Vành nội xạ đơn và vành linh hóa tử đơn

Bài viết trình bày việc làm rõ một số tính chất của vành nội xạ đơn, nửa hoàn chỉnh. Một số tính chất của vành tựa Frobenius thông qua điều kiện vành nội xạ đơn đã được nghiên cứu. Đặc biệt, một vành tựa Frobenius nếu và chỉ nếu vành đó là vành Artin hai phía và nội xạ đơn hai phía.

UED JOURNAL OF SOCIAL SCIENCES, HUMANITIES AND EDUCATION VOL.3, NO.1 (2013) VÀNH NỘI XẠ ĐƠN VÀ VÀNH LINH HÓA TỬ ĐƠN MININJECTIVE AND MINANNIHILATOR RINGS Phan Chí Dũng Khoa Y Dược, Đại học Đà Nẵng TÓM TẮT Trong báo chúng tơi làm rõ số tính chất vành nội xạ đơn, nửa hồn chỉnh Một số tính chất vành tựa Frobenius thông qua điều kiện vành nội xạ đơn nghiên cứu Đặc biệt, vành tựa Frobenius vành vành Artin hai phía nội xạ đơn hai phía Dựa vào kết này, chứng minh vành tựa Frobenius vành vành linh hóa tử đơn hai phía, thỏa điều kiện ACC linh hóa tử với đế trái cốt yếu Từ khóa: vành tựa Frobenius; vành nội xạ đơn; vành linh hóa tử đơn; vành nửa hồn chỉnh ABSTRACT In this paper, some properties of mininjective rings and semiperfect rings are identified Some characteristics of quasi Frobenius via mininjectivity are studied In this case, a ring is a quasi Frobenius ring if and only if the ring is the two sided Artinian and two sided mininjective Based on this result, we show that a ring is a quasi Frobenius ring if and only if the ring is the two sided minannihilator, satisfying the condition ACC on annihilators and essential left socle Key words : quasi Frobenius rings; mininjective ring; minannihilator rings; semiperfect rings Giới thiệu Trong báo này, vành R cho giả thiết vành kết hợp có đơn vị  R-môđun xét môđun unita Trong mục này, giới thiệu khái niệm sử dụng báo Một số khái niệm khác liên quan đến báo tham khảo Nicholson Yousif ([3]), Wisbauer ([5]) Với vành R cho, ta viết M R (tương ứng, R M ) để M R-môđun phải (t.ư, trái) Trong ngữ cảnh cụ thể báo, khơng sợ nhầm lẫn phía mơđun, để đơn giản ta viết mơđun M thay M R Chúng ta dùng ký hiệu A  M ( A  M ) để A môđun (t.ư., thực sự) M Cho M R-môđun phải tập X tập khác rỗng M Linh hóa tử phải X R ký hiệu rR (X ) xác định sau: rR ( X ) = {r  R | xr = 0, x  X } Khi khơng sợ nhầm lẫn ta viết gọn r(X) thay rR (X ) Khi X = {x1, x2 , , xn } ta viết r ( x1, x2 , , xn ) thay r ({x1, x2 , , xn }) Ta có rR (X ) iđêan phải vành R Một vành gọi nội xạ đơn phải lr(a) = Ra cho iđêan phải đơn aR củaR Một vành gọi linh hóa tử đơn phải iđêan phải đơn R linh hóa tử Trong báo này, trước hết chúng tơi nghiên cứu đặc trưng vành nội xạ đơn nửa hoàn chỉnh Một số điều kiện để vành trở thành vành nội xạ đơn nghiên cứu Ngồi chúng tơi nêu lại số tính chất vành tựa Frobenius thông qua điều kiện vành nội xạ đơn Đặc biệt, vành tựa Frobenius vành vành Artin hai phía nội xạ đơn hai phía Các kết nghiên cứu Ikeda, Nicholson Yousif ([3]) Dựa vào kết này, chứng minh vành tựa Frobenius vành vành linh hóa tử đơn hai phía, thỏa điều kiện ACC linh hóa tử phải với đế trái cốt yếu TẠP CHÍ KHOA HỌC XÃ HỘI, NHÂN VĂN VÀ GIÁO DỤC Vành nội xạ đơn Trước hết nghiên cứu đặc trưng vành nửa hoàn chỉnh, nội xạ đơn Các đặc trưng chứng minh [3] Cho m R-moodun phải: Chúng ta ký hiệu m* = Hom(m,R) Định lý 2.1 Cho e lũy đẳng vành R Khi (1) (eR / eJ ( R))*  l ( J ( R))e (2) Nếu R vành nửa địa phương (eR / eJ ( R))*  soc( RR )e Chứng minh: Ta có eR / eJ ( R) = mR với m = e + eJ ( R) Vì áp dụng Mệnh đề 2.2.8 [3] ta có (eR / eJ ( R))  l (T ), * T = r (m) Lại có T = J ( R) + (1 − e) R , l (T ) = l ( J ( R))  Re = l ( J ( R))e Ta minh (1), soc( RR ) = l ( J ( R)) R nửa địa phương, TẬP 3, SỐ (2013) hồn chỉnh ta có Me  phần tử lũy đẳng địa phương e , nghĩa me  , với m  M Xét ánh xạ: eR → M x a mex Khi ánh xạ tồn cấu Khi M R mơđun đơn M R  eR / eJ ( R) phần tử lũy đẳng địa phương e Mặt khác, R nửa địa phương áp dụng Định lý 2.1 suy (eR / eJ ( R))*  soc( RR )e Áp dụng Định lý 2.2.9 [3] ta có (1) Định lý 2.4 Cho R vành nửa hoàn chỉnh, nội xạ đơn phải Khi đó: (1) soc( RR ) nửa đơn Artin R môđun trái (2) Nếu  k  soc(eR) với e2 = e chứng suy (2) Từ kết có: địa phương, Rk đơn (3) Nếu R Kasch phải khẳng định sau tương đương: (a) soc ( RR ) = soc ( R R ) Hệ 2.2 Một vành địa phương R vành nội xạ đơn phải soc( RR ) iđêan phải đơn khơng Điều kiện để vành hồn chỉnh trở thành vành nội xạ đơn thể định lý sau Định lí 2.3 Cho R vành nửa hồn chỉnh Khi khẳng định sau tương đương: (1) R vành nội xạ đơn phải soc( RR )e đơn cho (b) lr ( K ) = K với phần tử lũy đẵng địa phương e € R K  Re iđêan trái đơn (c) soc( Re) = soc( RR )e với phần tử địa phương e2 = e  R (d) soc( Re) đơn với phần tử địa phương e2 = e  R Chứng minh: Nếu = e1 + e2 + + en với ei phần tử phần tử lũy đẳng địa phương e  R (2) R Kasch phải soc( RR )e  cho phần tử lũy đẵng địa phương e  R Chứng minh: Cho M R môđun đơn Từ R nửa lũy đẳng địa phương R, soc( RR ) =  soc( RR )ei Áp dụng Định lý 2.1 i ta có (1) Ta chứng minh (2), ta có  k  soc(eR) , suy R(1 − e)  l (k ) UED JOURNAL OF SOCIAL SCIENCES, HUMANITIES AND EDUCATION J ( R)  l ( R) VOL.3, NO.1 (2013) (1) R tựa Frobenius soc(eR)  soc( RR )  soc( R R) J ( R) + R(1 − e)  l (k )  R , l (k ) = J ( R) + R(1 − e) cực đại Ta chứng minh (3) Giả sử R Kasch (2) R vành nội xạ đơn hai phía Artin hai phía Chứng minh: Từ (2), áp dụng Định lý 1.2.1 [3] ta có rl (T ) = T iđêan phải T R phải (a)  (b) Giả sử K  Re iđêan trái đơn, e = e  R địa phương Ta có theo (a), KJ ( R) = r ( K )  J ( R) + (1 − e) R Suy Trước hết ta chứng minh: Nếu K  T iđêan phải T / K đơn, l ( K ) / l (T ) đơn không Thật ta có: Nếu a  l ( K ) thì: a : T / K → RR a (t + K ) a at J ( R) + (1 − e) R cực đại Do r ( K ) cực đại Suy lr ( K ) đơn Mặt khác K  lr ( K ) Khi a → a đồng cấu từ l ( K ) nên ta có (b) (b)  (c) Cho K  Re iđêan trái đơn suy r ( K )  J ( R) + (1 − e) R Tương tự ta có r ( K )  J ( R) + (1 − e) R J ( R) + (1 − e) R iđêan phải cực đại chứa (1 − e) R Nhưng từ (b) R địa phương nên đến (T / K )* Mặt khác R vành nội xạ đơn phải áp nên dụng Định lý 2.2.9 [3] ta có điều phải chứng minh Giả sử T iđêan phải R cho = T0  T1   Tn = R dãy hợp thành iđêan phải R chứa T Ta chứng minh rl (Ti ) = Ti với i Khi xét linh K = lr ( K )  l[ J ( R) + (1 − e) R] = l ( J ( R))  Re hóa tử trái dãy: = soc( RR )  Re = soc( RR )e Mặt khác, theo Định lý 2.1 soc( RR )e  R = l (T0 )  l (T1 )    l (Tn ) = K = soc( RR )e (vì K đơn) Tức (c)  (d ) Áp dụng Định lý 2.1 ta có điều hiển nhiên R nội xạ đơn phải Kasch phải ( d )  (a) Từ (d) ta có soc( Re) = soc( RR )e với phần tử lũy đẳng địa phương e = e theo Định lý 2.1 Cho = e1 + e2 + + en với ei phần tử lũy đẳng, trực giao Vậy soc( R R) = i soc( Rei ) = i soc( R R)ei  soc( RR ) Mặt khác ta có soc( RR )  soc( R R) R vành nội xạ đơn phải Định lí 2.5 Các khẳng định sau tương đương cho vành R tương tự length( R R)„ n = length( RR ) ta length( R R)…n = length( RR ) Vì có lenghth( R R) = length( RR ) Theo chứng minh ta thấy (*) dãy hợp thành R R Lặp lại q trình với linh hóa tử phải dãy ta = rl (T0 )  rl (T1 )   rl (Tn ) = R Từ T1  rl (T1 ) ta suy T1 = rl ( T1 ) , từ T2  rl (T2 ) , T2 = rl (T2 ), , Tn  rl (Tn ) suy Tn = rl ( Tn ) Vành linh hóa tử đơn Trong phần chứng minh đặc trưng vành tựa Frobenius thơng qua TẠP CHÍ KHOA HỌC XÃ HỘI, NHÂN VĂN VÀ GIÁO DỤC vành linh hóa tử đơn Trước hết có: Định lí 3.1 Cho R vành thỏa mãn điều kiện ACC linh hóa tử phải cho soc( R R) cốt yếu RR Khi R vành TẬP 3, SỐ (2013) R thỏa mãn điều kiện ACC linh hóa tử phải nên R thỏa mãn điều kiện DCC linh hóa tử trái Khi tồn tập {m1 , , mn } soc( R R) cho: nửa nguyên sơ với J ( R) = Z ( RR ) l ( soc( R R) ) = l ({m1 , , m n }) (2) Chứng minh: Chúng ta chứng minh định lý qua bước sau: Chúng ta chứng minh R / J ( R) nửa Trước ta J ( R) = l ( soc( R R)) = Z ( RR ) J(R) lũy linh hết chúng Thật vậy, viết soc( R R) =  Rxi , với Rxi iđêan iA trái đơn A tập số Giả sử J ( R) xi  với i  A Vì Rxi đơn nên J ( R) xi = Rxi Điều cho ta xi = rxi với r  J ( R) Hơn − r khả nghịch nên x i = điều mâu thuẫn Vì J ( R) xi = với i  A J ( R)  l ( soc( R R)) Mặt khác, với đơn Từ (1) (2), có J ( R) = l ( soc( R R)) = l ({m1 , , mn }) =  l (mi ) n i =1 Với i {1, 2,, n} mi  soc( R R) nên tồn ki  ¥ cho Rmi = Rli1 L  Rliki cho iđêan trái đơn Rlij (với j  {1,, ki } ) R Khơng tính tổng qt viết mi = xi1 + + xiki với = xij  Rlij (với j {1,, ki } ) Suy l (mi ) = l ( x ) ki j =1 ij l ( xij ) iđêan x  l ( soc( R R)) lấy I iđêan phải R trái cực đại R (bởi Rxij = Rlij với cho I  r ( x) = chứng minh j  {1, , ki } ) Từ điều suy tồn I = Giả sử ngược lại I = Theo giả thiết soc( R R) cốt yếu RR nên ta có k ¥ cho J ( R ) =  l ( yi ) với iđêan k i =1 soc( R R)  I  Khi lấy trái cực đại l ( yi ) R Chúng ta xét đồng cấu  k  soc( R R)  I Suy  : R / J ( R) = I l ( yi ) → ik=1 R / l ( yi ) , xk = hay k  r ( x) k  r ( x)  I = điều mâu thuẫn Vì phải có I=0 Từ suy r ( x) cốt yếu RR nghĩa x  Z ( RR ) Tóm lại chứng minh l ( soc( R R))  Z ( RR ) Ngồi R thỏa mãn điều kiện ACC linh hóa tử phải nên Z ( RR ) lũy linh Suy Z ( RR )  J ( R) J ( R) = l ( soc( R R)) = Z ( RR ) J(R) lũy linh k xác i =1 định bởi:  (r +  l ( yi )) = (r + l ( y1 ),, r + l ( yk )) k i =1 Khi  đơn cấu Vậy R / J ( R) nửa đơn Tóm lại vành R có R / J ( R) nửa đơn J ( R ) lũy linh hay R vành nửa nguyên sơ Chúng ta tồn tập {m1 ,, mn } Bây chứng minh kết sau : Định lý 3.2 Cho vành R Khi điều kiện sau tương đương: soc( R R) cho l ( soc( R R)) = l ({m1 , , mn }) (1) Thật vậy, 10 UED JOURNAL OF SOCIAL SCIENCES, HUMANITIES AND EDUCATION VOL.3, NO.1 (2013) kR = rl ( k ) Vậy R vành nội xạ đơn trái (i) R vành tựa Frobenius (ii) R vành linh hóa tử đơn hai phía, thỏa mãn điều kiện ACC linh hóa tử phải soc( R R) cốt yếu RR Chứng minh: Chứng minh hoàn toàn tương tự có R vành nội xạ đơn phải Từ suy R vành tựa Frobenius Hệ 3.3 Cho vành R Khi điều kiện sau tương đương: (i)  (ii) hiển nhiên (ii)  (i) Theo Định lý 3.1 R vành nửa nguyên sơ Tiếp theo chứng minh R vành nội xạ đơn trái Thật cho Rk iđêan trái đơn Vì soc( RR ) cốt yếu (ii) R vành nội xạ đơn hai phía, thỏa mãn điều kiện ACC linh hóa tử phải soc( RR ) cốt yếu RR RR (bởi R vành nửa nguyên sơ) nên Chứng minh: tồn iđêan phải đơn mR cho mR  kR Suy l (k )  l (m) l (k ) = l (m) (bởi l (k ) iđêan trái cực đại R) Theo giả thiết R linh hóa tử đơn phải nên kR  rl (k ) = rl (m) = mR Do ta có (i) R vành tựa Frobenius (i)  (ii) hiển nhiên (ii)  (i) Giả sử R thỏa mãn điều kiện (ii) Khi R linh hóa tử đơn hai phía soc( RR ) cốt yếu RR Suy soc( R R) cốt yếu RR Vậy R vành tựa Frobenius TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] F.W Anderson and K.R Fuller, Rings and categories of modules, Springer-Verlag, New York, Berlin, 1974 [2] N V Dung, D V Huynh, P F Smith, and R Wisbauer, Extending Modules, Pitman Research Notes Vol 313 Longman, Harlow, New York, 1994 [3] W K., Nicholson, M F Yousif, Quasi-Frobenius Rings, Cambridge Univ Press., 2003 [4] T C Quynh, L V Thuyet, On rings with ACC on annihilators and having essential socles, East-West J Math, 227-234, 2005 [5] R Wisbauer, Foundations of Module and Ring Theory; Gordon and Breach: Reading, 1991 11 ... R ) Hệ 2.2 Một vành địa phương R vành nội xạ đơn phải soc( RR ) iđêan phải đơn không Điều kiện để vành hoàn chỉnh trở thành vành nội xạ đơn thể định lý sau Định lí 2.3 Cho R vành nửa hồn chỉnh... VOL.3, NO.1 (2013) kR = rl ( k ) Vậy R vành nội xạ đơn trái (i) R vành tựa Frobenius (ii) R vành linh hóa tử đơn hai phía, thỏa mãn điều kiện ACC linh hóa tử phải soc( R R) cốt yếu RR Chứng minh:... chứng minh R vành nội xạ đơn trái Thật cho Rk iđêan trái đơn Vì soc( RR ) cốt yếu (ii) R vành nội xạ đơn hai phía, thỏa mãn điều kiện ACC linh hóa tử phải soc( RR ) cốt yếu RR RR (bởi R vành nửa