Về vành nửa hoàn chỉnh có đế cốt yếu thỏa mãn điều kiện nội xạ bé

Một vành R được gọi là giả-Frobenius phải (gọi tắt là PF) nếu R là tự nội xạ phải, nửa hoàn chỉnh với đế phải cốt yếu. Bài viết đưa ra một số tính chất của vành nửa hoàn chỉnh với đế phải cốt yếu thỏa một số điều kiện về nội xạ bé.

TẠP CHÍ KHOA HỌC SỐ * 2014 43 VỀ VÀNH NỬA HỒN CHỈNH CĨ ĐẾ CỐT YẾU THỎA MÃN ĐIỀU KIỆN NỘI XẠ BÉ Nguyễn Thị Thu Hà* Tóm tắt Một vành R gọi giả-Frobenius phải (gọi tắt PF) R tự nội xạ phải, nửa hoàn chỉnh với đế phải cốt yếu Trong báo này, chúng tơi đưa số tính chất vành nửa hoàn chỉnh với đế phải cốt yếu thỏa số điều kiện nội xạ bé Từ khóa: nửa hồn chỉnh, nội xạ, nội xạ bé, (m, n)-nội xạ bé GIỚI THIỆU Trong báo này, giả sử vành kết hợp có đơn vị 1≠0, mơđun đơn ngun Với môđun M vành R ta viết MR (RM, tương ứng) để M R-môđun phải (trái, tương ứng) Chúng ta ký hiệu phạm trù R-môđun phải (R-môđun trái, tương ứng) Mod-R (R-Mod, tương ứng) Trước hết nhắc lại vài ký hiệu dùng báo Cho môđun M ký hiệu E(M), J(M), Z(M) Soc(M) bao nội xạ, Jacobson, môđun suy biến đế M tương ứng Trong trường hợp M = R J(RR) = J(RR), ký hiệu chung J gọi Jacobson vành R Cho tập A vành R, r(A) l(A) linh hóa tử phải trái A R tương ứng Môđun A A* (ký hiệu A ≤ A*) cho A cốt yếu A* ký hiệu A ≤ eA* Lũy đẳng gọi nâng môđulô J với e + J lũy đẳng R/J tồn lũy đẳng h R cho e + J = h + J Vành R gọi nửa hoàn chỉnh R/J nửa đơn lũy đẳng nâng môđulô J Vành R gọi hoàn chỉnh phải R/J nửa đơn J T-lũy linh phải Vành R gọi nửa quy R/J vành quy von _ * ThS, Trường Đại học Công nghiệp Tp HCM Neumann lũy đẳng nâng mơđulơ J Dĩ nhiên ta có nửa hồn chỉnh nửa quy Mơđun MR gọi thỏa điều kiện dãy tăng (ACC) (điều kiện dãy giảm (DCC), tương ứng) tập hợp Ω môđun M, M1 ≤ M2 ≤ … (M1 ≥ M2 ≥ …, tương ứng) phải dừng (nghĩa tồn k cho Mk = Mk+i, i = 1, 2, …), M1, M2, … Ω Chúng ta biết M thỏa nhiều điều kiện dãy tăng (dãy giảm, tương ứng) tập Ω linh hóa tử, mơđun cốt yếu, … Ω tập tất mơđun M M gọi Nơte (Artin, tương ứng) Trong phạm trù R-Mod (Mod-R), nội xạ xạ ảnh hai khái niệm quan trọng dùng để đặc trưng cho nhiều lớp vành khác Vào năm 50 kỷ XX, hai ông Eckmann Shopf người đưa khái niệm Tiếp theo, vào năm 1960, Johnson Wong đưa khái niệm tựa-nội xạ tựa-xạ ảnh Đây mở rộng khái niệm nội xạ xạ ảnh Năm 1975, Azumaya đưa khái niệm A-nội xạ A-xạ ảnh Khái niệm giúp có cách nhìn lớp môđun nội xạ môđun xạ ảnh, đồng thời mở phương pháp tiếp cận lớp môđun Trong viết này, nêu lên kết cổ điển kết vành R nửa hoàn chỉnh 44 với đế phải cốt yếu thỏa số điều kiện tự nội xạ bé mở rộng nội xạ bé Trọng tâm viết xoay quanh vành giả nội xạ (pseudo-Frobenius), viết tắt PF, mở rộng giữ ngun tính chất nửa hoàn chỉnh với đế cốt yếu Sau kết thúc đẩy viết báo này: Định lý 1.1 ([NY, Theorem 1.56: Azumaya – Kato – Osofsky – Utumi]) Các điều kiện sau tương đương vành R cho: (1) R PF phải, nghĩa vành mà R-môđun phải trung thành vật sinh phạm trù Mod-R, (2) R tự nội xạ phải, nửa hoàn chỉnh với đế phải cốt yếu, (3) R tự nội xạ phải hữu hạn đối sinh, (4) R vật đối sinh phạm trù Mod-R, RR đối sinh môđun đơn R-Mod Qua định nghĩa ý: Khái niệm PF phải PF trái khơng trùng nhau, điều tác giả Dischinger Muller khẳng định báo ([DM]) Khi ta thay điều kiện tự nội xạ phải điều kiện suy rộng tính nội xạ có ba trường hợp xảy ra: - Vành thỏa điều kiện thay PF, - Vành thỏa điều kiện thay khơng cịn PF thêm giả thiết khác vành trở lại vành PF, - Vành thỏa điều kiện thay loại vành khác Chúng tổng hợp lại số kết biết cho thêm số kết bổ sung Trước hết, nhắc lại, lớp vành tựa Frobenius (quasi-Frobenius), viết tắt QF, lớp vành mở rộng vành nửa đơn, có vai trị quan trọng lý thuyết vành kết hợp không giao hoán TRƯỜNG ĐẠI HỌC PHÚ YÊN nhiều tác giả quan tâm nghiên cứu, Faith, Osofsky, Wisbauer, Dung, Huynh, Vanaja, Smith, Thuyet, Quynh, Thoang, … đề cập đến vài đặc trưng quan trọng sau: Định lý 1.2 ([NY, Theorem 1.50]) Các điều kiện sau tương đương vành R cho: (1) R QF, nghĩa R tự nội xạ phải trái, Nơte phải trái, (2)R tự nội xạ phải (hay trái) Nơte phải (hay trái), (3) R tự nội xạ phải (hay trái) thỏa điều kiện dãy tăng linh hóa tử phải, (4) R tự nội xạ phải (hay trái) thỏa điều kiện dãy tăng iđêan phải cốt yếu Để dễ dàng trích dẫn độc giả dễ theo dõi, tác giả xin nêu sách xuất thời gian gần Dung, Huynh, Smith Wisbauer [DHSW] Nicholson, Yousif [NY], có liên quan nhiều đến báo Ngoài ra, khái niệm kết không nhắc đến báo tìm đọc Anderson Fuller [AF] Wisbauer [W] KẾT QUẢ Trước hết, quan tâm đến môđun nội xạ bé Cho M R-môđun phải giản đồ sau: i   I  R f  M h Nếu tồn h  HomR(R, M) cho ih = f với iđêan phải bé I R, i phép nhúng f HomR(I, M), nói M nội xạ bé Nếu RR nội xạ bé, R gọi vành nội xạ bé phải Nhiều tính chất lớp vành viết [NY] Vành R gọi Goldie phải TẠP CHÍ KHOA HỌC SỐ * 2014 45 có chiều Goldie phải hữu hạn thỏa ACC linh hóa tử phải Vành R gọi QF-2 phải tổng trực tiếp iđêan phải Vành QF-2 trái định nghĩa tương tự Bên cạnh đó, xem xét đến số lớp môđun mở rộng nội xạ sau: Môđun M gọi nội xạ tối tiểu vành s-nội xạ nội xạ chính, có ví dụ chứng tỏ vành nội xạ khơng s-nội xạ Ví dụ 2.1 (nội xạ chính) tồn h  HomR(R, M) (xem [YZ], Example 1.6), R vành cho hi = f với iđêan phải tối tiểu (chính tương ứng) R Tính chất nội xạ tối tiểu môđun M tương đương với f = m phép nhân trái phần tử m M Chúng ta gọi vành R nội xạ tối tiểu phải RR nội xạ tối tiểu Rõ ràng ta có nội xạ  nội xạ  nội xạ tối tiểu Chiều ngược lại nói chung khơng đúng, chẳng hạn, lấy vành  số ngun vành giao hoán, Nơte, nội xạ tối tiểu khơng phải nội xạ Cho MR NR R-môđun phải Theo Harada, M gọi s-N- nội xạ (simple-N-injective) với môđun X ≤ N R- đồng cấu : X M cho im() tối tiểu, tồn R- đồng cấu : N M cho X = Chúng ta gọi vành R s-nội xạ phải RR s–R–nội xạ Điều tương đương với I iđêan phải R : I R Rđồng cấu với ảnh đơn, = c phép nhân trái phần tử c R Rõ ràng, có nội xạ  snội xạ  nội xạ tối tiểu Chiều ngược lại nói chung khơng đúng, chẳng hạn, lấy vành  số ngun vành giao hốn, Nơte, s-nội xạ không nội xạ Đối với vành nửa nguyên sơ, hai khái niệm tự nội xạ phải s-nội xạ phải Riêng hai lớp (1) Cho R =  vành số nguyên, R nội xạ bé khơng phải tự nội xạ (2) Cho giao hoán J = Sr = Vì vậy, R nội xạ bé, R khơng nội xạ Trước hết có kết sau: Mệnh đề 2.2 Cho R vành nội xạ bé phải với đế phải cốt yếu Nếu với dãy vô hạn a1, a2, … R, dãy r(a1) ≤ r(a1a2) ≤ … dừng, R vành PF phải Chứng minh Theo [TQ1, Lemma 2.2], R vành nửa hồn chỉnh từ tự nội xạ phải Theo Định lý 1.1, R vành PF phải Liên quan đến lớp nội xạ bé, xét đến lớp vành sau: Cho R-môđun N, ta ký hiệu Nmn cho tập tất ma trận m n hệ số N, Nn = N1 n, Nn = Nn Định nghĩa 2.3 Một R-môđun phải M gọi (m, n)-nội xạ bé, với R-đồng cấu từ môđun n-sinh Jm (hay Jm) đến M (trong J Jacobson vành R) mở rộng đến đồng cấu từ Rm (hay Rm) đến M Một vành gọi (m, n)-nội xạ bé phải, RR (m, n)-nội xạ bé Ví dụ 2.4 (1) Cho R = Z vành số nguyên, RR (m, n)-nội xạ bé (m, n)-nội xạ (2) Cho Thì R vành giao hốn J = Sr = Vì vậy, R (m, n)- TRƯỜNG ĐẠI HỌC PHÚ YÊN 46 nội xạ bé, với m n, R không (1, 1)-nội xạ (3) Cho R = F[x1, x2, …., xn], F trường xi biến giao hoán thỏa quan hệ = với i, xixj = 0, với i ≠ j, , với i, j Lúc R vành giao hoán, FP-nội xạ, địa phương Vành (1, n)-nội xạ, R không tự nội xạ Vì vậy, R (m, n)-nội xạ với m, n, R không nội xạ bé Đặc trưng vành thể qua: Mệnh đề 2.5 Các điều kiện sau tương đương vành R cho: (1) R (m, n)-nội xạ bé phải, (2) Nếu I môđun bé msinh R-mơđun xạ ảnh n-sinh P, I = lPrP*(I), P* mơđun đối ngẫu P Chứng minh Xem [Q, Proposition 2.10] Ta suy kết sau: Mệnh đề 2.6 Các điều kiện sau tương đương vành R nửa quy cho: (1) R (m, n)-nội xạ bé phải, (2) R (m, n)-nội xạ phải Ngồi ra, ta có: Mênh đề 2.7 Các điều kiện sau tương đương vành R cho: (1) R (m, n)-nội xạ bé phải, với m, n N, (2) Rm n (1, 1)-nội xạ bé phải, với n N Chứng minh Xem [Q, Theorem 2.14] Từ đó, ta có kết sau nêu lên đặc trưng vành nửa hoàn chỉnh với đế cốt yếu thỏa điều kiện (m, n)-nội xạ bé Định lý 2.8 Cho R vành nửa hoàn chỉnh ,(m, n)-nội xạ bé với đế phải cốt yếu Lúc đó: (1) R vành giả Frobenius mở rộng phải (GPF); nghĩa vành nửa hoàn chỉnh, P-nội xạ phải đế phải cốt yếu, (2) R vành SGPE phải, nghĩa vành nửa hoàn chỉnh, GP-nội xạ phải đế phải cốt yếu, (3) R Kasch phải trái, (4) Soc(RR) = Soc(RR) = S cốt yếu RR RR, (5) R hữu hạn đối sinh trái, (6) l(S) = J = r(S) l(J) = S = r(J), (7) J = Z(RR) = Z(RR), (8) Soc(Re) = Se đơn cốt yếu Re với lũy đẳng địa phương, e R, (9) Soc(Re) cốt yếu eR với lũy đẳng địa phương, e R, (10) Các ánh xạ K r(K) T ↦ l(T) đẳng cấu dàn ngược iđêan trái đơn K iđêan phải cực đại T, (11) Nếu {e1, e2, …, en} tập sở lũy đẳng địa phương tồn phần tử k1, k2, …, kn R hoán vị {e1, e2, …, en} cho điều sau với i = 1, 2, …, n: (a) kiR ≤ eiR Rki ≤ Rei , (b) kiR eiR / ei J Rki Rei / Jei , (c) {k1R, …, knR} {Rk1, …, Rkn} tập hồn tồn đại diện phân biệt R-mơđun phải trái đơn, tương ứng, (d) Soc(Rei) = Rki = Sei Rei / Jei đơn cốt yếu Rei với i, (e) Soc(eiR) ≠ cốt yếu eiR với môđun đơn đẳng cấu với eiR / eiJ Chứng minh (1) Theo Mệnh đề 2.7, Rm n (1, 1) - nội xạ bé phải, với n N, đặc biệt với n = 1, ta có R (1, 1)-nội xạ bé phải R1 R Do R vành nửa hồn chỉnh nên nửa quy Theo mệnh đề 2.6, ta có R (1, 1)-nội xạ phải Từ đó, ta suy R P-nội xạ phải Vậy ta có (1) (2) Do vành P-nội xạ phải GP-nội xạ phải nên ta có (2) (3)-(11): Suy từ (1), (2) [TT, Proposition 2.2] Bổ đề 2.9 Các điều kiện sau tương TẠP CHÍ KHOA HỌC SỐ * 2014 47 đương vành Artin phải R cho: (1) R vành QF, (2) R thỏa: (a) R vành QF-2, (b) Soc(RR) ≤ Soc(RR) (3) R thỏa: (a) Soc(eR) iđêan phải đơn Soc(Re) iđêan trái đơn với lũy đẳng e R, (b) Soc(RR) ≤ Soc(RR) Chứng minh Xem [TT, Lemma 2.3] Định lý 2.10 Các điều kiện sau tương đương vành R cho: (1) R vành QF, (2) R vành nửa hoàn chỉnh, (m, n)nội xạ bé với đế phải cốt yếu thỏa điều kiện dãy tăng linh hóa tử phải Chứng minh (1)  (2) dễ dàng (2)  (1) Theo Định lý 2.8, R vành GP-nội xạ phải thỏa điều kiện dãy tăng linh hóa tử phải nên R vành Artin trái Vì R vành SGPE phải nên theo Định lý 2.8, Soc(RR) = Soc(RR) = S Soc(Re), Soc(eR) đơn với lũy đẳng địa phương e R Theo Bổ đề 2.9, R vành QF TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] ANDERSON F.W and FULLER K.R (1992), Rings and Categories of Modules, Heidelberg – New York (2nd edition) [2] DISCHINGER F and MULLER W (1986), Left PF is not right PF, Comm Alg., 14(7), 1223-1227 [3] DUNG N V., HUYNH D V., SMITH P F and WISBAUER R (1994), Extending modules, Longman Scientific and Technical, New York [4] NICHOLSON W K and YOUSIF M F (2003), Quasi-Frobenius rings, Cambridge University Press, Cambridge [5] QUYNH T C., On genalizations of small injective modules, Bull Malays Math Sci Soc (2) 35(3) (2012), 621 – 626 [6] SHEN L and CHEN J (2005), Small injective rings, arXiv: Math., RA/0505445 v.12 [7] THUYET L V and QUYNH T C (2009), On small injective rings and modules, J Algebra Appl 8, No 3, 379 – 387 [8] THUYET L V and QUYNH T C (2009), On small injective, simple-injective and quasi-Frobenius rings, Acta Math Univ Comen., New Ser 78, No 2, 161-172 [9] THUYET L V and THOANG L D (2006), On the generalizations of injectivity, Acta Math, Univ Comenianae 2, 199-208 [10] WISBAUER R (1991), Foundations of Module and Ring Theory, Gordon and Breach [11] YOUSIF M F and ZHOU Y Q (2004), FP-injective, simple-injective and quasiFrobenius rings, Comm Algebra 32, 2273 – 2285 Abstract On semiperfect rings with essential socle satisfying some conditions on small injectivity A ring R is called right pseudo-Frobenius (briefly, PF) if R is a right self-injective, semiperfect ring with right essential socle In this paper, we will present some properties of the semiperfect rings with essential socle satifying some conditions on small injectivity Key words: semiperfect, injective, small injective, (m, n)-small injective ... với đế phải cốt yếu thỏa số điều kiện tự nội xạ bé mở rộng nội xạ bé Trọng tâm viết xoay quanh vành giả nội xạ (pseudo-Frobenius), viết tắt PF, mở rộng giữ ngun tính chất nửa hoàn chỉnh với đế cốt. .. 1) -nội xạ bé phải, với n N Chứng minh Xem [Q, Theorem 2.14] Từ đó, ta có kết sau nêu lên đặc trưng vành nửa hoàn chỉnh với đế cốt yếu thỏa điều kiện (m, n) -nội xạ bé Định lý 2.8 Cho R vành nửa hoàn. .. hoàn chỉnh ,(m, n) -nội xạ bé với đế phải cốt yếu Lúc đó: (1) R vành giả Frobenius mở rộng phải (GPF); nghĩa vành nửa hoàn chỉnh, P -nội xạ phải đế phải cốt yếu, (2) R vành SGPE phải, nghĩa vành nửa