Mục đích của bài viết là nghiên cứu về linh hóa tử trái mịn mà W.K. Nicholson, Yiqiang Zhou đã đưa ra từ đó khai thác một số đặc trưng vành, chẳng hạn lớp vành Ikeda - Nakayama, lớp vành Artin, lớp vành - chính quy mạnh với các điều kiện linh hóa tử trái mịn.
TẠP CHÍ KHOA HỌC TRƢỜNG ĐẠI HỌC HỒNG ĐỨC - SỐ 51.2020 VÀNH VỚI CÁC ĐIỀU KIỆN CỦA LINH HÓA TỬ TRÁI MỊN Hồng Đình Hải1, Vũ Thị Nhì2, Nguyễn Thị Hƣơng3 TÓM TẮT Việc nghiên cứu đặc trưng vành thông qua Jacobson gợi dẫn nghiên cứu linh hóa tử trái mịn ứng dụng Linh hóa tử trái mịn vành W.K Nicholson, Yiqiang Zhou trình bày [3] Một Iđêan phải A vành R gọi mịn với Iđêan phải B R mà A + B = R B = R; A gọi linh hóa tử trái mịn l(B) = (l(B) linh hóa tử trái B) Mục đích báo nghiên cứu linh hóa tử trái mịn mà W.K Nicholson, Yiqiang Zhou đưa từ khai thác số đặc trưng vành, chẳng hạn lớp vành Ikeda - Nakayama, lớp vành Artin, lớp vành - quy mạnh với điều kiện linh hóa tử trái mịn Từ khóa: Iđêan phải mịn, linh hóa tử, Jacobson ĐẶT VẤN ĐỀ Trong báo, vành bên phải, kết hợp, có đơn vị Tập I vành đƣợc gọi Iđêan phải gọi Iđêan trái Nếu I vừa Iđêan phải vừa Iđêan trái gọi Iđêan vành ta viết Ta nói Iđêan cốt yếu kí hiệu có giao khác khơng với Iđêan khác khơng Chúng ta kí hiệu Jacobson ; , , lần lƣợt kí hiệu cho đế bên phải, đế bên trái, Iđêan kì dị phải, Iđêan kì { ∈ dị trái Linh hóa tử trái Iđêan ∈ } Ta nhắc lại Iđêan phải vành đƣợc gọi mịn với Iđêan phải B mà ta kí hiệu Phần tử ∈ đƣợc gọi lũy linh (tựa lũy linh) tồn ∈ cho vành - quy mạnh với ∈ dây chuyền dừng, điều tƣơng đƣơng với dây chuyền dừng, kéo theo vành hoàn chỉnh bên trái hay bên phải vành quy mạnh KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU 2.1 Linh hóa tử linh hóa tử trái mịn Định nghĩa Cho vành, - môđun trái, Linh hóa tử đƣợc định nghĩa tập hợp { ∈ ∈ } tập Trung tâm Giáo dục Quốc tế, Trường Đại học Hồng Đức Học viên cao học lớp Đại số Lý thuyết số K11, khoa Khoa học Tự nhiên, Trường Đại học Hồng Đức 56 TẠP CHÍ KHOA HỌC TRƢỜNG ĐẠI HỌC HỒNG ĐỨC - SỐ 51.2020 Bổ đề Linh hóa tử Iđêan Chứng minh: Thật vậy, Với ∈ ∈ Do ∈ Với ∈ ∈ ∈ Điều chứng tỏ ∈ Với ∈ ∈ ∈ Chứng tỏ ∈ Vậy Iđêan Bổ đề Cho miền nguyên - môđun xoắn trái hữu hạn sinh Khi mơđun có linh hóa tử khác khơng Chứng minh: Theo giả thiết - môđun hữu hạn sinh nên tồn tập sinh hữu hạn { } cho Do - môđun xoắn trái nên với ∈ , tồn phần tử khác không ∈ cho =0 Chúng ta chứng minh phần tử khác không ∈ với thỏa mãn với ∈ Với ∈ , ∈ ∈ Do miền nguyên, =0, ta có: ( ) Nhận xét Bổ đề khơng cịn bỏ giả thiết hữu hạn sinh mơ đun Chứng minh: Ta có vành số nguyên, miền nguyên Xét - môđun Với ∈ , , ∈ Điều suy - mơđun xoắn trái Bây giả sử ∈ Chọn số nguyên cho Xét phần tử ) có thành phần thứ k khác ∈ nên Do địi hỏi Vậy Định nghĩa Cho vành với đơn vị Một phần tử - môđun đƣợc gọi phần tử xoắn với thuộc Tập hợp phần tử xoắn { ∈ } kí hiệu Nhận xét Cho vành với đơn vị - môđun , Iđêan Gọi tập phần tử cho chúng bị triệt tiêu lũy thừa bậc lũy thừa tùy thuộc phần tử Khi mơđun Chứng minh: Thật vậy, đặt { ∈ ∈ } chứa phần tử bị triệt tiêu lũy thừa Ta có nhận định sau: 1) Mỗi tập mơđun 2) Ta có dây chuyền tăng 3) ⋃ 57 TẠP CHÍ KHOA HỌC TRƢỜNG ĐẠI HỌC HỒNG ĐỨC - SỐ 51.2020 Ta lần lƣợt chứng minh cho nhận định 1) Cho ∈ ∈ Với ∈ , ta có ∈ bị triệt tiêu lũy thừa Hơn ∈ Iđêan Vì thế, tập môđun 2) Ta để ý Do với i, nghĩa có dây chuyền tăng 3) Do hợp mơđun thuộc dây chuyền tăng môđun Từ suy điều phải chứng minh Định nghĩa Một Iđêan phải vành đƣợc gọi linh hóa tử trái mịn vành với Iđêan phải mà ta kí hiệu Bằng cách tƣơng tự, ta nói Iđêan phải linh hóa tử phải mịn { ∈ vành định nghĩa đƣợc thay ∈ } kí hiệu Nếu Iđêan vừa linh hóa tử trái mịn vừa linh hóa tử phải mịn ta nói linh hóa tử mịn , kí hiệu Nhận xét Mỗi Iđêan phải mịn linh hóa tử trái mịn Chứng minh: Giả sử, Iđêan phải vành mịn với Iđêan phải B mà ta có Do nên linh hóa tử trái mịn Ví dụ Trong vành số nguyên , với ∈ , Ví dụ Trong vành thƣơng , Iđêan có dạng với Ví dụ Trong vành số nguyên Thật , giả sử Do nên ∈ Nhƣng nên Nhận xét Điều ngƣợc lại nhận xét không Chứng minh: Thật vậy, ta xét phản ví dụ sau: Ví dụ Cho vành * + trƣờng Iđêan linh hóa tử trái mịn nhƣng không Iđêan mịn Thật vậy, giả sử phải chứa Iđêan * * + có linh hóa tử trái + linh hóa tử trái mịn Tuy nhiên từ đẳng thức * + I Vậy Iđêan , , chứng tỏ khơng Iđêan mịn Ví dụ Vành Iđêan phải nó, nhƣng khơng linh hóa tử trái mịn Thật vậy, chứng tỏ khơng linh hóa tử trái mịn Ví dụ Khi miền ngun khơng có ƣớc 0, Iđêan phải linh hóa tử trái mịn 58 TẠP CHÍ KHOA HỌC TRƢỜNG ĐẠI HỌC HỒNG ĐỨC - SỐ 51.2020 Một câu hỏi tự nhiên đặt tổng hai linh hóa tử trái mịn có linh hóa tử trái mịn khơng? Trƣớc tìm câu trả lời cho câu hỏi này, xem xét mệnh đề sau: Mệnh đề Cho Iđêan phải vành cho , Thế Chứng minh Thật vậy, nên Do nên Đẳng thức chứng tỏ Do nên Iđêan phải mịn linh hóa tử trái mịn Từ Mệnh đề nhƣ trƣờng hợp riêng giả thiết: “tổng hai linh hóa tử trái mịn linh hóa tử trái mịn” Ta biết Jacobson tổng Iđêan phải mịn vành nên Nhận xét có kết sau: Mệnh đề Căn Jacobson vành linh hóa tử trái mịn { ∈ } Ta dễ thấy Ví dụ Xét linh hóa tử trái mịn cịn đƣợc gọi Iđêan trái kì dị Mệnh đề [3, Proposition 2] Cho linh hóa tử trái mịn vành , đó: Chứng minh Giả sử Do mịn nên Tồn ∈ ∈ ∈ cho Do nên Điều dẫn đến Do ∈ phần tử kì dị trái nên cốt yếu Vì đẳng thức kéo theo , chứng tỏ Mệnh đề Nếu linh hóa tử trái Iđêan phải cốt yếu Chứng minh Giả sử Iđêan phải Ta có ( ) Do cốt yếu nên chứng tỏ Nhận xét Dễ dàng thấy linh hóa tử trái mịn có tính chất di truyền, nghĩa A Từ Mệnh đề Nhận xét ta có: Hệ Nếu cốt yếu Iđêan phải linh hóa tử trái mịn vành Tìm hiểu chiều ngƣợc lại Mệnh đề ta thấy rằng, với Iđêan phải , ∈ Thật vậy, với ∈ mà ( ) Do nên Lại có , Mâu thuẫn chứng tỏ hay 59 TẠP CHÍ KHOA HỌC TRƢỜNG ĐẠI HỌC HỒNG ĐỨC - SỐ 51.2020 Một câu hỏi tự nhiên đặt tìm đặc trƣng linh hóa tử trái mịn , ta có điều kiện tƣơng đƣơng sau đƣợc trình bày [3] Mệnh đề 5: Cho ∈ điều kiện sau xảy ra: 1) ∈ 2) Với ∈ ta có 3) Với ∈ ta có 4) Với ∈ ta có Chứng minh: Chúng ta chứng minh theo lƣợc đồ sau: Với ∈ ta có Điều suy Do Do Vậy Thật vậy, lấy Thế Do 1) ∈ Thật vậy, ∈ , hay ∈ nên ∈ với ∈ hay ∈ với xảy ∈ ∈ ∈ 2.2 Vành với điều kiện linh hóa tử trái mịn 60 Thế thì, Giả sử Iđêan phải cho Ta có ∈ ∈ Nếu ∈ Điều kéo theo Do 4), ta có ∈ Nhƣ Bổ đề Với 1) 2) ∈ Với ∈ lấy ∈ Ta có Do 2) ta có Điều chứng tỏ Nếu Do 3) ta có ∈ ∈ , ta có mệnh đề sau TẠP CHÍ KHOA HỌC TRƢỜNG ĐẠI HỌC HỒNG ĐỨC - SỐ 51.2020 Chứng minh 1) Với ∈ Cịn ∈ ∈ , ∈ Vì thế, ∈ ∈ Ngƣợc lại, với ∈ , ∈ Nếu , từ ta có Điều xảy với ∈ nên Có nghĩa ∈ Nhƣ vậy, ∈ ∈ 2) Ta có ( ) Suy điều phải chứng minh Định nghĩa Phần tử ∈ đƣợc gọi mịn phải (trái) Iđêan (tƣơng ứng Rr) linh hóa tử trái mịn Phần tử vừa mịn phải vừa mịn trái gọi phần tử mịn Nhận xét Phần tử khả nghịch khơng mịn Chứng minh Thật vậy, giả sử ∈ khả nghịch phải Tồn ∈ cho Do , nên Từ suy ra, khơng linh hóa tử trái mịn Nhận xét Nếu miền nguyên phần tử ∈ mịn phải (cịn có nghĩa không khả nghịch phải) Chứng minh Thật vậy, phần tử ∈ mịn phải Điều chứng tỏ với ∈ ta có Suy ra, Ngƣợc lại, với ∈ Điều chứng tỏ với ∈ Do miền nguyên nên với ∈ Nhƣ hay phần tử ∈ mịn phải Mệnh đề Cho vành Artin, phần tử mịn phải cho: Với ∈ tựa lũy linh Chứng minh Thật vậy, giả sử không tựa lũy linh ta chứng minh dây chuyền giảm thực Do không tựa lũy linh nên không tồn ∈ cho Do với ∈ Giả sử bất đẳng thức với , nghĩa Ta chứng tỏ Do khơng tựa lũy linh nên 61 TẠP CHÍ KHOA HỌC TRƢỜNG ĐẠI HỌC HỒNG ĐỨC - SỐ 51.2020 Bất đẳng thức với Điều dẫn đến Bằng qui nạp nhận đƣợc dây chuyền giảm thực Điều mâu thuẫn với giả thiết vành Artin Giả thiết phản chứng sai chứng tỏ tựa lũy linh Từ Mệnh đề 6, thấy vành có phần tử mịn phải khơng tựa lũy linh thỏa mãn bất đẳng thức với ∈ khơng phải vành Artin Đồng nghĩa với khơng có Iđêan tối tiểu { ∈ } Gọi tập hợp phần tử mịn trái vành { ∈ } Ta có mối quan hệ với Iđêan trái kì dị Jacobson nhƣ sau: Một điểm lƣu ý khơng đóng phép tốn cộng Ví dụ , thuộc Ngoài bị chứa tập hợp phần tử không khả nghịch (Nhận xét 4) Nhƣ hệ Mệnh đề 5, ta có: Hệ Nếu ∈ Từ hệ ta nói nửa Iđêan Trong trƣờng hợp tổng quát nửa Iđêan khơng khép kín với phép tốn cộng lí đƣợc gọi nửa Iđêan Trƣờng hợp nửa Iđêan khép kín với phép tốn cộng trở thành Iđêan Hệ phần tử lũy đẳng Chứng minh Thật vậy, phần tử lũy đẳng theo Mệnh đề 6, dây chuyền giảm thực Điều mâu thuẫn với , chứng tỏ phần tử lũy đẳng Mệnh đề Các điều kiện sau tƣơng đƣơng Iđêan vành 1, 2, 3, ∈ Chứng minh: Khi phần tử phần tử ∈ ∈ Do ∈ Ta có ∈ Giả sử , ta có với ∈ , ∈ Ta có Điều chứng tỏ hay Mệnh đề Trong vành qui mạnh lũy linh Chứng minh: Từ Mệnh đề 7, dễ dàng suy Giả sử ∈ không lũy linh với Áp dụng Mệnh đề 6, có Bởi Điều mâu thuẫn với giả thiết Do vậy, phần tử lũy linh Từ Hệ 2, ta có lũy linh với ∈ 62 TẠP CHÍ KHOA HỌC TRƢỜNG ĐẠI HỌC HỒNG ĐỨC - SỐ 51.2020 Ta định nghĩa AS Iđêan trái vành tổng linh hóa tử trái mịn vành ∑{ } Tƣơng tự AS Iđêan phải vành kí hiệu ∑{ } tổng linh hóa tử phải mịn vành kí hiệu Rõ ràng với vành , nhƣng điều ngƣợc lại khơng đúng, chẳng hạn Định lý Trong vành có: 1, Iđêan hai phía chứa linh hóa tử mịn trái { } 2, ∈ 3, 4, Chứng minh { } Ta chứng minh 2, Đặt ∈ Lấy ∈ , ∈ với Ta có ∈ Hơn Bởi , Điều chứng tỏ ∈ , suy Ngƣợc lại, lấy ∈ ta có Bởi ∈ Điều suy 1, Rõ ràng Iđêan phải Ngoài 2, đƣợc chứng minh hệ 2, Iđêan trái 3, Suy từ 1,2 bất đẳng thức 4, Điều suy từ Bổ đề Để lột tả rõ quan hệ có nhận xét sau đây: Nhận xét 1, Có thể xảy quan hệ hay 2, Iđêan phải khơng mịn 3, Tổng hai Iđêan mịn khơng mịn Mệnh đề Cho vành Ikeda-Nakayama Nếu với Chứng minh Gọi cho Do vành Ikeda-Nakayama nên ta có ( ) Từ giả thiết ta có ( ) Điều chứng tỏ nghĩa Bài tốn: Tính vành Dĩ nhiên ứng với đặc trƣng cho ta hƣớng tính tốn khác Do cấu trúc giúp ta nhìn nhận, phân loại vành theo cách riêng 63 TẠP CHÍ KHOA HỌC TRƢỜNG ĐẠI HỌC HỒNG ĐỨC - SỐ 51.2020 Ở đây, tính tốn số trƣờng hợp cụ thể, độc giả từ có cách nhìn riêng Trường hợp 1: Vành Trƣớc hết, vành giao hoán nên ta có nhận xét Mọi Iđêan vành số nguyên có dạng Giả sử { ∈ } Dễ dàng thấy { ∈ } xảy Tức Nghĩa , đồng nghĩa với với Suy Trường hợp 2: Vành có hai Iđêan ̅ ̅ , ∈ ̅ ̅ ̅ Dễ dàng thấy Ngoài ̅ ̅ ̅ ̅ , suy Chỉ có phân tích thành tổng Iđêan Do tính chất giao hốn ta có [ Trường hợp3 Vành Ta có [ ] * ] + Có dạng Iđêan [ [ ] ] Xét đẳng thức ma trận sau: ̅ [ ] * + * +, ̅ ̅ [ ] [ ] [ ̅ ([ Nên ta có [ ̅ ] ̅ [ Nên ta có Nên * ]) ] ̅ ̅ Từ suy ]) ] * + Iđêan , ̅ +) ], [ (* Iđêan ] ̅ (* [ ([ + [ [ ̅ ] ̅ ] Nên * * +) + [ * + + ] * + KẾT LUẬN Các kết nghiên cứu linh hóa tử trái mịn vành báo bƣớc đầu cho ta vài phân loại vành Một số tính chất liên quan đến giải xoắn với tƣ cách mơđun hƣớng nghiên cứu mà tác giả chƣa có điều kiện để đề cập tới báo Một số chứng minh báo làm rõ nội dung đƣợc tác giả W.K Nicholson, Yiqiang Zhou trình bày đọng [3] nhằm giúp thêm tƣ liệu cho ngƣời đọc 64 TẠP CHÍ KHOA HỌC TRƢỜNG ĐẠI HỌC HỒNG ĐỨC - SỐ 51.2020 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] [2] [3] [4] [5] [6] W.K Nicholson, Yiqiang Zhou (2011), Annihilator-small Right Ideals, Algebra Colloquium 18(Special 1):785-800 D Anderson and V.P Camillo (1998), Armendariz rings and Gaussian rings, Comm in Algebra 26, 2265-2272 V P Camillo, W.K Nicholson and M.F Yousif (2000), Ikeda-Nakayama rings, J Algebra 226, 1001-1010 K.R Goodearl (1976), Ring Theory: Nonsingular Rings and Modules, CRC Press N.V Sanh, N.A Vu, S Asawasamrit, K.F.U Ahmed and L.P Thao (2010), Primeness in module category, Asian-European J Mathematics, (1), 145-154 Thuat V.D, Hai D.H, N.D.H Nghiem (2016), Sarapee C, On the endomorphism rings of Max CS and Min CS Modules, AIP Conference Proceedings 1775, 030066; doi:10.1063/1.4965186 RING WITH LEFT SMALL ANNIHILATOR CONDITIONS Hoang Dinh Hai, Vu Thi Nhi, Nguyen Thi Huong ABSTRACT The study of Ring characteristics through Jacobson radical suggests new studies on the small annihilator ideals and its applications Left small annihilator ideals of a ring has been W.K Nicholson, Yiqiang Zhou presented in [3] A right ideal A of the ring R is called a small ideal if for every right ideal B of R that A + B = R then B = R; A is called a left small annihilator ideals if l (B) = (l (B) is a left annihilator of B) The purpose of this paper is to study the left small annihilator ideals that W.K Nicholson and Yiqiang Zhou have contributed Since then we would like to develop a number of ring characteristics, such as the Ikeda-Nakayama ring, the Artin ring, and the strong π-regular ring with small annihilator conditions Keywords: Small right Ideal, annihilator, jacobson radical * Ngày nộp bài: 28/8/2020; Ngày gửi phản biện: 23/9/2020; Ngày duyệt đăng: 28/10/2020 65 ... Iđêan vừa linh hóa tử trái mịn vừa linh hóa tử phải mịn ta nói linh hóa tử mịn , kí hiệu Nhận xét Mỗi Iđêan phải mịn linh hóa tử trái mịn Chứng minh: Giả sử, Iđêan phải vành mịn với Iđêan phải B... vành linh hóa tử trái mịn { ∈ } Ta dễ thấy Ví dụ Xét linh hóa tử trái mịn cịn đƣợc gọi Iđêan trái kì dị Mệnh đề [3, Proposition 2] Cho linh hóa tử trái mịn vành , đó: Chứng minh Giả sử Do mịn. .. Do nên Iđêan phải mịn linh hóa tử trái mịn Từ Mệnh đề nhƣ trƣờng hợp riêng giả thiết: “tổng hai linh hóa tử trái mịn linh hóa tử trái mịn? ?? Ta biết Jacobson tổng Iđêan phải mịn vành nên Nhận xét