Luận văn thạc sỹ toán tính taut yếu của miền trong không gian banach

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC s PH ẠM HÀ NỘI QUÁCH TH Ị HỒNG GAM TÍNH TAUT Y ẾU CỦA MIEN t r o n g KHÔNG GIAN B A N A C H L U Ậ« N V Ă N T H Ạ« C S ĩ T O Á N H Ọ« C Hà Nội, 2015 BỌ GIÀO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC s PH ẠM HÀ NỘI QUÁCH TH Ị HỒNG GAM TÍNH TAUT YẾU CỦA MIEN t r o n g KHÔNG GIAN B A N A C H C h u y ê n n g n h : T o n G iải tíc h M ã số: 60 46 01 02 LUẬN VĂN TH Ạ C Sĩ TO Á N HỌC N gười hướng dẫn khoa học: TS LÊ TÀI T H U Hà Nội, 2015 M ục lục M đầu K iế n th ứ c b ả n 1.1 Giả khoảng cách Kobayashi không gian phức 1.2 Không gian phức h y p e rb o lic 1.3 Không gian hyperbolic đ ầ y 11 1.4 Không gian phức T a u t 11 1.5 Biểu diễn tích phân giả khoảng cách Kobayashi 16 1.6 Hàm điều hòa đa điều hòa d i 18 T ín h t a u t y ếu c ủ a m iề n tr o n g k h ô n g g ia n B a n a c h 2.1 Tiêu chuẩn hyperbolic, hyperbolic đầy tau t không gian p h ứ c 2.2 22 23 Tính ta u t yếu miền không gian B a n a c h 30 K ế t lu ậ n 47 T ài liệu th a m k h ả o 48 MỞ ĐẦU L ý d o c h ọ n đ ề tà i Lý thuyết không gian phức hyperbolic Kobayashi xây dựng lần vào năm 70 kỷ 20, hướng nghiên cứu quan trọng giải tích phức Trong năm gần đây, lý thuyết thu hút quan tâm nhiều nhà toán học giới Một số kết sâu sắc đẹp đẽ lý thuyết chứng minh Kobayashi, Kwack, Noguchi, Zaidenberg, Dem ailly, Những công trình nghiên cứu thúc đẩy hướng nghiên cứu phát triển mạnh mẽ hình thành nên chuyên ngành giải tích toán học, giải tích phức hyperbolic Trong năm gần đây, lý thuyết tìm thấy mối liên hệ bất ngờ sâu sắc với lĩnh vực khác toán học, đặc biệt toán thác triển ánh xạ chỉnh hình giải tích phức toán tính hữu hạn tập tấ t ánh xạ phân hình hai lớp không gian phức Theo quan điểm A Weil, s Lang p Vojta, toán sau có liên quan m ật thiết với hình học đại số hình học số học Có thể nói giải tích phức hyperbolic lĩnh vực nghiên cứu nằm chỗ giao nhiều môn lớn toán học: Hình học vi phân phức, Giải tích phức, Hình học đại số Lý thuyết số Một hướng nghiên cứu giải tích phức hyperbolic mở rộng kết từ không gian phức hữu hạn chiều sang không gian Banach vô hạn chiều Chúng ta thấy xuất khó khăn lớn m ặt kỹ th u ật chuyển từ việc nghiên cứu không gian phức hyperbolic hữu hạn chiều lên không gian Banach Chẳng hạn miền không gian Banach ta tính compact địa phương không xây dựng khái niệm ta u t theo nghĩa Wu Để khắc phục nhà toán học đưa khái niệm ta u t theo nghĩa khác Wu gọi ta u t yếu Với lý trên,cùng giúp đỡ tận tình thầy T S L ê T ài T h u , lựa chọn đề tài nghiên cứu với tên đề tài: “T ín h t a u t y ếu c ủ a m iề n tr o n g k h ô n g g ia n B a n a c h ” C ấ u tr ú c c ủ a lu ậ n v ăn Luận văn gồm chương: Chương 1: Một số kiến thức chuẩn bị Nội dung chương hệ thống số khái niệm giả khoảng cách Kobayashi, biểu diễn tích phân giả khoảng cách Kobayashi Sau đưa định nghĩa không gian phức hyperbolic, hyperbolic đầy tau t Định nghĩa hàm điều hòa hàm đa điều hòa Chương 2: Tính ta u t yếu miền không gian Banach Mục đích chương đánh giá mối quan hệ tính ta u t yếu tính hyperbolic đa tạp Banach mối quan hệ tính ta u t yếu địa phương tính ta u t yếu miền không bị chặn không gian Banach M ụ c đ ích n g h iê n u Hệ thống lại số kết biết tính hyperbolic, hyperbolic đầy ta u t không gian phức Nghiên cứu tính ta u t yếu miền không gian Banach N h iệ m v ụ n g h iê n u Nghiên cứu dấu hiệu nhận biết tính hyperbolic, hyperbolic đầy ta u t không gian phức Nghiên cứu tính ta u t yếu miền không gian Banach Đ ố i tượng v p h m vi n g h iê n u Đối tượng nghiên cứu tính ta u t yếu miền không gian Banach Phạm vi nghiên cứu: Nghiên cứu miền không gian Banach P h n g p h p n g h iê n u Sử dụng kiến thức phương pháp nghiên cứu giải tích Thu thập, tổng hợp báo, công trình nghiên cứu nước D ự k iế n đ ó n g góp m ới Luận văn hệ thống lại: Hệ thống lại số dấu hiệu nhận biết tính hyperbolic, hyperbolic đầy ta u t không gian phức Mối quan hệ tính ta u t yếu tính hyperbolic đa tạp Banach Mối quan hệ tính ta u t yếu địa phương tính ta u t yếu miền không bị chặn không gian Banach Chương K iến thức Nội dung chương hệ thống số khái niệm giả khoảng cách Kobayashi, biểu diễn tích phân giả khoảng cách Kobayashi Sau đưa định nghĩa không gian phức hyperbolic, hyperbolic đầy tau t Định nghĩa hàm điều hòa hàm đa điều hòa 1.1 G iả khoảng cách K obayashi không gian phức Với < r < 00 ta đặt A r = {;? e bán kính r, A đĩa đơn vị c, \z\ c < r}, Ai = A gọi A r đĩa 1.1.1 G iả k h o ả n g cách Giả khoảng cách d tập X hàm d :X X X -> X (x,y) d (x,y) thỏa mãn điều kiện sau (i) d (x, y) > với x , y £ X \ (ii) d (X, y) = d (y , x) với x , y € X ; (in) d (x, y) < d (X, 2:) + d (z, y) với x , y , z € X Nếu d thỏa mãn (ii), (in) d (x, y) > với x,y e X Yầ X y d, gọi khoảng cách X G iả k h o ả n g cách K o b a y a sh i (i) Trên A ta xét mêtric Bergman - Poincaré PA cho Pa(0, a) = ln ^ + Pa (z u Z2) = ln |«lva G A z í ~ z2 1- Z ^ Z i , Vzi, Z - £ A Z 1- Z - 2:12 :2 (ii) Giả sử X không gian phức, X y hai điểm tùy ý X Xét dãy điểm Po = pi, ,pk = y X , dãy điểm ữi, ữ2, ữ j f c € A dãy ánh xạ chỉnh hình / , / 2, fk £ Hoi (A, X ) cho f i ( 0) = P i _ i / i ( ữ i ) = P i , V i = , , , Ả; Ta gọi tập hợp {po, P i, •, Pk, ữ i, , , ak, / , / 2, , fk } dây chuyền chỉnh hình nối p q X k Với dây chuyền chỉnh trên, ta lập tổng dxip, Ò) = inf p q có P a( , % —1 PA(O)ứị) Đặt theo tấ t dây chuyền chỉnh hình nối Đ ịn h n g h ĩa 2.2.5 Cho Q miền không gian Banach E Ta nối Q taut yếu địa phương với p £ dQ tồn lân cận u p cho u n Q taut yếu Đ ịn h n g h ĩa 2.2.6 Hàm gọi đa điều hòa peak địa phương điểm p e dQ u { 00} tồn lân cận V p cho (fi đa điều hòa Q n V, ỉiên tục Q n V thỏa mẫn < —00 với lân cận u p V Định lý sau cho biết mối liên hệ tính ta u t yếu tính hyperbolic đa tạp Banach Đ ịn h lý 2.2.8 Mọi đa tạp Banach X taut yếu hyperbolic Chứng minh (i) Đầu tiên, ta với Xo e X tồn lân cận u X(Ị c > cho Fỵ (x, v) > c ||i>|| với X e u V e TxX T hật vậy, trường hợp ngược lại, tồn Xo e u dãy { x n} e X , 33 x n —¥ Xq n —ì oo cho với n > 1, tồn f n G Hol ( A ,x ) , fn (0) = x n II/'„ (0)11 > n Cho {Aj }, < \Xj\ < Xj —>■0 Với n > 1, đặt Ôn (A) = n v i ỵ k với À e A 3=1 j ỡn G Hoỉ (A, A) với n > 0n (Aj) = với < j < ; 0'n (Ai) Ỷ với n > Vì với k > ta cần tìm ĩiỵ cho II/'», № (A i))0't (A,)|| = | | / 'ni (0)11 |fl't (Ằi)| > k, với k > Với gỵ = fnk.ek e Hol ( A ,x ) , ta có với j > lim gk (Aj) = lim fnk (6n (Aj)) = lim fnk (0) k = lim Xnk = x ữ Theo giả thuyết tồn dãy {gkp} = I / n fcp.ớfcpỊ {gk} hội tụ Hoỉ ( A , X ) Do sup d'kp (Al) < 00 P>1 Tuy nhiên sup P>1 o'kv (^i) = sup f'n kp ( O ) ^ ( A ! ) p 34 = 00 (ii) Bây ta k ỵ metric X Cho Pi q điểm khác X Lấy lân cận Ug q cho p ị Uq Từ (ỉ) ta chọn lân cận Vq q, Vq c Uq c > saocho F ỵ (z, v) > c ll^n với X € u V € Tx Lấy hình cầu B (q, r) c Vq Cho : [0,1] —>■X đường cong trơn phần nối q với p, (0) = q, ( ) = p Cho < s < cho ([0, s)) c B (q, r) (s)= y e d B (q, r) Thế í «/0 Fx ( ( í ) , y ( í ) ) ^ ^ / «/0 ^ ( ( í ) ,7 ; W )á í ^ c / «/o IÍV Mil ^ c ||7 (s) - (0)11 = cr > Do kx (p, q) > k*x (p 5q ) > c r > Vì kỵ metric X (in) Ta kỵ xác định tô tô X Đầu tiên ta giả sử kỵ (a;,a;o) —>■0 , x n Xo n —ì 00 Ta chọn lân cận liên thông u Xo c > cho Fx (x ì v ) > c \ \ v \ \ (1 ) với X e u V e TxX Tiếp theo ta chọn lân cận V X(Ị cho V c u Không m ất tính tổng quát ta giả sử V = B (x0,r) = {x £ E : ||rr—XqII < r} c u 35 hai Từ x n x 0, tồn dãy { y n} с { x n} cho { y n} ị в (^0, r), với n > Ta có к (yn, 0C0) = inf < F x (7 { t ) л ' W ) í : e i l 2/n5*^0 (2) Qy Xữ kí hiệu tập đường cong trơn phần : [о, ] —> X , (0) = x 0ì (1) = yn Theo (2), ta cần tìm n e ílyn,Xo cho k ỵ (Vn , z 0) > J (7„ (t ) , y n ( i ) ) d t - О Cho о < tn < cho n([ ,í„)) с в (x0ìr) y'n = n ( t n) £ d B (x0ìr ) Vì k ỵ ( y ' nì Xo) —>■ k h i n —>■ 00 Dễ dàng Xo, y'n thuộc vào и Chọn /3n G fij,/ Xữ с и cho к'х (у'п, Ю) > I F'x (ßn ( í) , /3'„ (í)) dí - ỉ Ỡ Sn > Ị F'x (ßn (í), ß'n (í)) dí - ỉ , О < sn < chọn cho ßn ([0 , sn)) с в (xo,r), ßn (sn) G d B (x0,r) Sử dụng (1) định nghĩa Fỵ ta có j F ị (ßn (í), ß'a (t ) ) d t > c j \\ß'n (í) IIdí > с \\ßa (s„) - ßn (0) Il ỡ О = cr với n > 36 Điều không xảy ra, 571 [ Fỵ (pn (t ), Ị5'n (t )) dí < k*x (yfn, Xo) + - -> n -> 00 J n o Mặt khác, từ đa tạp Banach, việc sử dụng lập luận tương tự đồng dạng giống Bổ đề 1.7 [6], ta yn —» y0 X K ỵ (yn, Vo) Đ ịn h lý 2.2.9 Giả sử Q miền không gian Banach E Nếu tồn hàm đa điều hòa peak antipeak địa phương vô cực hyperbolic Để chứng minh định lý trên, ta chứng minh bổ đề sau B ổ đề 2.2.10 Cho p ỉà điểm d£ì u {oo} Giả sử tồn hàm đa điều hòa peak antipeak địa phương ip lỊ) p, hai xác định lân cận Vp p Thế với ỉân cận u p tồn lân cận U' p cho ánh xạ chỉnh hình f : A —>■Q thỏa mãn /(0 )£ ỉ7 '(A ị) e u , A i = ị z £ A : l^l < !} Chứng minh Từ (fi hàm đa điều hòa peak địa phương tai p tồn lân cận u V p, uc V c Vp hai số dương c d (c > d) cho 37 inf If (z ) = —d zeiindu i sup (2:) = —с Kz e t l n d v hàm ỹ định nghĩa Q công thức / ỹ ( z ) = ./) (eie) < với в G [о, 27г], với a âm cho (£>./) (0) > a ta có mes (E a ) ^ 7Г Ea = [6 e [о, 27г] : ( ỹ f ) (eie) > 2a } T hật vậy, 2тг а < ( ỹ f ) (0) < i J ( £ /) ( é 9) de 2ж =Y Ị (e")ứe+h Ị Ш) (e‘e) ẵe Еа d A \E a 2ж < Y~ Ị (£ •/) (eiff) de < ^ - a m e s (ỠA\ E a) d A \E a а = —(27Г —m e s E a) 7Г 38 Do (1) mes (E a) ^ n Bây chọn số dương đủ nhỏ £ cho _inf ( cho F ịi (z , и) > с ||it||, với z G u и G E 40 chỉra rằng: Giả sử ngược lại, ta cần tìm 20 Ễ n dãy {zn} c o , zn —» zữ n —>■00, {wn} c E, ||iin|| = cho (4) n Chọn dãy {fn} G Hol (A, fì) cho /n (0) = 2„, ||/'„ (0)11 > n (5) Giả sử tồn £ > cho M = s u p { ||/'n (A)|| : |A| < £ ,n > 1} < 00 HZ' (0)11 = 2ĩli J \t\ = £ ỉn(t)àt t M Điều mâu thuẫn với (5) Do đó, ta tìm {Afc}, ^0 cho ||/nfc (Afc) II —>■00 Với fnk với biến đổi Moebius ta có họ { / nfc} G Hol (A, ũ ) cho f nk (0) = fnk (Afc) fnk (Afc) = Znk Điều mâu thuẫn với bổ đề 2.2.10 Bây ta đánh giá tính ta u t yếu miền không bị chặn không gian Banach thông qua tính ta u t yếu địa phương Đ ịn h lý 2.2.11 Giả sử Q miền không gian Danach E Giả sử taut yếu địa phương điểm biên d£ì có hàm đa điều hòa antipeak peak địa phương vô Thế miền taut yếu Chứng minh Cho {fn} £ Hoỉ (A, Q) 41 Trường hợp Giả sử tồn điểm A A dãy {dnìneA c {fn} cho lim IIgn (À)II = 00 neẢ c = L g A : lim \\gn (À) II = 00 > Từ bổ đề 2.2.10, với điểm ^ neA J À Ễ A, ta có Cho lim \\gn-hxfW = +00 neA A ị hx ĩ9 (z) X - ei9z (6) tự đẳng cấu của A Theo bổ đề 2.2.1 [5], với A e c tồn số thực dương r\ cho lim gn{A (A ,rẰ)) neA = + 00, A ( A ,r A) = { e A : | - A < rẰ| } Như c mở A Ngoài ra, (Afc)fc dãy điểm A hội tụ tới điểm À A, tính compact tập {Ak ,k > 1}U{A} suy bổ đề 2.2.1 [5], tồn số thực dương r cho với số nguyên dương k, lim ||gn || = +00 A (A,rA) Vì neA lim IIgn (À)II = + 00 Vì vậy, tập c đóng A Điều kéo neA theo c = A Vì với A e A tồn số thực dương r\ cho lim ||gn || = +00 A (A,rA) Đặc biệt, dãy (gn)neA phân kỳ tới vô neA 42 —eiBXz cực hội tụ tập compact A Vì dãy (gn)neA phân kỳ compact Trường hợp Giả sử với điểm À € A dãy {fnk} c {fn}, dãy {fn k (A)} bị chặn Trong trường hợp ta chứng minh { f n} bị chặn địa phương T hật vậy, giả sử ngược lại dãy { f n} không bị chặn địa phương, tồn A0 £ A dãy Afc, Afc —>■Ao k —>■00 dãy {fnk} dãy {fn} cho lim IIfnk (Afc)II = + 00 , Từ bổ đề 2.2.1 [5] kéo k theo lim ||/nfc./iẰfcjỡ|| = +00 k A i , h \ k g định nghĩa giống (6) Sử dụng bổ đề 2.2.1 [5] với tập compact {Ak ,k > 1}U{A0} kết luận có số dương r > cho iip ll fnk (A (Afc, r))|| = + 00 k Vì lim IIf nk (Ao)II = + 00 k Điều mẫu thuẫn với tính bị chặn dãy {fnk (Ao)} Bây giả sử {fn} không phân kỳ compact Từ định lý 2.2.9, Q hyperbolic Từ kfi giảm khoảng cách ánh xạ chỉnh hình, nên tồn Ào e A dãy {gn}neA hội tụ tới ĨQ ẽ Cho 43 c {fn} cho {gn} (X0)neA Kí hiệu C' tập điểm giới hạn c A (а) Giả sử C' ^ Từ {gn}neA bị chặn địa phương, dãy {gn}neA hội tụ tới g Hoi (A, E ) Nếu g (A) c Q Q taut yếu Trong trường hợp ngược lại, tồn Ai € A cho g (Ai) £ dQ Đặt D = {X £ A : g( X) £ d n } Bởi lập luận trên, D rỗng Ngoài ra, dễ dàng thấy D đóng A Cho A điểm D th ì p = g (A) e dQ Từ Q ta u t yếu địa phương p, tồn lận cận u p cho u n Q ta u t yếu Từ {9n}neA hội tụ tới g Hoi (A, E), tồn ỗ > cho g (A (A, ỏ)) c u n Q, với n £ A, n > n0 Từ u n Q ta u t yếu g (À) € tồn tập rời rạc s c A (A, ổ) cho g (A (A, ổ) \ S ) c dQ Ta chọn < ổi < ỏ đủ nhỏ cho g (A (A, ổi)) c ỠQ Vì thế, D mở A, D = A Vì vậy, g (A) e d£ì Điều quan trọng g (:ro) = 2)0 € n (б) Giả sử C' = Kí hiệu tập A = { u : u mở A tồn dãy { 0, 3{gn}neB c {gn}neA cho {gn}neB phân kỳ compact 44 А* (Л0,е) = {A e A : < |A - A0| < e} Giả sử ngược lại, A* (Ao, e) € Л Với к tồn dãy вк с Ả Afc : < |Afc - A0| < \ cho dãy {gn (Ằk)}neB hội tụ Hơn nữa, ta giả sử B k+1 dãy B k Bởi phương pháp đường chéo ta tìm dãy { д п} пев с { g n } neA ch° ^0 điểm giới hạn tập с = {A G A : 3\imneBgn (A)} Do lập luận {дп}пев hội tụ Hol(A, Q), Q ta u t yếu Bây cho {Ua}aeI tập thứ tự tuyến tính Л Tính Lindelof с kéo theo tồn uai < uữ2 < < uữn < cho u= UƯữ= U ua j =1 ael Bởi phương pháp đường chéo ta tìm dãy Ỉ9n}neB С {9n}neA cho phân kỳ compact u Vì и G л Ngoài ra, cách lập luận tương tự ta với dãy Ị n ^ l с {gn} phân kỳ compact Ua , tồn dãy {gn}nej с Ị n ^ l phân kỳ compact u Bây giờ, ta chứng minh họ {ưa}aej cận Cho Cüo G I, ta tìm jo cho Uaữ < и a lập luận Uaữ < u Do и cận họ {Ua}aeI Cho Ua < Uaữ với (Xj Uaữ = u M ặt khác, từ {Ua}aeI tập thứ tự tuyến tính, với ß G I Uß < Uaữ Uaữ < Uß Khi Ua0 = u , từ định nghĩa Л với quan hệ tuyến tính 45 s u y Uß < Uao v i m ọ i ß £ I, V ì yậy, Uao m ộ t c ậ n tr ê n đ ú n g c ủ a h ọ Theo bổ đề Zorn, A có m ột phần tử lớn Q Giả sử {ớn } J dãy phân kỳ compact liên quan đến Q Cho T = {X £ A \ Q : tồn dãy {gn}nej c { n } neA cho {gn (A)} eỵ hội tụ Q} Với A e T, sử dụng lập luận tương tự phần trước chứng minh ta cần tìm £ > dãy {hn}neJ c {í/n} ej cho {hn}nej phân kỳ compact A* (A,e) u Q Thế {hn}neJ phân kỳ compact A* (A,e) u Q Bởi Maxima Q, kéo theo A* (A, e) c Q Điều T rời rạc {ớn } J phân kỳ compact Q \T Từ định nghĩa tính ta u t yếu, ta kết luận Q ta u t yếu Định lý chứng minh 46 KẾT LUẬN Nội dung đề tài nghiên cứu tính ta u t yếu miền không gian Banach Đề tài hệ thống lại: Một số dấu hiệu nhận biết tính hyperbolic, hyperbolic đầy tau t không gian phức Mối quan hệ tính ta u t yếu tính hyperbolic đa tạp Banach Mối quan hệ tính ta u t yếu địa phương tính ta u t yếu miền không bị chặn không gian Banach 47 [...]... min trong khụng gian Banach ỏnh giỏ mi quan h gia tớnh ta u t yu v tớnh hyperbolic ca a tp Banach v mi quan h gia tớnh ta u t yu a phng v tớnh ta u t yu ca min khụng b chn trong khụng gian Banach õy, ta m rng khỏi nim gi khong cỏch Kobayashi trờn khụng gian Banach bng cỏch thay X l khụng gian phc nh trng hp s chiu hu hn bi X l khụng gian Banach Tuy nhiờn, gi khong cỏch Kobayashi d trờn khụng gian Banach. .. 2 Tớnh taut yu ca m in trong khụng gian Banach Vic nghiờn cu cỏc tớnh cht hỡnh hc ca min trong khụng gian phc hu hn chiu di gúc ca gii tớch phc hyperbolic ó t c nhiu kt qu Tuy nhiờn vic kho sỏt mt cỏch h thng cỏc tớnh cht hỡnh hc ca min trong khụng gian Banach vụ hn chiu cũn ớt c quan tõm Ta cú th thy ngay rng s xut hin nhng khú khn ln v m t k thut khi chuyn t vic nghiờn cu min trong khụng gian phc... Chng hn i vi min trong khụng gian Banach ta khụng cú c tớnh compact a phng cng nh khụng xõy dng c khỏi nim ta u t theo kiu Wu cho lp min ny Vỡ vy, trong khụng gian Banach ngi ta a ra khỏi nim tớnh ta u t yu Mc ớch ca chng ny l ỏnh giỏ mi quan h gia tớnh ta u t yu v tớnh hyperbolic ca a tp Banach v mi quan h gia tớnh ta u t yu a phng v tớnh ta u t yu ca min khụng b chn trong khụng gian 22 Banach Trc ht,... chn trong c n m khụng l min tau t ng thi Rosay ó xõy dng mt min trong c 3 l ta u t m khụng l hyperbolic y Di õy l nh lý Kiernan n h lý 1.4.3 (i) Mi min taut trong khụng gian phc X l min hyperbolic (ii) Mi min hyperbolic y trong khụng gian phc X cng l min taut (Ui) Cỏc khng nh ngc li u khụng ỳng chng minh nh lý Kiernan, ta a vo mt s khỏi nim sau: Gi s p v q l hai im phõn bit ca min M trong khụng gian. .. gian phc Khụng gian con X c Y c gi l hyperbolic y a phng trong Y nu mi im p Ê X cú lõn cn Vp trong Y sao cho Vp n X l hyperbolic y (ii) c gi l Cartier divisor trong khụng gian phc Y nu vi mi im X Ê A c lõn cn V trong Y sao cho A n v c xỏc nh bi / = 0 , ú / l hm chnh hỡnh trờn V n h lý 2.1.11 Gi s Y l khụng gian phc v l Cartier divisor ca Y Th thỡ (i) Y l hyperbolic y a phng trong Y ; (ii)... con m ca tớch cỏc a a 1.3 K hụng gian hyperbolic y n h n g h a 1.3.1 Khụng gian phc X c gi l hyperbolic y nu mi dóy Cauchy i vi d u hi t trong X V ớ d 2 Cỏc a v a a l hyperbolic y Kobayashi [2] ó chng minh rng, nu X l khụng gian phc hu hn chiu thỡ X l hyperbolic y khi v ch khi mi tp con úng b chn trong X u l compact 1.4 K hụng gian phc Taut Gi s X , Y l cỏc khụng gian phc Trờn Hol (X , Y ) ta trang... khụng gian Banach vụ hn chiu cha mt min Q sao cho da l khong cỏch, nhng dfi khụng xỏc nh tụ pụ ca Q Vỡ vy ta cú nh ngha sau n h n g h a 2 2 1 Khụng gian gii tớch Banach X c gi hyperbolic nu gi khong cỏch Kabayashi d l khong cỏch v xỏc nh tụ pụ ca X n h n g h a 2.2.2 Khụng gian gii tớch banach X c gi hyperbolic y nu mi dy Cauchy i vi d u hi t trong X Kobayashi [2] ó chng minh rng, nu X l khụng gian. .. mi tp con úng b chn trong X u l compact 30 Trong trng hp X l vụ hn chiu thỡ nh lý Kobayashi khụng cũn ỳng na, vỡ khụng gian Banach vụ hn chiu khụng cú tớnh compact a phng Ging nh trng hp hu hn, vi X Ê X v V Ê TVX gi metric vi phõn Kobayashi - Vesentini F (x,v) c xỏc nh Fx (x,v) = inf | r > 0, 3 / H o l( A r, X ) sao cho /(0 ) = X v /'(0 ) = - Trong trng X l min trong khụng gian Banach, Vesentini ó... xỏc nh trong ú 7 l ng cong trn tng khỳc ni p vi q k (p , q) l gi khong cỏch trờn X v k (p , q) l gim di ỏnh x chnh hỡnh Do ú k (p, q) < kx (V, q) vi mi p, q e X Vỡ khụng gian Banach khụng cú tớnh compact a phng, nờn ta khụng xõy dng c khỏi nim ta u t theo kiu Wu cho lp min ny Sau õy, ta m rng khỏi nim ta u t sang khụng gian Banach v gi l ta u t yu n h n g h a 2.2.3 Khụng gian Banach X c gi l taut yu... l taut Ly Pn l mt im thuc Y ng vi an e A n, tc l Pn e A n v dy (Pn 1ỡPn) < d A n (0 ,an) trong ú o l gc ca A n (ta cú th chn Pn = CLn) Khi ú dóy {pn} phõn k trong Y nhng li l dóy Cauchy vỡ dY (pn - l,Pn) < d A n (0, an) = Vy Y khụng l hyperbolic y ng thi Rosay ó xõy dng mt min trong c 3 l ta u t m khụng l hyperbolic y Cũn khụng gian X = 5 2(0 ,1 )\ { ( |; o ) } l hyperbolic nhng khụng l taut (trong