(Luận văn thạc sĩ) Một số mở rộng phương pháp Korpelevich cho bài toán bất đẳng thức biến phân(Luận văn thạc sĩ) Một số mở rộng phương pháp Korpelevich cho bài toán bất đẳng thức biến phân(Luận văn thạc sĩ) Một số mở rộng phương pháp Korpelevich cho bài toán bất đẳng thức biến phân(Luận văn thạc sĩ) Một số mở rộng phương pháp Korpelevich cho bài toán bất đẳng thức biến phân(Luận văn thạc sĩ) Một số mở rộng phương pháp Korpelevich cho bài toán bất đẳng thức biến phân(Luận văn thạc sĩ) Một số mở rộng phương pháp Korpelevich cho bài toán bất đẳng thức biến phân(Luận văn thạc sĩ) Một số mở rộng phương pháp Korpelevich cho bài toán bất đẳng thức biến phân(Luận văn thạc sĩ) Một số mở rộng phương pháp Korpelevich cho bài toán bất đẳng thức biến phân(Luận văn thạc sĩ) Một số mở rộng phương pháp Korpelevich cho bài toán bất đẳng thức biến phân(Luận văn thạc sĩ) Một số mở rộng phương pháp Korpelevich cho bài toán bất đẳng thức biến phân(Luận văn thạc sĩ) Một số mở rộng phương pháp Korpelevich cho bài toán bất đẳng thức biến phân(Luận văn thạc sĩ) Một số mở rộng phương pháp Korpelevich cho bài toán bất đẳng thức biến phân(Luận văn thạc sĩ) Một số mở rộng phương pháp Korpelevich cho bài toán bất đẳng thức biến phân(Luận văn thạc sĩ) Một số mở rộng phương pháp Korpelevich cho bài toán bất đẳng thức biến phân(Luận văn thạc sĩ) Một số mở rộng phương pháp Korpelevich cho bài toán bất đẳng thức biến phân(Luận văn thạc sĩ) Một số mở rộng phương pháp Korpelevich cho bài toán bất đẳng thức biến phân(Luận văn thạc sĩ) Một số mở rộng phương pháp Korpelevich cho bài toán bất đẳng thức biến phân(Luận văn thạc sĩ) Một số mở rộng phương pháp Korpelevich cho bài toán bất đẳng thức biến phân(Luận văn thạc sĩ) Một số mở rộng phương pháp Korpelevich cho bài toán bất đẳng thức biến phân(Luận văn thạc sĩ) Một số mở rộng phương pháp Korpelevich cho bài toán bất đẳng thức biến phân(Luận văn thạc sĩ) Một số mở rộng phương pháp Korpelevich cho bài toán bất đẳng thức biến phân(Luận văn thạc sĩ) Một số mở rộng phương pháp Korpelevich cho bài toán bất đẳng thức biến phân
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC - ĐỖ MẠNH CƯỜNG MỘT SỐ MỞ RỘNG PHƯƠNG PHÁP KORPELEVICH CHO BÀI TOÁN BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN Chuyên ngành: Toán ứng dụng Mã số: 46 01 12 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC Hướng dẫn 1: TS Nguyễn Song Hà Hướng dẫn 2: TS Đinh Diệu Hằng THÁI NGUYÊN - 2021 ii LỜI CẢM ƠN Tôi muốn gửi lời cảm ơn biết ơn chân thành tới tất người hỗ trợ, giúp đỡ chuyên môn, vật chất tinh thần q trình thực luận văn Tơi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới TS Nguyễn Song Hà TS Đinh Diệu Hằng, người hướng dẫn, nhận xét giúp đỡ nhiều suốt trình thực hồn thiện luận văn Tơi xin cảm ơn Thầy Cơ giáo, phịng ban chức năng, Khoa Toán-Tin thuộc trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên, người trực tiếp giảng dạy, động viên giúp đỡ suốt q trình học tập trường Tơi xin gửi lời cám ơn đến tập thể lớp K12A6, lớp K13A, gia đình bạn bè đồng nghiệp giúp đỡ, động viên tơi suốt q trình học tập thực luận văn Tác giả Đỗ Mạnh Cường Mục lục Trang bìa phụ i Lời cảm ơn ii Mục lục iii Danh mục ký hiệu chữ viết tắt iv Danh sách bảng v Mở đầu Chương Kiến thức chuẩn bị 1.1 Không gian Hilbert thực 2 1.2 Tập lồi hàm lồi 1.3 Phép chiếu mêtric 11 1.4 Ánh xạ đơn điệu liên tục 15 Chương Phương pháp kiểu Korpelevich cho tốn bất đẳng thức biến phân 18 2.1 Mơ hình tốn 18 2.2 Phương pháp EGM PCM 2.3 Phương pháp SEGM 23 30 2.4 Phương pháp MSEGM 37 Kết luận chung đề nghị 43 Tài liệu tham khảo 44 Danh mục ký hiệu chữ viết tắt H Không gian Hilbert thực Rn Không gian thực hữu hạn chiều co(C) Bao lồi tập C cl(C) Bao đóng tập C C\D Phần bù tập hợp D C ⟨x, y⟩ Tích vơ hướng hai véctơ x y ∥x∥ Chuẩn véctơ x ∀x Với x F :X→Y Ánh xạ đơn trị từ X vào Y F :X⇒Y Ánh xạ đa trị từ X vào Y PC (x) Phép chiếu mêtric phần tử x lên tập C α↓0 α giảm dần ∇f (x) Gradient ánh xạ f x ∂f (x) Dưới vi phân ánh xạ f x xn → x Dãy {xn } hội tụ mạnh đến x n → +∞ xn ⇀ x Dãy {xn } hội tụ yếu đến x n → +∞ (VIP) Bài toán bất đẳng thức biến phân Sol(VIP(F, C)) Tập nghiệm toán (VIP) với ánh xạ giá F miền hữu hiệu C (EGM) Phương pháp đạo hàm tăng cường (PCM) Phương pháp chiếu co (SEGM) Phương pháp đạo hàm - Đạo hàm tăng cường (MSEGM) Phương pháp đạo hàm - Đạo hàm tăng cường cải biên Danh sách bảng 2.1 2.2 2.3 Kết tính tốn cho phương pháp (EGM) tương ứng với giá trị τ thay đổi 28 Kết tính tốn cho phương pháp (SEGM) tương ứng với giá trị τ thay đổi 37 Kết tính tốn cho phương pháp (MSEGM) tương ứng với giá trị αk thay đổi 42 Mở đầu Bài toán bất đẳng thức biến phân (viết tắt (VIP)) đề xuất lần vào năm đầu thập niên 60 kỉ trước Stampacchia đồng (xem [5, 8, 12] tài liệu dẫn) Kể từ đó, bất đẳng thức biến phân nhiều toán liên quan thu hút quan tâm nghiên cứu nhiều nhà khoa học nước Trong suốt sáu thập niên qua, toán nghiên cứu theo nhiều hướng khác Một số việc xây dựng đề xuất phương pháp hữu hiệu xấp xỉ nghiệm tốn Điều đóng vai trị vơ quan trọng cho việc vận dụng lí thuyết vào giải vấn thực tiễn đặt Bất đẳng thức biến phân công cụ quan trọng thống nghiên cứu nhiều tốn lí thuyết như: toán tối ưu, toán cân bằng, tốn bù, tốn điểm bất động, phương trình toán tử loại đơn điệu nhiều toán thực tiễn như: xử lí tín hiệu, xử lí ảnh, phân phối băng thông, tối ưu kinh tế, mạng giao thơng, Mục đích luận văn nghiên cứu mơ hình tốn (VIP) số phương pháp tìm nghiệm xấp xỉ kiểu Korpelevich Bên cạnh đó, chúng tơi xây dựng ví dụ số đơn giản nhằm minh họa làm rõ vấn đề lí thuyết mà luận văn đề cập Với mục tiêu vậy, phần mở đầu, luận văn gồm có hai chương, kết luận tài liệu tham khảo Chương 1, hệ thống lại số kiến thức giải tích lồi giải tích hàm không gian Hilbert thực nhằm phục vụ cho việc trình bày nội dung phần sau luận văn Chương 2, dành để giới thiệu lớp toán nghiên cứu số toán liên quan quen thuộc Bên cạnh đó, chúng tơi trình bày ba phương pháp kiểu Korpelevich tìm nghiệm xấp xỉ tốn (VIP) ví dụ số minh họa cụ thể Chương Kiến thức chuẩn bị Trong chương này, hệ thống lại số kiến thức phục vụ cho việc trình bày nội dung phần sau luận văn Cấu trúc chương chia thành bốn phần: Mục 1.1 chúng tơi trình bày số khái niệm tính chất không gian Hilbert thực Mục 1.2 trình bày tập lồi, hàm lồi vi phân hàm lồi số tính chất liên quan Khái niệm tính chất cốt yếu phép chiếu mêtric cụ thể hóa Mục 1.3 Phần cuối chương, Mục 1.4 dùng để giới thiệu ánh xạ loại đơn điệu liên tục 1.1 Không gian Hilbert thực Mục dành để hệ thống lại số khái niệm tính chất không gian Hilbert thực H Định nghĩa 1.1 Cho H không gian véctơ thực Hàm số ⟨., ⟩ : H × H → R (x,y) → ⟨x,y⟩ gọi tích vơ hướng hai véctơ x y điều kiện sau thỏa mãn: (i) ⟨x, y⟩ = ⟨y, x⟩ với x, y ∈ H, (ii) ⟨x + y, z⟩ = ⟨x, z⟩ + ⟨y, z⟩ với x, y, z ∈ H, (iii) ⟨αx, y⟩ = α⟨x, y⟩ với x, y ∈ H, α ∈ R, (iv) ⟨x, x⟩ ≥ với x ∈ H ⟨x, x⟩ = ⇔ x = Không gian véctơ thực H với tích vơ hướng xác định gọi khơng gian tiền Hilbert Ví dụ 1.1 Tích vô hướng véctơ x = (x1 , x2 , , xn ) ∈ Rn véctơ y = (y1 , y2 , , yn ) ∈ Rn không gian hữu hạn chiều Rn xác định ⟨x, y⟩ = x1 y1 + x2 y2 + + xn yn Khơng gian Rn với tích vơ hướng xác định không gian tiền Hilbert Ví dụ 1.2 Xét L2 [0, 2π] khơng gian hàm số thực bình phương khả tích [0, 2π], tức 2π |x(t)|2 dt < +∞, ∀x = x(t) ∈ L2 [0, 2π] Tích vơ hướng x = x(t) ∈ L2 [0, 2π] y = y(t) ∈ L2 [0, 2π] xác định 2π ⟨x, y⟩ = x(t)y(t)dt L2 [0, 2π] không gian tiền Hilbert Mệnh đề 1.1 (Bất đẳng thức Schwarz) Trong không gian tiền Hilbert H ta có |⟨x, y⟩|2 ≤ ⟨x, x⟩⟨y, y⟩, ∀x, y ∈ H Chứng minh Hiển nhiên y = bất đẳng thức Giả sử y ̸= với λ ∈ R ta có ⟨x + λy, x + λy⟩ ≥ Điều dẫn đến ⟨x, x⟩ + 2λ⟨x, y⟩ + λ2 ⟨y, y⟩ ≥ Chọn λ = − ⟨x, y⟩ thay vào bất đẳng thức ta nhận ⟨y, y⟩ |⟨x, y⟩|2 ⟨x, x⟩ − ≥ ⟨y, y⟩ Từ suy điều cần chứng minh Mệnh đề 1.2 Cho H không gian tiền Hilbert Hàm số ∥.∥ : H → R xác định ∥x∥ = ⟨x, x⟩, x ∈ H, (1.1) chuẩn H chuẩn gọi chuẩn sinh tích vơ hướng Chứng minh Hiển nhiên, từ (1.1) điều kiện (iv) định nghĩa tích vơ hướng, ta có ∥x∥ ≥ ∥x∥ = ⇔ x = Tiếp theo, với x ∈ H λ ∈ R ta thấy ∥λx∥ = ⟨λx, λx⟩ = |λ| ⟨x, x⟩ = |λ|∥x∥ Cuối cùng, sử dụng bất đẳng thức Schwarz, với x, y ∈ H ta có ∥x + y∥2 = ∥x∥2 + 2⟨x, y⟩ + ∥y∥2 ≤ ∥x∥2 + 2∥x∥∥y∥ + ∥y∥2 = (∥x∥ + ∥y∥)2 Suy ∥x + y∥ ≤ ∥x∥ + ∥y∥ Mệnh đề 1.3 (Quy tắc hình bình hành) Trong khơng gian tiền Hilbert H ta ln có ∥x + y∥2 + ∥x − y∥2 = 2(∥x∥2 + ∥y∥2 ), ∀x, y ∈ H Chứng minh Ta có ∥x + y∥2 = ∥x∥2 + 2⟨x, y⟩ + ∥y∥2 , ∀x, y ∈ H, ∥x − y∥2 = ∥x∥2 − 2⟨x, y⟩ + ∥y∥2 , ∀x, y ∈ H Cộng hai vế đẳng thức ta có điều cần chứng minh Định nghĩa 1.2 Không gian tiền Hilbert H đầy đủ với chuẩn xác định (1.1) gọi không gian Hilbert Nhận xét 1.1 [1] Cho H khơng gian định chuẩn thực Nếu quy tắc hình bình hành bảo đảm chuẩn, tức ∥x + y∥2 + ∥x − y∥2 = 2(∥x∥2 + ∥y∥2 ), ∀x, y ∈ H H tồn tích vơ hướng cho ⟨x, x⟩ = ∥x∥2 Như vậy, không gian Hilbert không gian định chuẩn có chuẩn thỏa mãn quy tắc hình bình hành Ví dụ 1.3 [1] Các khơng gian lp , Lp [a, b] (1 ≤ p < +∞) không gian Hilbert p = Ví dụ 1.4 Xét khơng gian C[1, 2] với chuẩn ∥x∥ = max |x(t)|, 1≤t≤2 x = x(t) ∈ C[1, 2] Chuẩn khơng thỏa mãn quy tắc hình bình hành C[1, 2] khơng khơng gian Hilbert Thật vậy, chọn x = x(t) := y = y(t) := t với t ∈ [1, 2] Khi đó, ta có ∥x∥ = ∥y∥ = max |t| = 1≤t≤2 Mặt khác, ta lại có ∥x + y∥ = max |2 + t| = 1≤t≤2 ∥x − y∥ = max |2 − t| = 1≤t≤2 Do đó, ta nhận ∥x + y∥2 + ∥x − y∥2 = 17 Tuy nhiên ∥x∥2 + ∥y∥2 = 16 Định nghĩa 1.3 Dãy {xn } phần tử không gian Hilbert H gọi (i) hội tụ mạnh đến x ∈ H n tiến +∞ lim ∥xn − x∥ = 0, n→+∞ kí hiệu xn → x (ii) hội tụ yếu đến x ∈ H n tiến +∞ lim ⟨xn , y⟩ = ⟨x, y⟩, n→+∞ ∀y ∈ H, kí hiệu xn ⇀ x Nhận xét 1.2 Một dãy hội tụ mạnh hội tụ yếu Tuy nhiên, khẳng định ngược lại nói chung khơng Chẳng hạn, dãy {en } (hệ trực chuẩn) không gian l2 dãy có tính chất Ngồi ra, khơng gian hữu hạn chiều, hội tụ mạnh hội tụ yếu tương đương 31 tối thiểu phải giải hai lần để có lần lặp Điều ảnh hưởng đến hiệu khả áp dụng phương pháp Để giảm bớt trở ngại này, Censor cộng [3] giới thiệu phương pháp "dưới đạo hàm đạo hàm tăng cường" (viết tắt SEGM), phép chiếu thứ hai lên C thay phép chiếu lên nửa không gian đóng, mà tính tốn dễ dàng Dãy lặp cấu trúc sau: x ∈ H, (2.13) yk = PC (xk − τ F (xk )), x = P (x − τ F (y )), k ≥ 0, k+1 Tk k k τ ∈ (0, 1/L) Tk xác định Tk = {w ∈ H : ⟨(xk − τ F (xk )) − yk , w − yk ⟩ ≤ 0} Để chứng minh hội tụ yếu dãy lặp (2.13) tới nghiệm toán (2.1) ta cần Bổ đề sau Bổ đề 2.1 [3] Cho C tập lồi đóng khác rỗng khơng gian Hilbert thực H Nếu với u ∈ C, dãy {xk } ⊂ H thỏa mãn ∥xk+1 − u∥ ≤ ∥xk − u∥, ∀k ∈ N dãy {PC (xk )} hội tụ mạnh đến z ∈ C Định lí 2.2 [3] Cho C tập lồi đóng khác rỗng không gian Hilbert thực H Cho F : H → H ánh xạ đơn điệu L-liên tục Lipschitz Giả sử tập nghiệm toán (2.1) khác rỗng Khi đó, dãy lặp {xk } xác định (2.13) hội tụ yếu tới nghiệm tốn (2.1) k → +∞ Chứng minh Định lí chứng minh thông qua số bước sau Bước Nếu xk = yk xk ∈ Sol(VIP(F, C)) Nếu xk = yk xk = PC (xk − τ F (xk )) Do đó, xk ∈ C Mặt khác, áp dụng tính chất đặc trưng phép chiếu mêtric (Mệnh đề 1.11) ta có ⟨w − xk , xk − τ F (xk ) − xk ⟩ ≤ ∀w ∈ C 32 Bất đẳng thức dẫn đến τ ⟨w − xk , F (xk )⟩ ≥ ∀w ∈ C Vì τ > nên suy ⟨w − xk , F (xk )⟩ ≥ ∀w ∈ C hay xk ∈ Sol(VIP(F, C)) Bước Với u ∈ Sol(VIP(F, C)) ta có ∥xk+1 − u∥2 ≤ ∥xk − u∥2 − (1 − τ L2 )∥yk − xk ∥2 ∀k ≥ (2.14) Vì u ∈ Sol(VIP(F, C)), yk ∈ C F đơn điệu nên ⟨F (yk ) − F (u), yk − u⟩ ≥ ∀k ≥ (2.15) ⟨F (yk ), yk − u⟩ ≥ ∀k ≥ (2.16) ⟨F (yk ), xk+1 − u⟩ ≥ ⟨F (yk ), xk+1 − yk ⟩ (2.17) Điều suy Do đó, ta nhận Từ định nghĩa Tk ta lại có ⟨xk+1 − yk , xk − τ F (xk ) − yk ⟩ ≤ ∀k ≥ (2.18) Vì thế, ta có ước lượng ⟨xk+1 − yk , xk − τ F (yk ) − yk ⟩ = ⟨xk+1 − yk , xk − τ F (xk ) − yk ⟩ + τ ⟨xk+1 − yk , F (xk ) − F (yk )⟩ (2.19) ≤ τ ⟨xk+1 − yk , F (xk ) − F (yk )⟩ Kí hiệu zk = xk − τ F (yk ), ta nhận ∥xk+1 − u∥2 = ∥PTk (zk ) − u∥2 = ⟨PTk (zk ) − zk + zk − u, PTk (zk ) − zk + zk − u⟩ = ∥zk − u∥2 + ∥zk − PTk (zk )∥2 + 2⟨PTk (zk ) − zk , zk − u⟩ Để ý 2∥zk − PTk (zk )∥2 + 2⟨PTk (zk ) − zk , zk − u⟩ 33 = 2⟨zk − PTk (zk ), u − PTk (zk )⟩ ≤ 0, nên với k ≥ có ∥zk − PTk (zk )∥2 + 2⟨PTk (zk ) − zk , zk − u⟩ ≤ −∥zk − PTk (zk )∥2 Kết hợp với (2.17) (2.19), ta có đánh giá ∥xk+1 − u∥2 ≤ ∥zk − u∥2 − ∥zk − PTk (zk )∥2 = ∥xk − τ F (yk ) − u∥2 − ∥xk − τ F (yk ) − xk+1 ∥2 = ∥xk − u∥2 − ∥xk − xk+1 ∥2 + 2τ ⟨u − xk+1 , F (yk )⟩ ≤ ∥xk − u∥2 − ∥xk − xk+1 ∥2 + 2τ ⟨yk − xk+1 , F (yk )⟩ = ∥xk − u∥2 − ⟨xk − yk + yk − xk+1 , xk − yk + yk − xk+1 ⟩ + 2τ ⟨yk − xk+1 , F (yk )⟩ = ∥xk − u∥2 − ∥xk − yk ∥2 − ∥yk − xk+1 ∥2 + 2⟨xk+1 − yk , xk − τ F (yk ) − yk ⟩ ≤ ∥xk − u∥2 − ∥xk − yk ∥2 − ∥yk − xk+1 ∥2 + 2τ ⟨xk+1 − yk , F (xk ) − F (yk )⟩ ≤ ∥xk − u∥2 − ∥xk − yk ∥2 − ∥yk − xk+1 ∥2 + 2τ L∥xk+1 − yk ∥∥xk − yk ∥ Mặt khác, từ đánh giá ≤ (τ L∥xk − yk ∥ − ∥yk − xk+1 ∥)2 = τ L2 ∥xk − yk ∥2 − 2τ L∥xk − yk ∥∥yk − xk+1 ∥ + ∥yk − xk+1 ∥2 dẫn đến 2τ L∥xk − yk ∥∥yk − xk+1 ∥ ≤ τ L2 ∥xk − yk ∥2 + ∥yk − xk+1 ∥2 nên bất đẳng thức phía ta có điều cần chứng minh ∥xk+1 − u∥2 ≤ ∥xk − u∥2 − ∥xk − yk ∥2 − ∥yk − xk+1 ∥2 + τ L2 ∥xk − yk ∥2 + ∥yk − xk+1 ∥2 = ∥xk − u∥2 − (1 − τ L2 )∥xk − yk ∥2 34 Bước Dãy {xk } {yk } hội tụ yếu tới nghiệm x∗ toán (2.1) x∗ = lim PΩ (xk ), k→+∞ Ω := Sol(VIP(F, C)) Cố định u ∈ Ω đặt ρ = − τ L2 Vì τ < 1/L ρ ∈ (0, 1) nên từ Bước ta có ≤ ∥xk − u∥2 − ρ∥xk − yk ∥2 hay tương đương với ρ∥xk − yk ∥2 ≤ ∥xk − u∥2 Lại từ (2.14) ta có ρ∥xk − yk ∥2 + ρ∥xk−1 − yk−1 ∥2 ≤ ∥xk−1 − u∥2 (2.20) Điều dẫn đến K ∥xk − yk ∥2 ≤ ∥x0 − u∥2 , ρ ∀K ∈ N (2.21) k=0 Từ suy +∞ ∥xk − yk ∥2 ≤ ∥x0 − u∥2 ρ (2.22) k=0 ta nhận ∥xk − yk ∥ → Kết hợp với Bước suy {xk } bị chặn Vì thế, tồn dãy {xkj } mà xkj ⇀ x¯ hiển nhiên ykj ⇀ x¯ Bây giờ, đặt F (v) + N (v, C) v ∈ C, A(v) = ∅ v ∈ / C, ta biết A toán tử đơn điệu cực đại A−1 (0) tập nghiệm tốn cho Nếu (v, w) ∈ G(A) w − F (v) ∈ N (v, C) Khi đó, ta có ⟨w − F (v), v − y⟩ ≥ 0, ∀y ∈ C Mặt khác, ta lại có ⟨xk − τ F (xk ) − yk , yk − v⟩ ≥ 0, 35 hay yk − xk − F (xk ), v − yk τ ≥ 0, ∀k ≥ Hơn nữa, ta có ⟨w − F (v), v − ykj ⟩ ≥ 0, ∀y ∈ C Từ dẫn đến ⟨w, v − ykj ⟩ ≥ ⟨F (v), v − ykj ⟩ − y kj − x kj − F (xkj ), v − ykj τ = ⟨F (v) − F (ykj ), v − ykj ⟩ + ⟨F (ykj ) − F (xkj ), v − ykj ⟩ ykj − xkj , v − y kj − τ y kj − x kj ≥ ⟨F (ykj ) − F (xkj ), v − ykj ⟩ − , v − ykj , ∀y ∈ C τ Cho j → +∞ ta nhận ⟨w, v − x¯⟩ ≥ 0, ∀y ∈ C Kết hợp với tính đơn điệu cực đại A ta có x¯ ∈ A−1 (0) hay x¯ ∈ Ω Tiếp theo giả sử {xk } có dãy {xki } mà xki ⇀ xˆ ∈ Ω Để ý rằng, Bước dãy {∥xk − x¯∥} dãy giảm với u ∈ Ω Từ điều kiện Opial (Mệnh đề 1.5) ta có lim ∥xk − x¯∥ = lim inf ∥xkj − x¯∥ < lim inf ∥xkj − xˆ∥ k→+∞ j→+∞ j→+∞ = lim ∥xk − xˆ∥ = lim inf ∥xki − xˆ∥ k→+∞ i→+∞ < lim inf ∥xki − x¯∥ = lim ∥xk − x¯∥ i→+∞ k→+∞ Mâu thuẫn Do đó, dãy {xk } hội tụ yếu tới điểm x¯ ∈ Ω Cuối cùng, đặt uk = PΩ (xk ) ta có ⟨¯ x − uk , uk − xk ⟩ ≥ Sử dụng đánh giá Bước áp dụng Bổ đề 2.1 uk → x∗ ∈ Ω ⟨¯ x − x∗ , x∗ − x¯⟩ ≥ Bất đẳng thức suy x∗ = x¯ 36 Chú ý 2.2 Trong [4], Dong cộng rằng, Định lí 2.2 thay tham số τ tham số αk chọn tự tương thích, tức αk = σρmk với σ > 0, ρ ∈ (0, 1) mk số nguyên không âm nhỏ thỏa mãn αk ∥F (xk ) − F (yk )∥ ≤ µ∥xk − yk ∥ µ ∈ (0, 1) Cụ thể ta có Mệnh đề sau (Định lí 1, [4]) Mệnh đề 2.5 [4] Cho C tập lồi đóng khác rỗng không gian Hilbert H Cho Cho F : H → H ánh xạ đơn điệu L-liên tục Lipschitz Giả sử tập nghiệm toán (2.1) khác rỗng Khi đó, dãy lặp {xk } xác định x ∈ H, yk = PC (xk − αk F (xk )), x = P (x − α F (y )), k ≥ 0, k+1 Tk k k k có tính chất ∥xk+1 − x∗ ∥2 ≤ ∥xk − x∗ ∥2 − (1 − µ2 )∥xk − yk ∥2 hội tụ yếu tới nghiệm toán (2.1) k → +∞ Ví dụ 2.5 Xét tốn (2.1) với hàm mục tiêu F : R2 → R2 xác định F (x) = Ax với A ma trận vng cấp hai có dạng A= 1 −1 tập đóng lồi C cho C = {x = (x1 , x2 ) ∈ R2 : x1 + x2 ≤ 1} Khi đó, dễ thấy ⟨F (x) − F (y), x − y⟩ = ⟨A(x) − A(y), x − y⟩ = ∥x − y∥2 ≥ 0, ∀x, y ∈ C 37 nên F ánh xạ đơn điệu C F ánh xạ liên tục Lipschitz với L = Dễ thấy rằng, với giả thiết tốn (2.1) có nghiệm x∗ = (0, 0) Sử dụng phương pháp (2.13) với điểm ban đầu x0 = (2, 3) chọn τ ∈ (0, 1) ta nhận bảng kết tính tốn số sau τ TOL=∥xk − x∗ ∥ 1/100 0.00997574202147 426 10−2 1/10 0.00950593569996 42 10−2 1/4 0.00763145340801 15 10−2 1/2 0.00552427172802 10−2 3/4 0.00710233755935 11 10−2 99/100 0.00976061355589 320 10−2 Số bước lặp k Sai số Bảng 2.2: Kết tính tốn cho phương pháp (SEGM) tương ứng với giá trị τ thay đổi Kết thử nghiệm số cho thấy, phương pháp (2.13) hội tụ nhanh với τ nhận giá trị gần trung tâm (0, 1) 2.4 Phương pháp MSEGM Như đề cập mục phía trên, cỡ bước lặp τ hay αk phương pháp (EGM) hay (SEGM) đóng vai trị quan trọng ảnh hưởng tới tốc độ hội tụ phương pháp Dựa nghiên cứu He [7] Sun [11], năm 2018, Dong cộng [4] đề xuất lược đồ lặp "dưới đạo hàm - đạo hàm tăng cường cải biên" (MSEGM) Phương pháp cải biên cỡ bước lặp bước thứ hai phương pháp (SEGM) Cho C tập đóng lồi khác rỗng không gian Hilbert H giả sử điều kiện sau bảo đảm: (D1) Ω := Sol(VIP(F, C)) ̸= ∅ (D2) F : H → H ánh xạ đơn điệu (D3) F : H → H ánh xạ L-liên tục Lipschitz Phương pháp (MSEGM) xác định theo quy tắc: • Bước Chọn điểm xuất phát x0 ∈ H tùy ý gán k := 38 • Bước Tính yk = PC (xk − αk F (xk )) (2.23) với αk ∈ (0, 1/L) chọn tự tương thích, tức αk = σρmk với σ > 0, ρ ∈ (0, 1) mk số nguyên không âm nhỏ thỏa mãn αk ∥F (xk ) − F (yk )∥ ≤ µ∥xk − yk ∥, µ ∈ (0, 1) (2.24) • Bước Tính xk+1 = PTk (xk − γρk αk F (yk )) (2.25) γ ∈ (0, 2) Tk = {w ∈ H : ⟨(xk − αk F (xk )) − yk , w − yk ⟩ ≤ 0}, ⟨xk − yk , d(xk , yk )⟩ , ρk = ∥d(xk , yk )∥2 (2.26) d(xk , yk ) = xk − yk − αk (F (xk ) − F (yk )) • Bước Nếu xk = yk dừng Nếu xk ̸= yk gán k := k + quay lại thực Bước Nhận xét 2.6 Dễ thấy, việc xác định tham số ρk (2.26) phương pháp thuận tiện so với phương pháp He (2.11) Sun (2.10) Nhận xét 2.7 Từ cách xác định yk tính chất phép chiếu suy C ⊆ Tk với k ∈ N Để chứng minh hội tụ yếu phương pháp tới nghiệm toán (2.1), cần số Bổ đề Bổ đề 2.2 [4] Quy tắc (2.24) hồn tồn xác định Ngồi ra, ta có β ≤ αk ≤ σ, µρ β = σ, L Bổ đề 2.3 [4] Với giả thiết (D2) (D3), ta ln có 1−µ ρk ≥ + µ2 39 Bổ đề 2.4 Nếu giả thiết (D1), (D2) (D3) bảo đảm ∥xk+1 − x∗ ∥2 ≤ ∥xk − x∗ ∥2 − ∥xk − xk+1 − γρk d(xk , yk )∥2 − γ(2 − γ)ρ2k ∥d(xk , yk )∥2 (2.27) đó, x∗ ∈ Ω Chứng minh Từ (2.25) Hệ 1.2, ta có ∥xk+1 − x∗ ∥2 ≤ ∥xk − γρk αk F (yk ) − x∗ ∥2 − ∥xk − γρk αk F (yk ) − xk+1 ∥2 = ∥xk − x∗ ∥2 − ∥xk − xk+1 ∥2 (2.28) − 2γρk αk ⟨xk+1 − x∗ , F (yk )⟩ Từ điều kiện (D2) x∗ ∈ Ω, ta lại có ⟨F (yk ) − F (x∗ ), yk − x∗ ⟩ ≥ 0, ∀k ≥ Điều dẫn đến ⟨F (yk ), yk − x∗ ⟩ ≥ 0, ∀k ≥ ⟨F (yk ), xk+1 − x∗ ⟩ ≥ ⟨F (yk ), xk+1 − yk ⟩, ∀k ≥ Từ (2.25) (2.26) ta thấy ⟨xk − αk F (xk ) − yk , xk+1 − yk ⟩ ≤ 0, ∀k ≥ nên ⟨d(xk , yk ), xk+1 − yk ⟩ ≤ αk ⟨F (yk ), xk+1 − yk ⟩, ∀k ≥ Từ đánh giá trên, ta nhận − 2γρk αk ⟨xk+1 − x∗ , F (yk )⟩ ≤ −2γρk ⟨xk+1 − yk , d(xk , yk )⟩ (2.29) = −2γρk ⟨xk − yk , d(xk , yk )⟩ + 2γρk ⟨xk − xk+1 , d(xk , yk )⟩ Mặt khác, từ (2.26) ta có ước lượng −2γρk ⟨xk − yk , d(xk , yk )⟩ = −2γρ2k ∥d(xk , yk )∥2 (2.30) 40 2γρk ⟨xk − xk+1 , d(xk , yk )⟩ = − ∥xk − xk+1 − γρk d(xk , yk )∥2 + ∥xk − xk+1 ∥2 + γ ρ2k d(xk , yk )∥2 (2.31) Kết hợp (2.28) (2.29)-(2.31) ta nhận (2.27) Định lí 2.3 Nếu giả thiết (D1), (D2) (D3) bảo đảm dãy lặp {xk } xác định phương pháp (MSEGM) hội yếu đến nghiệm toán (2.1) Chứng minh Cố định x∗ ∈ Ω Từ điều kiện (D3) ta có ∥d(xk , yk )∥ ≥ ∥xk − yk ∥ − αk ∥F (xk ) − F (yk )∥ ≥ (1 − µ)∥xk − yk ∥ (2.32) Từ Bổ đề 2.3, Bổ đề 2.4 (2.32) ta nhận ∥xk+1 − x∗ ∥2 ≤ ∥xk − x∗ ∥2 − ∥xk − xk+1 − γρk d(xk , yk )∥2 γ(2 − γ)(1 − µ)3 ∥xk − yk ∥2 − + µ2 (2.33) Bất đẳng thức (2.33) dẫn đến ∥xk+1 − x∗ ∥2 ≤ ∥xk − x∗ ∥2 hay suy dãy {∥xk+1 − x∗ ∥} đơn điệu giảm bị chặn Vì dãy hội tụ Hơn nữa, điều bảo đảm dãy {xk } đơn điệu Fejér tương ứng tập nghiệm Do đó, {xk } bị chặn Mặt khác, từ (2.33) khẳng định +∞ ∥xk − yk ∥ hội tụ bảo đảm chuỗi k=0 ∥xk − yk ∥ → (2.34) Vì {xk } bị chặn nên tồn dãy {xkj } hội yếu đến x¯ ∈ H, tức xkj ⇀ x¯ Từ (2.34) suy ykj ⇀ x¯ Bây giờ, đặt F (v) + N (v, C) v ∈ C, A(v) = ∅ v ∈ / C 41 ta biết A tốn tử đơn điệu cực đại A−1 (0) tập nghiệm toán cho Nếu (v, w) ∈ G(A) w − F (v) ∈ N (v, C) Khi đó, ta có ⟨w − F (v), v − y⟩ ≥ 0, ∀y ∈ C Mặt khác, ta lại có ⟨xk − αk F (xk ) − yk , yk − v⟩ ≥ hay yk − x k − F (xk ), v − yk αk ≥ 0, ∀k ≥ Hơn nữa, ta có ⟨w − F (v), v − ykj ⟩ ≥ 0, ∀y ∈ C Từ dẫn đến ⟨w, v − ykj ⟩ ≥ ⟨F (v), v − ykj ⟩ − y kj − x kj − F (xkj ), v − ykj αk = ⟨F (v) − F (ykj ), v − ykj ⟩ + ⟨F (ykj ) − F (xkj ), v − ykj ⟩ ykj − xkj − , v − y kj αk y kj − x kj ≥ ⟨F (ykj ) − F (xkj ), v − ykj ⟩ − , v − ykj , ∀y ∈ C αk Cho j → +∞ ta nhận ⟨w, v − x¯⟩ ≥ 0, ∀y ∈ C Kết hợp với tính đơn điệu cực đại A ta có x¯ ∈ A−1 (0) hay x¯ ∈ Ω Tiếp theo giả sử {xk } có dãy {xki } mà xki ⇀ xˆ ∈ Ω Để ý rằng, chứng minh phía dãy {∥xk − x¯∥} dãy giảm Từ điều kiện Opial (Mệnh đề 1.5) ta có lim ∥xk − x¯∥ = lim inf ∥xkj − x¯∥ < lim inf ∥xkj − xˆ∥ k→+∞ j→+∞ j→+∞ = lim ∥xk − xˆ∥ = lim inf ∥xki − xˆ∥ k→+∞ i→+∞ < lim inf ∥xki − x¯∥ = lim ∥xk − x¯∥ i→+∞ k→+∞ 42 Mâu thuẫn Do đó, dãy {xk } hội tụ yếu tới điểm x¯ ∈ Ω Ta có điều cần chứng minh Ví dụ 2.6 Xét tốn (2.1) với giả thiết tương tự Ví dụ2.5 Chọn tham số lặp thỏa mãn điều kiện hội tụ σ=ρ= , β = 1 , = , γ=1 1 ≤ αk ≤ Sử dụng phương pháp (MSEGM) với điểm ban đầu x0 = (2, 3) ta nhận bảng sau αk TOL=∥xk − x∗ ∥ 1/4 0.00715914695130 12 10−2 1/3 0.00672769908684 10−2 1/2 0.00552427172802 10−2 k/(2k+1) 0.00695726189919 10−2 Số bước lặp k Sai số Bảng 2.3: Kết tính tốn cho phương pháp (MSEGM) tương ứng với giá trị αk thay đổi Kết thử nghiệm số cho thấy, phương pháp (MSEGM) cần số bước lặp phương pháp (2.13) (xem Bảng 2.2) với sai số Tuy nhiên, phải lưu ý rằng, phương pháp thiết kế khác nhau, tham số lặp đóng vai trị khác phương pháp 43 KẾT LUẬN Luận văn nghiên cứu trình bày lại có hệ thống số vấn đề sau đây: Một là, trình bày lại kết giải tích lồi giải tích hàm không gian Hilbert thực Chương nhằm phục vụ cho việc chi tiết hóa nội dung luận văn Chương Hai là, trình bày mơ hình tốn bất đẳng thức biến phân (VIP) số toán liên quan quen thuộc tốn giải phương trình, hệ phương trình, tốn cực trị với giải thích chi tiết Ba là, trình bày nội dung hội tụ phương pháp xấp xỉ nghiệm cho toán (VIP): "Phương pháp đạo hàm tăng cường" (EGM) & "Phương pháp chiếu - co" (PCM), mở rộng cải biên chúng: "Phương pháp đạo hàm - Đạo hàm tăng cường" (SEGM) "Phương pháp đạo hàm - Đạo hàm tăng cường cải biên" (MSEGM) Bốn là, xây dựng ví dụ số minh họa cụ thể làm rõ vấn đề lí thuyết mà luận văn đề cập Tài liệu tham khảo [1] Bauschke H H., Combettes P L (2010), Convex Analysis and Monotone Operator Theory in Hilbert Spaces, Springer [2] Cai X., Gu G., He B (2014), "On the O(1/t) convergence rate of the projection and contraction methods for variational inequalities with Lipschitz continuous monotone operators", Comput Optim Appl., 57, pp 339-363 [3] Censor Y., Gibali A., Reich S (2011), "The subgradient extragradient method for solving variational inequalities in Hilbert space", J Optim Theory Appl., 148, pp 318-335 [4] Dong Q.L, Jiang D., Gibali A (2018), "A modified subgradient extragradient method for solving the variational inequality problem", Numer Algor., 79, pp 927-940 [5] Facchinei F., Pang J-Sh (2003), Finite Dimensional Variational Inequalities and Complementarity Problems, Volume II, Springer [6] Hadjisavvas N., Komlósi S., Schaible S (2005), Handbook of Generalized Convexity and Generalized Monotonicity, Springer, New York [7] He B (1997), "A Class of projection and contraction methods for monotone variational inequalities", Appl Math Optim., 35, pp 69-76 [8] Kinderlerhrer D., Stampacchia G (1980), An Introduction to Variational Inequalities and Their Applications, Academic Press, NewYork [9] Korpelevich G.M (1976), "The extragradient method for finding saddle points and other problems",Ekon Mat Metody, 12, pp 747–756 45 [10] Rockafellar R.T (1976), "Monotone operators and the proximal point algorithm", SIAM J Control Optim., 14(5), pp 877-898 [11] Sun D (1996), "A class of iterative methods for solving nonlinear projection equations", J Optim Theory Appl., 91, pp 123-140 [12] Zeidler E (1990), Nonlinear functional analysis and its applications, II/B, Springer ... Chương Phương pháp kiểu Korpelevich cho toán bất đẳng thức biến phân Trong chương này, chúng tơi trình bày lại số mở rộng phương pháp Korpelevich tìm nghiệm xấp xỉ cho bất đẳng thức biến phân (VIP)... 15 Chương Phương pháp kiểu Korpelevich cho toán bất đẳng thức biến phân 18 2.1 Mơ hình tốn 18 2.2 Phương pháp EGM PCM 2.3 Phương pháp SEGM ... dụng Một số kết tính tốn số trình bày [2] cho thấy số lượng bước tính tốn phương pháp (2.10) khoảng nửa so với phương pháp (2.7) Năm 1997, He [7] đề xuất phương pháp tìm nghiệm xấp xỉ cho bất đẳng