Tính Taut yếu và Taut yếu địa phương của một miền trong không gian Banach

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM PHẠM THỊ KIM DUNG TÍNH TAUT YẾU VÀ TAUT YẾU ĐỊA PHƯƠNG CỦA MỘT MIỀN TRONG KHÔNG GIAN BANACH LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thái Nguyên - Năm 2014 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM PHẠM THỊ KIM DUNG TÍNH TAUT YẾU VÀ TAUT YẾU ĐỊA PHƯƠNG CỦA MỘT MIỀN TRONG KHÔNG GIAN BANACH Chuyên ngành: Toán Giải tích Mã số: 60.46.01.02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: PGS. TS. PHẠM VIỆT ĐỨC Thái Nguyên - Năm 2014 i Mục lục Mục lục i Mở đầu 1 1 Một số kiến thức chuẩn bị 3 1.1 Giả khoảng cách Kobayashi trên không gian phức . . . . . . 3 1.1.1 Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.1.2 Một số tính chất của giả khoảng cách Kobayashi . . 4 1.2 Không gian phức hyperbolic . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.2.1 Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.2.2 Một số tính chất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.3 Biểu diễn tích phân của giả khoảng cách Kobayashi . . . . . 7 1.3.1 Metric vi phân Royden-Kobayashi . . . . . . . . . . 7 1.3.2 Định lý . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.3.3 Hệ quả . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.4 Không gian phức taut . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.4.1 Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.4.2 Định lý Kiernan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.4.3 Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.4.4 Bổ đề . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.4.5 Ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.5 Các hàm peak và antipeak đa điều hòa dưới . . . . . . . . . 12 1.5.1 Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.5.2 Mệnh đề . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 i 1.5.3 Bổ đề . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.5.4 Định lý . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 1.5.5 Định lý . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 2 Tính taut yếu và taut yếu địa phương của một miền trong không gian Banach 17 2.1 Một số kiến thức ban đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2.1.1 Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2.1.2 Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2.1.3 Định lý . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 2.1.4 Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2.1.5 Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2.1.6 Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2.1.7 Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 2.1.8 Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 2.2 Tính taut yếu và tính hyperbolic của đa tạp giải tích Banach 20 2.2.1 Định lý . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 2.3 Tính taut yếu và taut yếu địa phương của một miền trong không gian Banach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 2.3.1 Định lý . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 2.3.2 Bổ đề . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 2.3.3 Định lý . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 Kết luận 34 Tài liệu tham khảo 35 1 Mở đầu Một trong những bài toán quan trọng của Giải tích phức hyperbolic là tìm các đặc trưng khác nhau cho tính hyperbolic của một không gian phức. Như ta đã biết mỗi không gian phức taut là hyperbolic. Do đó ta có thể nghiên cứu tính hyperbolic của không gian phức thông qua việc tìm hiểu tính taut của không gian đó. Điều đó cho thấy tính taut là một công cụ hữu hiệu để nghiên cứu lớp các không gian phức hyperbolic hữu hạn chiều. Tuy nhiên khái niệm taut không tồn tại trong hoàn cảnh các miền trong không gian Banach. Bằng cách đưa ra khái niệm taut yếu và taut yếu địa phương của một miền trong không gian Banach, Lê Mậu Hải và Phạm Khắc Ban [4] đã thiết lập được mối liên hệ giữa tính taut yếu với tính hyperbolic của một đa tạp giải tích Banach, đồng thời chứng minh được mối liên hệ giữa tính taut yếu địa phương với tính taut yếu của một miền không bị chặn trong không gian Banach. Mục đích của luận văn này là trình bày tường minh kết quả nói trên. Nội dung của luận văn gồm hai chương: Chương 1: Một số kiến thức chuẩn bị. Trong chương này chúng tôi trình bày các kiến thức chuẩn bị về không gian phức hyperbolic, không gian phức taut và một số kết quả liên quan đến chương sau trong trường hợp hữu hạn chiều. Chương 2: Tính taut yếu và taut yếu địa phương của một miền trong không gian Banach. Nội dung của chương này bao gồm một số khái niệm ban đầu về giải tích hyperbolic trong không gian Banach; mối liên hệ giữa tính taut yếu và tính hyperbolic của đa tạp giải tích Banach. Cuối chương 2 là một số tiêu chuẩn cho tính taut yếu của một miền không bị chặn trong không gian Banach. Luận văn được thực hiện và hoàn thành tại Trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên dưới dự hướng dẫn khoa học của PGS. TS. Phạm Việt Đức. Qua đây, tác giả xin được gửi lời cảm ơn sâu sắc đến thầy giáo, người hướng dẫn khoa học của mình, người đã đưa ra đề tài và tận tình hướng dẫn trong suốt quá trình nghiên cứu của tác giả. Đồng thời tác giả cũng chân thành cảm ơn các thầy cô trong khoa Toán, Phòng Sau Đại học - Trường Đại học Sư phạm, Đại học Thái Nguyên, đã tạo mọi điều kiện cho tác giả về tài liệu và thủ tục hành chính để tác giả hoàn thành bản luận văn này. Tác giả cũng gửi lời cảm ơn đến gia đình và các bạn trong lớp Cao học Toán K20a, đã động viên giúp đỡ tác giả trong quá trình học tập và làm luận văn. Xin chân thành cảm ơn! Thái Nguyên, tháng 04 năm 2014 Tác giả Phạm Thị Kim Dung 3 Chương 1 Một số kiến thức chuẩn bị Trong chương này chúng tôi trình bày một số kiến thức chuẩn bị về tính hyperbolic và tính taut trong trường hợp hữu hạn chiều. 1.1 Giả khoảng cách Kobayashi trên không gian phức Với 0 < r < ∞ ta đặt ∆ r = {z ∈ C, |z| < r}, ∆ 1 = ∆, và gọi ∆ r là đĩa bán kính r, ∆ là đĩa đơn vị trong C. 1.1.1 Định nghĩa Giả sử X là một không gian phức, x và y là hai điểm tùy ý của X. Hol(∆, X) là tập tất cả các ánh xạ chỉnh hình từ ∆ vào X, được trang bị tôpô compact mở. Xét dãy các điểm p 0 = x, p 1 , , p k = y của X, dãy các điểm a 1 , a 2 , , a k của ∆ và dãy các ánh xạ f 1 , , f k trong Hol(∆, X) thỏa mãn f i (0) = p i - 1 , f i (a i ) = p i , ∀i = 1, , k. Tập hợp α = {p 0 , , p k , a 1 , , a k , f 1 , , f k } thỏa mãn các điều kiện trên được gọi là một dây chuyền chỉnh hình (hay các đĩa chỉnh hình) nối 4 x và y trong X. Ta định nghĩa d X (x, y) = inf α { k  i=1 ρ D (0, a i ), α ∈ Ω x, y }, trong đó Ω x, y là tập hợp các dây chuyền chỉnh hình nối x và y trong X. Khi đó d X : X × X → R là một giả khoảng cách trên X và gọi là giả khoảng cách Kobayashi trên không gian phức X. 1.1.2 Một số tính chất của giả khoảng cách Kobayashi 1.1.2.1 Nếu f : X → Y là ánh xạ chỉnh hình giữa hai không gian phức thì f làm giảm khoảng cách đối với giả khoảng cách Kobayashi, nghĩa là d X (x, y) ≥ d Y (f(x), f(y)), ∀x, y ∈ X. Hơn nữa, d X là giả khoảng cách lớn nhất trên X thỏa mãn mọi ánh xạ chỉnh hình f : ∆ → X là giảm khoảng cách. 1.1.2.2 d ∆ = ρ ∆ là metric Bergman - Poincaré trên đĩa đơn vị ∆. 1.1.2.3 d C n ≡ 0. 1.1.2.4 Giả sử X là không gian phức. Khi đó, giả khoảng cách Kobayashi d X : X × X → R là hàm liên tục. Trong trường hợp X là đa tạp phức ta có phép chứng minh đơn giản đối với tính liên tục của d X như sau: 1.1.2.5 Định lý Giả sử X là đa tạp phức. Khi đó, giả khoảng cách kobayashi là hàm liên tục. Chứng minh. Theo bất đẳng thức tam giác ta có |d X (x n , y n ) − d X (x, y)| ≤ d X (x n , x) + d X (y n , y), với mọi x n , y n , x, y ∈ X. Do đó để chứng minh tính liên tục của d X ta chỉ cần chứng minh d X (y n , y) → 0 khi y n → y. 5 Gọi U là một lân cận tọa độ quanh y mà song chỉnh hình với ∆ n , n = dimX. Ta có d ∆ n ((x 1 , , x n ), (y 1 , , y n )) = max{d ∆ (x i , y i ), i = 1, , n}. Vì U song chỉnh hình với ∆ n nên theo tính chất của giả khoảng cách Kobayashi ta có d U = d ∆ n liên tục. Do đó, d X (y n , y) ≤ d U (y n , y) → 0 khi y n → y. Vậy d X liên tục. 1.2 Không gian phức hyperbolic 1.2.1 Định nghĩa Không gian phức X được gọi là không gian hyperbolic (theo nghĩa Kobayashi) nếu giả khoảng cách Kobayashi d X là khoảng cách trên X, tức là d X (p, q) = 0 ⇔ p = q ∀p,q ∈ X Không gian phức X được gọi là hyperbolic đầy nếu X là hyperbolic và đầy đối với khoảng cách Kobayashi d X , tức là mọi dãy cơ bản đối với khoảng cách d X đều hội tụ. Nhận xét. Từ định nghĩa và tính chất giảm khoảng cách qua các ánh xạ chỉnh hình ta có tính hyperbolic của không gian phức là một bất biến song chỉnh hình. 1.2.2 Một số tính chất 1.2.2.1 Nếu X, Y là các không gian phức, thì X × Y là không gian hyperbolic nếu và chỉ nếu cả X và Y đều là không gian hyperbolic. 1.2.2.2 Giả sử X là không gian con phức của không gian phức Y . Nếu Y là hyperbolic thì X cũng là hyperbolic. Hay nói cách khác, không gian con của một không gian hyperbolic là hyperbolic. 1.2.2.3 Định lý (Barth) Giả sử X là không gian phức liên thông. Nếu X là hyperbolic thì d X sinh ra tô pô tự nhiên của X. 6 Chứng minh. Ta có không gian phức X là compact địa phương với tô pô đếm được, do đó nó metric hóa được bởi định lý metric hóa Urưxơn. Vì vậy có hàm khoảng cách ρ xác định tô pô tự nhiên của X. Ta phải chứng minh d X và ρ là so sánh được, tức là với {x n } ⊂ X ta có ρ(x n , x) → 0 ⇔ d X (x n , x) → 0 khi n → ∞. Do d X liên tục nên từ ρ(x n , x) → 0 suy ra d X (x n , x) → 0 khi n → ∞. Ngược lại, giả sử d X (x n , x) → 0 mà ρ(x n , x) → 0 khi n → ∞. Khi đó tồn tại s > 0 sao cho có dãy con (vẫn ký hiệu là {x n }) mà các x n nằm ngoài ρ−cầu tâm x, bán kính s. Nối x n với x bởi một dây chuyền chỉnh hình. Gọi γ là ảnh của các trắc địa trong đĩa qua dây chuyền trên, γ : [a, b] → X. Xét hàm t → ρ(γ(t), x), đây là một hàm liên tục do đó tồn tại t 0 ∈ [a, b] sao cho ρ(γ(t 0 ), x) = s. Vậy điểm y n = γ(t 0 ) nằm trên mặt cầu tâm x bán kính s (đối với metric ρ). Từ đó theo định nghĩa giả khoảng cách Kobayashi ta có d X (y n , x) ≤ d X (x n , x) → 0 khi n → ∞. Do tính compact địa phương, dãy {y n } có dãy con {y n k } hội tụ tới y thuộc mặt cầu tâm x, bán kính s (đối với metric ρ). Khi đó, d X (y, x) = lim n→∞ d X (y n k , x) = 0, mà y = x. Điều này mâu thuẫn với giả thiết X là không gian hyperbolic. Định lý được chứng minh. 1.2.3.4 Ví dụ +) Đĩa ∆ r và đa đĩa ∆ m r là hyperbolic. +) Một miền bị chặn trong C m là hyperbolic, vì nó là tập con mở của tích các đa đĩa. +) C m không là hyperbolic, vì d C m ≡ 0. [...]... sử dụng lý luận tương tự như trong Định lý 1.1.2.5, ta có thể chứng tỏ được yn → y0 trong X thì dX (yn , y0 ) → 0 Vậy Định lý được chứng minh 2.3 Tính taut yếu và taut yếu địa phương của một miền trong không gian Banach Sau đây là một kết quả tương tự Định lý 1.5.4 trong trường hợp Ω là một miền trong không gian Banach 2.3.1 Định lý Giả sử Ω là một miền trong không gian Banach E Giả sử rằng tồn tại... (λk ) và fnk (λk ) = znk Điều này mâu thuẫn với Bổ đề 2.3.2 Vậy Định lý 2.3.1 được chứng minh Tương tự như Định lý 1.5.5 Chương 1, ta thiết lập tính taut yếu của một miền không bị chặn trong không gian Banach dựa trên tính taut yếu địa phương 29 2.3.3 Định lý Cho Ω là một miền trong không gian Banach E Giả sử rằng Ω là taut yếu địa phương tại mỗi điểm trên ∂Ω và có các hàm đa điều hòa dưới peak và. .. ∆\S và L ⊂ X tồn tại k0 sao cho fnk (K) ∩ L = ∅ với k ≥ k0 2.1.6 Định nghĩa Cho Ω là một miền không bị chặn trong không gian Banach E Một lân cận của ∞ trong Ω là tập chứa phần bù của một hình cầu đóng trong Ω Nếu ϕ là một hàm xác định trên Ω và c là một số phức, ta đặt ϕ(∞) = c nếu lim{ϕ(z); z ∈ Ω, ||z|| → +∞} = c 20 2.1.7 Định nghĩa Cho Ω là một miền trong không gian Banach E Ta nói rằng Ω là taut. .. đó f (∆) ⊂ ∂D ⇒ {fj }∞ là phân kỳ compact Do vậy D là j=1 taut Vậy Định lý đã được chứng minh 17 Chương 2 Tính taut yếu và taut yếu địa phương của một miền trong không gian Banach 2.1 2.1.1 Một số kiến thức ban đầu Định nghĩa Giả sử X là không gian giải tích Banach Ta nói rằng X là hyperbolic nếu dX là một khoảng cách xác định tô pô của X , trong đó dX là giả khoảng cách Kobayashi trên X Chú ý : Theo... miền hyperbolic ii) Mỗi miền hyperbolic đầy trong không gian phức X cũng là miền taut iii) Các khẳng định ngược lại đều không đúng Để chứng minh Định lý Kiernan, ta đưa vào một số khái niệm sau: Giả sử p và q là hai điểm phân biệt của miền M trong không gian phức X Không mất tính tổng quát, ta có thể giả sử p = 0 và B = {(ω1 , , ωn ); |ω1 |2 + + |ωn |2 < 1} là một lân cận của p trong M sao cho q ∈ B... 0 với lân cận U tùy ý của p trong V Một hàm ψ được gọi là hàm đa điều hòa dưới antipeak địa phương tại một điểm p ∈ ∂Ω ∪ {∞} nếu tồn tại một lân cận V của p sao cho ψ là đa điều hòa dưới trên Ω ∩ V , liên tục trên Ω ∩ V và thỏa mãn ψ(p) = −∞ inf {ψ(z) : z ∈ Ω ∩ (V \U )} > −∞, với bất kỳ lân cận U của p trong V 2.2 Tính taut yếu và tính hyperbolic của đa tạp giải tích Banach Trong phần này ta trình... , 0) ∈ ∂X Điều này nói rằng 2 4 {fn } không là dãy hàm chuẩn tắc Vậy X không là taut 1.5 1.5.1 Các hàm peak và antipeak đa điều hòa dưới Định nghĩa Giả sử M là một miền trong không gian phức X , tức là M là một tập con khác rỗng, mở và liên thông của X i) Một hàm ϕ được gọi là đa điều hòa dưới peak địa phương tại một điểm p trong ∂M nếu tồn tại một lân cận U của p sao cho ϕ là đa điều 13 hòa dưới... rằng Ω là taut yếu địa phương nếu với mỗi p ∈ ∂Ω, tồn tại lân cận U của p sao cho U ∩ Ω là taut yếu Định nghĩa sau là tương tự Định nghĩa 1.5.1 trong trường hợp Ω là một miền trong không gian Banach 2.1.8 Định nghĩa Một hàm ϕ được gọi là hàm đa điều hòa dưới peak địa phương tại điểm p ∈ ∂Ω ∪ {∞} nếu tồn tại một lân cận V của p sao cho ϕ là đa điều hòa dưới trên Ω ∩ V , liên tục trên Ω ∩ V và thỏa mãn... quả về mối liên hệ giữa tính taut yếu và tính hyperbolic của một đa tạp giải tích Banach 21 2.2.1 Định lý Cho X là một đa tạp giải tích Banach Nếu X là taut yếu thì X là hyperbolic Chứng minh i) Đầu tiên ta chỉ ra rằng với mỗi x0 ∈ X , tồn tại một lân cận U của x0 và c > 0 sao cho FX (x, v) ≥ c||v|| với mọi x ∈ U và v ∈ Tx X Thật vậy, trong trường hợp ngược lại, tồn tại x0 ∈ X và dãy {xn } ⊂ X , xn... của X Tuy nhiên trong không gian Banach vô hạn chiều thì điều này không còn đúng nữa [10] 2.1.2 Định nghĩa Tương tự như trong Định nghĩa 1.3.1.2, cho X là không gian Banach, với x ∈ X và v ∈ Tx X , ta định nghĩa v FX (x, v) = inf{r > 0; ∃f ∈ Hol(∆, X), f (0) = x, f (0) = } r 18 Khi đó hàm FX : T X → [0, ∞) được gọi là giả metric vi phân Kobayashi - Vesentini của X Trong trường hợp X là một miền trong . khái niệm taut không tồn tại trong hoàn cảnh các miền trong không gian Banach. Bằng cách đưa ra khái niệm taut yếu và taut yếu địa phương của một miền trong không gian Banach, Lê Mậu Hải và Phạm Khắc. giữa tính taut yếu với tính hyperbolic của một đa tạp giải tích Banach, đồng thời chứng minh được mối liên hệ giữa tính taut yếu địa phương với tính taut yếu của một miền không bị chặn trong không. không gian phức hyperbolic, không gian phức taut và một số kết quả liên quan đến chương sau trong trường hợp hữu hạn chiều. Chương 2: Tính taut yếu và taut yếu địa phương của một miền trong không