Một vài kết quả về môđun bất biến đẳng cấu

Bài viết tổng quan một số kết quả về các môđun bất biến đẳng cấu, đồng thời nêu một số kết quả liên quan đến lớp các môđun này

MỘT VÀI KẾT QUẢ VỀ MÔĐUN BẤT BIẾN ĐẲNG CẤU ĐÀO THỊ TRANG Khoa Khoa học ứng dụng, Trường Đại học Cơng nghiệp Thực phẩm TP HCM Tóm tắt: Trong báo này, tổng quan số kết môđun bất biến đẳng cấu, đồng thời nêu số kết liên quan đến lớp mơđun Ngồi ra, chúng tơi đưa số kết liên quan đến lớp vành tựa Frobenius chứng minh vành R vành tựa Frobenius R vành bất biến đẳng cấu phải, ef-mở rộng phải thỏa điều kiện ACC linh hóa tử phải Từ khóa: Môđun nội xạ, môđun giả nội xạ, môđun bất biến đẳng cấu GIỚI THIỆU VÀ MỘT SỐ KHÁI NIỆM Trong báo này, vành R cho giả thiết vành kết hợp có đơn vị R-môđun xét môđun unita Trong mục này, giới thiệu khái niệm sử dụng báo Với vành R cho, ta viết MR (tương ứng, R M ) để M R-môđun phải (t.ư, trái) Trong ngữ cảnh cụ thể báo, không sợ nhầm lẫn phía mơđun, để đơn giản ta viết mơđun M thay MR Chúng ta dùng ký hiệu A ≤ M để A môđun M Đồng cấu từ M đến N ; ký hiệu M → N hiểu R-đồng cấu từ M đến N Ký hiệu End(M ) tập tất đồng cấu từ M đến M (hay gọi tập tất đồng cấu M ) Cho M R-môđun phải X tập khác rỗng M Linh hóa tử phải X R ký hiệu rR (X) xác định sau: rR (X) = {r ∈ R : Xr = 0} Khi khơng sợ nhầm lẫn ta viết gọn r(X) thay rR (X) Khi X = {x1 , x2 , , xn } ta viết r(x1 , x2 , , xn ) thay r({x1 , x2 , , xn }) Ta có rR (X) iđêan phải vành R Tạp chí Khoa học, Trường Đại học Sư phạm Huế, Đại học Huế ISSN 1859-1612, Số 03(51)/2019: tr 40-49 Ngày nhận bài: 26/02/2019; Hoàn thành phản biện: 03/4/2019; Ngày nhận đăng: 11/3/2019 MỘT VÀI KẾT QUẢ VỀ MÔĐUN BẤT BIẾN ĐẲNG CẤU 41 Phần mục này, chúng tơi trình bày số khái niệm liên quan Môđun K R−môđun M gọi môđun cốt yếu M , kí hiệu K ≤e M , với mơđun L M mà K ∩ L = L = Lúc này, ta nói M mở rộng cốt yếu K Nếu môđun M cốt yếu M gọi mơđun Đối ngẫu, có khái niệm môđun đối cốt yếu Một môđun K R−môđun M gọi môđun đối cốt yếu M , kí hiệu K M , với môđun L M mà K + L = M L = M Liên quan đến tính cốt yếu đối cốt yếu mơđun con, có khái niệm đơn cấu cốt yếu toàn cấu đối cốt yếu Một đơn cấu f : K → M gọi cốt yếu Im(f ) ≤e M Toàn cấu g : M → N gọi đối cốt yếu Ker(g) M Các mơđun phần bù phần phụ đóng vai trò quan trọng việc nghiên cứu cấu trúc số lớp vành Cho N môđun M , N ≤ M cực đại với tính chất N ∩ N = ta nói N phần bù N M Cho A A môđun MR , A gọi phần phụ A M A môđun cực tiểu với tính chất A + A = M , điều tương đương M = A + A A ∩ A A Theo định nghĩa, mơđun ln có phần bù Tuy nhiên, khơng phải mơđun có phần phụ Tiếp theo chúng tơi nêu số khái niệm liên quan đến tính nội xạ xạ ảnh môđun Một môđun U gọi M -nội xạ với môđun K M đồng cấu v : K → U mở rộng đến đồng cấu v¯ : M → U Nghĩa sơ đồ sau giao hoán (¯ v f = v) K f v M v¯ U Nếu môđun M M -nội xạ M gọi tựa nội xạ ([10]) Các tác giả Johnson Wong chứng minh M tựa nội xạ M bất biến qua tất tự đồng cấu bao nội xạ Mơđun U gọi M -giả nội xạ với môđun K M đơn cấu v : K → U mở rộng đến đồng cấu v¯ : M → U Môđun M gọi giả nội xạ M M -giả nội xạ ([9]) K v f M v¯ M Rõ ràng môđun tựa nội xạ giả nội xạ Tuy nhiên chiều ngược không trường hợp tổng quát 42 ĐÀO THỊ TRANG Môđun U gọi M -xạ ảnh với toàn cấu g : M → N đồng cấu v : U → N tồn đồng cấu v¯ : U → M cho v = g¯ v U M g v¯ v N Nếu môđun U U - xạ ảnh U gọi tựa xạ ảnh Nếu U M -xạ ảnh với mơđun M U gọi xạ ảnh Môđun U gọi M -giả xạ ảnh toàn cấu g : M → N toàn cấu v : U → N nâng lên đến đồng cấu v¯ : U → M Môdun M gọi giả xạ ảnh M M -giả xạ ảnh M M g v¯ v N Từ định nghĩa thấy môđun tựa xạ ảnh giả xạ ảnh Tiếp theo, xét trường hợp tổng qt mơđun tựa nội xạ • Một môđun M gọi C1 (hoặc môđun CS môđun mở rộng) với môđun A M , tồn hạng tử trực tiếp B M thỏa mãn A ≤e B • Một môđun M gọi C2 môđun A M đẳng cấu với hạng tử trực tiếp M A hạng tử trực tiếp M • Một mơđun M gọi C3 A B hai hạng tử trực tiếp M thỏa mãn A ∩ B = A ⊕ B hạng tử trực tiếp M Trong báo này, trước hết tổng quan lại số kết quan trọng liên quan đến lớp môđun bất biến đẳng cấu Các kết thực mở rộng đẹp lớp môđun tựa nội xạ Sử dụng kết tổng quan, chứng minh kết sau: (1) Nếu R vành bất biến đẳng cấu phải R/Soc(RR ) thỏa điều kiện ACC linh hóa tử phải, J(R) lũy linh (2) Một vành R vành tựa Frobenius R vành bất biến đẳng cấu phải, ef-mở rộng phải thỏa điều kiện ACC linh hóa tử phải MỘT VÀI KẾT QUẢ VỀ MÔĐUN BẤT BIẾN ĐẲNG CẤU 43 LỚP MÔĐUN BẤT BIẾN ĐẲNG CẤU Từ kết M tựa nội xạ M bất biến qua tất tự đồng cấu bao nội xạ Năm 2013, tác giả Zhou Lee đưa khái niệm môđun bất biến đẳng cấu: Định nghĩa 2.1 ([11]) Một môđun M gọi bất biến đẳng cấu M bất biến qua tất tự đẳng cấu bao nội xạ Sau đây, chúng tơi nêu số tính chất mơđun bất biến đẳng cấu: Khi xét đẳng cấu hai môđun cốt yếu môđun bất biến đẳng cấu, có kết sau: Định lý 2.2 ([11, Theorem 2]) Các điều kiện sau tương đương với môđun M : M môđun bất biến đẳng cấu Với đẳng cấu hai môđun cốt yếu M mở rộng thành tự đẳng cấu M Định lý 2.3 ([11]) Cho mơđun M Khi đó, điều kiện sau đúng: Mỗi hạng tử trực tiếp môđun bất biến đẳng cấu bất biến đẳng cấu Nếu tổng trực tiếp M1 ⊕ M2 bất biến đẳng cấu M1 M2 nội xạ tương hỗ Một môđun M tựa nội xạ M ⊕ M bất biến đẳng cấu Năm 2013, tác giả Lee Zhou đưa câu hỏi: Liệu môđun bất biến đẳng cấu có phải giả nội xạ hay khơng; mơđun bất biến đẳng cấu có thỏa mãn điều kiện C2 hay không Trong nghiên cứu nhóm tác giả [4], họ trả lời câu hỏi trên: Định lý 2.4 ([4, Theorem 16]) Cho mơđun M Khi Một mơđun giả nội xạ mơđun bất biến đẳng cấu Mỗi môđun bất biến đẳng cấu thoả mãn (C2) Rõ ràng môđun tựa nội xạ bất biến đẳng cấu Tuy nhiên, chiều ngược lại khơng đúng, xem ví dụ sau:   F2 F2 F2   Ví dụ (1) Gọi R =  F2  với F2 trường có hai phần tử 0 F2 44 ĐÀO THỊ TRANG   F2 F2 F2   Đặt M =  0  Vì M = e11 R, với e11 phần tử luỹ đẳng nguyên thuỷ, 0 nên không phân  tích Chú  M mơđun   ý M có hai mơđun đơn S1 = e12 R = F2 0 F2      0  S2 = e13 R =  0  Dễ dàng kiểm tra có 0 0 0 tự đẳng cấu đồng bao nội xạ M Từ đây, suy M môđun bất biến đẳng cấu Tuy nhiên, M khơng tựa nội xạ khơng phải môđun (2) Gọi A = F2 [x] R= A/(x) A/(x) A/(x2 ) 0 Vì M = e22 R, với e22 phần tử luỹ đẳng ngun thuỷ, A/(x) A/(x2 ) nên M khơng phân tích R− mơđun phải Chú ý M có hai môđun đơn 0 0 S1 = S2 = cho S1 ⊕ S2 cốt yếu M A/(x) 0 (x)/(x2 ) Đặt M = Rõ ràng R F2 -đại số hữu hạn chiều Khi đó, M mơđun bất biến đẳng cấu Tuy nhiên M khơng tựa nội xạ khơng phải môđun Một số điều kiện để môđun bất biến đẳng cấu tựa nội xạ Mệnh đề 2.5 ([11]) Cho vành R Khi đó: Nếu phần tử khả nghịch vành R, R− môđun bất biến đẳng cấu tựa nội xạ Nếu M môđun CS bất biến đẳng cấu M tựa nội xạ Định lý 2.6 ([7]) Các khẳng định sau đúng: Nếu M môđun phải R cho End(M ) khơng có ảnh đồng cấu đẳng cấu với trường F2 M tựa nội xạ M bất biến đẳng cấu Nếu A đại số trường F nhiều hai phần tử A−mơđun phải M bất biến đẳng cấu M tựa nội xạ Định nghĩa 2.7 ([8]) Cho M R-môđun phải: Mơđun M gọi có tính chất giản ước M ⊕ A M ⊕ B A B Mơđun M gọi có tính chất giản ước M = A1 ⊕ B1 A2 ⊕ B2 với A1 A2 B1 B2 MỘT VÀI KẾT QUẢ VỀ MÔĐUN BẤT BIẾN ĐẲNG CẤU 45 Mơđun A gọi có tính chất thay với môđun M = A1 ⊕H = A2 ⊕K với A1 A A2 tồn môđun C M cho M = C ⊕ H = C ⊕ K Môđun M gọi trực tiếp hữu hạn M không đẳng cấu với hạng tử thực Một vành R gọi trực tiếp hữu hạn xy = suy yx = với x, y ∈ R Từ định nghĩa có nhận xét sau: Nhận xét 2.8 Một môđun M trực tiếp hữu hạn vành tự đồng cấu End(M ) trực tiếp hữu hạn Mơđun có tính chất thay ⇒ có tính giản ước ⇒ có tính giản ước ⇒ trực tiếp hữu hạn Trường hợp M môđun bất biến đẳng cấu ta có: Định lý 2.9 ([8]) Các điều kiện sau tương đương với mơđun bất biến đẳng cấu M: M có tính chất thay M có tính giản ước M có tính giản ước M trực tiếp hữu hạn Định lý 2.10 ([8]) Cho M mơđun bất biến đẳng cấu Khi đó, M trực tiếp hữu hạn E(M ) trực tiếp hữu hạn Tiếp theo xét cấu trúc môđun bất biến đẳng cấu Trước hết biết M môđun tựa nội xạ, J(End(M )) gồm tất tự đồng cấu M có nhân cốt yếu End(M )/J(End(M )) vành quy von Neumann Và End(M )/J(End(M )) mơđun phải tựa nội xạ ([5], [12]) Mở rộng kết với môđun bất biến đẳng cấu Định lý 2.11 ([8]) Cho M môđun bất biến đẳng cấu Khi đó, J(End(M )) gồm tất tự đồng cấu M có nhân cốt yếu End(M )/J(End(M )) vành quy von Neumann luỹ đẳng nâng modulo J(End(M )) ( Chú ý là: End(M )/J(End(M )) không thiết môđun phải tựa nội xạ với trường hợp M môđun tựa nội xạ) 46 ĐÀO THỊ TRANG Định nghĩa 2.12 ([4]) Mơđun M gọi khơng phương M khơng có mơ đun N = đẳng cấu với X ⊕ X với X môđun Định lý 2.13 ([4]) Cho M mơđun bất biến đẳng cấu Khi đó, M có phân tích M = A ⊕ B, A mơđun tựa nội xạ B mơđun khơng phương Định nghĩa 2.14 ([6]) Một R−môđun phải M gọi thoả mãn tính chất chuyển với R−mơđun phải A hai phân tích tổng trực tiếp A = M ⊕ N = i∈I Ai với M M , tồn môđun Bi Ai cho A = M ⊕ ( i∈I Bi ) Nếu |I| < ∞ M gọi thoả tính chất chuyển hữu hạn Một vành R gọi thỏa mãn tính chất chuyển mơđun RR (hay R R) thoả tính chất chuyển Trong [6], tác giả chứng minh môđun tựa nội xạ thoả mãn tính chất chuyển Mở rộng kết này, tác giả [8] kết cho mơđun bất biến đẳng cấu Định lý 2.15 ([8]) Mỗi môđun bất biến đẳng cấu thoả mãn tính chất chuyển Định nghĩa 2.16 ([8]) Vành R gọi vành clean phần tử a ∈ R biểu diễn a = e + u với e luỹ đẳng R u phần tử khả nghịch R Môđun M gọi môđun clean vành End(M ) vành clean Định lý 2.17 ([8]) Mọi môđun bất biến đẳng cấu clean Trong mục báo, đưa số kết khác vành bất biến đẳng cấu Một vành R gọi bất biến đẳng cấu phải RR môđun bất biến đẳng cấu Mệnh đề 2.18 Nếu R vành bất biến đẳng cấu phải R/Soc(RR ) thỏa điều kiện ACC linh hóa tử phải, J(R) lũy linh Chứng minh Giả sử R/Soc(RR ) thỏa điều kiện ACC linh hóa tử phải Đặt S = ¯ = R/S a Soc(RR ) ký hiệu R ¯ = a + S với a ∈ R Cho a1 , a2 , J(R), rR¯ (¯ a1 ) ≤ rR¯ (¯ a2 a ¯1 ) ≤ · · · nên theo giả thiết tồn số nguyên dương m cho rR¯ (¯ am a ¯2 a ¯1 ) = rR¯ (¯ am+k a ¯2 a ¯1 ) cho k = 0, 1, 2, Bây cho số nguyên dương n, an+1 an a1 ∈ J(R) ≤ Z(RR ), r(an+1 an a1 ) cốt yếu RR Vì S ≤ r(an+1 an a1 ) Chúng ta rR¯ (¯ an ¯ a2 a ¯1 ) ≤ r(an+1 an a1 )/S ≤ rR¯ (¯ an+1 ¯ a2 a ¯1 ) MỘT VÀI KẾT QUẢ VỀ MÔĐUN BẤT BIẾN ĐẲNG CẤU 47 Thật vậy, giả sử b + S ∈ rR¯ (¯ an ¯ a2 a ¯1 ) Khi có an a1 b ∈ S Nhưng S ≤ r(an+1 ), nên có an+1 an a1 b = Vậy b ∈ r(an+1 an a1 ) b + S ∈ r(an+1 an a1 )/S Bao hàm thức r(an+1 an a1 )/S ≤ rR¯ (¯ an+1 ¯ a2 a ¯1 ) rõ ràng Điều suy r(am+1 am a1 )/S = r(am+2 am+1 a1 )/S rR¯ (¯ am ¯ a2 a ¯1 ) = rR¯ (¯ am+2 ¯ a2 a ¯1 ) Khi r(am+1 am a1 ) = r(am+2 am+1 am a1 ), (am+1 am a1 )R ∩ r(am+2 ) = Mặt khác, r(am+2 ) iđêan phải cốt yếu R, am+1 am a1 = Vì J(R) T-lũy linh phải iđêan (J(R) + S)/S vành ¯ = R/S T-lũy linh phải Theo [2, Proposition 29.1], (J(R) + S)/S lũy linh, R tồn số nguyên dương t cho J(R)t ≤ S Suy J(R)t+1 ≤ SJ Vậy J(R) lũy linh Một vành R gọi ef-mở rộng phải iđêan phải đóng R mà chứa iđêan phải hữu hạn sinh cốt yếu hạng tử trực tiếp Rõ ràng thấy, R ef-mở rộng phải iđêan phải hữu hạn sinh R cốt yếu hạng tử trực tiếp RR Như biết, vành tựa Frobenius tự nội xạ phải thỏa mãn điều kiện ACC linh hóa tử phải Từ đây, có đặc trưng vành tựa Frobenius thông qua vành bất biến đẳng cấu phải, ef-mở rộng phải với điều kiện dây chuyền sau: Định lý 2.19 Các điều kiện sau tương đương vành R R vành tựa Frobenius R vành bất biến đẳng cấu phải, ef-mở rộng phải thỏa điều kiện ACC linh hóa tử phải Chứng minh (1) ⇒ (2) rõ ràng (2) ⇒ (1) Vì R vành bất biến đẳng cấu phải thỏa điều kiện ACC linh hóa tử phải nên R vành nửa nguyên sơ theo [13] Giả sử Soc(RR ) = ⊕i∈I Si với Si đơn Cho i thuộc I Vì R vành ef-mở rộng phải nên tồn phần tử lũy đẳng fi R cho Si cốt yếu fi R Ngoài họ {Si } họ độc lập nên suy {fi R} họ độc lập Soc(RR ) ≤ ⊕i∈I fi R ⊕i∈I fi R cốt yếu RR (*) Vì R vành bất biến đẳng cấu phải nên RR thỏa điều kiện C2 thỏa mãn điều kiện C3 Từ suy ⊕i∈I fi R hạng tử trực tiếp địa phương RR Mặt khác, RR thỏa điều kiện ACC linh hóa tử phải nên suy ⊕i∈I fi R môđun đóng RR theo [3, Lemma 8.1(1)] Khi theo (*) ta phải có RR = ⊕i∈I fi R RR = ⊕ni=1 fi R cho số nguyên dương n đồng thời fi R (vì có mơđun đơn cốt yếu nó) Suy R vành tự nội xạ phải Vậy R vành tựa Frobenius 48 ĐÀO THỊ TRANG TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] A N.Abyzov,T.C.Quynh, and D.D.Tai, Dual automorphism invariant modules over perfect rings ,Siberian Mathematical Journal, Vol 58, No 5, pp 743–751, 2017 [2] F W Anderon and K R Fuller, Rings and categories of modules, Springer - Verlag, New York, 1974 [3] N.V Dung, D V Huynh, P F Smith, R Wisbauer, Extending Modules, Pitman 1996 [4] N Er, S Singh, A.K Srivastava, Rings and modules which are stable under automorphisms of their injective hulls, J Algebra 379 (2013) 223–229 [5] C Faith, Y Utumi, Quasi-injective modules and their endomorphism rings, Arch Math 15 (1964) 166–174 [6] L Fuchs, On quasi-injective modules, Ann Sc Norm Super Pisa 23 (1969) 541–546 [7] P.A Guil Asensio, A.K Srivastava, Additive Unit Representations in Endomorphism Rings and an Extension of a Result of Dickson and Fuller, Contemp Math., Amer Math Soc., in press [8] Guil Asensio P A and Srivastava A K., Automorphism-invariant modules satisfy the exchange property, J Algebra, vol 388, 101–106 (2013) [9] S K Jain, S Singh, On pseudo-injective modules and self-pseudo-injective rings, J Math Sci.,1967 [10] R.E Johnson, E.T Wong, Quasi-injective modules and irreducible rings, J Lond Math Soc 36 (1961) 260–268 [11] T.K Lee, Y Zhou, Modules which are invariant under automorphisms of their injective hulls, J Algebra Appl 12 (2) (2013) [12] B.L Osofsky, Endomorphism rings of quasi-injective modules, Canad J Math 20, 1968) 895–903 [13] T C Quynh, M T Kosan and L V Thuyet, On automorphism-invariant rings with chain condition, Vietnam Journal of Mathematics (in press 2018) [14] S Singh, A.K Srivastava, Dual automorphism-invariant modules, J Algebra 371 (2012) 262–275 MỘT VÀI KẾT QUẢ VỀ MÔĐUN BẤT BIẾN ĐẲNG CẤU 49 Title: SOME RESULTS ABOUT AUTOMORPHISM INVARIANT MODULES Abstract: In this paper, we review some results about automorphism invariant modules In addition, we have given some results regarding the quasi-Frobenius ring and we prove that a ring R is a quasi-Frobenius ring if and only if R is a right automorphism-invariant ring, right ef-extending with maximum condition on right annihilators Keyword: Injective module, pseudo injective module, automorphism invariant module  ... (2) Một vành R vành tựa Frobenius R vành bất biến đẳng cấu phải, ef-mở rộng phải thỏa điều kiện ACC linh hóa tử phải MỘT VÀI KẾT QUẢ VỀ MƠĐUN BẤT BIẾN ĐẲNG CẤU 43 LỚP MÔĐUN BẤT BIẾN ĐẲNG CẤU... Từ kết M tựa nội xạ M bất biến qua tất tự đồng cấu bao nội xạ Năm 2013, tác giả Zhou Lee đưa khái niệm môđun bất biến đẳng cấu: Định nghĩa 2.1 ([11]) Một môđun M gọi bất biến đẳng cấu M bất biến. .. cấu M bất biến qua tất tự đẳng cấu bao nội xạ Sau đây, chúng tơi nêu số tính chất môđun bất biến đẳng cấu: Khi xét đẳng cấu hai môđun cốt yếu môđun bất biến đẳng cấu, có kết sau: Định lý 2.2 ([11,