2 Một số mơ hình ngẫu nhiên trong tài chính
2.5 Hàm lỗ lãi và một số tính chất
2.5.2 Biểu diễn martingale
Ta đã biết α của tích phân ngẫu nhiên là một chiến lược khả đốn, và một tích phân ngẫu nhiên thì nhất thiết là một martingale. Vậy một martingale cho trước có tương ứng với hàm P&L của một chiến lược khả đốn hay khơng? Định nghĩa và định lí sau đây sẽ giúp giải quyết câu hỏi trên.
Định nghĩa 2.5. ChoF(S)là một bộ lọc của một(P,F(S))- martingaleS = (St)t∈[0...T]δt
và M = (Mt)t∈[0...T] là một (P,F(S))- martingale. Một S- biểu diễn của M là một q trình F(S)-khả đốn α= (αt)t∈[0...T] sao cho với mọi t ta có:
Mt−M0 =P&LSt(α) =
Z t
0
αsdSs.
Định nghĩa 2.6. Cho S = (St)t∈[0...T] là (P,F(S))- martingale. Ta nói nó có tính
chất biểu diễn martingale nếu và chỉ nếu bất kì một (P,F(S))- martingale nào M = (Mt)t∈[0...T] cũng đều thừa nhận một S- biểu diễn khả đốn.
Định lí 2.6. Một mơ hình CRR bất kì S = (St)t∈[0...T]δt ln có tính chất biểu diễn martingale (MRP).
Để chứng minh định lí trên ta cần bổ đề sau.
Bổ đề 2.1. Với kδt=t và một hàm đặc trưng bất kìf : Rk →R, với một mơ hình
CRR (St)t∈[0..T] ta có
E(f(Sδt, ..., St−δt, St)| FS
Chứng minh. St = St−δtUt, với Ut := uδJtd1−δt ∈ {u, d} độc lập với FS
t−δt. Ta định nghĩa
X =f(Sδt, ..., St−δt, St)vàY :=pf(Sδt, ..., St−δt, St−δtu)+(1−p)f(Sδt, ..., St−δt, St−δtd). Ta phải chỉ ra với A ∈ Ft−δt bất kì thì E(XIA) = E(YIA), và vì Ω hữu hạn nên có thể kiểm tra tính chất này trong trường hợp A là nguyên tử của FS
t−δt là đủ, tức là khi A={Sδt =sδt, ..., St−δt=st−δt}. Khi đó ta có
E(XIA) =E(f(Sδt, ..., St−δt, St)I{Sδt=sδt,..,St−δt=st−δt}) =E(f(sδt, ..., st−δt, st−δtUt)I{Sδt=sδt,..,St
−δt=st−δt})
=E(f(sδt, ..., st−δt, st−δtUt))E(I{Sδt=sδt,..,St−δt=st−δt})do tính độc lập
= pf(sδt, ..., st−δt, st−δtu) + (1−p)f(sδt, ..., st−δt, st−δtd)E(IA) vì Ut := uδJtd1−δJt, với δJt ;B(1, p),
=E(pf(sδt, ..., st−δt, st−δtu) + (1−p)f(sδt, ..., st−δt, st−δtd)IA)do Etuyến tính,
=E(pf(Sδt, ..., St−δt, St−δtu) + (1−p)f(Sδt, ..., St−δt, St−δtd)IA) =E(YIA).
Bây giờ ta xác định chiến lược α = (αt)t∈[0..T] = (αkδt)k=1..n bằng công thức quy nạp theok. Lấyα0 = 0và giả sửαs đã được xác định với mọis≤(k−1)δt ∈[0..T]δt. Do đóM(k−1)δt−M0 = P
s∈(0..(k−1)δt]αsδSs. Ta cần chọn αkδt ∈ FS
(k−1)δt sao cho
αkδtδSkδt=δMkδt =m(kδt, Sδt, ..., S(k−1)δt) (2.82) với một hàm đặc trưng m(t, s1, ..., sk−1) nào đó. Áp dụng bổ đề trên, với S và M là martingale nên ta có:
St−δt=E(St | FS
t−δt) = pSt−δtu+ (1−p)St−δtd =: pSt+−δt+ (1−p)St−−δt. Vì Mt∈ FS
t nên tồn tạif : Rk →R sao cho Mt=f(Sδt, ..., St), vậy Mt−δt =E(Mt | FS t−δt) =pf(Sδt, ..., St−δt, St−δtu) + (1−p)f(Sδt, ..., St−δt, St−δtd) =: pM+ t−δt+ (1−p)M− t−δt.Suy ra p(Mt+−δt−Mt−δt) = (p−1)(Mt−−δt−Mt−δt) và p(St+−δt−St−δt) = (p−1)(St−−δt−St−δt), do đó Mt+−δt−Mt−δt St+−δt−St−δt = M − t−δt−Mt−δt St−−δt−St−δt =:α. (2.83) Dễ thấy α ∈ FS
t−δt, và vì St =St−δtUt với Ut ∈ {u, d}, ta suy ra từ (2.83) là với bất kì giá trị nào của Ut ta đều có
Vì thế ta chọn αkδt :=α là FS
t−δt đo được. Nhận xét. Với Mt = E(X | FS
t ) là giá trị của danh mục đầu tư phòng hộ của một quyền chọn Âu nào đó và hàm thu hoạch X làFS
t đo được thì tỉ số
αkδt=α= M
+
t−δt−Mt−−δt
St+−δt−St−−δt (2.84) gọi là tỉ số phòng hộ của quyền chọn (tỉ số giữa hiệu hai giá trị tiếp theo có thể có của quyền chọn với hiệu hai giá trị có thể có tiếp theo của tài sản). Do đó tỉ số này là đại lượng dự báo được của giá tài sản mà danh mục đầu tư phòng hộ chứa đựng tại mỗi thời điểm.
Trong chương đầu ta đã giới thiệu về thị trường khơng hồn hảo, tức là một mơ hình cổ phiếu mà trong đó tính chất FS
T- đo được cùng với thu hoạch Πt có thể khơng được phịng hộ, tức là khơng có q trình Ft- khả đốn α = (αt)t≤T sao cho
P&LS
T(α) = Πt−Π0, với phần bù tối thiểu Π0 (khơng ngẫu nhiên) nào đó. Trong một mơ hình như thế, phương pháp định giá một quyền chọn bởi giá trị của danh mục đầu tư phòng hộ rủi ro khơng cịn được áp dụng nữa, và phải được khái quát thành cái gọi là phương pháp Acbit (kinh doanh chênh lệch giá).
Xét bài toán Stanley Pliska - một trong những nhà sáng lập ra tài chính hiện đại, chỉ gồm một bước δt=T, S0 = 5, Sδt nhận 3 giá trị là3,4,6. Xét một phái sinh đối
với S, có hàm thu hoạch π(Sδt). Nếu ta muốn phòng hộ rủi ro vớiα cổ phiếu và một khoản khơng rủi ro β, khi đó α, β thỏa mãn:
3α+βR=π(3) 4α+βR=π(4) 6α+βR=π(6) R=erδt= 1 (giả sử r= 0).
Hệ trên chỉ có nghiệm khiπ(6)−3π(4) + 2π(3) = 0. Ví dụ này cho thấy sự hồn hảo
của mơ hình CRR liên quan đến luật phân phối của δSt+δt như thế nào khi biết Ft là phân phối Nhị thức.