Linh hóa tử và luỹ linh địa phương của vành

Mục lục Lời nói đầu 1. khái niệm về môđun 2. linh hoá tử 3. luỹ linh địa phơng kết luận tài liệu tham khảo Trang 2 4 9 17 23 24 1 Lời nói đầu Vấn đề nghiên cứu các lớp vành và các lớp môđun đã đợc rất nhiều nhà toán học nghiên cứu và quan tâm. Ta biết rằng bản thân vành R có thể xem là một R môđun (trái) trên chính nó nên một số kết quả chính trên môđun có thể chuyển cho vành. Trong các lớp Iđêan (trái) của vành ta đặc biệt chú ý đến lớp các Iđêan (trái) cốt yếu trong vành đó. Nếu I là Ideal (trái) cốt yếu của R thì R/I đợc gọi là R môđun (trái) xiclic suy biến. Xuất phát từ ý tởng trên đây hớng luận văn chủ yếu dựa vào khái niệm môđun, đồng cấu môđun để nghiên cứu linh hoá tử và luỹ linh địa phơng. Luận văn đợc chia làm 3 phần: Đ1. Môđun và đồng cấu môđun. Đ2. Linh hoá tử. Đ3. Luỹ linh địa phơng. Các kết quả chủ yếu của khoá luận đạt đợc trong Đ1 là: Trình bày một cách hệ thống về khái niệm môđun, đồng cấu môđun và là chuẩn bị cho Đ2 và Đ3. Đến Đ2 vận dụng khái niệm môđun, đồng cấu môđun để nghiên cứu về linh hoá tử. Tiết này khoá luận trình bày khái niệm linh hoá tử và tính chất của nó, tập trung nghiên cứu ứng dụng của linh hoá tử để khảo sát các điều kiện dây chuyền hữu hạn và từ đó đặc trng một số lớp các Ideal luỹ linh của vành (Định lý 2.17 và định lý 2.18). Đến tiết Đ3 nghiên cứu về luỹ linh địa phơng. Luận văn đợc thực hiện và hoàn thành tại trờng Đại học Vinh với sự hớng dẫn của Phó Giáo s Tiến sĩ Ngô Sỹ Tùng. Tác giả xin đợc trình bày tấm lòng biết ơn chân thành và sâu sắc tới thầy giáo hớng dẫn, ngời đã dìu dắt tận tình, chu đáo nhng cũng không kém phần nghiêm khắc đã giúp tác giả mạnh dạn độc lập suy nghĩ, vững tin trong bớc đờng đầu nghiên cứu khoa học. Thầy giành cho tác giả những ý kiến chỉ 2 đạo quý báu và đặc biệt là sự động viên trong suốt quá trình học tập cũng nh làm luận văn, cũng nhân dịp này. Tác giả xin đợc cảm ơn các thầy giáo, cô giáo trong khoa Toán trờng Đại học Vinh và tất cả bạn bè đồng nghiệp đã động viên giúp đỡ để luận văn đợc hoàn thành đúng kế hoạch. Cuối cùng tác giả rất mong đợc sự góp ý kiến chân tình của các thầy giáo, cô giáo cùng tất cả các bạn. Một lần nữa, xin chân thành cảm ơn! Vinh, tháng 04 năm 2004 Tác giả Đ1. khái niệm về môđuN 3 1.1 Các định nghĩa cơ bản Giả sử A là một vành. Môđun trái trên A hoặc A môđun trái M là một nhóm cộng aben M(+) cùng với một phép nhân vô hớng A x M M ax ax thoả mãn a(x + y) = ax + ay (a + b)x = ax + bx (ab)x = a(bx) 1x = x a, b A; x, y M Định nghĩa A môđun phải một cách tơng tự. Nếu không nói gì ta hiểu là các A môđun trái và vì thế sẽ gọi chúng là các A môđun hoặc là môđun khi đã rõ là đang nói đến vành nào. Ví dụ: Một nhóm giao hoán tuỳ ý là Z môđun. Nhóm cộng chỉ gồm một phần tử 0 là môđun trên mọi vành. Một Ideal trái tuỳ ý của A là môđun trái trên A. Giả sử S là một tập không rỗng và M là một A môđun nào đó, tập các ánh xạ à(S, M) là một A môđun. Nếu f à(S, M), a A thì ta xem af là ánh xạ mà (af)(s) = af(s). Giả thiết M là một môđun ta hiểu môđun con N của M là nhóm cộng con sao cho AN N. Rõ ràng rằng N là một môđun. Giả sử M là một A môđun và N là một môđun con của nó. Ta xác định một cấu trúc môđun trên nhóm thơng M/N(đối với cấu trúc đã có của nhóm cộng). Giả sử x + N là một lớp ghép nào đó của nhóm M theo N và giả sử a A ta định nghĩa a(x + N) là lớp ghép ax + N, thử dễ dàng thấy rằng tác dụng vừa đa vào đợc xác định một 4 cách đúng đắn (tức là nếu y nằm trong cùng một lớp ghép với x, thì ay nằm trong cùng lớp với ax) và nó thoả mãn các tiên đề cần thiết. Nh thế M/N biến thành một môđun gọi là môđun thơng của môđun M theo N. Ta hiểu đồng cấu môđun là ánh xạ f: M M từ một môđun này vào một môđun khác (trên cùng một vành A) mà là đồng cấu của các nhóm cộng và f(ax) = af(x) với mọi a A và x M. Rõ ràng rằng lớp các A môđun tạo thành một phạm trù mà các cấu xạ là các đồng cấu môđun, thờng gọi tắt là đồng cấu, nếu nó không dẫn tới nhầm lẫn. Khi muốn chỉ rõ vành A thì thờng gọi tắt rằng f là một A đồng cấu, hoặc cũng nói rằng f là một ánh xạ A tuyến tính. ánh xạ đồng nhất từ mọi môđun lên chính nó là một đồng cấu. Đối với một môđun M bất kỳ, ánh xạ : M M sao cho (x) = 0 với mọi x M là một đồng cấu, gọi là đồng cấu không. Giả sử M là một môđun và N là môđun con của nó. Thử dễ dàng đồng cấu chính tắc của các nhóm cộng f: M M/N cũng là một đồng cấu môđun. Cũng thử dễ dàng rằng nó phổ dụng trong phạm trù các đồng cấu của môđun M mà hạt nhân chứa N. Nếu f: M M là một đồng cấu môđun, thì hạt nhân và ảnh của nó là các môđun con của M và M tơng ứng. Giả sử N, N là hai môđun con của M. Khi đó N + N cũng là một môđun con và ta có đẳng cấu N/(N N) (N + N)/N Nếu M M M là các môđun thì (M/M) / (M/M) M/M Nếu f : M M là một đồng cấu môđun và N là một môđun con của M thì f -1 (N) là môđun con của M và ta có đơn cấu chính tắc /N' M' )'N( M/f:f -1 5 Nếu đồng cấu f là toàn cấu thì f là đẳng cấu môđun. Cũng nh trong trờng hợp các nhóm, ta gọi một dãy các đồng cấu môđun ''M M 'M gf là dãy khớp, nếu Im(f) = Ker(g). Gắn với môđun con N của môđun M là dãy khớp: 0 N M M/N 0 1. 2 Nhóm các đồng cấu môđun Giả sử A là một vành và X, X là các A môđun. Ta kí hiệu )X,'X(Hom A là tập các A đồng cấu từ môđun X vào X. Khi đó )X,'X(Hom A là một nhóm aben với luật cộng là luật cộng các ánh xạ vào một nhóm aben. Nếu vành A giao hoán thì ta có thể biến )X,'X(Hom A thành một A môđun bằng cách lấy af với a A và f )X,'X(Hom A là ánh xạ mà đối với nó (af)(x) = af(x) Việc thử các tiên đề của A môđun là tầm thờng. Tuy nhiên, nếu A không giao hoán thì phải xem )X,'X(Hom A nh một nhóm aben. Cũng có thể xem )X,'X(Hom A nh một hàm tử. Thực chất đó là một hàm tử của hai đối, phản biến theo đối thứ nhất và hiệp biến theo đối thứ hai. Thực vậy, giả sử Y là một A môđun và X 'X f là một A đồng cấu. Khi đó ta có đồng cấu cảm sinh. )Y,f(Hom A : )Y,'X(Hom )Y,X(Hom AA fg g o Điều đó đợc biểu diễn bởi dãy ánh xạ sau đây Y X 'X gf Việc )Y,f(Hom A là một đồng cấu chẳng qua là một cách nói khác của tính chất: (g 1 + g 2 )of = g 1 of + g 2 of . Nếu f = id thì hợp thành với f tác dụng lên g nh ánh xạ đồng nhất, tức là goid = g. Có dãy các đồng cấu: X X X ta đợc dãy cảm sinh 6 )Y,''X(Hom )Y,X(Hom )Y,'X(Hom AAA Đối với mọi dãy khớp X X X 0 ta đợc dãy cảm sinh 0 )Y,''X(Hom )Y,X(Hom )Y,'X(Hom AAA cũng khớp. Nếu g: X Y là một A đồng cấu thì ảnh của nó trong )Y,X(Hom A là cái hợp thành của g với toàn ánh từ X lên X. Nếu cái hợp thành đó bằng 0, thì g = 0 vì X X là toàn ánh. Ví dụ: Ta xét đồng cấu g: X Y mà cái hợp thành Y X 'X g bằng 0. Khi đó g biến thành 0 trên ảnh của . Nh vậy ánh xạ g có thể phân tích nhờ môđun thơng: g vì X X là toàn ánh, nên ta có đẳng cấu X/Im X. Do đó có thể cho g qua X, nh vậy chứng tỏ rằng hạt nhân của đồng cấu )Y,X(Hom )Y,'X(Hom AA đợc chứa trong ảnh của đồng cấu )Y,''X(Hom )Y,X(Hom AA Vậy đối với X cố định và với dãy các A đồng cấu Y Y Y ta có dãy cảm sinh: )''Y,X(Hom )Y,X(Hom )'Y,X(Hom AAA Đối với dãy khớp 0 Y Y Y dãy cảm sinh )''Y,X(Hom )Y,X(Hom )'Y,X(Hom AAA 0 cũng khớp. 7 X/Im X Y Chú ý: Tính khớp của dãy 0 Y Y có nghĩa là môđun Y đợc nhúng chìm vào Y, tức là đẳng cấu với một môđun con của Y, nếu Y Y, thì mọi đồng cấu vào Y có thể xem nh đồng cấu vào Y. Điều đó tơng ứng với phép nhúng chìm )Y,X(Hom )'Y,X(Hom AA 0 Giả sử M là môt A môđun, từ các hệ thức (g 1 + g 2 )of = g 1 of + g 2 of tơng tự đối với bên phải, cụ thể là: go(f 1 + f 2 ) = gof 1 + gof 2 Và cũng từ sự kiện là tồn tại phần tử đơn vị đối với phép hợp thành, cụ thể là id M , ta kết luận rằng )M,M(Hom A là một vành mà phép nhân trong nó là phép hợp thành các ánh xạ. Nếu n là một số nguyên lớn hơn 1 thì ta có thể viết f n để chỉ việc lấy cái hợp thành của n lần f, và có thể định nghĩa f 0 là Ideal. Theo định nghĩa tổng quát của các tự đồng cấu trong phạm trù, ta có thể viết End A M thay cho )M ,M(Hom A . Đ2 Linh hoá tử 2.1 Định nghĩa Giả sử S là tập con khác rỗng của vành R. Linh hoá tử phải của tập S trong R là r(S) = {x R: sx = 0 với mọi s S} Linh hoá tử trái của tập S trong R là l(S) = {x R: xs = 0 với mọi s S} 8 Nếu S chỉ chứa một phần tử s thì ta viết r(s) thay cho r({s}), l(s) thay cho l({s}). 2.2 Mệnh đề a) Linh hoá tử phải của tập S trong vành R là Ideal phải của vành R. b) Linh hoá tử trái của tập S trong vành R là Ideal trái của vành R. Chứng minh a) Với mọi x, y r(S) ta chứng minh x y r(S) Ta có s(x) = s(y) = 0 với mọi s S suy ra s(x - y) = sx sy = 0 với mọi s S suy ra x y r(s). Với mọi x r(S), r R ta chứng minh, xr r(S) Ta có s(xr) = (sx)r = 0 với mọi s S suy ra xr r(S). Vậy r(S) là Ideal phải của vành R. b) Ta chứng minh tơng tự nh a) 2.3 Mệnh đề Cho vành R; S và T là các tập con khác rỗng của R. Khi đó a. Nếu S T thì r(T) r(S), l(T) l(S). b. S r(l(S)) l(r(S)). c. r(l(r(S))) = r(S); l(r(l(S))) = l(S). Chứng minh a. Ta chỉ chứng minh r(T) r(S) còn l(T) l(S) thì làm một cách tơng tự, lấy x tuỳ ý thuộc r(T) suy ra sx = 0 với mọi s T suy ra sx = 0 với mọi s S (do S T) suy ra x r(S). vậy r(T) r(S). b. Giả sử y S suy ra sy = 0 với mọi s l(S) suy ra y r(l(S)) và ys = 0 với mọi s r(S) suy ra y l(r(S)). Vậy y l(r(S)) r(l(S)) suy ra S l(r(S)) r(l(S)). 9 c. Theo b, xét cho r(S) ta có r(S) r(l(r(S))). Từ b và a ta lại có r(S) r(l(r(S))). Vậy r(S) = r(l(r(S))). Tơng tự ta có l(S) = l(r(l(S))). 2.4 Mệnh đề Cho vành R khi đó a.c.c đối với linh hoá tử phải là tơng đơng với d.c.c đối với linh hoá tử trái (trong đó a.c.c và d.c.c là viết tắt của điều kiện dây chuyền tăng và điều kiện dây chuyền giảm tơng ứng). Chứng minh Nếu linh hoá tử phải của tập con S trong vành R thoả mãn a.c.c và l(S 1 ) l(S 2 ) l(S n ) là dãy giảm tập con của l(S). Theo mệnh đề 2.3 ta có: r(l(S 1 )) r(l(S 2 )) r(l(S n )) suy ra tồn tại n N sao cho r(l(s n )) = r(l(S n+1 )) Tơng đơng l(r(l(S n ))) = l(r(l(S n+1 ))) l(S n ) = l(S n+1 ). Nh vậy l(S) thoả mãn d.c.c. Tơng tự nếu linh hoá tử trái thoả mãn d.c.c thì linh hoá tử phải thoả mãn a.c.c. Từ mệnh đề 2.4 ta chứng tỏ đợc rằng nếu R thoả mãn a.c.c hoặc d.c.c đối với linh hoá tử phải thì các vành con của R cũng vậy. 2.5 Định nghĩa Giả sử M là R môđun phải, môđun con K của M đợc gọi là cốt yếu hay lớn trong M, kí hiệu K * M, nếu K A 0 với mọi A là môđun con khác 0 của M. Trong trờng hợp này ta cũng nói M là mở rộng cốt yếu của K. 2.6 Mệnh đề Cho M là R môđun phải a) Giao hữu hạn các môđun con cốt yếu của M là môđun cốt yếu của M. b)Nếu K * L và L * M thì K * M. 10 . 2.2 Mệnh đề a) Linh hoá tử phải của tập S trong vành R là Ideal phải của vành R. b) Linh hoá tử trái của tập S trong vành R là Ideal trái của vành R. Chứng. ứng dụng của linh hoá tử để khảo sát các điều kiện dây chuyền hữu hạn và từ đó đặc trng một số lớp các Ideal luỹ linh của vành (Định lý 2.17 và định lý