Phủ tổng quát của môđun và một vài kết quả liên quan

Trong bài viết này, giới thiệu về các khái niệm phủ tổng quát của môđun, môđun đối bất biến tự đồng cấu và một vài tính chất của chúng. Bài báo cũng đưa ra một số kết quả liên quan đến bài toán Schroder-Bernstein đối ngẫu cho lớp môđun x − đối bất biến đẳng cấu.

UED Journal of Social Sciences, Humanities & Education - ISSN: 1859 - 4603 TẠP CHÍ KHOA HỌC XÃ HỘI, NHÂN VĂN VÀ GIÁO DỤC PHỦ TỔNG QUÁT CỦA MÔĐUN VÀ MỘT VÀI KẾT QUẢ LIÊN QUAN Đào Thị Tranga, Nguyễn Quốc Tiếna*, Trương Thị Thúy Vânb Nhận bài: 23 – 07 – 2019 Chấp nhận đăng: 23 – 08 – 2019 http://jshe.ued.udn.vn/ Tóm tắt: Trong viết này, chúng tơi giới thiệu khái niệm phủ tổng quát môđun, môđun đối bất biến tự đồng cấu vài tính chất chúng Bài báo đưa số kết liên quan đến toán Schroder-Bernstein đối ngẫu cho lớp môđun  − đối bất biến đẳng cấu Từ khóa:  − phủ tổng quát; phủ xạ ảnh,; môđun  − đối bất biến đẳng cấu; Định lí SchroderBernstein Giới thiệu số khái niệm Singh Srivastava [1] giới thiệu lớp mơđun đối bất biến tự đẳng cấu, khái niệm đối ngẫu môđun bất biến tự đẳng cấu nghiên cứu Lee Zhou [2] Trong [3], Guil Asensio, Tutuncu Srivastava tổng quát khái niệm đưa số kết đẹp Phần đầu viết này, giới thiệu lại khái niệm làm rõ số mối quan hệ chúng Phần sau viết, đưa số kết liên quan đến tốn Schroder-Bernstein đối ngẫu cho lớp mơđun c - bất biến đẳng cấu Chúng ta biết rằng, lí thuyết tập hợp, định lí Schroder-Bernstein phát biểu rằng: tồn đơn ánh A ® B B ® A hai tập hợp A B , tồn song ánh A ® B Đối ngẫu, ta có, tồn tồn ánh A ® B B ® A hai tập hợp A B , tồn song ánh A B Trong lí thuyết mơđun, Bumby [4] chứng minh phát biểu kiểu định lí Chroder-Bernstein cho mơđun bất biến tự đồng cấu bao nội xạ Trong [5], Guil Asensio chứng minh toán Schroder-Bernstein môđun bất biến tự đẳng cấu bao nội xạ Việc mở rộng toán Schroder-Bernstein mơđun nhà tốn học tiếp tục nghiên cứu hi vọng có aTrường Đại học Công nghiệp Thực phẩm Tp HCM bTrường Đại học Sư phạm Kỹ thuật Vĩnh Long * Tác giả liên hệ Nguyễn Quốc Tiến Email: nguyenquoctien1982@gmail.com 12 | nhiều kết thú vị Trong suốt báo, vành R vành kết hợp có đơn vị, R -mơđun mơđun unita Ta kí hiệu M R để M R -môđun phải, R M để M R -môđun trái Khi không sợ nhầm lẫn phía mơđun, ta viết mơđun M Ký hiệu A £ M để A môđun M , End (M ) tập tất đồng cấu từ M đến M Môđun K R - môđun M gọi mơđun cốt yếu M , kí hiệu K £ e M , với môđun L M mà K Ç L = L = Lúc này, ta nói M mở rộng cốt yếu K Đối ngẫu, có khái niệm mơđun đối cốt yếu Một môđun K R - môđun M gọi mơđun đối cốt yếu M , kí hiệu K = M , với môđun L M mà K + L = M L = M Vành R mà R -môđun phải có phủ xạ ảnh gọi vành hồn chỉnh phải Phủ tổng qt mơđun c - đối bất biến tự đồng cấu Nhắc lại rằng, với R - mơđun phải M , tồn cấu p : P ® M gọi phủ xạ ảnh M P R - môđun xạ ảnh p toàn cấu đối cốt yếu Tạp chí Khoa học Xã hội, Nhân văn & Giáo dục Tập 9, số (2019), 12-18 ISSN 1859 - 4603 - Tạp chí Khoa học Xã hội, Nhân văn & Giáo dục Tập 9, số (2019), 12-18 (tức ker ( p ) = P ) Lúc này, ta nói P phủ xạ Thật vậy, gọi p : X (M ) ® M c - phủ tổng ảnh M Phủ xạ ảnh M có tính chất quan trọng sau: qt M Vì mơđun M ảnh tồn cấu mơđun xạ ảnh X ¢(M ) kết hợp với điều Định lí 2.1 [10, Theorem 2.27] Cho P phủ xạ ảnh R - môđun phải M Nếu Q môđun xạ ảnh q : Q ® M tồn cấu, Q có phân kiện đầu c -phủ tổng qt ta suy p tồn tích thành tổng trực tiếp Q = P1 Å P2 với P1 @ P , P2 Í Ker (q) q |P : P1 ® M phủ xạ ảnh M cấu Lấy L mô dun X (M ) cho L + ker ( p) = X (M ) , suy thu hẹp p |L : X (M ) ® M tồn cấu Do X (M ) Ỵ c xạ ảnh nên tồn đồng cấu f : X (M ) ® L cho p = p |L f Định lí 2.2 [10, Theorem 2.27] Nếu q : Q ® M p : P ® M hai phủ xạ ảnh M tồn đẳng cấu f : Q ® P thỏa pf = q Cho c lớp R - mơđun phải Ta nói c đóng đẳng cấu M Ỵ c N @ M N Ỵ c Bây có khái niệm phủ tổng quát sau: Định nghĩa 2.3 Cho vành R c lớp R - mơđun phải đóng đẳng cấu Một c - phủ tổng quát R - môđun phải M đồng cấu p : X (M ) đ M , X (M ) ẻ c thỏa mãn điều kiện sau: 1) Với ng cu g : X Â(M ) đ M , X Â(M ) ẻ c tn ti ng cu f : X Â(M ) đ X (M ) cho g = pf Để ý p |L = pi với i phép nhúng tắc L vào X (M ) , p = pif = pf Theo điều kiện thứ hai c -phủ tổng quát ta có f tự đẳng cấu X (M ) , điều suy L = X (M ) Vậy ker ( p ) = X (M ) hay p : X (M ) ® M phủ xạ ảnh M Ngược lại, lấy p : P ® M phủ xạ ảnh M , rõ ràng p với điều kiện thứ c - phủ tổng quát Giả sử có tự đồng cấu f P thỏa điều kiện p = pf Do P = ker ( p) + f (P ) ker ( p ) = P nên P = f (P ) , suy P tồn cấu Mặt khác dãy khớp ® ker ( p) ® P ® P ® chẻ P xạ 2) Nếu tự đồng cấu f : X (M ) ® X (M ), X (M ) Ỵ c thỏa p = pf f tự đẳng cấu ảnh, nên tồn đồng cấu g : P ® P cho fg = 1p g đơn cấu với P = g(P ) + ker ( f ) Do p = pf , nên ker ( f ) £ ker ( p ) = P Điều suy P = g(P ) , g tự đẳng cấu Do fg = 1p nên f tự đẳng cấu Vậy p : P ® M c - phủ tổng quát M Định lí 2.5 [6, Theorem 1.2.10] Giả sử Nhận xét 2.4 1) Dễ dàng thấy từ định nghĩa, mơđun M có hai c - phủ tổng qt p : X (M ) ® M p ¢: X ¢(M ) ® M X ¢(M ) @ X (M ) 2) Trong trường hợp c lớp môđun xạ ảnh, c - phủ tổng qt mơđun M phủ xạ ảnh M = M Å M Å Å M n với M i , i = 1, n môđun M , pi : X (M i ) ® M i c - bao tổng quát M i Khi đó, Å pi : ÅX (M i ) ® M c - bao tổng quát M M 13 Đào Thị Trang, Nguyễn Quốc Tiến, Trương Thị Thúy Vân Định nghĩa 2.6 Cho R - môđun M , N c lớp R - mơđun đóng đẳng cấu M gọi c - N -xạ ảnh tồn c - phủ tổng quát c - đối bất biến đẳng cấu với tự đẳng cấu g P , tồn tự đẳng cấu f P /ker ( p ) cho f p = p g, pM : X (M ) ® M pN : X (N ) ® N cho với đồng cấu g : X (M ) ® X (N ) tồn đồng cấu f : M ® N cho fpM = pN g Do p g( ker ( p )) = f p ( ker ( p )) = , suy g( ker ( p )) £ ker ( p ) Vì g - tự đẳng cấu nên ta Nếu M c - M - xạ ảnh M gọi c đối bất biến tự đồng cấu; với đẳng cấu g : X (M ) ® X (M ) tồn đồng cấu f : M ® M cho fpM = pM g ta nói M mơđun c - đối bất biến đẳng cấu Như vậy, môđun c - đối bất biến tự đồng cấu môđun c - đối bất biến đẳng cấu Bổ đề 2.7 Giả sử M c - N - xạ ảnh N xạ ảnh với c - phủ Áp dụng [1, Theorem 27] ta P / ker( p ) môđun đối bất biến đẳng cấu hay M môđun đối bất biến đẳng cấu Một số kết liên quan toán SchroderBernstein đối ngẫu Cho c lớp R - mơđun đóng tổng trực tiếp Từ định nghĩa, rõ ràng chứng minh kết qua sau: c- M - có g- 1( ker ( p )) £ ker ( p ) Vậy g( ker ( p )) = ker ( p ) tổng quát pM : X (M ) ® M pN : X (N ) ® N Khi đó, hữu hạn Ta có định nghĩa sau: Định nghĩa 3.1 Một đồng cấu p : M ® N gọi c - toàn cấu mạnh túy (SPE) với đồng cấu f : X đ N , X ẻ c , cú th nâng đến đồng cấu g : X ® M cho pg = f X (M ) @ X (N ) , M @ N Định nghĩa 2.8 Môđun M gọi đối bất biến đẳng cấu với môđun đối cốt yếu K 1, K M , với toàn cấu f : M / K ® M / K cho ker( f ) = M / K f nâng thành tự ng cu f Â: M đ M nh ngha 3.2 Một mơđun M gọi c - đối đóng mạnh túy (SPCC) với môđun thương N M phép chiếu tắc p : M ® N c - SPE Trong phần lại sau đây, ta giả thiết c lớp môđun mà R - mơđun có c - phủ tổng quát Kết sau kết báo Nhận xét 2.9 Khi c lớp mơđun xạ ảnh Định lí 3.3 Cho A R - môđun c - SPCC, B R vành hồn chỉnh R - mơđun c - đối bất biến môđun thương c - đối bất biến tự đồng cấu A thỏa đẳng cấu R - mơđun đối bất biến đẳng cấu A c - B - xạ ảnh B c - A - xạ ảnh Gọi Thật vậy, gọi p : P ® M phủ xạ ảnh M ta pA : X (A ) ® A, pB : X (B ) ® B tồn cấu ker ( p ) = P , M @ P /ker ( p ) p : P ® P /ker ( p ) c - phủ tổng quát A, B Khi đó, tồn phủ xạ ảnh P /ker ( p ) Khi đó, M R - mơđun c - SPE j : B ® A A @ B 14 ISSN 1859 - 4603 - Tạp chí Khoa học Xã hội, Nhân văn & Giáo dục Tập 9, số (2019), 12-18 Chứng minh Gọi m : A ® B phép chiếu A môđun c - SPCC nên B vậy, điều tắc, m c - SPE Ta có mpA : X (A ) ® B suy p c - SPE Khi đó, p1 pB thỏa điều thỏa điều kiện thứ c - phủ tổng quát nên tồn kiện thứ phủ tổng quát Do đó, tồn đồng cấu đồng f1 : X (B ) ® X (A ) cấu cho u : X (B ) ® X (B ) thỏa p pB u = pB mpA f1 = pB Hơn nữa, pB : X (B ) ® B phủ tổng quát nên tồn đồng cấu f2 : X (A ) ® X (B ) với mpA = pB f2 Khi đó, pB = pB ( f2 f1 ) , f2 f1 đẳng cấu Điều suy f toàn cấu chẻ Tương tự ta toàn cấu chẻ g2 : X (B ) ® X (A ) j pB = pA g2 cho Vì Ta có pB phủ tổng qt nên có đồng cấu h : X (B ) ® X (B ) pB h = p pB thỏa Suy f2g2 : X (B ) ® X (B ) toàn cấu chẻ nên tồn pB = pB hu Điều suy hu đẳng cấu, tự đồng cấu v X (B ) cho ( f2g2 )v = Thêm h tồn cấu chẻ Lấy k : X (B ) ® X (B ) nữa, B môđun c - đối bất biến tự đồng cấu nên tồn tự đồng cấu w B thỏa wpB = pB v Từ ta có: pB = pB f2g2v = mpA g2v = mj pB v = ( mj w )pB Vì pB tồn cấu nên mj w = 1B , hay m toàn cấu chẻ suy B đẳng cấu với hạng tử trực tiếp A Do ta giả sử B hạng tử trực tiếp A Đặt A = H Å B Xét tồn cấu j : B ® A Khi đó, j - (A ) ³ j - (H ) + j - - - (H ) + j - (B )] ³ H Å [j - (H ) + j - (j môđun c - đối bất biến tự đồng cấu nên tồn a : B ® B cho a pB = pB kh Vậy a (B ) = ( pB k )(X (B )) = pB (1 - kh )(kh ) = pB (kh ) - pB (kh )(kh ) = ( a - a ) pB Do pB đẳng cấu nên a = a a (B ) - i : a (B ) ® B cho a i = 1a ( B ) Bây chứng minh pB k : X (B ) ® ( pB k )(X (B )) phủ (A ))] tổng ¥ ³ H Å [å (j - k ) (H )] ) (H ) = j - (j - quát Thật vậy, ly f : X Âđ ( pB k )(X (B )) = a (B ) đồng cấu với k= - k trực tiếp X (B ) (kh)2 = kh Hơn nữa, B hạng tử trực tiếp B Do tồn đồng cấu (A ) ³ H Å [j với (j Khi đó, k đơn cấu chẻ với Im (h ) hạng tử (B ) A = H ÅB ³ H Åj đồng cấu cho hk = 1X ( B ) ( j - (H ) )) Đặt X ' Ỵ c Xét biểu đồ sau: ¥ P = H Å [å (j ) (H )] ta được: - k k= Ơ B ầP = (j ) (H ) = j - k - (P ) k= Hơn nữa, j toàn cấu P = j (B Ç P ) Ly p1 : B đ B / B ầ P = B phép chiếu tự nhiên, Khi đó, tồn ti mt ng cu b : X Âđ X (B ) với pB b = i f Lấy g = h b , 15 Đào Thị Trang, Nguyễn Quốc Tiến, Trương Thị Thúy Vân đầu pB k g = pB kh b = a pB b = a i f = f đồng cấu hạng tử trực tiếp A suy a (B ) a (B ) Å H c - xạ ảnh tương hỗ Vậy Suy pB k : X (B ) ® ( pB k )(X (B )) thỏa điều kiện ta có hệ sau: phủ quát tổng Để chứng minh Hệ 3.4 Cho c lớp môđun mà pB k : X (B ) ® ( pB k )(X (B )) c - phủ tổng quát, R - mơđun có c - phủ tổng qt, A, B theo [6, Corollary 1.2.8] ta cần không tồn hạng tử trực tiếp L ¹ X (B ) chứa môđun c - đối bất biến tự đồng cấu với toàn cấu ker ( pB k ) Giả sử có L vậy, k (L ) ¹ pA : X (A ) ® A, pB : X (B ) ® B Giả sử A chứa ker ( pB ) Vì k đơn cấu chẻ nên k (L ) môđun c - SPCC B môđun thương A Nếu hạng tử trực tiếp Im (k ) k (L ) hạng tử tồn c - SPE từ B vào A A @ B trực tiếp X (B ) Điều mâu thuẫn với phủ tổng Trên vành hồn chỉnh mơđun phải tựa xạ ảnh mơđun phải đối bất biến tự đồng cấu Do đó, từ hệ 3.4, ta có kết sau: quát pB Vậy pB k : X (B ) ® ( pB k )(X (B )) = a (B ) phủ tổng quát Bây giờ, lấy K môđun B cho B = a (B ) Å K , A = H Å a (B ) Å K Theo cách xây dựng P , ta có A / P @ B / (B Ç P ) A / (P Ç B ) @ A / P Å A / B @ A / P Å H @ [B / (B Ç P )] Å H Hơn nữa, xét đồng cấu f : A / (P Ç B ) ® A / P với f (a + P Ç B ) = j (a ) + P Ta có, j tồn cấu nên với a Ỵ A tồn b Ỵ B cho a = j (b) hay với tồn cho b + P ÇB a+ P f (b + P Ç B ) = j (b) + P = a + P , f tồn cấu Mặt khác, f (a + P Ç B ) = j (a ) Ỵ P = j (P ầ B ) Do a ẻ K er (j ) + (P Ç B ) = P Ç B , hay f đó, đơn cấu c - phủ tổng quát tương ứng Hệ 3.5 Cho A, B môđun phải tựa xạ ảnh vành hoàn chỉnh R Nếu tồn tồn cấu A ® B B ® A A @ B Một mở rộng quan trọng lớp môđun tựa xạ ảnh lớp môđun giả xạ ảnh Một môđun M gọi giả xạ ảnh tồn cấu f : M ® K tồn cấu g : M ® K , tồn tự đồng cấu h : M ® M cho fh = g Như biết, vành hoàn chỉnh lớp mơđun giả xạ ảnh lớp môđun đối bất biến đẳng cấu trùng Tiếp theo có kết sau: Định lí 3.6 Cho M N môđun giả xạ ảnh vành hoàn chỉnh phải R Nếu tồn tồn cấu f : M ® N g : N ® M M @ N Vậy f đẳng cấu Ta có A / (P Ç B ) @ A / P điều Chứng minh Theo giả thiết f : M ® N g : N ® M tồn cấu M, N môđun giả suy B / (B Ç P ) @ [B / (B Ç P )] Å H Như vậy, xạ ảnh nên f ta có X (B ) @ X (B ) Å X (H ) Từ giả thiết, có f ¢: N ® M g ¢: M ® N đồng cấu cho thể kiểm tra a (B ) a (B ) Å H c - xạ ảnh tương ff ¢ = hỗ Mặt khác, ta có X (B ) ® a ( B ) X (B ) Å X (H ) ® a (B ) Å H phủ tổng quát Theo Bổ đề 2.7, ta có a (B ) @ a (B ) Å H Khi đó, B = a (B ) Å K @ a (B ) Å H Å K = A Trong phép chứng minh trên, giả thiết A môđun c - đối bất biến tự đồng cấu ta a (B ) Å H môđun c - đối bất biến tự 16 và g tồn cấu chẻ Gọi gg ¢ = Lấy p M : PM ® M p N : PN ® N phủ xạ ảnh M N Do đó, có đẳng cấu h : PM ® PN Khơng tính tổng quát, giả sử ker ( p N ) Đặt M = PM / ker ( p M ) N = PN / M ¢= h - 1( ker ( p N )) + ker( p M ) N ¢= h( ker ( p M )) + ker ( p N ) , ta M ¢ = PM ISSN 1859 - 4603 - Tạp chí Khoa học Xã hội, Nhân văn & Giáo dục Tập 9, số (2019), 12-18 N ¢= PN h(M ¢) = N ¢, h - 1(N ¢) = M ¢ Khi tồn đồng cấu h , h - cho sơ đồ giao hoán: Khi đó, p1ba = h - p2a = h - 1hp1 = p1 Do đó, p1 (1 - ba ) = hay ker( p1 ) = M ¢/ ker ( p M ) Im (1 - ba ) £ ker ( p1 ) Vì ker ( p M ) = PM với M ¢ = PM , suy ker ( p1 ) = PM / ker ( p M ) Do đó, Im (1 - ba ) = PM / ker ( p M ) Do M = PM / ker ( p M ) ( ) môđun giả xạ ảnh nên, - ba Ỵ J End (M ) Suy p1 : PM / ker ( p M ) ® PM / M ¢ Đặt p2 : PN / ker ( p N ) ® PN / N ¢ phép chiếu tự nhiên Xét sơ đồ đồng cấu: ba khả nghịch End( M ), đồng thời a b khả nghịch End( M ) Vậy a đẳng cấu Chúng ta biết rằng, vành hồn chỉnh mơđun phải giả xạ ảnh mơđun phải đối bất biến đẳng cấu Do đó, ta có kết hiển nhiên sau: Hệ 3.7 Cho M N mơđun đối bất biến đẳng cấu vành hồn chỉnh phải R Nếu tồn toàn cấu f : M ® N g : N ® M M @ N Vì N mơđun giả xạ ảnh nên tồn k : PN / ker ( p N ) ® PN / ker ( p N ) cho p2k = hp1g Do gg ¢ = nên tồn đồng cấu a : PM / ker ( p M ) ® PN / ker ( p N ) cho p2 a = hp1 Một cách tương tự, tồn đồng b : PN / ker ( p N ) ® PM / ker ( p M ) cho p1b = h p2 - Vậy ta có sơ đồ đồng cấu sau: cấu Tài liệu tham khảo [1] S Singh, A.K Srivastava (2012) Dual automorphism-invariant modules J Algebra, 371, 262-275 [2] T.K Lee, Y Zhou (2013) Modules which are invariant under automorphisms of their injective hulls J Algebra Appl., 12 (2) [3] P A Guil Asensio, D K Tutuncu and A K Srivastava (2015) Modules invariant under automorphisms of their covers and envelopes Israel Journal of Mathematics, 206, 457-482 [4] R T Bumby (1965) Modules which are isomorphic to submodules of each other Arch der Math., 16, 184-185 [5] P A Guil Asensio, B Kalebogaz, A K Srivastava (2018) The Schroder-Bernstein problem for modules J.Algebra, 498(15), 153-164 [6] J Xu (1996) Flat Covers of Modules Lecture Notes in Mathematics, 1634 Springer-Verlag, Berlin [7] S E Dickson and K R Fuller (1969) Algebras for which every indecomposable right module is invariant in its injective envelope Pacic Journal of Mathematics, 31, 655-658 [8] N Er, S Singh, A.K Srivastava (2013) Rings and modules which are stable under automorphisms of their injective hulls J Algebra, 379, 223-229 [9] L E T Wu and J P Jans (1967) On quasi- 17 Đào Thị Trang, Nguyễn Quốc Tiến, Trương Thị Thúy Vân projectives Illinois Journal of Mathematics, 11 (1967), 439-448 [10] Alberto Facchini (2019) Semilocal Categories and Modules with Semilocal Endomorphism Rings Progress in Mathematics, 331 GENERAL COVER OF MODULES AND SOME RELATED RESULS Abstract: In this studying, we introduce the concept(definition) of general cover of a module, endomorphism coinvariant module and some of their properties The paper also provides some results concerning the dual of Schroder-Bernstein problem for endomorphism  − coinvariant modules Key words: general 18  − cover; projective cover; automorphism  − coinvariant module; Schroder-Bernstein's Theorem  ... c - phủ tổng quát tương ứng Hệ 3.5 Cho A, B mơđun phải tựa xạ ảnh vành hồn chỉnh R Nếu tồn tồn cấu A ® B B ® A A @ B Một mở rộng quan trọng lớp môđun tựa xạ ảnh lớp môđun giả xạ ảnh Một môđun. .. mà R - mơđun có c - phủ tổng quát Kết sau kết báo Nhận xét 2.9 Khi c lớp môđun xạ ảnh Định lí 3.3 Cho A R - mơđun c - SPCC, B R vành hồn chỉnh R - môđun c - đối bất biến môđun thương c - đối... c - phủ tổng quát nên tồn kiện thứ phủ tổng quát Do đó, tồn đồng cấu đồng f1 : X (B ) ® X (A ) cấu cho u : X (B ) ® X (B ) thỏa p pB u = pB mpA f1 = pB Hơn nữa, pB : X (B ) ® B phủ tổng quát