Điều kiện để vành nửa hoàn chỉnh là vành chuỗi tổng quát

Bài viết đưa ra ví dụ phân biệt hai lớp vành vừa nêu trên và làm tường minh kết quả về lớp vành nửa hoàn chỉnh là lớp vành tổng quát của lớp vành chuỗi trong các tài liệu. Hơn nữa, chúng tôi còn làm rõ một số điều kiện để vành nửa hoàn chỉnh là vành chuỗi tổng quát phải (hoặc trái).

ĐIỀU KIỆN ĐỂ VÀNH NỬA HOÀN CHỈNH LÀ VÀNH CHUỖI TỔNG QUÁT Lê Thị Phương* Tóm tắt Vành R gọi nửa hoàn chỉnh R/J vành nửa đơn lũy đẳng nâng theo modulo J với J=rad(R) Vành R gọi chuỗi tổng quát R tổng trực tiếp môđun chuỗi Trong báo này, chúng tơi đưa ví dụ phân biệt hai lớp vành vừa nêu làm tường minh kết lớp vành nửa hoàn chỉnh lớp vành tổng quát lớp vành chuỗi tài liệu [1] [5] Hơn nữa, làm rõ số điều kiện để vành nửa hoàn chỉnh vành chuỗi tổng quát phải (hoặc trái) Từ khóa: vành nửa hồn chỉnh, vành chuỗi tổng qt Giới thiệu Trong báo này, vành R cho vành có đơn vị R-mơđun mơđun phải unita Để thuận tiện, ta nói mơđun thay cho mơđun phải kí hiệu M thay cho kí hiệu MR Khi cần thiết, ta nói rõ M môđun phải hay trái Các kết vành nửa hồn chỉnh ta xem [5] Khi R vành nửa hồn chỉnh RR=e1R  e2R  …  enR RR=Re1  Re2  …  Ren với e1, …, en lũy đẳng nguyên thủy (đôi một) trực giao Chúng ta dùng ký hiệu vành nửa hoàn chỉnh suốt báo Môđun M gọi môđun chuỗi mơđun tuyến tính theo quan hệ bao hàm (nghĩa là, A B hai mơđun M A  B B  A) Môđun M gọi chuỗi tổng quát M tổng trực tiếp môđun chuỗi Vành R gọi vành chuỗi (chuỗi tổng quát) phải môđun RR chuỗi (chuỗi tổng quát) Một vành chuỗi (chuỗi tổng quát) trái định nghĩa tương tự Vành R vành chuỗi (chuỗi tổng quát) R vành chuỗi (chuỗi tổng quát) trái phải Một vành chuỗi tổng quát ln vành nửa hồn chỉnh Ví dụ vành F R 0 F  (với F trường) vành chuỗi tổng quát tất nhiên vành nửa F hoàn chỉnh Các khái niệm liên quan đến phần mà không nhắc đến báo xem [1] [4] Kết Mệnh đề Vành chuỗi tổng quát phải (hoặc trái) vành nửa hoàn chỉnh Chứng minh Giả sử vành R chuỗi tổng quát phải Khi R=e1R  e2R  …  enR với môđun eiR n chuỗi   ei ei lũy đẳng đôi trực giao không phân tích Vì i 1 * CN, Trường PT Dân tộc nội trú tỉnh Phú Yên eiR chuỗi nên eiR có mơđun cực đại Cho nên eiR địa phương Suy R vành nửa hoàn chỉnh Như vậy, vành chuỗi tổng quát phải (hoặc trái) vành nửa hoàn chỉnh Tuy nhiên điều ngược lại chưa Ví dụ sau cho ta thấy điều Ví dụ Vành nửa hồn chỉnh khụng l vnh chui tng quỏt trỏi Ô Cho vnh R Ă vi Ô v ¡ trường Khi R vành nửa hồn chỉnh ¡  khơng phải vành chuỗi tổng quát trái Chứng minh 1 0 0 0  ; e22    tập hợp đầy đủ lũy đẳng 0 0 0 1 Ta có {e11; e22} với e11   nguyên thủy trực giao ca R Ô Ă 0   e 11 R  e22 R 0 ¡     Cho nên RR Ô Ă l Ta d dàng kiểm tra môdun thực khác không e11R   0 môdun ¡  Do e11R lù r  Rij ,0  s  Rik j  k Chứng minh (  ) Giả sử R vành chuỗi tổng quát Ta chứng minh phản chứng Giả sử r  sR s  rR xảy ra, nghĩa r = su s = rv với u  Rkj v  R jk Vì r = rvu vu  R j Nếu vu  J ( R j ) với J(Rj) Jacobson vành Rj e j - vu  U( R j ) r(ej-vu)=0 với U(R) tập phần tử khả nghịch R Suy r = Điều mâu thuẫn với giả thiết Vì vu  U( R j ) Hơn nữa, R vành nửa hồn chỉnh nên ta suy ei R  e j R (xem ([4], Fact 1.20) Điều mâu thuẫn (  ) Giả sử tất giả thiết Ta cần chứng minh môđun eiR chuỗi dựa theo Mệnh đề Giả sử ei R  e j R, i  j Khi đẳng cấu cho phép nhân trái số r  R ji Vì r  J ( R) nên e j  rRij r  e j R ji Điều mâu thuẫn Tiêu chuẩn khác tính chất chuỗi tổng quát vành nửa hoàn chỉnh thể mệnh đề sau Mệnh đề Cho R vành nửa hồn chỉnh Khi khẳng định sau tương đương (i) R vành chuỗi tổng quát phải (trái); (ii) Hai đồng cấu khác R-môđun xiclic phải (trái) fi : Pi   P (i  1,2) P, P1, P2 {e1R, …, enR} tồn đồng cấu x : P1   P2  P1 cho f2=f1y cho f1=f2x tồn đồng cấu y : P2  (iii) Hai đồng cấu khác R-môdun xiclic trái (phải) f i : P   Pi (i  1, 2) P, P1, P2 {Re1, …, Ren} tồn đồng cấu x : P2   P1  P2 cho f2=yf1 cho f1=xf2 tồn đồng cấu y : P1  Chứng minh ((i)  (ii)) Giả sử vành R chuỗi tổng quát phải Khi Im f1  Im f Im f  Im f1 Trường hợp Im f1  Im f : Vì P, P1, P2 R-môđun xiclic P, P1, P2 {e1R, …, enR} nên P1 xạ ảnh Ta có f1 : P1   P đồng cấu Vì P2 P mơđun xiclic nên f : P2   P tồn cấu Vì P1 xạ ảnh nên ta có biểu đồ sau giao hoán P1 f1 x P ||| Imf1 f2 P2  Imf2  P2 cho f1=f2x 0, hay tồn x : P1  Trường hợp Im f  Im f1 : Tương tự, ta có P2 xạ ảnh nên suy biểu đồ sau giao hoán P2 f2 y P ||| Imf2 f1 P1   P1 cho f2=f1y 0, hay tồn y : P2  Imf1 ((ii)  (i)) Giả sử vành R khơng chuỗi tổng qt phải Khi số R-mơđun xiclic phải P có mơđun M1 M2 khác phần tử a1  M1 \ M ; a2  M \ M1 khác Do có lũy đẳng địa phương e1 ; e2  R  P (i  1, 2) cho a1e1  M \ M a2e2  M \ M Ký hiệu Pi=eiR f i : Pi  phép đồng cấu biến ei thành aiei Vì R khơng chuỗi tổng quát phải nên Im f1  Im f Im f  Im f1 Suy không tồn đồng cấu x : P1   P2 cho  P1 cho f2=f1y Điều mâu thuẫn với giả thiết Vậy R vành f1=f2x y : P2  chuỗi tổng quát phải ( (ii)  (iii) ) Điều kiện tương đương (ii) (iii) suy từ đẳng cấu Hom(eR,fR)  fRe  Hom(Rf,Re) f e lũy đẳng vành R Hệ Cho R vành nửa hoàn chỉnh cho l = e1 +…+en phân tích 1 R thành tổng lũy đẳng địa phương đôi trực giao Vành R chuỗi tổng quát phải vành eRe chuỗi tổng quát phải với e tổng không ba lũy đẳng địa phương khác từ tập {e1, e2,…,en} R Chứng minh (  ) Giả sử R vành chuỗi tổng quát phải e  R lũy đẳng khác không Khi vành eRe chuỗi tổng quát phải Đặt l = e + f, eRe = R1, eRf = X, fRe = Y, fRf = R2 Giả sử e = e1 +…+em phân tích e thành tổng lũy đẳng địa phương đôi trực giao Giả sử mơđun eiRe khơng chuỗi Khi eiRe tồn hai eRe-môđun M1 M2 cho M1∩M2≠M1 M1∩M2≠M2 Đặt M1  M1R M  M R Rõ ràng M1  ei R M1e  M i với i = 1, Do R-mơđun xiclic eiR khơng chuỗi Điều mâu thuẫn với giả thiết R vành chuỗi tổng quát phải (  ) Giả sử eRe vành chuỗi tổng quát phải Để chứng minh R vành chuỗi tổng quát phải ta chứng minh eiR chuỗi Bằng phản chứng ta giả sử R-môđun xiclic P = eiR khơng chuỗi Khi tồn hai môđun K L P cho K∩L≠K K∩L≠L Vì ta chọn k  K l  L cho P( K1 )  sj 1 P mj j k  L l  K Giả sử K1=kR L1=lR Giả sử với Pj=ejR m1+…+ms ≥ Nếu tồn t cho mt ≥ vành (ei+et)R(ei+et) khơng chuỗi tổng quát phải Trong trường hợp tồn hai số mp=1và mq=1 vành (ei+ep+eq)R(ei+ep+eq) khơng chuỗi tổng qt phải Vì K1 mơđun địa phương, nghĩa P(K1)=Pj Tương tự, P(L1)=Pm Cho nên vành (ei+ej+em)R(ei+ej+em) không chuỗi tổng quát phải Điều mâu thuẫn với giả thiết TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] M Hazewinkel, Nadiya Gubareni and V.v Kirichenko, Algebras (2004), Ring and Modules, volume 1, Kluwer Academic Publishers [2] T.Y Lam (2001), A first Course in Noncommutative Rings (Second Edition), Springer-Verlag New York, Inc [3] B.J Muller (1992), The structure of Serial Rings, Methods in Module Theory, Marcel Derker, 249 – 270 [4] G.Puninski (reprint 2001), Serial Rings, Springer – Science + Business Media, B.V [5] L.H Rowen (1991), Ring Theory, Academic Press Abstract Conditions for semiperfect ring to be a serial ring A ring R is called a semiperfect if R/J is a semisimple ring and any idempotent can be lifted following the modulo J with J = rad(R) A ring R is called a serial if R is a direct sum of uniserial submodules This paper, I would like to propose some examples to distinguish the above-mentioned two-class rings and clarify the results of the fact that the class of semiperfect rings is a generalization of the class of serial rings in the document [1] and [5] Moreover, we would also like to verify some of the conditions for the semiperfect ring to be the right serial ring (or left) Keywords: Semiperfect rings, serial rings ... xiclic eiR không chuỗi Điều mâu thuẫn với giả thiết R vành chuỗi tổng quát phải (  ) Giả sử eRe vành chuỗi tổng quát phải Để chứng minh R vành chuỗi tổng quát phải ta chứng minh eiR chuỗi Bằng phản... chưa Ví dụ sau cho ta thấy điều Ví dụ Vành nửa hồn chỉnh khơng vành chuỗi tổng quỏt trỏi Ô Cho vnh R Ă vi Ô v Ă l cỏc trng Khi R vành nửa hồn chỉnh ¡  vành chuỗi tổng quát trái Chứng minh 1...eiR chuỗi nên eiR có mơđun cực đại Cho nên eiR địa phương Suy R vành nửa hoàn chỉnh Như vậy, vành chuỗi tổng quát phải (hoặc trái) vành nửa hoàn chỉnh Tuy nhiên điều ngược lại chưa