Vật liệu có lẫn những hạt cứng là một trong những loại vật liệu được sử dụng phổ biến trong nền công nghiệp hiện đại. Vết nứt và khuyết tật xuất hiện sẽ gây ra hiện tượng tập trung ứng suất và làm ảnh hưởng lớn đến độ bền của kết cấu. Các khuyết tật trong vật liệu có thể được mô tả dưới dạng các lỗ trống. Ứng xử của vết nứt trong miền xuất hiện lỗ trống và các hạt cứng sẽ phức tạp hơn dưới tác dụng của tải trọng động. Trong bài báo này, nhóm tác giả phát triển ma trận độ cứng và khối lượng cho các phần tử mô tả vết nứt, lỗ trống và hạt cứng trong vật liệu nền bằng phương pháp phần tử hữu hạn nội suy liên tiếp mở rộng (extended twice-interpolation finite element method - XTFEM) cho bài toán động lực học, tính toán hệ số cường độ ứng suất động theo thời gian, khảo sát sự ảnh hưởng của lỗ trống, hạt cứng gần vết nứt. Các kết quả tính toán hệ số cường độ ứng suất động tại đỉnh vết nứt bằng XTFEM sẽ được so sánh với kết quả đã được công bố trên tạp chí khoa học quốc tế uy tín để kiểm chứng độ tin cậy
Khoa học Tự nhiên Phân tích động lực học vết nứt vật liệu lẫn hạt cứng lỗ rỗng phương pháp phần tử hữu hạn nội suy liên tiếp mở rộng Trương Tích Thiện1*, Trần Kim Bằng1, Phan Ngọc Nhân1, Bùi Quốc Tính2 Trường Đại học Bách khoa, Đại học Quốc gia TP Hồ Chí Minh Khoa Xây dựng Dân dụng Môi trường, Viện Công nghệ Tokyo, Nhật Bản Ngày nhận 25/1/2019; ngày chuyển phản biện 31/1/2019; ngày nhận phản biện 25/2/2019; ngày chấp nhận đăng 22/3/2019 Tóm tắt: Vật liệu có lẫn hạt cứng loại vật liệu sử dụng phổ biến công nghiệp đại Vết nứt khuyết tật xuất gây tượng tập trung ứng suất làm ảnh hưởng lớn đến độ bền kết cấu Các khuyết tật vật liệu mơ tả dạng lỗ trống Ứng xử vết nứt miền xuất lỗ trống hạt cứng phức tạp tác dụng tải trọng động Trong báo này, nhóm tác giả phát triển ma trận độ cứng khối lượng cho phần tử mô tả vết nứt, lỗ trống hạt cứng vật liệu phương pháp phần tử hữu hạn nội suy liên tiếp mở rộng (extended twice-interpolation finite element method XTFEM) cho tốn động lực học, tính tốn hệ số cường độ ứng suất động theo thời gian, khảo sát ảnh hưởng lỗ trống, hạt cứng gần vết nứt Các kết tính tốn hệ số cường độ ứng suất động đỉnh vết nứt XTFEM so sánh với kết công bố tạp chí khoa học quốc tế uy tín để kiểm chứng độ tin cậy Từ khóa: hạt cứng, lỗ trống, mở rộng, nội suy liên tiếp, tải trọng động, vết nứt, XTFEM Chỉ số phân loại: 1.9 Giới thiệu Độ bền cấu trúc vật liệu pha hạt cứng phụ thuộc nhiều vào xuất biên bất liên tục Đối với việc xấp xỉ lời giải không liên tục, phương pháp phần tử hữu hạn truyền thống sử dụng không gian xấp xỉ đa thức phụ thuộc nhiều vào lưới để đảm bảo độ xác kết gần miền suy biến hay vùng có gradient cao Việc mô biên bất liên tục vết nứt, lỗ trống phương pháp phần tử hữu hạn truyền thống đòi hỏi mật độ lưới lớn Và việc làm mịn lưới đòi hỏi lượng tài nguyên máy tính lớn Hơn nữa, việc làm mịn lưới thường khó tiến hành cách tự động mà đòi hỏi phải có can thiệp thủ cơng người dùng Phương pháp phần tử hữu hạn mở rộng (extended finite element method - XFEM) giới thiệu Belytschko Black [1], Moës cộng [2] Phương thừa hưởng tảng lý thuyết vững phương pháp phần tử hữu hạn truyền thống hạn chế khó khăn q trình làm mịn lưới chia lưới lại Gần nhất, tác giả Bui cộng [3] thành công việc thiết lập phần tử nút nội suy liên tiếp (consecutive-interpolation 4-node quadrilateral element - CQ4), dựa ý tưởng theo [4, 5] Các hàm CQ4 xây dựng với hai lần nội suy Lần nội suy thứ hoàn toàn giống với phương pháp phần tử hữu hạn tiêu chuẩn Lần nội suy thứ hai, hàm xấp xỉ nội suy thông qua chuyển vị nút trung bình đạo hàm chuyển vị nút Do đó, hàm dạng nhận liên tục có đa thức bậc cao mà khơng làm tăng thêm tổng số bậc tự Trường ứng suất trở nên liên tục mà không cần biện pháp xử lý phức tạp, kết tính tốn có hội tụ tăng đáng kể so với phương pháp phần tử hữu hạn truyền thống Bài báo phát triển phần tử làm giàu cho đối tượng lỗ trống hạt cứng vật liệu dạng hạt dựa ý tưởng nội suy liên tiếp mở rộng (extended twiceinterpolation finite element method - XTFEM) Điều tận dụng ưu điểm ý tưởng phương pháp phần tử hữu hạn nội suy liên tiếp phần tử tứ giác bốn nút ý tưởng làm giàu XFEM cho toán bất liên tục Các hàm xấp xỉ phần tử nội suy liên tiếp mở rộng cách thêm hàm làm giàu mô tả bất liên tục vết nứt, lỗ trống tạp chất Kết tính tốn so sánh với kết công bố báo khoa học quốc tế uy tín Cơ sở lý thuyết Phần tử tứ giác, bốn nút nội suy liên tiếp Theo [3], trình nội suy liên tiếp phần tử tứ giác bốn Tác giả liên hệ: Email: tttruong@hcmut.edu.vn * 61(8) 8.2019 22 Khoa học Tự nhiên An extended twice-interpolation finite element method applied to simulate dynamic crack behaviour in matrix inclusion materials with random holes nút bao gồm hai giai đoạn: Giai đoạn nội suy thứ nhất: Trong phần tử hữu hạn truyền thống, chuyển vị xấp xỉ điểm x tính sau: u ( x) = N i u [ ] + N j u [ ] + N k u [ ] + N mu [ i VNUHCM - Ho Chi Minh City University of Technology Department of Civil and Environmental Engineering, Tokyo Institute of Technology, Japan Received 25 January 2019; accepted 22 March 2019 Abstract: Matrix inclusion materials are one of the most commonly used materials in modern industry The appearance of cracks and defects will cause stress concentration and greatly affect the durability of the structure Defects in materials can be described as holes Cracks which appear in the domain containing holes and hard particles have more complicated mechanical behaviours than that under the effect of dynamic loads In this paper, the authors develop stiffness and mass matrices for elements describing cracks, holes, and hard particles in the matrix materials by extended twice-interpolation finite element method - XTFEM for dynamic problems, computing dynamic stress intensity factor over time and evaluating the impact of holes and hard particles near to cracks The results of calculating the dynamic stress intensity factor at crack tips by XTFEM will be compared with the results published in a prestigious international scientific journal to verify its reliability Keywords: crack, dynamic load, extended, hard particle, hole, twice-interpolation, XTFEM Classification number: 1.9 m] (1) 1 (1 - r )(1 - s ), N j = (1 + r )(1 - s ), 4 1 N k = (1 + r )(1 + s ), N m = (1 - r )(1 + s ) 4 1 k Ni = Tich Thien Truong , Kim Bang Tran , Ngoc Nhan Phan1, Quoc Tinh Bui 1* j (2) Với u[i], u[j], u[k], u[m] chuyển vị nút i, j, k, m phần tử r, s tọa độ hệ tọa độ tự nhiên phần tử tứ giác nút Miền hỗ trợ nút i, Si chứa tất phần tử có liên quan nút i Hàm trọng ωe tính sau: ωe = e (3) ∑ e '∈Si e ' Với Δe diện tích phần tử e Δe’ diện tích phần tử e’ Si Hình Điểm cần nội suy miền hỗ trợ nút có tọa độ x Đạo hàm trung bình nút i viết sau: = u,[xi ] = ωeu,[x][ ] ∑ i e e∈Si [i ] ( N l , x = ∑ ωe N l[, x][ ] e∈Si i e ns ∑ ∑ (ω N [ ][ ] )u (4) ) (5) e e∈Si l= i e l ,x l Giai đoạn nội suy thứ hai: Trong giai đoạn nội suy lần hai, giá trị nội suy điểm x tính sau: [i ] [ j] i i j j uˆ(x) =φiu [ ] + φixu ,[x ] + φiy u, y + φ j u [ ] + φ jxu ,[x ] + φiy u, y [k ] [ m] + φk u [ ] + φkxu ,[x ] + φky u, y + φmu [ ] + φmxu ,[x ] + φmy u, y k 61(8) 8.2019 23 k m m (6) Khoa học Tự nhiên Với φi , φix , φiy cần đáp ứng quan hệ sau: N [fi,]x = N [fi,][xe ] , N [fi,]y = N [fi,][ye ] = φi (xl ) δ= 0,= φi , y (xl ) il , φi , x ( x l ) (13) (7) = φix (xl ) 0,= φix , x (xl ) δ il= , φix , y (xl ) = φiy (xl ) 0,= φiy , x (xl ) 0, = φiy , y (xl ) δ il 1, i = l 0, i ≠ l δ il = (8) φ j ,φ jx ,φ jy ,φk ,φkx ,φky ,φm ,φmx ,φmy tự có quan hệ tương φi , φix , φiy φi , φix , φiy tính sau: φi = N1 + N12 N + N12 N3 + N12 N - N1N 22 - N1N32 - N1N32 (9) φix = -( x1 - x2 ) ( N N + bN1 N N + bN1 N N ) - ( x1 - x3 ) ( N12 N + bL1 N N + bN1 N N ) (10) - ( x1 - x4 ) ( N12 N + bN1 N N + bN1 N N ) ϕiy tính tương tự cách thay biến x biến y Với b = 1/ Thay vào phương trình (6) trường chuyển vị có dạng sau ns uˆ (x) = ∑ Nˆ l (x)ul (11) l =1 Với hàm dạng nội suy hai lần liên tiếp tính đây: [i ] [ j] [i ] [ j] i j Nˆ I =φi Nl [ ] + φix N l , x + φiy N l , y + φ j Nl [ ] + φ jx N l , x + φiy N l , y [k ] [k ] [k ] [ m] [ m] [ m] + φk Nl + φkx N l , x + φky N l , y + φm Nl + φmx N l , x + φmy N l , y (12) Hình Miền hỗ trợ cho phần tử làm giàu phần làm giàu tồn phần Nói cách khác, theo cơng thức (13) hình 2, phần tử bị biên bất liên tục cắt qua, tất nút làm giàu (làm giàu toàn phần), có miền hỗ trợ phần tử thơi Các ký hiệu (13) có ý nghĩa tương tự cơng thức (5) Nói cách khác, theo cơng thức (13) hính 2, phần tử bị biên bất Hàm làmcác giàu bấtlàm liêngiàu tục cạnh vếttoàn nứt:phần), có miề qua, tất nútcho đềubiên (làm giàu chình phần tử thơi Các ký hiệu (13) có ý nghĩa tương tự cơng Dạng hình học biên bất liên tục đặc Hàm o bđường ên bấtcong l ên hàm tục làtập c nh vếtφnứt: trưng bởilàm giá trịàu0 ccủa mức ( x, t ) = φ xác định sau: (x, t )hính học biên bất liên tục đặc trưng giá trị Dạng (x, tx) 0xvà (x, t ) xác định cong mức (14)sau φ (hàm x, t )tập = ± x ∈Γ ( t ) (x, t ) minΓ x x Γ x ( t ) Với Γ biên bất liên tục, t tập hợp điểm dấu cộng Với biên bất liên tục, t tập hợp điểm dấu cộng trừ định trừ định nghĩa dấu x - x Γ dấu x x Đối với biên bất liên tục cạnh vết nứt, hàm làm giàu Đối với biên bất liên tục cạnh vết nứt, hàm làm giàu Heaviside H(x) Heaviside H(x) sử dụng dụng 1, (x) (15) H x 1, (x) Ma xác định sau: Ma trận trận biến biến dạng dạng chuyển chuyểnvịvịBBcủa củacạnh cạnhvếtvếtnứt nứt xác định Nˆ sau: i H H i , x Hàm làm giàu cho biên bất liên tục hình học Nˆ H (ξ ) - H (ξ ) ( i i ) XTFEM ,x spl ˆ Bi Ni H Hi spl y , Bi ( Nˆ i H (ξ ) - H (ξi ) ), y (16) Đối với việc xây dựng hàm làm= giàu cho biên bất Nˆ H H Nˆ H H liên tục hình học phần tử XTFEM hoàn toàn giống (Nˆ i iH (ξ ) - H (ξi ) ) i ( ,Nyˆ i H (ξi )- H (ξi ) ) i , x ,y ,x với XFEM, khác phần tử XTFEM có miền hỗ trợ Ma trận hàm dạng N cạnh vết nứt xác định sau: lớn Theo [3], [5] [6] cần lưu ý rằng, Ma trận dạng N cạnh vết nứt xác Nˆhàm định trình nội suy liên tiếp nút làm giàu i H H i spl sau: N phần tử có biên bất liên tục cắt qua không thực i ˆ H H N i i Nˆ H (ξ ) - H (ξ ) gián đoạn Để giải vần đề này, lựa chọn i i (17) N ispl =ˆ thay cải thiện tính tốn trung bình đạo hàm cho Với N i hàm dạng nội suy hai liên tiếp nút làm giàu i ˆ lần N H ξ H ξ ( ) ( ) i i nút làm giàu phần tử sau: H hàm Heviside điểm Gauss xét H i hàm Heviside nút i xét 61(8) 8.2019 24 Hàm làm àu c o đỉnh vết nứt: Hàm làm giàu đỉnh vết nứt định nghĩa theo thành phần củ cực địa phương ( ,θ) đặt đỉnh vết nứt Khoa học Tự nhiên Với Nˆ i hàm dạng nội suy hai lần liên tiếp nút làm giàu i H (ξ ) hàm Heviside điểm Gauss xét H (ξi ) hàm Heviside nút i xét Nˆ i V (ξ ) - V (ξi ) N ihole = Hàm làm giàu cho biên bất liên tục hạt cứng: Hàm làm giàu đỉnh vết nứt định nghĩa theo thành phần hệ tọa độ cực địa phương (r,θ) đặt đỉnh = χ vết nứt {F (r,θ )} α θ 2 α =1 θ 2 θ 2 θ 2 = r sin , r cos , r sin sin (θ ) , r cos sin (θ ) (18) Ma trận biến dạng - chuyển vị B đỉnh vết nứt xác định sau: α Btip = i ( Nˆ [ F - F ]) i α αi ( ( Nˆ [ F - F ]) ( i α αi tip1 Btip i = Bi ,y Btip i Btip i (20) Ma trận hàm dạng N đỉnh vết nứt xác định sau: ˆ Ni [ Fα - Fα i ] tipα N = α 1,2,3,4 (21) B i B B B B Nˆ i [ Fα - Fα i ] Ma trận hàm dạng N đỉnh vết nứt xác định sau: tip i tip1 i tip i tip i tip i Nˆ i F tip 3 F 2,3, N1,tip N i 1i Nˆtip 4 N tip i i i Ni F F i N Ntipitip i Ntip Ntip1 Ntip (22) i i i giàu icho biên tục lỗ trống: Hàm làm bấti liên i i Nˆ i , x χ (xi ) + Nˆ i χ (xi ), x ˆ ˆ N i , y χ (xi ) + N i χ (xi ), y i i (26) Nˆ i , y χ (xi ) + Nˆ i χ (xi ), y (27) Nˆ i , x χ (xi ) + Nˆ i χ (xi ), x Ma trận hàm dạng N biên hạt cứng xác định sau: Nˆ i χ (xi ) N inc = i Nˆ i χ (xi ) (28) (20) Động lực học toán hỗn hợp nhiều biên bất liên tục: Xét điểm có tọa độ x mơ hình phần tử hữu hạn Giả sử có nhiều bất liên tục gồm vết nứt, lỗ trống hạt cứng(21) tồn Theo tài liệu [7], trường chuyển vị xấp xỉ xác định sau: (22) Ntip Ntip i i Ma trận biến dạng - chuyển vị B biên tạp chất xác định sau: ) ) Btip i ∑ Nˆ (x) φ ( x ) - ∑ Nˆ (x)φ ( x ) Với φi hàm khoảng cách xét dấu nút i phần tử làm giàu Nˆ i [ Fα= - Fα i ] = Binc α 1,2,3,4 (19) i ,y Nˆ i [ Fα - Fα i ] ,x ,x (25) Các phần tử bị biên hạt cứng cắt qua bị bất liên tục vật liệu tính chất mơ tả cách thêm hàm làm giàu trị tuyệt đối vào trường chuyển vị Hàm làm giàu cho đỉnh vết nứt: Nˆ i V (ξ ) - V (ξi ) () () Hàm làm àu c o b ên bất l ên tục lỗ trống: uˆ h x =uˆ x + uˆ enr Đối với biên bất liên tục lỗ rỗng, hàm làm giàu Đối với biên bất liên tục lỗ rỗng, hàm làm giàu Heaviside V(x) sử dụng Heaviside sau: V(x) sử dụng sau: ns np m =j =l =k ( x ) =∑ Nˆ j ( x ) u j + ∑∑ Nˆ k ( x )ψˆ l ( x ) akl (29) Với ns số nút hỗ trợ điểm có tọa độ x; np số điều (23) kiện bất liên tục xảy với phần tử chứa điểm có tọa độ x; với phần tử chứa đỉnh vết nứt np = 4, với phần tử Điều có nghĩa nút nằm bên ngồi lỗ rỗng có giá trị V(x) = Điều có nghĩa nút nằm bên ngồi lỗ rỗng có biên bất liên tục đường nứt, biên lỗ rỗng, hạt cứng nút nằm bên lỗ rỗng có giá trị V(x) = có giá trị V(x) = nút nằm bên lỗ rỗng Ma trận biến dạng - chuyển vị B biên lỗ trống xác định nhưqua sau:thì np = 1; m số nút làm giàu np; ψˆ có giá trị V(x) = hàm làm giàu điều kiện bất liên tục (vết nứt, lỗ Nˆ i , x V V i Ma trận biến dạng - chuyển vị B biên lỗ trống rỗng, hạt cứng) np; a bậc tự ứng với nút làm giàu hole Nˆ i , y V V i (24) i xácBđịnh sau: Bài báo xét tới độ cứng K, khối lượng M bỏ qua ˆ ˆ Nˆi , y V V i Ni , x V V i N i , x V (ξ ) - V (ξi ) giảm chấn C Do đó, phương trình động lực học kết cấu trở sau: Maholetrận hàm dạng N biên lỗ trống xác định Nˆ i , y V (ξ ) - V (ξi ) (24) thành sau: Bi Nˆ i V V i (30) Nihole Nˆ i , y V (ξ ) - V (ξi ) Nˆ i , x V (ξ ) - V (ξi ) (25) Nˆ i V V i h Với u vector chuyển vị gia tốc nút Hàm làm hàm àu c dạng o b ênNbấtcủa l ênbiên tục làlỗh trống t cứng:được xác định phần tử Với nút làm giàu, bậc tự làm giàu Ma trận phần tử bị biên hạt cứng cắt qua bị bất liên tục vềavật liệuthêm tình vào nhưCác sau: 1, (x) V x 0, (x) (23) chất mô tả cách thêm hàm làm giàu trị tuyệt đối vào trường chuyển vị Nˆ (x) x Nˆ (x) x i i i i i (26) i 25 giàu xét dấu nút i phần tử làm Với i hàm khoảng cách 61(8) 8.2019 Ma trận biến dạng - chuyển vị B biên tạp chất xác định sau: Nˆ i , x (xi ) Nˆ i (xi ), x Phương pháp tính tích phân J XTFEM dùng trường chuyể tiếp Số lượng nút miền hỗ trợ chứa phần tử tính tích lớn so với XFEM Sự khác thể hình Khoa học Tự nhiên (31) Ma trận độ cứng K, ma trận khối lượng M làm giàu có dạng sau: K uu M uu K ua ij ij ij e K ije = M ; = ij au aa au K K M ij ij ij M ua ij aa M ij (32) Với K ijrs= ∫ (B ) Ω r T i (33) DB sj d Ω cho r , s= u, a Các thành phần ma trận khối lượng tính sau: uu M= ij ua ij M = ∫ ρ Nˆ Nˆ d Ω; M= ∫ ρ Nˆ ψˆ ( x ) Nˆ ψˆ ( x ) d Ω ) d Ω; M ∫ ρ Nˆ ψˆ ( x ) Nˆ d Ω ∫ ρ Nˆ Nˆ ψˆ ( x= Ω Ω i aa ij j i i Ω au ij j j Ω i (34) j Với B ma trận đạo hàm hàm dạng tính từ cơng thức (16), (19), (24), (27) tùy theo dạng bất liên tục khác nhau; D ma trận vật liệu; ρ khối lượng riêng Phương pháp tích phân tương tác cho tốn động lực học vết nứt tĩnh: Để xác định hệ số cường độ ứng suất động, phương pháp hiệu đề xuất Nishioka Alturi (1984) Theo tài liệu [8], dạng giải tích tích phân J cho toán động lực học với vết nứt tĩnh có dạng sau: Mơ hình mơ Mơ hình Xét tốn tấm(A) phẳng với chiều rộng W = 20 mm,(B) chiều cao H = 40 mm, vết nứt nằm có kích thước 2a = (A) độ fđịa đỉnh = 1phương N/m cạnh vàvết dướinứt củavà (B) miền h 4,8Hình mm Lực phânTọa bố tử dùng để tính tích phân J XFEM XTFEM Mô-đun đàn hồi Young: E = 199,992 GPa, hệ số Pois3 son: 0,3,mô khốiphỏng lượng riêng ρ = 5000 kg/m Bước thời Mơv = hình gian Δt = 0,05 μs tải tác dụng từ đến 13,62 μs Mơ hình Hạthình cứng1trong vật liệu có bán kính r = mm cách tâm khoảng = mm theo Xét vết nứt toánvớitấm phẳngcách với dchiều rộng W phương = 20 mm, chiều cao x Hạt có mơ-đun Young: = 199,992 x 10phân nằmcứng có đàn kíchhồithước 2a =E 4,8 mm Lực bố f0 GPa, hệ số poisson v hạt cứng vật liệu Mô-đun đàn hồi Young: E = 199,992 GPa, hệ 0,3 Trường hợp đangρxét biếnkg/m dạng3 phẳng khối lượng riêng = 5000 Bước Vận thời tốc gianlanlà Δt = 0,05 μs -1 = 7,34 mm μs Kết tính tốn truyền sóng dọc C d đến 13,62 μs hình Hạt cứng vật liệutừnền có bán kính XTFEM so sánh với kết XFEM, x Hạt cứng vết nứt với khoảng cách d = 6tính mmtheo theo phương cơng bố tài liệu [9] Thời gian chuẩn Young: E = 199,992 x 10 GPa, hệ số poisson v hạt cứn hóa sau: 0,3 Trường hợp xét biến dạng phẳng Vận tốc với hquả = Htính chiều Cd t /μs h -1 Kết Ctdchuan = _7,34 mm toáncao từ XTFEM so sánh hoa = XFEM, công bố tài liệu [9] Thời gian chuẩ Hệtchuan số cường độ ứng suấtvới động h =Mode H Ichiều caochuẩn _ hoa 2Cd t / h hóa sau: Hệ số cường độ ứng suất động Mode I chuẩn hóa s KI = ;K K f π a I K K0 f ; K K *I = * I K0 0 a (35) Với ui, ti, fi, nk ρ ký hiệu chuyển vị, áp lực, lực thể tích, vector pháp tuyến khối lượng riêng W = (1/ ) ρσ ijε ij mật độ lượng biến dạng (36) Hình Tấm phẳngphẳng với vết nứt giữanứt gần hạt cứnggần hìnhhạt tròn.cứng Hình Tấm vớiởvết K mật độ lượng động học Phương pháp tính tích phân J XTFEM dùng trường chuyển vị có nội suy liên tiếp Số lượng nút miền hỗ trợ chứa phần tử tính tích phân J XTFEM lớn Phương pháp tính tích phân J XTFEM dùng trường chuyển vị có nội suy liên sotiếp với XFEM Sự khác thể hình Số lượng nút miền hỗ trợ chứa phần tử tính tích phân J XTFEM lớn so với XFEM Sự khác thể hình (A) (B) Hình (A)Tọa Tọađộ độđịa địaphương phươngtại tạiđỉnh đỉnh vết vết nứt Hình 3.3.(A) nứt và (B) (B) miền miềnhỗ hỗtrợ chứa phần tử dùng để tính tích phân J XFEM XTFEM Hình So sánh kết hệ số cường độ ứng suất động hai trợ chứa phần tử dùng để tính tích phân J XFEM phương pháp hình mơ vàMơ XTFEM Mơ hình Xét tốn phẳng với chiều rộng W = 20 mm, chiều cao H = 40 mm, vết nứt nằm có kích thước 2a = 4,8 mm Lực phân bố f0 = N/m cạnh Mô-đun đàn hồi8.2019 Young: E = 199,992 GPa, hệ số Poisson: v = 0,3, 61(8) 26 khối lượng riêng ρ = 5000 kg/m3 Bước thời gian Δt = 0,05 μs tải tác dụng từ đến 13,62 μs hình Hạt cứng vật liệu có bán kính r = mm cách tâm vết nứt với khoảng cách d = mm theo phương x Hạt cứng có mơ-đun đàn hồi hình tròn Hình So sánh kết hệ số cường độ ứng suất động hai phương pháp Sự so sánh kết tính tốn hai phương pháp XFEM [9] Khoavà họcXTFEM Tự nhiên thể hình Các kết hệ số cường độ ứng suất theo thời gian thu từ XTFEM tương đồng với kết tham khảo từ [9] Mơ hình Sự so sánh kết tính tốn hai phương pháp XFEM [9] XTFEM thể hình Các kết hệTrong số cườngvíđộdụ ứngtiếp suất theo thời xét gian mô thu từ theo, hình XTFEM tương đồng với kết tham khảo từhạt [9] cứng Các thơng số kích thước, phẳng bị nứt có chứa đồng thời lỗ trống vật liệu tải trọng cho tương tự mơ hình 2Tấm chứa lỗ trống với tọa độ tâm bán kính là: O1(1,25; 3,75) m, Mơ hình r1Trong = 0,6dụm O2xét(3,75; 1,25) m, r2nứt= có0,7 m Tấm chứa hạt cứng với tọa độ tâm bán tiếpquả theo, mơ hình phẳng Hình So ví sánh kết hệ số cường độ ứng suất động bị hai phương pháp kính là: O (1,25; 1,25) m, 0,55 m O4(3,75; 3,75) m, r4 = 0,8 m Tấm có chứa đồng thời lỗ trống hạt cứng Các thông số vềrkích 3 = Sự so sánh kết tính tốn hai phương pháp XFEM [9] XTFEM thước, liệu tải trọng cho tương tự mơ hình thểvết hiệnvật hình Các kết hệ số cường độ ứng suất theo thời gian thu tấm, từ nứt cạnh tráitừđi[9] tâm nứt a = 2,5 m (A) với chiều dài vết (B) XTFEM tương cáctọa kếtđộ quảtâm Tấm chứa lỗ đồng trốngvớivới vàtham bánkhảo kính (A) (B) (C phân thời gian hình Cạnh ngàm Trường hợp Mơ hình 23,75)bố là:Lực O1(1,25; m, cạnh r1 = 0,6trên m Otheo (3,75; 1,25) m, r = 2 Hình (A) Chuyển vị theo phương x; (B) Chuyển v 0,7đang m Tấm hạt xét cứng với độphẳng tâm bịvànứt báncókính Trong ví xét dụchứa tiếp mơ hìnhtọa chứalần đồng thời lỗ trống là2theo, biến dạng phẳng x; (D) Ứng suất theo phương y thời hạt cứng thơng1,25) số m, kíchr thước, trọng3,75) m, chotheo tương phương tự mô lượt là: OCác (1,25; = 0,55vậtmliệu và O4tải (3,75; 3 (1,25; 3,75) m, hình Tấm chứa lỗ trống với tọa độ tâm bán kính là: O r4 = 0,8 m Tấm có vết nứt cạnh trái r1 = 0,6 m O2 (3,75; 1,25) m, r2 = 0,7 m Tấm chứa hạt cứng với tọaTại độ tâm bánđiểm t = 0,15s, lúc tải có giá trị lớn nhất, thời tâm tấm, với chiều dài vết nứt a = 2,5 m Lực phân bố kính là: O3(1,25; 1,25) m, r3 = 0,55 m O4(3,75; 3,75) m, r4 = 0,8 m Tấm có đỉnh cạnh vết nứt ứng suất gần cạnh dướivớiđược vết nứttrên bắt theo đầu từthời giữagian cạnhnhư trái hình tâmCạnh tấm, chiềungàm dài vết nứt vết a = 2,5nứt, m Trường đangtrên xét theo biến phẳng Lực phânhợp bố cạnh thờidạng gian hình Cạnh đượchợp ngàm Trườngvết hợp nứt biên bất liên tục dạng mạnh xét biến dạng phẳng hạt cứng phía vết nứt, gây ảnh hưởng rõ rệt đến h vết nứt Với(C)việc sử dụng XTFEM, trường ứng suất (D) (A) (B) (D)vết nứt có đối lậ phương y, (C) chuyển vị Hình (A) Chuyển vị theo phương x; (B) Chuyển vị theo phương nứty;Chuyển bị ravịtheo nên chuyển lớn Hình (A) Chuyển vị theo phương x; (B) theo phương y;suất (C) Ứng suất (C) kéo Ứng suất phương x; (D)vịỨng theo phương y thời điểm t = 0,15s theo phương x; (D) Ứng suất theo phương thời điểm t = 0,15s Kếtyluận Tạinhất, thờibài điểm t= 0,15s, lúc tải có giá lớn nhất, ứng tử hữu h Tại thời điểm t = 0,15s, lúc tải có giá trị Trong lớn thìbáo ứng suất chủ yếutrịtập trung này, phương pháp phần suất chủ yếu tập trung đỉnh vết nứt, cạnh vết nứt ứng đỉnh vết nứt, cạnh vết nứt ứng suất gần 0, từ cho thấy trường (XTFEM) đãbằng dụng xây dựng trình suất gần 0, từáp cho thấyđể trường hợpchương hợp6 Tấm phẳng vết chứa nứt vết biên tục mạnh Ứng suấtcủa trung Hình nứt, lỗ trống hạtbất cứngliên chịu tải theodạng thời gian nứt với ảnhbất hưởng cáctập khuyết nứt chínhsự biên liên tục dạng mạnh Ứng tật suất lỗ rỗng Hình Tấm phẳng chứa vết nứt, lỗ trống hạt cứng chịu tảivếtvết Đồthời thị hệ số phía cường độ ứng vết suất động theo thờithể gian chuyển vịhệ hạt cứng nứt,Mode gâyI ảnhtấmhưởng rõ rệt đến cường độ ứng suất tập trung số hạt cứng trêntrình vết nứt, gây ảnh đỉnh hưởng theo gian dựa ngơn ngữphía lập Matlab Phương pháp n theo phương x, y,Tấm trường ứng suất theochứa hai phương x, y nứt, minh họa quavà hìnhhạt Hình phẳng vết lỗ trống cứng chịu tải theo thời gian rõ rệt đến hệ số cường độ ứng suất đỉnh vết nứt Với việc hạt vết nứt Với việc sử dụng XTFEM, trường ứng suất mịn Xét chuyển vị theo Đồ thị hệ số cường độ ứng suất động Mode I tấmđược tính chất vật lý vết nứt, lỗ rỗng sử dụng XTFEM, trường ứng suất mịn Xét chuyển phương y,vàchuyển vết có sựMode đối lập rõvào rệt, phần phía vết theo thời chuyển theo phương x, y, trường ứng Đồgian thị hệ số vịvị cường độdưới ứng suấtnứt động I theo thời gian vàĐồng chuyển khơng cần phụ thuộc lưới mơ hình thờivịcó t vị theo phương y, chuyển vị vết nứt có đối suất theo hai phương x, y minh họa qua hình nứt kéo nên vị theobị phương x, chuyển y, trường ứnglớn suất theovàhai phương x, yphía qua đế biến dạng liên ảnhhình hưởng lập rõ rệt, trơn, phần trêntục vết nứtĐiều bịminh kéo họa nênsẽ chuyển và lớn.tại đỉnh vết nứt Một vài ví dụ mơ số đ ứngvị suất Kết luận chứng tỏ tính đắn liên tiếp chương Kết Trong báo này, phương pháp phần tử luận hữu hạn nội suy mở trình rộng Kết t đồng với kếtmôquả tham khảo từ tài lực liệuhọc uy tín [9] Đ (XTFEM) áp dụng để xây dựng chương trình tốn Trong báo này, phươngbài pháp phầnđộng tử hữu hạn nội suy nhiều hướng liên quan đến toán nhiều biên liên mởvà rộng (XTFEM) áp dụng để xây dựng vết 7.nứt sựđộ ảnh hưởng củaI cáctấmkhuyết lỗ tiếp rỗng hạt cứng phân bố vật bất liên Hình Hệ sốvới cường ứng suất động mode theo thờitật gian chương trình ƠN mơ tốn độnglàlực vết nứt vớitả LỜI CẢM thể dựa ngơn ngữ lập trình Matlab Phương pháp có ưu điểm dễhọcdàng mơ ảnh hưởng khuyết tật lỗ rỗng hạt cứng phân cứu trợhàm làm Trường tính chất vật lý vết nứt, lỗ rỗng bốvàghiên hạt cứng thôngtàiqua giàuĐại mà học Bách k vật thể dựa ngơn ngữ lập trình Matlab Phương Chípháp Minh khuôn khổ đềtrường sốchất To-KHUD-20 không cần phụ thuộc vào lưới mơ hình Đồng thời thểđiểm đem lạidàng ứng suất nàycó có ưu dễ mơ tả tài đượcmã tính vật cảm ơn lý vết nứt, lỗ rỗng hạt cứng thông qua hàm làm giàu biến dạng trơn, liên tục Điều ảnh hưởng đến kết tính hệ số cường độ mà khơngsố thuộc thực vào lưới mơ hình thờiđể có ứng suất đỉnh vết nứt Một vài ví dụ mơ đãphụđược soĐồng sánh TÀI LIỆUcầnTHAM KHẢO thể đem lại trường ứng suất biến dạng trơn, liên tục chứng tỏ tính đắn chương trình Điều Kếtnày thu từ XTFEM tương [1] T.quả Belytschko, T Black crack ảnh hưởng đến kết tính hệ(1999), số cường độ“Elastic ứng đồng với kết tham khảo từ tài liệu uy tín [9] Đề tài phát triển theo suất đỉnh vết nứt Một vài mơ Meth số minimal remeshing”, Int.víJ.dụNumer Eng., 45, pp Hình 7.cường Hệ liên sốứngcường độ ứng suất mode I theo thời gian Hình Hệhướng số độ suất động mode I theođộng thờibiên thực hiệnliên sotục sánhtấm để chứng tỏ tính đắn khác chương nhiều quan đến toán nhiều bất với loại vật liệu [2] N Moës, J Dolbow, T Belytschko (1999), “A gian trình Kết thu từ XTFEM tương đồng với kết LỜI CẢM ƠN growth without remeshing”, Int J Numer Meth Eng., ghiên cứu tài trợ Trường Đại học Quốc TP Hồ D.D Ngu [3] Bách Q.T khoa Bui,- Đại Q.D.họcVo, Ch.giaZhang, Chí Minh khn khổ đề tài mã số To-KHUD-2017-04 Các tácelement giả xin trân trọngFormulatio interpolation quadrilateral (CQ4)”, 27 61(8) 8.2019 cảm ơn Anal Des., 84, pp.14-31 TÀI LIỆU THAM KHẢO [4] C Zheng, S.C Wu, X.H Tang, J.H Zhang (201 Khoa học Tự nhiên tham khảo từ tài liệu uy tín [9] Đề tài phát triển theo nhiều hướng liên quan đến toán nhiều biên bất liên tục với loại vật liệu khác LỜI CẢM ƠN Nghiên cứu được tài trợ bởi Trường Đại học Bách khoa - Đại học Quốc gia TP Hồ Chí Minh khn khở đề tài mã số To-KHUD-2017-04 Các tác giả xin trân trọng cảm ơn TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] T Belytschko, T Black (1999), “Elastic crack growth in finite elements with minimal remeshing”, Int J Numer Meth Eng., 45, pp.601-620 [2] N Moës, J Dolbow, T Belytschko (1999), “A finite element method for crack growth without remeshing”, Int J Numer Meth Eng., 46, pp.131-150 [3] Q.T Bui, Q.D Vo, Ch Zhang, D.D Nguyen (2014), “A consecutive-interpolation quadrilateral element (CQ4)”, Formulation and Applications Finite Elem Anal Des., 84, pp.14-31 61(8) 8.2019 [4] C Zheng, S.C Wu, X.H Tang, J.H Zhang (2010), “A novel twice-interpolation finite element method for solid mechanics problems”, Acta Mech Sin., 26, pp.265-278 [5] S.C Wu, W.H Zhang, X Peng, B.R Miao (2012), “A twiceinterpolation finite element method (TFEM) for crack propagation problems”, Int J Comput Methods, 9, pp.12-55 [6] Zuoyi Kang, Tinh Quoc Bui, Du Dinh Nguyen, Takahiro Saitoh, Sohichi Hirose (2015), “An extended consecutiveinterpolation quadrilateral element (XCQ4) applied to linear elastic fracture mechanics”, Acta Mech Sin., 80, pp.17-55 [7] S Mohammadi (2012), XFEM fracture analysis of composites, John Wiley & Sons [8] D Motamedi and S Mohammadi (2010), “Dynamic crack propagation analysis of orthotropic media by the XFEM”, Int J Fract., 161, pp.21-39 [9] S Jiang, C Du, C Gu and X Chen (2014), “XFEM analysis of the effects of voids, inclusions and other cracks on the dynamic stress intensity factor of a major crack”, Fatigue Fract Eng Mater Struct., 37, pp.1-17 28 ... độ lượng động học Phương pháp tính tích phân J XTFEM dùng trường chuyển vị có nội suy liên tiếp Số lượng nút miền hỗ trợ chứa phần tử tính tích phân J XTFEM lớn Phương pháp tính tích phân J XTFEM... từ tài lực liệuhọc uy tín [9] Đ (XTFEM) áp dụng để xây dựng chương trình tốn Trong báo này, phươngbài pháp phần ộng tử hữu hạn nội suy nhiều hướng liên quan đến toán nhiều biên liên m và rộng (XTFEM)... Matlab Phương pháp có ưu điểm dễhọcdàng mơ ảnh hưởng khuyết tật lỗ rỗng hạt cứng phân cứu trợhàm làm Trường tính chất vật lý vết nứt, lỗ rỗng bốvàghiên hạt cứng thôngtàiqua giàuĐại mà học Bách k vật