Trong mục này, ta xét tính lồi hữu tỉ của phổ nối.
2.3.1. Định nghĩa. Giả sử A là đại số Banach, f1,….fn là các phần tử thuộc
A và π là phép chiếu tự nhiên của MA vào £n, được xác định như sau :
π(x)= ( ( )... ( ))µf x1 µf xn ; với mọi x∈MA.
Khi đó, ảnh của MA qua π được gọi là phổ nối của f1,….fn, ký hiệu là
σ( f1,….fn).
2.3.2. Nhận xét.1) Nếu thay n = 1 trong Định nghĩa 2.3.1, thì từ Định lý 1.1.19 ta có phổ nối của một phần tử f ∈A trùng với phổ thông thường của f.
2) Từ Định lý 1.1.19 ta cóµfiliên tục trên MA; với mọi i 1,n= . Do đó, π liên tục. Mà theo Định lý 1.1.17 thì MA là không gian Hausdorff compact nên phổ nối của f1,….fnlà σ( f1,….fn) =π(MA) cũng là tập compact.
2.3.3. Định lý. Giả sử f1,….fn là n phần tử của đại số nào đó và A đại số Banach là sinh bởi các phần tử f1,…,.fn, (λ1- f1)-1,…… (λn- fn)-1, trong đó λj∈
£\σ( fj );
j = 1,…n. Khi đó, phổ nối σ( f1…..fn) của các phần tử f1,….fn là tập lồi hữu tỉ trong £nvà phép chiếu tự nhiênπ của MA lên σ ( f1…..fn) làánh xạ đồng phôi.
Chứng minh. Đầu tiên, ta chứng minh phép chiếu tự nhiên
π: MA→σ( f1…..fn) với
π(x)= ( ( )... ( ))µf x1 µf xn , x∈MA
là ánh xạ đồng phôi.
Hiển nhiên π là toàn ánh và theo Nhận xét 2.3.2. 2) thì π liên tục.
Giả sử x, y ∈MA sao cho x ≠y. Để chứng minh πđơn ánh ta sẽ chỉ ra π(x)
≠π(y). Thật vậy, giả sử π(x)=π(y), tức là
µ
j( )
f x = µf yj( ); j = 1, 2,….., n, hay
x( fj ) = y ( fj ); j = 1, 2,…..,n. Từ x và y là các đồng cấu suy ra x((λj - fj )-1) = j j 1 ( ) x f λ − = j j 1 ( ) y f λ − = y((λj- fj )-1); j = 1, 2,…, n. Từ các đẳng thức trên ta có (x - y)( fj) = 0, (x - y)( λj - fj)-1 = 0 ; j = 1, 2,…..,n.
Vì A là đại số sinh bởi f1,….fn, (λ1- f1)-1,…… (λn- fn)-1 nên ta kết luận được (x - y)( f) = 0, ∀f∈A.
tức là x = y. Ta có một điều mâu thuẫn. Do đó π là một đơn ánh.
Giả sử F là tập đóng bất kỳ trong MA. Vì MA compact nên F cũng là tập compact. Do π liên tục nên π(F) là tập compact trong σ( f1,….,.fn). Từ σ ( f1,
….,.fn) ⊂ £n ta có π(F) là tập đóng trong σ ( f1,….,.fn). Mặt khác(π--1)-1(F) = π
(F). Do đó π--1 liên tục. Vậyπ là ánh xạ đồng phôi. Bây giờ, ta ký hiệu bao lồi hữu tỉ của σ( f1,….,.fn) là σµR( f1,….,.fn). Để chứng minh σ( f1,….,.fn) lồi hữu tỉ ta cần chứng minh
σ( f1,….,fn) = σµR( f1,….,.fn)
Giả sử w =(w1,….,wn)∈σµR( f1,….,fn). Ta ký hiệu B là đại số các đa thức của 2n–biến f1,…,.fn, (λ1- f1)-1,…… (λn- fn)-1. Khi đóB= A và f∈B khi và chỉ khi
f = p (f1,…,.fn, (λ1- f1)-1,…… (λn- fn)-1) với p là một đa thức 2n–biến nào đó. Để đơn giản ký hiệu ta viết °p f( 1,..., nf ) thay cho °p ( f1,…,.fn, (λ1 - f1)-1,…… (λn -
fn)-1). Ta xác định hàm Φ: B→£ bởi công thức
Φ( f ) = °p(w1,….,wn), f∈B,
trong đó f = p ( f1,…,.fn, (λ1- f1)-1,…… (λn - fn)-1) = °p f( 1,..., nf )và
°p(w1,….,wn) = p (w1,….,wn, (λ1 - w1)-1,…… (λn- wn)-1). Chúng ta chú ý rằng, từ w∈σ∧R( f1,….,fn) suy ra λj – wj ≠ 0 với mọi j = 1, 2,…..,n. Thật vậy, giả sử tồn tại j∈{1,2...., n}sao choλj = wj. Khi đó ta xét hàm
g(z1,z2,….., zn) = j j
1
z −w , z = (z1, z2,….., zn)∈£n.
Ta thấy g là hàm hữu tỉ với các điểm cực α =(α1, α2…,αn), với αj =λj = wj
Vì
λj∈σ( fj ) = µf Mj( A)
nên
α∉{µf x1( ),...µf x x Mn( ); ∈ A} = σ( f1,….,fn ).
Do đó g là hàm hữu tỉ, chỉnh hình trên K. Mặt khác, vì w là điểm cực của g và
σ ( f1,….,fn) là tập compact nên w∉σµR ( f1,….,fn). Ta có một điều mâu thuẫn. Như vậy ánh xạ Φ được xác định.
Với g1 = °p f1( 1,..., nf ) , g2 = °p2( f1,..., nf ) ∈B, trong đó p1, p2 là 2 đa thức của 2n- biến f1,….,fn, (λ1- f1)-1,…… (λn - fn)-1, ta có
Φ(g1 + g2) =(°p1+°p2)(w) =°p1 (w) +°p2(w) = Φ(g1) +Φ(g2);
Φ(α g1 ) =α.°p1 (w) = α.Φ(g1), ∀α∈£;
Φ(g1.g2) = (°p1 °p2)(w) =°p1 (w). °p2 (w) = Φ(g1).Φ(g2). Mặt khác, với e là đơn vị trong B ta có e = f10. Do đó Φ(e) = w10 = 1
Như vậy Φ là một đồng cấu phức trên B.Vì B trù mật trong A nên được mở rộng thành đồng cấu phức Φ° xác định trên A, tức là Φ° ∈MA.
Giả sử p = p (f1,…,.fn) là đa thức n-biến. Khi đó p∈B, và ta có
p(w) = Φ(p( f1,…,.fn )) = Φ° (p( f1,…,.fn )) = p (Φ° ( f1 ),…., Φ° ( fn )) = p(µ ° 1( ) f Φ ,….,µ ° n( ) f Φ ). Như vậy p(w) = p(µ ° 1( ) f Φ ,….,µ ° n( )
f Φ ), với mọi đa thức n-biến p
Từ đó suy ra w = (µ ° 1( ) f Φ ,….,µ ° n( ) f Φ )∈σ( f1,….,fn). Vì w là phần tử bất kỳ của σµR ( f1,….,fn ) nên ta có µR σ ( f1,….,fn ) ⊂σ( f1,….,fn ).
Vậy σµR ( f1,….,fn ) = σ( f1,….,fn ) tức là σ( f1,….,fn ) là tập lồi hữu tỉ.