Về vành PF và các mở rộng của môđun nội xạ

Một vành R được gọi là giả Frobenius phải (gọi tắt là PF) nếu R là một vành nửa hoàn chỉnh, nội xạ phải và có đế cốt yếu. Trong bài báo này, chúng tôi sẽ cung cấp một số đặc điểm của vành PF thông qua nội xạ bé và các tính chất ef – mở rộng; đồng thời đề cập đến phương pháp Faith-Walker về các vành PF.

TẠP CHÍ KHOA HỌC SƠ * 2013 VỀ VÀNH PF VÀ CÁC MỞ RỘNG CỦA MÔĐUN NỘI XẠ Lê Văn Thuyết* Tóm tắt Một vành R gọi giả Frobenius phải (gọi tắt PF) R vành nửa hoàn chỉnh, nội xạ phải có đế cốt yếu Trong báo này, chúng tơi cung cấp số đặc điểm vành PF thơng qua nội xạ bé tính chất ef – mở rộng; đồng thời đề cập đến phương pháp Faith-Walker vành PF Từ khóa: vành PF, mở rộng, môđun nội xạ Giới thiệu Trong báo này, vành cho có đơn vị ≠ Trọng tâm viết xoay quanh vành giả nội xạ (pseudo-Frobenius), viết tắt PF, với liên quan đến mở rộng môđun vành nội xạ Theo thứ tự, phải kể đến lớp vành gần với khơng gian vectơ vành nửa đơn Kế tiếp lớp vành tựa Frobenius (quasi-Frobenius), viết tắt QF, lớp vành mở rộng vành nửa đơn Các vành QF có vai trị quan trọng lý thuyết vành kết hợp không giao hoán nhiều tác giả quan tâm nghiên cứu, Faith, Osofsky, Wisbauer, Dung, Huynh, Vanaja, Smith, Quynh, Thoang, Có nhiều đặc trưng vành QF, đề cập đến vài đặc trưng quan trọng sau: Định lý 1.1 ([NY, Theorem 1.50]) Các điều kiện sau tương đương vành R cho: (1) R QF (2) R tự nội xạ phải (hay trái) Nơte phải (hay trái) (3) R tự nội xạ phải (hay trái) thỏa ACC linh hóa tử phải (4) R tự nội xạ phải (hay trái) thỏa ACC iđêan phải cốt yếu Nhiều đặc trưng khác vành QF đời cố gắng trả lời giả thuyết Faith: Phải vành nửa nguyên sơ, tự nội xạ phía QF? Tuy nhiên, đến nay, câu trả lời toàn thể cho vấn đề chưa khẳng định nên nhiều nhà toán học cố gắng tiếp cận giả thuyết với điều kiện yếu Một điều kiện đưa mở rộng tính nội xạ Trên vành QF mơđun trung thành vật sinh Sự phân loại vật sinh môđun trung thành phạm trù Mod-R (R-Mod), tạo lớp vành tổng quát vành QF Năm 1966, Osofsky chứng tỏ tồn vành mà môđun trung thành vật sinh không * GS TS, Trường ĐH Huế TRƯỜNG ĐẠI HỌC PHÚ YÊN vành QF Đồng thời, Osofsky định nghĩa lớp vành PF phải (trái), vành mà Rmôđun phải (trái) trung thành vật sinh Các vành PF nhiều tác giả quan tâm nghiên cứu Cấu trúc nội vành PF phải (trái) mô tả qua: Định lý 1.2 ([NY, Theorem 1.56: Azumaya - Kato - Osofsky - Utumi]) Các điều kiện sau tương đương vành R cho: (1) R PF phải (2) R tự nội xạ phải nửa hoàn chỉnh với đế phải cốt yếu (3) R tự nội xạ phải hữu hạn đối sinh (4) R vật đối sinh phạm trù Mod-R, RR đối sinh môđun đơn R-Mod Chú ý khái niệm PF phải PF trái không trùng nhau, điều tác giả Dischinger Muller khẳng định báo ([DM]) Khi sử dụng phạm trù Mod-R để nghiên cứu vành R, hai lớp vành dựa vào loại mơđun môđun nội xạ Như vậy, quan tâm đến việc nghiên cứu mở rộng nội xạ quay trở lại áp dụng vào việc đặc trưng vành QF, PF tạo nên kết thú vị Hướng nghiên cứu tiếp nối nhiều kết Dung, Huynh, Smith, Wisbauer, Rizvi, Vanaja, Quynh, Thoang thân tác giả Trong viết này, nêu lên kết cổ điển kết tác giả khác vành PF, sau chúng tơi nêu lên kết liên quan vành PF theo hướng nghiên cứu lớp mơđun tổng qt hố mơđun nội xạ (đối ngẫu nó) áp dụng đặc trưng vành liên quan, đặc biệt PF Để dễ dàng trích dẫn độc giả dễ theo dõi, tác giả xin nêu sách xuất thời gian gần Dung, Huynh, Smith Wisbauer [DHSW] Nicholson, Yousif [NY], có liên quan nhiều đến kết tác giả Những khái niệm ký hiệu dùng phần sau, không định nghĩa đây, xin xem [DHSW] [NY] Kết 2.1 Một khái niệm tổng quát từ định nghĩa nội xạ: Nội xạ bé Trước hết, quan tâm đến môđun nội xạ bé Xét giản đồ sau: Cho M R-môđun phải I iđêan phải R Chúng ta lấy R-đồng cấu f từ I đến M i   I f  M   R h TẠP CHÍ KHOA HỌC SƠ * 2013 Nếu tồn h ∈ HomR(R, M) cho ih = f với iđêan phải I R f ∈ HomR(I, M), nói M nội xạ Chúng ta xét nhiều tổng quát hóa khái niệm nội xạ Trước hết ta lấy I iđêan phải lúc có khái niệm P-nội xạ Nếu vành R P-nội xạ R-môđun phải, R gọi vành P-nội xạ phải Nhiều tính chất lớp vành viết [NY] Nhưng lấy I iđêan phải bé có khái niệm nội xạ bé Một R-môđun phải gọi nội xạ bé R-đồng cấu từ iđêan phải bé đến M mở rộng đến R-đồng cấu từ R-mơđun phải quy R đến M Một vành R gọi nội xạ bé phải, R-môđun phải quy R nội xạ bé Ví dụ 2.1.1 (1) Cho R  tự nội xạ vành số nguyên, R nội xạ bé  n (2) Cho R    x  n , x  n   , xem [YZ], Example 1.6) Thì R    x  vành giao hoán J  Sr    x   Vì vậy, R nội xạ bé  0   Chúng ta cần khẳng định R không nội xạ Nếu R nội xạ  2n  I    n  2n     iđêan R, đồng thời cho g : I  R với   2n    n  g    , g đồng cấu Giả sử g : R  R mở     n 0         n x    n1 x1   n x   n x1  rộng g Lúc tồn    R cho g         với  n1    n    n1   n  n  0 x   R Như n   2n    n1 g         2n    x1   2n    n1   2n   n   2nx1  Suy   , mâu thuẫn  0    0     Một vành R gọi đối xứng đơn phải (xem [NY]) nếu, với k ∈ R, kR iđêan phải đơn R Rk iđêan trái đơn R Kế tiếp, nêu lên bổ đề sau dùng để chứng minh kết TRƯỜNG ĐẠI HỌC PHÚ YÊN Bổ đề 2.1.2 (McCoy' s Lemma) Cho R vành a, c ∈ R Nếu b  a  aca phần tử quy R, a Chứng minh Dễ dàng suy từ định nghĩa Bổ đề 2.1.3 Cho R vành đối xứng đơn phải với Sr e RR Nếu dãy tăng r  a1   r  a2 a1    r  an an1 a1   dừng với dãy vô hạn a1 ,a2 ,  R , R hồn chỉnh phải Chứng minh Xem ([TQ1], Lemma 2.2) Từ bổ đề trên, ta đưa số tính chất vành PF Hệ 2.1.4 Cho R vành nội xạ bé phải với Sr e RR Nếu dãy tăng r  a1   r  a2a1    r  an an1 a1   dừng với dãy vô hạn a1 ,a2 ,  R , R vành PF phải Chứng minh Theo Bổ đề 2.1.3, R hoàn chỉnh phải Nhưng R nội xạ bé phải, R tự nội xạ phải theo ([SC], Theorem 3.16) Như vậy, R tự nội xạ phải, nửa hoàn chỉnh với Sr e RR ; nghĩa là, R PF phải theo Định lý 1.2 Một vành R gọi CS trái (resp., CS đơn trái) iđêan trái (t.ư iđêan trái đơn) cốt yếu hạng tử trực tiếp RR Một kết biết quen thuộc là: R PF phải R tự nội xạ phải, Kasch phải Nhưng vành Kasch phải, nội xạ bé phải có PF phải không? Chúng ta trả lời phần cho câu hỏi Định lý 2.1.5 Cho R vành Lúc điều kiện sau tương đương: (1) R PF phải (2) R nội xạ bé phải, Kasch phải CS đơn trái (3) R nội xạ bé phải, Kasch phải lr(a) cốt yếu hạng tử trực tiếp R R với iđêan phải (t.ư trái) đơn aR (t.ư., Ra) R Chứng minh (1) ⇒ (2) rõ ràng (2) ⇒ (3) Giả sử Ra iđêan trái đơn Nếu (Ra)2 ≠ Ra  R R từ suy lr(a) = Ra Hơn nữa, a2 = a ∈ J Vì R nội xạ đơn phải, Ra = lr(a) iđêan trái đơn Lúc theo (2), lr(a) cốt yếu hạng tử trực tiếp RR Ngoài ra, bR iđêan phải đơn Rb iđêan trái đơn R vành đối xứng đơn Dễ dàng suy lr(b) cốt yếu hạng tử trực tiếp RR TẠP CHÍ KHOA HỌC SƠ * 2013 (3) ⇒ (1) Cho T iđêan phải cực đại R Vì R Kasch phải, l(T )  Tồn  a ∈ l(T ) hay T  r(a) dẫn đến T = r(a) Nhưng aR R r (a) aR iđêan phải đơn Vì vậy, l(T ) = lr(a)  e Re với e2  e  R theo giả thiết Như vậy, R nửa hoàn chỉnh theo ([NY], Lemma 4.1) Điều suy R tự nội xạ phải từ PF phải theo Định lý 1.2 Hệ 2.1.6 Nếu R vành nội xạ bé phải, Kasch phải CS trái, R PF phải 2.2 Vành ef-mở rộng Dựa tính chất quan trọng mơđun nội xạ là: Nếu M môđun nội xạ M = E(M), bao nội xạ M lấy mơđun N M N cốt yếu E(N) E(N) hạng tử trực tiếp M, người ta đưa định nghĩa: Môđun M gọi CS (hay mở rộng) môđun M cốt yếu hạng tử trực tiếp Nhiều chương sách [DHSW] dành để viết lớp môđun Trong báo trước (xem [TW]), Wisbauer tác giả đưa khái niệm mở rộng khái niệm CS, là: Định nghĩa 2.2.1 Môđun M gọi ef - mở rộng mơđun đóng chứa mơđun cốt yếu hữu hạn sinh, hạng tử trực tiếp M Môđun M gọi f - mở rộng môđun hữu hạn sinh cốt yếu hạng tử trực tiếp M Wisbauer tác giả (xem [TW]) thu nhiều kết tính chất lớp mơđun vành Chẳng hạn, kết thu tính chất mơđun ef-mở rộng M vành thỏa ACC iđêan phải Mà từ tính chất suy số tính chất liên quan đến tính phân tích mơđun ef-mở rộng, mà trước có mơđun mở rộng (xem [DHSW, 8.2]) Ngồi ra, ta có đặc trưng mơđun ef-mở rộng tương tự với tính chất môđun -nội xạ nêu Wisbauer (xem [DHSW, 2.1]) Sau đưa khái niệm này, nhiều tác giả tiếp tục nghiên cứu lớp môđun này, đặc biệt có nhóm học trị Smith, Harmanci, Ozcan Ngồi ra, Liu Zhongkui Du Yanjun báo: "On ECG-extending and ECG- quasicontinuous modules" mình, đưa khái niệm tổng quát môđun ef-mở rộng Chúng tiếp tục thu số tính chất vành R mà tổng trực tiếp R R ef-mở rộng R-mơđun phải Sau đó, nghiên cứu cấu trúc vành thỏa điều kiện tổng trực tiếp hai R-môđun phải ef-mở rộng ef-mở rộng Những điều mở rộng kết có sách chun khảo mơđun mở TRƯỜNG ĐẠI HỌC PHÚ YÊN rộng Dũng, Huỳnh, Smith Wisbauer ([DHSW]) Chúng chứng minh được: Mệnh đề 2.2.1 (xem [TQ3], Proposition 2.4) Cho R vành Lúc điều kiện sau tương đương: (1) R ef-mở rộng phải R-đối ngẫu R-môđun trái đơn đơn (2) R nửa hoàn chỉnh liên tục phải với Sr = Sl cốt yếu RR Chứng minh (1) ⇒ (2) Theo [NY, Theorem 4.8], có R nửa hoàn chỉnh, Kasch trái với Sr = Sl = e RR Vì R ef-mở rộng phải, ei R ef-mở rộng với i = 1, 2, , n Suy ei R (vì ei R khơng phân tích được) Soc( ei R ) đơn cốt yếu ei R với i = 1, 2, , n Vì vậy, Sr hữu hạn sinh từ R mở rộng phải theo [TQ3, Lemma 2.2] Như R liên tục phải theo [NY, Theorem 4.10] (2) ⇒ (1) rõ ràng Nhờ vào kết này, có số đặc trưng vành PF QF Định lý 2.2.2 (xem [TQ3], Theorem 2.5) Cho R vành Lúc điều kiện sau tương đương: (1) R vành PF phải (2) RR ef-mở rộng R-môđun phải R-đối ngẫu Rmôđun trái đơn đơn Chứng minh (1) ⇒ (2) dễ dàng (2) ⇒ (1) Giả sử RR ef-mở rộng R-môđun phải R-đối ngẫu R-môđun trái đơn đơn Thì R vành nửa hồn chỉnh liên tục phải với Sr = Sl e RR theo Định lý 2.2.2 Vì R vành nửa hồn chỉnh, ef-mở rộng phải Sr e RR , nên Sr hữu hạn sinh Từ đó, Soc(RR)R hữu hạn sinh cốt yếu (RR)R Vì vậy, (RR)R mở rộng theo [TQ3, Lemma 2.2] Chúng ta có J  Zr (vì R liên tục phải) R nửa quy (do R nửa hồn chỉnh), (RR)R thỏa điều kiện C2 theo [NY, Example 7.18], (RR)R liên tục Như R tự nội xạ phải theo [NY, Theorem 1.35] Hệ 2.2.3 ([Y], Theorem 2) Các điều kiện sau tương đương vành R cho: (1) R PF phải TẠP CHÍ KHOA HỌC SƠ * 2013 (2) RR mở rộng R-môđun phải R-đối ngẫu Rmôđun trái đơn đơn Hệ 2.2.4 Các điều kiện sau tương đương vành R cho: (1) R PF phải (2) R Kasch phải trái, RR ef-mở rộng 2.3 Một đặc trưng quan trọng vành PF Ta đề cập đến vành PF Chúng ta biết đến Định lý tiếng Faith Walker đặc trưng vành QF sau: Định lý 2.3.1 Vành R QF R-môđun phải (hay trái) nội xạ xạ ảnh, R-môđun phải (hay trái) xạ ảnh nội xạ Chúng tiếp cận với Định lý Faith-Walker cho vành PF Khi đó, ta có: Định lý 2.3.2 (xem [TT], Theorem 3) Cho vành R có chiều Goldie hữu hạn phải Lúc vành R PF phải R-môđun phải đối địa phương, nội xạ xạ ảnh Chứng minh Điều kiện cần hiển nhiên Chứng minh điều kiện đủ Cho R vành cho R-môđun phải đối địa phương, nội xạ xạ ảnh Trước hết, chứng minh R có hữu hạn lớp Rmơđun phải đơn Khơng tính tổng qt, ta giả sử tập R-môđun phải đơn cặp không đẳng cấu với đếm Cho S = {Si | i ∈ I } tập đếm R-môđun phải đơn cặp không đẳng cấu với (I = {1, 2, 3, })   Chúng ta chứng minh RR   ei R  N với N  RR lũy đẳng ei R cho ei R E  Si  Thật vậy, theo [TT, Lemma 1], ta viết RR  e1R  M với   E  S1  Giả sử RR   ei R  M1 với M1  RR M  RR e1R ei R iI iJ E  Si  ,   J  I Cho i  I  J   f : e j R   ei R  M1   Soc e j R iJ RR  e j R  M2 Cho tùy ý theo [TT, Lemma 1], đơn cấu     f Soc e j R  M1  Soc  ei R  với i  J Vì e j R  RR   ei R  M1 , dễ dàng có iJ TRƯỜNG ĐẠI HỌC PHÚ YÊN 10        e j R   ei R  M1  e j R   ei R  e j R  M1 iJ iJ Từ suy e j R  M1 Theo tính chất nội xạ e j R , M1  e j R  M3 Vì     RR    ei R   M3 Bằng quy nạp, có RR   ei R  N điều iI  iJ  j  phải chứng minh Vì 1 R có giá hữu hạn nên suy I hữu hạn Bây giờ, giả sử R vành nửa hồn chỉnh R-mơđun phải sở nội xạ với đế cốt yếu, hữu hạn sinh Để chứng minh R nửa hoàn chỉnh, theo [AF, Theorem 27.6, p.304], cần chứng minh R-mơđun phải đơn có phủ xạ ảnh Cho S = {Si | i = 1, , t} tập R-môđun phải đơn cặp không đẳng cấu với Theo [TT, Lemma 1], tồn lũy đẳng ei R cho ei R E  Si   Ei (i = 1, , t), eiR R-mơđun phải nội xạ, khơng phân tích từ End(eiR) vành địa phương với i = 1, , t (xem [AF, Lemma 25.4, p.290]) Theo [TT, Lemma 2], Rad(eiR) = eiJ(R) môđun cực đại, bé eiR với i = 1, , t Từ đó, ei R ei J  R  môđun đơn eiR phủ xạ ảnh ei R ei J  R  , với i = 1, , t Hơn nữa, ei R ei J  R  e j R e j J  R  ei R e j R (xem [AF, Proposition 17.18, p.200]), từ đó, e R e1J  R  ,e2 R e2 J  R  ,  ,et R et J  R  tập đại diện R-môđun phải đơn Như vậy, R nửa hoàn chỉnh, điều cần chứng minh Từ khẳng định trên, dễ dàng suy R-môđun phải sở R, B  e1R   et R nội xạ hữu hạn sinh có đế cốt yếu, RR Theo Định lý 1.2, R vành PF phải Hệ 2.3.3 Cho R vành Lúc điều kiện sau tương đương: (1) R PF phải; (2) R đối sinh phải RR CS-môđun phải; (3) R đối sinh phải RR có chiều Goldie hữu hạn; (4) R đối sinh phải nửa địa phương; (5) R đối sinh phải R có lớp R-mơđun phải đơn cặp không đẳng cấu với hữu hạn Chứng minh (1)  (2)  (3), (1)  (4)  (5) rõ ràng TẠP CHÍ KHOA HỌC SƠ * 2013 11 (3)  (1) Cho S = {Si | i  I} tập R-môđun phải đơn cặp không đẳng cấu với C  iI E  Si  Thì theo [NY, Proposition 1.43] (3), CR nhúng vào RR Vì RR có chiều Goldie hữu hạn, CR có chiều Goldie hữu hạn Suy I phải hữu hạn Chúng ta viết RR  CR  MR , E(Si) xạ ảnh Theo Định lý 2.3.2, suy R vành PF phải Theo cách chứng minh tương tự (3)  (1), có (5)  (1) Hệ 2.3.4 Cho R vành Lúc điều kiện sau tương đương: (1) R PF phải; (2) R vành QF-2 phải, QF-3 phải Kasch phải Chứng minh (1)  (2) rõ ràng (2)  (1) Giả sử vành R thỏa giả thiết (2) Thì RR  in1 ei R eiR (i = 1, 2, , n) iđêan phải R n số nguyên dương Suy G.dim(RR) = n Vì R Kasch phải, Soc(RR) chứa R-mơđun phải đơn Từ đó, suy R có n lớp R-mơđun phải đơn, chiều  G.dim Soc  RR    G.dim  RR  Cho t  G.dim Soc  RR   Soc  RR   it1 Si , Si (i = 1, 2, , t) iđêan phải đơn R,     E Soc  RR   E it1 Si  it1 E  Si  hạng tử trực tiếp E  RR  Vì R QF−3 phải, E(Si) xạ ảnh với i = 1, 2, , t Suy bao nội xạ R-môđun phải đơn xạ ảnh Theo Định lý 2.3.2, R vành PF phải TÀI LIỆU THAM KHẢO [AF] ANDERSON F W and FULLER K R., Rings and Categories of Modules, Heidelberg - New York (1992) (2nd edition) [DM] DISCHINGER F and MULER W., Left PF is not right PF, Comm Alg., 14(7), (1986) 1223-1227 [DHSW] DUNG N V., HUYNH D V., SMITH P F and WISBAUER R., Extending modules, Longman Scientific and Technical, New York, 1994 [NY] NICHOLSON W K and YOUSIF M F., Quasi-Frobenius rings, Cambridge University Press, Cambridge, 2003 [SC] SHEN L and CHEN J., Small injective rings, arXiv: Math., RA/0505445 v.21 (2005) 12 [TQ1] [TQ2] [TQ3] [TQ4] [TT] [TW] [Y] [YZ] TRƯỜNG ĐẠI HỌC PHÚ YÊN THUYET L V and QUYNH T C., On small injective rings and modules, J Algebra Appl 8, No (2009), 379-387 THUYET L V and QUYNH T C., On small injective, simple-injective and quasiFrobenius rings, Acta Math Univ Comen., New Ser 78, No (2009), 161172 THUYET L V and QUYNH T C Some properties of ef-extending rings, Math J of Okayama Univ 52 (2010), 123-131 THUYET L V and QUYNH T C., On ef-extending modules and rings with chain conditions, Advances in Ring Theory Trends in Mathematics, @ 2010 Birkhauser Verlag Basel/Switzerland THUYET L V and THOANG L D., An approach of Faith - Walker to PF-rings, Submitted THUYET L V and WISBAUER R., Extending property for finitely generated submodules, Vietnam J of Math 25(1)(1997) 65 - 73 YOUSIF M.F., CS rings and Nakayama permutations, Comm Algebra 25 (1997) 3787- 3795 YOUSIF M.F and ZHOU Y Q., FP-injective, simple-injective and quasi- Frobenius rings, Comm Algebra 32 (2004) 2273–2285 Abstract On PF-rings and the extensions of injective modules A ring R is called right pseudo-Frobenius (briefly, PF) if R is a right self-injective, semiperfect ring with right essential socle In this paper, we will give some characterizations of a PF-ring via small injectivity, ef-exteding property We also give an approach of Faith-Walker to PF-rings Key words: PF rings, extensions, injective modules ... PHÚ YÊN vành QF Đồng thời, Osofsky định nghĩa lớp vành PF phải (trái), vành mà Rmôđun phải (trái) trung thành vật sinh Các vành PF nhiều tác giả quan tâm nghiên cứu Cấu trúc nội vành PF phải... tự nội xạ phải từ PF phải theo Định lý 1.2 Hệ 2.1.6 Nếu R vành nội xạ bé phải, Kasch phải CS trái, R PF phải 2.2 Vành ef -mở rộng Dựa tính chất quan trọng mơđun nội xạ là: Nếu M mơđun nội xạ M... HomR(I, M), nói M nội xạ Chúng ta xét nhiều tổng quát hóa khái niệm nội xạ Trước hết ta lấy I iđêan phải lúc có khái niệm P -nội xạ Nếu vành R P -nội xạ R-mơđun phải, R gọi vành P -nội xạ phải Nhiều