Năm 1967, Faith và Walker có định lý đặc trưng vành quasi-Frobenius nổi tiếng, đó là vành R là quasi-Frobenius nếu và chỉ nếu mọi R -môđun phải nội xạ là xạ ảnh. Từ đó suy ra rằng nếu mọi R -môđun phải đều nhúng được vào một R -môđun phải xạ ảnh, hoặc một cách tương đương nhúng vào một R -môđun tự do, thì R là vành quasi-Frobenius. Bài viết giới thiệu một cách tổng quan các kết quả đạt được về các lớp vành này và một số câu hỏi mở.
UED JOURNAL OF SOCIAL SCIENCES, HUMANITIES AND EDUCATION VOL.2, NO.2 (2012) VÀNH MÀ MỘT LỚP MÔĐUN NHÚNG ĐƯỢC VÀO MÔĐUN XẠ ẢNH Bành Đức Dũng* TÓM TẮT Năm 1967, Faith Walker có định lý đặc trưng vành quasi-Frobenius tiếng, vành R quasi-Frobenius R -môđun phải nội xạ xạ ảnh Từ suy R -mơđun phải nhúng vào R -môđun phải xạ ảnh, cách tương đương nhúng vào R -môđun tự do, R vành quasi-Frobenius Một câu hỏi tự nhiên đặt là, môđun nhúng mà lớp mơđun vành R nào? Vành mà môđun phải hữu hạn sinh (tương ứng, môđun cyclic) nhúng vào môđun tự gọi FGF phải (tương ứng CF phải) Hai câu hỏi mở là: (1) Vành FGF phải có QF? (2) Vành CF phải có artin phải? Câu hỏi (1) (2) gọi Giả thuyết FGF Giả thuyết CF Nếu giả thuyết CF giải giả thuyết FGF giải vành artin phải, FGF phải QF Từ Faith đặt tên cho lớp vành đến nay, có nhiều cơng trình nhiều tác giả cho câu trả lời tiệm cận Trong viết giới thiệu cách tổng quan kết đạt lớp vành số câu hỏi mở Từ khóa: CF vành, FGF vành, QF vành Giới thiệu Trong viết này, vành R cho ln giả thiết vành kết hợp có đơn vị = R -môđun xét môđun unita Những khái niệm kết tham khảo F.W Anderson and K.R Fuller [1], C Faith [4], T.Y Lam [12], W K Nicholson and M F Yousif [15] Với vành R cho, ta viết M R ( R M ) để M R -môđun phải (trái, tương ứng) Khi khơng sợ nhầm lẫn phía mơđun, để đơn giản ta viết mơđun M thay M R Chúng ta dùng ký hiệu AR M R ( AR e M R , AR = M R ) để A môđun (tương ứng, môđun cốt yếu, đối cốt yếu) M ; Jacobson, đế môđun M R ký hiệu tương ứng Rad( M R ),Soc( M R ) ; J ( R ) dùng để ký hiệu cho Jacobson vành R Vành R gọi nội xạ phải (hoặc P-nội xạ phải) iđêan phải R mở rộng Do đó, vành tự nội xạ phải P-nội xạ phải Tuy nhiên, điều ngược lại khơng đúng, chẳng hạn, vành qui nội xạ hai phía Một mơđun QR gọi FP-nội xạ với đồng cấu từ môđun hữu hạn sinh K R -môđun phải tự F vào QR mở rộng lên tồn FR Rõ ràng, mơđun nội xạ FP-nội xạ Nếu R vành quy, R -mơđun phải FP-nội xạ mơđun hữu hạn sinh môđun tự hạng tử TẠP CHÍ KHOA HỌC XÃ HỘI, NHÂN VĂN VÀ GIÁO DỤC TẬP 2, SỐ (2012) trực tiếp (theo [15, Theorem B.54 Corollary B.49]) Vành R gọi CS phải iđêan phải cốt yếu hạng tử trực tiếp R , gọi C2 phải iđêan phải đẳng cấu với hạng tử trực tiếp tự hạng tử trực tiếp Nếu vành R vừa CS phải, vừa C2 phải ta gọi R vành liên tục phải Rõ ràng lớp vành mở rộng lớp vành tự nội xạ phải Một vành gọi C2 mạnh phải M n ( R), n , C2 phải Một vành R gọi Kasch phải môđun phải đơn K nhúng vào RR , cách tương đương RR đối sinh K Một vành gọi psuedo-Frobenius phải (viết tắt PF) tự nội xạ phải, nửa hồn chỉnh có đế phải cốt yếu, cách tương đương, vành tự nội xạ phải có đế phải hữu hạn sinh cốt yếu Vành R gọi quasi-Frobenius (viết tắt QF) vành artin hai phía, tự nội xạ hai phía Các kết lớp vành FGF CF Kết giới thiệu thuộc Faith (1967), vành CF hai phía QF Định lý (Faith -Walker, 1967) Một vành QF môđun trái cyclic môđun phải cyclic nhúng vào môđun xạ ảnh & & (1969) Tolskaya (1970) kết hợp điều kiện FGF Tiếp kết thuộc Bjork với điều kiện vành tự nội xạ phía & & , Tolskaya) Mọi vành tự nội xạ phải FGF phải QF Định lý ( Bjork Ví dụ sau tồn vành CF trái không FGF trái, khơng phải QF nên theo định lý khơng CF phải & & ) Giả sử F trường có trường thực F a a a Ví dụ ( Bjork đẳng cấu từ F lên F Lấy R không gian véctơ với sở 1,t xem R F - đại số định nghĩa t = ta = at với a F Khi R-mơđun trái cyclic 0, R R / J J Do chúng nhúng vào R R nên R CF trái Nhưng R không tự nội xạ trái (thậm chí khơng nội xạ bé bên trái) nên R khơng QF, khơng FGF trái Cũng R không QF nên R CF phải (xem [15, Example 2.5 Example 7.3]) Bằng cách thêm vào điều kiện dây chuyền, Faith (1983) có số kết sau: Trước hết ông chứng minh cho trường hợp điều kiện FGF kết hợp với điều kiện Artin phía Định lý (Faith, 1983) Nếu R vành artin phải, FGF phải R QF Từ ta dễ dàng suy kết quả: UED JOURNAL OF SOCIAL SCIENCES, HUMANITIES AND EDUCATION VOL.2, NO.2 (2012) Hệ Cho R vành FGF phải Khi R QF điều kiện sau xảy ra: R thỏa mãn DCC iđêan linh hóa tử phải; R thỏa mãn ACC iđêan linh hóa tử trái; R vành Noether trái; R vành Artin trái Tiếp đó, Faith kết hợp điều kiện FGF phải với điều kiện vành có đế phải hữu hạn sinh cốt yếu: Định lý (Faith, 1983) Nếu R vành FGF phải có đế phải hữu hạn sinh cốt yếu R QF Từ ơng suy kết Định lý (Faith, 1983) Mọi vành Noether phải FGF phải QF Kết sau thuộc Nicholson Yousif (2003) cho cách tiếp cận khác cách giảm tính chất FGF xuống 2-GF tính chất C2-mạnh: Định lý Giả sử R vành C2 mạnh phải cho R-môđun phải 2-sinh nhúng vào mơđun tự (cịn ký hiệu 2-GF) Khi R QF Những điều kiện hệ sau suy tính chất C2 mạnh Hệ Giả sử vành R có tính chất R-mơđun phải 2-sinh nhúng vào mơđun tự Khi R QF thỏa mãn điều kiện sau đây: R nửa quy với J = Z r R Kasch trái R nửa hoàn chỉnh với Soc(eR) với lũy đẳng địa phương e2 = e R (chẳng hạn R vành hoàn chỉnh phải) R FP-nội xạ phải & & -Tolskaya nêu trên: Kết sau mở rộng kết Bjork Định lý 10 (Gómes Pardo-Guil Asensio, 1997) Mọi vành CS phải CF phải artin phải Đặc biệt, vành CS phải, FGF phải QF Theo hướng mở rộng khác, Rada Saorín (1997) có kết Định lý 11 Giả sử R vành FGF phải cho R / J ( R) quy J ( R ) Tlũy linh phải Khi R QF Đặc biệt, nghiên cứu vành CF phía nửa hồn chỉnh (1999), họ vành hoàn chỉnh trái CF phải Artin phải Do đó: TẠP CHÍ KHOA HỌC XÃ HỘI, NHÂN VĂN VÀ GIÁO DỤC TẬP 2, SỐ (2012) Định lý 12 Cho R vành FGF phải hồn chỉnh trái Khi đó, R QF Chen Li (2004) mở rộng kết sau: Định lý 13 Mọi vành CF phải, C2 mạnh phải artin phải Mọi vành CF phải, hoàn chỉnh trái artin phải Theo hướng khác, năm 1983 Menal có kết đặc trưng vành QF qua tính chất CF phía: Định lý 14 Một vành CF phải E ( RR ) xạ ảnh vành QF Sau đó, Pardo Asensio (1997) mở rộng tính chất sau: Định lý 15 Cho R vành, kí hiệu E = E(RR) S = End(E), J = J(S) Nếu R CF phải E/JE hữu hạn sinh R Artin phải Quan hệ mật thiết với lớp vành CF vành CEP: vành R gọi CEP phải R -mơđun cyclic nhúng cốt yếu vào môđun xạ ảnh Vào năm 1990, Jain López-Permouth chứng minh vành nửa hồn chỉnh, CEP phải artin phải (thực tế kết sau Pardo Asensio chứng minh không cần điều kiện nửa hoàn chỉnh) đưa số kết quả: Định lý 16 Với vành R bất kỳ, điều kiện sau tương đương: R QF R CEP phải E ( RR ) xạ ảnh Bao nội xạ R -môđun phải cyclic xạ ảnh Năm 1997, Pardo Asensio chứng minh: Định lý 17 Một vành CEP phải artin phải Do đó, vành mà môđun phải hữu hạn sinh nhúng cốt yếu môđun tự QF Giả sử P tính chất vành Vành R gọi P đầy đủ môđun thương R có tính chất P Năm 2002, Faith Huỳnh có kết quả: Định lý 18 Với vành R điều kiện sau tương đương: (1) R QF đầy đủ (2) R FGF phải đầy đủ Năm 1983, Menal đặt câu hỏi rằng: Có tồn hay không số vô hạn c cho R -môđun phải c -sinh nhúng vào mơđun tự R QF Menal đốn câu trả lời khơng, cụ thể là: “Có vành R cho R mơđun phải đếm sinh nhúng vào môđun tự R không QF” Năm 1997, Pardo Asensio trả lời phần câu hỏi này: UED JOURNAL OF SOCIAL SCIENCES, HUMANITIES AND EDUCATION VOL.2, NO.2 (2012) Định lý 19 Nếu R vành cho môđun thương RR( R ) nhúng vào mơđun tự R QF Như vậy, giả thuyết Menal trả lời trường hợp c | R | , câu hỏi mở trường hợp c | R | Những câu hỏi câu hỏi lớn mười năm trở lại chưa có thêm kết tốt Chúng tơi tổng hợp sau số câu hỏi liên quan khác: Bản số c nhỏ để đảm bảo R-mođun có lực lượng nhỏ c nhúng vào môđun tự R QF? Một vành FGF phải, tự nội xạ phải QF Nếu điều kiện tự nội xạ phải thay C2 mạnh phải kết Vậy cần điều kiện C2 phải kết có cịn đúng? Có thể thay điều kiện tự nội xạ điều kiện suy rộng khác không, chẳng hạn P-nội xạ, nội xạ đơn,… Nếu bao nội xạ R-mơđun cyclic xạ ảnh R QF Nếu R nửa hoàn chỉnh bao nội xạ R-mơđun phải đơn xạ ảnh R PF phải (DungThoang-Sanh, 2008) Thực tế vành PF phía đặc trưng qua lớp môđun nhúng, đặc trưng qua bao nội xạ lớp môđun xạ ảnh? Nếu lớp R -môđun đơn nhúng (cốt yếu) vào mơđun tự R vành có tính chất gì, chẳng hạn, có nửa hồn chỉnh? TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] F W Anderson and K R Fuller (1992), Rings and categories of modules, Second Edition, Graduate Text in Math., Vol 13, Springer-Verlag, Berlin - Heidelberg New York &rk (1969), Rings satisfying a minimal condition on principal ideals, J [2] B Bj o& Reine Angew Math., 236, 112-119 [3] Dung, B D., Thoang, L D., Sanh, N V (2008), When is a semiperfect rings pseudo-Frobenius?, Asian J of Math., (3), 353-358 [4] C Faith (1976), Algebra II: Ring Theory, Grundl Math Wiss 191, SpringerVerlag [5] C Faith (1982), Embedding modules in projectives A report on a problem, Lecture Notes in Mathematics Vol 951, 21-40 Springer-Verlag, Berlin-New York [6] C Faith (1990), Embedding torsionless modules in projectives A report on a problem, Lecture Notes, Inst de Recerca Mat., Autonoma U de Barcelona [7] C Faith and D.V Huynh (2002), When self-injective rings are QF: A report on a TẠP CHÍ KHOA HỌC XÃ HỘI, NHÂN VĂN VÀ GIÁO DỤC TẬP 2, SỐ (2012) problem, J Algebra Appl 1, 75-105 [8] C Faith and E A Walker (1967), Direct-sum representations of injective modules, J Algebra 5, 203-221 [9] J L Gómez Pardo (1985), Embedding cyclic and torsionfree modules in free modules, Arch Math 44, 503-510 [10] J L Gómez Pardo and P A Guil Asensio (1997), Rings with finite essential socle, Proc Am Math Soc 125, 971-977 [11] J L.Gómez Pardo and P A Guil Asensio (1997), Essential embeddings of cyclic modules in projectives, Trans Am Math Soc 349, 4343-4353 [12] T Y Lam (1991), A First Course in Noncommutative Rings, Graduate Text in Math., Vol 131, Springer-Verlag, Berlin - Heidelberg - New York [13] L Levy (1963), Torsion-free and divisible modules over non-integral-domains, Canadian J Math 15, 132-151 [14] P Menal (1983), On the endomorphism ring of a free module, Publ Mat Univ Autónoma Barcelona 27, 141-154 [15] W K Nicholson and M F Yousif (2003), Quasi-Frobenius rings, Cambridge Univ Press [16] B Osofsky (1966), A generalization of quasi-Frobenius rings, J Algebra 4, 373387 [17] T S.Tolskaya (1970), When are all cyclic modules essentially embedded in free modules?, Mat Issled 5, 187-192 THE RING WHOSE MODULE CLASS IS EMBEDDED IN PROJECTIVE MODULE Banh Duc Dung Ho Chi Minh University of Transport ABSTRACT Faith and Walker (1967) characterized QF rings as the class of rings if and if every right injective module is projective It can be implied that if every right R-module is embedded in a projective module or, equivalently, in a free module, then R is QF The question is if not all the module but a class of it is embedded, how the ring R is The ring of which every finitely generated (cyclic) right R-module is embedded in a free module is called right FGF (resp CF) There have been two conjectures: Right FGF ring is QF (FGF’s conjecture)? Right CF ring is artinian (CF’s conjecture)? If the CF’s conjecture is true, then so is FGF’s conjecture because a right artinian and FGF ring are QF In this paper, we introduce these problems generally and then pose some open questions UED JOURNAL OF SOCIAL SCIENCES, HUMANITIES AND EDUCATION VOL.2, NO.2 (2012) Key words: CF Ring, FGF Ring, QF Ring * TS Bành Đức Dũng, Email: banhducdung@yahoo.com, ĐH GTVT Tp Hồ Chí Minh ... ràng lớp vành mở rộng lớp vành tự nội xạ phải Một vành gọi C2 mạnh phải M n ( R), n , C2 phải Một vành R gọi Kasch phải môđun phải đơn K nhúng vào RR , cách tương đương RR đối sinh K Một vành. .. phía Các kết lớp vành FGF CF Kết giới thiệu thuộc Faith (1967), vành CF hai phía QF Định lý (Faith -Walker, 1967) Một vành QF môđun trái cyclic môđun phải cyclic nhúng vào môđun xạ ảnh & & (1969)... P-nội xạ, nội xạ đơn,… Nếu bao nội xạ R -môđun cyclic xạ ảnh R QF Nếu R nửa hồn chỉnh bao nội xạ R-mơđun phải đơn xạ ảnh R PF phải (DungThoang-Sanh, 2008) Thực tế vành PF phía đặc trưng qua lớp môđun