danh mục gồm một đơn vị cổ phiếu và một số lượng trái
phiếu nhất định. Danh mục là đa dạng do đó số lượng cổ phiếu và trái phiếu phụ thuộc vào thời gian. Với thời gian t cố định, chúng sẽ phụ thuộc vào sự biến thiên và giá trị của giá cổ phiếu trước thời điểm t nhưng không phụ thuộc vào giá cổ phiếu trong tương lai sau thời điểm t. Kí hiệu các số này làxt vàyt(tại thời điểm t), chúng
là các biến ngẫu nhiên và quá trình (x, y) là quá trình ngẫu nhiên hai biến số. Giá trị của danh mục tạit kí hiệu làV(t) và
V(t) =xtS(t) +ytB(t). (2.69) Ta cũng sẽ làm việc với các giá trị chiết khấu của các quá trình ngẫu nhiên. Như các mục trước, kí hiệu Y là phần chiết khấu của quá trình Y và được xác định bởi
Y(t) =Y(t)/B(t) =Y(t)e−rt. Đặc biệt giá trị chiết khấu V(t) được xác định là
V(t) =xtS(t) +yt. (2.70) Một danh mục gọi là danh mục martingale nếu quá trình giá trị chiết khấu V
là một martingale đối với độ đo Q. Trong việc thiết lập quá trình thời gian rời rạc thì một danh mục martingale là danh mục tự cân đối tài chính, tuy nhiên trong trường hợp thời gian liên tục thì điều này khơng cịn đúng nữa. Nhưng ta vẫn có thể đưa ra một biểu thức cho q trình giá trị V của danh mục. Theo định nghĩa ta có
V(t) = EQ[V(T)|Ft], do đó V(t) =e−r(T−t)EQ[V(T)|Ft].
Bây giờ giả thiết r = 0, xét một danh mục tự cân đối tài chính với thời gian rời
rạc có giá trị V. Kí hiệu Vn(u)là giá trị của Vn nếu Sn =Sn−1u, Vn(d) ngược lại, và cũng kí hiệu Sn(u) =Sn−1u và Sn(d) =Sn−1d. xn và yn không phụ thuộc vào giá trị của Sn, ta có:
Vn(u) =xnSn(u) +yn
Vn(d) = xnSn(d) +yn. Kí hiệu D là toán tử hiệu sao cho DVn = Vn(u)−Vn(d) và
DSn=Sn(u)−Sn(d). Do đó ta có
xn = DVn
DSn. (2.71)
Nhắc lại rằng với r = 0, danh mục với thời gian rời rạc là tự cân đối tài chính khi
và chỉ khi quá trình giá trị V của nó là một martingale đối với độ đo martingale tương đương Q. Giả thiết rằng có một danh mục tự cân đối tài chính sao cho giá trị cuối cùng của nó VN là hàm của SN, chẳng hạn VN = f(SN). Khi đó ta có
Vn = EQ[f(SN)|S0, ..., Sn], theo tính chất Markov của S đối với xác suất Q, được thu gọn thành một hàm chỉ theo Sn, chẳng hạn Vn = vn(Sn). Khi đó có thể viết
Vn(u) =vn(Sn−1u) và Vn(d) =vn(Sn−1d). Phương trình trên trở thành xn = vn(Sn−1u)−vn(Sn−1d)
Sn−1u−Sn−1d (2.72)
Khi u ↓ 1 và d ↑ 1 thì u−d → 0, giả sử miền xác định của vn là R và đạo hàm v0
n của vn tồn tại. Khi đó biểu thức trên có dạng xn ≈ v0
n(Sn−1). Kết quả này là cơ sở
cho định nghĩa về danh mục tự cân đối tài chính đối với thời gian liên tục.
Trong mục trước ta đã nêu ra cách xây dựng giới hạn cho mơ hình CRR. Cho trước một sốN khá lớn và so sánh thị trường có thời gian liên tục trong khoảng[0, T]
với thị trường CRR ảo có tập thời gian {0, ..., N}, trong đó N và T liên hệ bởi công thức N∆N = T. Cố định một thời điểm t ∈ [0, T] và gọi n là thời điểm tương ứng trong thị trường ảo, n= [t
TN]và tN
n ≤t < tN
n+1 với tN n = n
NT.
Kí hiệu QN là độ đo martingale tương đương trong thị trường CRR thứ N. Xét các giá trị VN
n =vN n(SN
n). Giả thiết f là hàm liên tục bị chặn. Khi đó từ kết quả hội tụ ở mục trước ta có vN
n(s) hội tụ tới hàm v(t, s) := EQf(S(TS(t))s) trong đó Q là xác suất thỏa mãn biểu thức (2.66). Ta sẽ thay thếs bởisuN hoặc bởisdN. Nếuv khả vi đối với biến thứ hai, ta có xấp xỉ vN
n(suN) ≈ v(t, x) +s(uN −1)vx(t, s), cũng tương
tự với vN
n(sdN). Nếu xN
n là lượng cổ phiếu tại thời điểm n của thị trường CRR thứ
N, ta có xấp xỉ xN
n = DVnN(s)
DSN
n ≈vx(t, s).
Định nghĩa 2.1. Một danh mục martingale trong thị trường Black - Scholes mà q trình giá trị V của nó có thể viết là V(t) = v(t, S(t)) gọi là danh mục tự cân đối tài chính nếu đại lượng xt được đầu tư vào cổ phiếu tại thời điểm t thỏa mãn
xt=vx(t, S(t)).
Định nghĩa trên được đưa ra với ràng buộc lãi suất bằng0. Tuy nhiên có thể đưa ra
định nghĩa với trường hợp lãi suất khác0. Xét một danh mục với quá trình giáV xác định bởiV(t) =v(t, S(t)). Quá trình giá trị chiết khấu khi đó bằng V(t) =v(t, S(t)),
hàm v, v0 liên hệ với nhau bởi công thứcv(t, x) =e−rtv(t, ertx). Quan sát thấy trong
thị trường chiết khấu Black - Scholes thì lãi suất bằng 0. Giả sử rằng có một danh
mục tự cân đối tài chính trong thị trường chiết khấu. Ta biết xt = vx(t, S(t)). Ta
cũng có xt =vx(t, S(t)). Điều này có thể phát biểu là "một danh mục tự cân đối tài
chính trong thị trường Black - Scholes nếu và chỉ nếu nó là tự cân đối tài chính trong thị trường chiết khấu đó".
Khi biết danh mục tự cân đối tài chính là như thế nào, ta có thể định nghĩa thế nào là danh mục ac-bit. Một danh mục gọi là danh mục ac-bit trên khoảng [0, T]
nếu nó tự cân đối tài chính và thỏa mãn P(V(0) = 0) = 1, P(V(T) ≥ 0) = 1 và P(V(T)>0)>0.
Mệnh đề 2.4. Thị trường Black - Scholes là thị trường khơng có ac-bit.
Chứng minh. Rõ ràng là định nghĩa về danh mục ac-bit có thể được phát biểu dưới các quá trình giá trị chiết khấu. Vì P vàQ là hai độ đo tương đương nên ta cũng có Q(V(0) = 0) = 1, Q(V(T) ≥ 0) = 1 và Q(V(T) > 0) > 0. Giả sử có một danh
mục tự cân đối tài chính. Vì giá trị chiết khấu V là một martingale đối với Q, ta có V(0) = V(0) = EQV(T). Nếu Q(V(T) ≥ 0) = 1 và Q(V(T) > 0) > 0 ta có EQV(T)>0, tức làV(0)>0, do đó danh mục khơng có ac-bit.
Khi thấy được rằng thị trường Black - Scholes là khơng có ac-bit, ta có thể thừa nhận ngun lí định giá sau đây. Nếu có hai loại tài sản tại thời điểmT cho thu hoạch như nhau thì giá trung bình của chúng tại thời điểm t trước T là như nhau. Đó là khái niệm về ngun lí định giá khơng có ac-bit.
Xét một quyền chọn có thu hoạch tại thời điểm T là X. Khi đó X là biến ngẫu nhiên FT đo được. Ở đây ta xét các quyền chọn có dạng X = F(S(T)), với F là một hàm đo được trên R. Giả sử quyền chọn này có kì vọng hữu hạn đối với độ đo Q. Ta nói rằng một quyền chọn là phịng hộ (hedging) hay tự đáp ứng (replicating) nếu có một danh mục tự cân đối tài chính (xt, yt) (t ∈ [0, T]) sao cho giá trị cuối cùng của danh mục V(T) = X Q - hầu chắc chắn. Theo ngun lí định giá khơng có ac-bit, giá trung bình của một quyền chọn có khả năng phịng hộ tại mọi thời điểm t ≤ T bằng với giá V(t) của danh mục phịng hộ tại thời điểm đó. Theo định nghĩa về danh mục tự cân đối tài chính ta có V(t)−EQ(V(T)|Ft), do đó V(t) =
e−r(T−t)EQ(V(T)|Ft), tức là giá trung bình tại thời điểm t của quyền chọn có khả năng phịng hộ là e−r(T−t)EQ(V(T)|Ft). Ta đã biết quá trình giá V của một quyền chọn có thể viết là V(t) = v(t, S(t)), ta cần chỉ ra quá trình S là quá trình Markov đối với xác suấtQ. VìS(t) = s.exp((r−1
2σ2)t+σWQ(t))vàWQlà quá trình Markov. Vì V(t) = EQ(F(S(T))|Ft), ta thấy kì vọng có điều kiện này có thể thu gọn thành EQ(F(S(T))|St). Khi đó v(t, x) =EQ(F(S(T))|St=x), do đó ta có v(t, S(t)) =V(t)
và V(t) = ertv(t, S(t)) hay v(t, x) = v(t, xe−rt)ert. Tiếp theo ta sẽ xác định hàm v.
Ta đưa ra một hàm phụ f xác định bởi:
f(x) = e−rTF(seσx+(r−12σ2)T). (2.73) Vậy ta có F(S(T)) = f(WQ(T)). Với một hàm phụ w khác xác định bởi w(t, y) =
EQ[f(WQ(T)) | WQ(t) = y], ta có w(t, y) =v(t, seσy−12σ2t). Khi đó V(t) = v(t, S(t))
là nghiệm của phương trình đạo hàm riêng Black - Scholes
vt(t, x) + 1
2σ
với điều kiện biên v(T, x) =F(x).
Đối với phương trình (2.74), đặt
u= √ 2 σ lnx+ T −t r− σ2 2 và τ =T −t.
Giả sử ev là hàm sao chov(t, x) =erτ.ev(u, τ). Khi đó phương trình (2.74) trở thành: ∂ev
τ = ∂2ev ∂u2.
Đây là phương trình truyền nhiệt với hàm phải tìm là ev(u,0) = e−rTmax(u − σ(r−σ2/2)
√
2 x,0). Theo một phương pháp toán lý cổ điển là phương pháp tách biến,
ta sẽ tìm được lời giải ev và do đó tìm được v(t, x) =V. Cuối cùng ta có
V =Stφ(d1)−Ke−r(T−t)φ(d2)
với d1 = log(St/K)+(r+12σ2)(T−t) σ√
T−t và d2 =d2(t, s) =d1(t, s)−σ√
T −t.
Đây là công thức Black - Scholes định giá quyền chọn đối với trường hợp thời gian liên tục.
2.4.4 Danh mục tự cân đối tài chính và sự phịng hộ
Xét danh mục (xt, yt) với giá trị V, khi đó V(t) = xtS(t) +ytB(t). Giả sử V là nửa martingale liên tục đối với độ đo xác suấtPthì ta có thể xét vi phân ngẫu nhiên của V.
Định nghĩa 2.2. Một danh mục gọi là tự cân đối tài chính nếu nó thỏa mãn điều kiện khả tích EQRT
0 x(u)2du <∞ và với mọi t ∈[0, T] ta có V(t) =V(0) +Rt
0 xudS(u) +
Rt
0 ysdB(s) Q- hầu chắc chắn.
Giống như với thời gian rời rạc, định nghĩa trên có thể được phát biểu một cách tương đương đối với q trình giá trị chiết khấu. Ta có mệnh đề sau.
Mệnh đề 2.5. Một danh mục gọi là tự cân đối tài chính nếu với mọi t∈[0, T] ta có
V(t) = V(0) +Rt
0 xudS(u) Q- hầu chắc chắn, tức là quá trình V là một martingale đối với Q.
Mệnh đề trên nói rằng q trình giá trị chiết khấu của một danh mục tự cân đối tài chính là một martingale vàEQV(T)2 < ∞. Mệnh đề tiếp theo nói rằng mọi q trình là martingale có thể xem là q trình giá trị của một danh mục tự cân đối tài chính.
Mệnh đề 2.6. Cho quá trìnhV là martingale đối với Q, giả sử tồn tại hàmv sao cho
V(t) = v(t, S(t)). Khi đó danh mục xác định bởixt=vx(t, S(t))vàyt=V(t)−xtS(t)
là danh mục tự cân đối tài chính và giá trị chiết khấu của nó chính là V.
Chứng minh. Từ phần trước ta biết v là nghiệm của phương trình đạo hàm riêng
vt(t, x) + 12σ2x2vxx(t, x) = 0. Ta có
dV(t) =vt(t, S(t))dt+vx(t, S(t))dS(t) + 1
2σ2S(t)2vxx(t, S(t))dt.
Các số hạng chứadtbị triệt tiêu, do đó phương trình trở thànhdV(t) =vx(t, S(t))dS(t).
Chọn xt=vx(t, S(t)) và yT =V(t)−xtS(t), ta được điều cần chứng minh.
Mệnh đề này có một hệ quả sau đây.
Hệ quả 2.1. Mọi quyền chọn X =F(S(T)) với EQ|X|<∞ đều có thể được phịng hộ.
Chứng minh. Ta đã biết rằng tồn tại một hàmv sao cho martingaleEQ[X|Ft] có thể được viết làv(t, S(t)) =F(S(T)), suy ra điều phải chứng minh.
Tích phân Itơ cũng có thể sử dụng để tìm các chiến lược phịng hộ đối với quyền chọn phức, đó là những quyền chọn có cấu trúc đặc biệt. Chúng phụ thuộc vào S(T)
và tích phân xác định của S(t). Một ví dụ cho kiểu quyền chọn như thế là quyền
chọn mua châu Á với thời điểm đáo hạn T và giá thực hiện K, thu hoạch của nó là
(T1 RT
0 S(t)dt−K)+. Đặt Z(t) =Rt
0 g(u, S(u))du với hàmg : R2 →R. Xét quyền chọn F(S(T), Z(T)).
Giả sử rằng có thể phịng hộ quyền này ( với một danh mục tự cân đối tài chính). Khi đó giá trị chiết khấu của danh mục bằng với giá chiết khấu của quyền chọn và là một martingale. Vậy ta có V(t) = EQ[F(S(T), Z(T))|Ft]. Nếu biểu diễn V(t) =
v(t, S(t), Z(t)) với hàm v nào đó thì sẽ thuận tiện hơn. Ta sẽ tính tốn với kì vọng có điều kiện của F(S(T),RT
0 g(u, S(u))du). Phân tích S(T) = S(TS(t))S(t) và
RT
0 g(u, S(u))du = Rt
0 g(u, S(u))duRT
t g(u, S(u))du. Khi S(t) = s và Z(t) = z thì kì vọng có điều kiện trở thành kì vọng khơng điều kiệnEQF(S(TS(t))s, z+RT
t g(u,S(u)S(t)s)du),
là một biểu thức của s và z. Giống như đối với quyền chọn đơn, ta cũng chỉ ra được v là nghiệm của phương trình đạo hàm riêng với điều kiện biên.
Định lí 2.4. Chov là hàm trơn của t, z, xlà nghiệm của phương trình đạo hàm riêng
vt(t, x, z) +xrvx(t, x, z) +1
2σ
với điều kiện biên v(T, x, z) =F(x, z). Danh mục gồm xt =vx(t, S(t), Z(t)) và yt= (v(t, S(t), Z(t))−xtS(t))e−rt là danh mục tự cân đối tài chính và phịng hộ cho quyền chọn F(S(T), Z(T)).
Chứng minh. Áp dụng cơng thức Itơ nhiều chiều cho q trìnhV(t) =v(t, S(t), Z(t))
ta códV(t) =vtdt+vxdS(t)+vzdZ(t)+1
2vxxdhSit=vtdt+vxrS(t)dt+vxσS(t)dW(t)+
vzg(t, S(t))dt+1
2xxxσ2S(t)2dt = rV(t)dt+vxσS(t)dW(t). Do đó giá trị chiết khấu
V(t) = e−rtV(t) thỏa mãn
dV(t) =−rV(t)dt+e−rtdV(t) (2.76)
=e−rtvxσS(t)dW(t) (2.77)
=vxdS(t). (2.78) Do đó nếu có một danh mục như khẳng định của định lí thì ta có V(t) =xtS(t) +yt
là giá trị chiết khấu của danh mục, và dV(t) = xtdS(t), tức là danh mục tự cân đối
tài chính. Từ điều kiện biên ta thu đượcv(T, S(T), Z(T)) =F(S(T), Z(T)), như vậy
danh mục này phịng hộ cho quyền chọn F(S(T), Z(T)).
Ta có hệ quả trực tiếp sau đây.
Hệ quả 2.2. Mọi quyền chọn F(S(T), Z(T)) thỏa mãn điều kiện khả tích đều có thể được phòng hộ. Danh mục phòng hộ được xác định trong định lí (2.4).
2.5 Hàm lỗ - lãi và một số tính chất
Xét mơ hình CRR mà trong đó, St =S0uJtdk−Jt, t =kδt∈[0. . . T]δt, với Jkδt=
P
i=1...kδJiδt, (δJiδt)i=1...nlà biến ngẫu nhiên độc lập Bernoulli,δJiδt)i=1...n ;B(1, p),
với p = Ru−−dd, R =erδt, 0 < d < R < u, vậy tất cả các biến ngẫu nhiên Jkδt là biến ngẫu nhiên Nhị thức, Jkδt ; B(k, p), tất nhiên là khơng độc lập. Kí hiệu (Ω,P) là khơng gian xác suất hữu hạn, trên đó các biến(δJiδt)i=1...n là xác định. Ta vẫn giả sử như mục trước làr = 0, do đó R= 1, d <1< u. Đặt FS t :=σ(Sδt, S2δt, . . . , Skδt), t=kδt, xét bộ lọcF(S) := (FS t )t∈[0...T]δt. Dễ thấy FS t =FJ t :=σ(Jδt, J2δt, . . . , Jkδt) =FδJ t :=σ(δJδt, . . . , δJkδt).
Ta định nghĩa δSt := St−St−δt = St−δt(uδJtd1−δJt −1), tất nhiên ta cũng có FS t =
σ(δSδt, . . . , δSkδt) = FδS
t . Bây giờ dễ thấy
Thật vậy, vì St−δt ∈ FS t−δt=FδJ t−δt, do đóδJt độc lập trong FS t−δt, vậy E(St | FS t−δt) = E(St−δtuδJtd1−δJt | FδJ t−δt) = St−δtE(uδJtd1−δJt | FδJ t−δt) = St−δt, vì E(uδJtd1−δJt) = pu+ (1−p)d= u1−−ddu+uu−−1dd= 1. Công thức (2.5)chứng tỏ (St)t∈[0...T]δt là mộtmartingale.