Mối liên hệ giữa vành tựa morphic và một số lớp vành

Bộ giáo dục và đào tạo tr ờng đại học vinh phan anh tuấn mối liên hệ giữavành tựa morphic và một số lớp vành luận văn thạc sĩ toán học VINH - 2007 1 1 Mục lục trang mở đầu 2 Chơng 1 : Các khái niệm cơ sở 5 1.1. Môđun 5 1.2. Căn và đế của vành 7 1.3. Vành nửa đơn 7 1.4. Vành địa phơng, vành nửa địa phơng 8 1.5. Vành chính quy 9 1.6. Vành nửa hoàn chỉnh, vành hoàn chỉnh 9 1.7. Linh hóa tử và Iđêan suy biến 10 1.8. Điều kiện chuỗi trên vành 11 Chơng 2 : Vành tựa morphic và mối liên hệ với một số lớp vành 12 Đ1 Vành tựa morphic trái và một số kết quả 12 1.1 Phần tử tựa morphic trái 13 1.2 Vành tựa morphic trái 14 Đ2 Vành tựa morphic 23 2.1 Vành tựa morphic 23 2.2 Quan hệ của vành tựa morphic và một số lớp vành khác 27 Kết luận của luận văn 32 Tài liệu tham khảo 33 mở đầu 2 2 Trong Toán học cao cấp nói chung và Đại số nói riêng, Lý thuyết Vành chiếm một vị trí rất quan trọng. Ngoài các lớp vành lớp vành khá quen thuộc hiện nay nh vành nửa đơn, vành tựa Frobenius (QFvành), vành Actin, vành Norther, vành nửa nguyên tố, vành nửa nguyên sơ còn có nhiều lớp vành mới đợc nghiên cứu và đạt đợc nhiều kết quả sâu sắc. Một vấn đề đ- ợc đặt ra đó là mối quan hệ giữa một số lớp vành nh thế nào và trên mối quan hệ đó các tính chất của các lớp vành đợc thể hiện nh thế nào? Theo hớng này, dới sự hứớng dẫn của thầy giáo PGS.TS Ngô Sỹ Tùng và dựa trên cơ sở bài báo của V. Camillo và W.K.Nicholson là Quasi-morphic Rings, preprint, xem [10]. Chúng tôi đã tập trung nghiên cứu về lớp vành tựa- morphic và mối liên hệ của lớp vành này với một số lớp vành khác và tên của đề tài luận văn là Mối liên hệ giữa vành tựa-morphic và một số lớp vành. Luận văn đợc chia làm hai chơng nh sau Chơng I Trình bày các khái niệm cơ sở. Chơng II. Giới thiệu về lớp vành tựa morphic và mối liên hệ giữa vành tựa - morphic với một số lớp vành. Nội dung chính của chơng II dựa trên cơ sở là bài báo của V.Camillo và W.K.Nicholson về lớp vành - tựa morphic trái và tựa - morphic. Trong bài báo này, tác giả V.Camillo và W.K.Nicholson đã nêu lên khái niệm của vành tựa - morphic trái và phải, vành tựa- morphic và từ đó nêu lên mối quan hệ giữa vành tựa - morphic trái, vành tựa-morphic với một số lớp vành nh vành chính quy, vành hữu hạn trực tiếp, vành p - nội xạ, vành hoàn chỉnh phải, vành đặc biệt trái, vành Kasch trái, vành nửa địa phơng, vành morphic. Chơng này chia làm hai phần. Tiết 1. Nêu lên các khái niệm và một số kết quả về lớp vành tựa - morphic trái. 3 3 Tiết 2. Chúng tôi trình bày định nghĩa và giới thiệu một số tính chất nội tại của vành tựa morphic và thông qua đó để tìm ra mối quan hệ giữa vành tựa morphic với một số lớp vành khác nh vành morphic, vành bezout, vành nửa hoàn chỉnh, vành iđêan chính. Tiết này chia làm hai phần . Phần 1. Vành tựa morphic Phần 2. Quan hệ giữa vành tựa morphic và một số lớp vành khác. Luận văn đợc thực hiện tại trờng Đại Học Vinh dới sự hớng dẫn tận tình của PGS.TS Ngô Sỹ Tùng. Nhân dịp này, chúng tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy giáo hớng dẫn - ngời đã dành cho chúng tôi sự chỉ bảo tận tình, nghiêm khắc và đầy lòng nhân ái. Trong suốt quá trình học tập và viết luận văn, chúng tôi đã nhận đợc những đóng góp quý báu và sự tận tình chỉ bảo của GS.TS. Nguyễn Quốc Thi, PGS.TS. Lê Quốc Hán, PGS.TS. Nguyễn Thành Quang, TS. Chu Trọng Thanh, TS. Mai Văn T, TS. Nguyễn Thị Hồng Loan. Chúng tôi xin chân thành cảm ơn các thầy giáo, cô giáo. Cũng nhân dịp này, chúng tôi xin đợc cảm ơn các thầy giáo, cô giáo trong Khoa Toán, Khoa Đào tạo Sau Đại Học - Trờng Đại Học Vinh và tất cả bạn bè đồng nghiệp đã động viên giúp đỡ, tạo điều kiện thuận lợi để chúng tôi hoàn thành luận văn đúng kế hoạch. Đặc biệt chúng tôi xin gửi lời cám ơn tới tổ seminar của nghiên cứu sinh Lê Văn An đã tận tình trao đổi giúp đỡ chúng tôi trong quá trình nghiên cứu luận văn. Chúng tôi cũng xin gửi lời cảm ơn chân thành tới Ban giám hiệu trờng THPT Phan Đăng Lu, tổ toán tin, cùng đồng nghiệp đã hết lòng tạo điều kiện để chúng tôi hoàn thành công việc của mình. 4 4 Cuối cùng, chúng tôi mong đợc sự góp ý của các thầy giáo, cô giáo cùng tất cả các bạn. Vinh, tháng 11 năm 2007 Tác giả 5 5 chơng I Các khái niệm cơ sở Trong chơng này chúng tôi sẽ đa ra những định nghĩa và các kết quả cơ bản liên quan đến luận văn. Các khái niệm, tính chất cơ bản và kí hiệu trong luận văn chủ yếu đợc dựa theo [4] , [5], [8]. Các vành luôn đợc giả thiết là vành kết hợp, có đơn vị. Các môđun trên một vành luôn đợc hiểu là các môđun phải unita (nếu không nói gì thêm). Ta viết RR R,R để chỉ R - môđun trái và R - môđun phải R . 1.1. Môđun 1.1.1. Môđun con tối đại Môđun con A của môđun M đợc gọi là môđun con tối đại nếu MA và nó không chứa trong một môđun con thực sự nào của M . 1.1.2. Môđun đơn Cho M là R môđun phải, môđun M đợc gọi là môđun đơn nếu 0 M và chỉ có hai môđun là 0 và M . Ví dụ. 2 Z là Z môđun đơn 1.1.3. Môđun nửa đơn Cho M là R môđun phải, môđun M đợc gọi là môđun nửa đơn nếu nó là tổng của những R môđun đơn. Ví dụ. 1) Môđun 0 là môđun nửa đơn. 2) Mỗi môđun đơn là một môđun nửa đơn. 1.1.4. Môđun con cốt yếu 6 6 Cho M là R môđun phải và N là một môđun con của M . Môđun N đợc gọi là cốt yếu trong M kí hiệu là MN e , nếu với mọi môđun con MK , 0 K thì 0 KN . Khi đó ta nói M là mở rộng cốt yếu của N . Chú ý. Khi 0=A , MN e thì ta quy ớc 0 = M . Ví dụ. a) Với mọi môđun M thì MM e b) Xét vành các số nguyên Z , ta có A=nZ e Z, 0 n . Thật vậy, lấy bất kì e B 0 Z, khi đó mB = Z với m0 Z. Khi đó = ZZ mnBA mn 0 . Do đó 0 BA . Vậy 0 n,n e ZZ . 1.1.5. Song môđun Cho R và S là hai vành. Nhóm M là song môđun nếu M vừa là R môđun trái và S môđun phải thoả mãn phép nhân vô hớng r(xs)=(rx)s với MxSsRr ,, . 1.1.6. Căn và đế của môđun Cho M là R môđun phải (1) Ta gọi giao của tất cả của những môđun con tối đại của M là căn Jacobson (hay đơn giản là căn) của môđun M và kí hiệu bởi Rad( M ). (2) Ta gọi tổng của tất cả các môđun con đơn của M là đế của môđun R M và kí hiệu bởi Soc( M ) 7 7 Ví dụ. Giả sử K là một thể, xem K K nh một K - không gian véctơ, Rad( K K ) = 0 vì 0 là môđun con tối đại duy nhất của K K . Soc( K K ) = K K vì K là môđun con đơn của K K . 1.2. Căn và đế của vành (1) Đối với mỗi vành R , căn Jacobson (hay đơn giản là căn) của nó đ- ợc viết tắt là Rad( R ) hoặc J(R) = J . (2) Đế phải Soc( R ) là iđêan phải của R đợc sinh bởi iđêan phải tối tiểu của R Đế trái Soc( R ) là iđêan trái của R đợc sinh bởi iđêan trái tối tiểu của R. 1.3. Vành nửa đơn Để định nghĩa vành nửa đơn ta cần một vài khái niệm và mệnh đề sau 1.3.1.Định nghĩa. Giả sử R là một vành Re đợc gọi là phần tử luỹ đẳng nếu ee = 2 Ta gọi hai phần tử luỹ đẳng e 1 , e 2 trực giao nếu e 1 e 2 = 0 = e 2 e 1 . 1.3.2. Mệnh đề. Giả sử R là một vành, R R là môđun nửa đơn, Re , e lũy đẳng. Khi đó : e R là môđun đơn khi và chỉ khi R e là môđun đơn. 1.3.3. Định nghĩa. Vành R đợc gọi là vành nửa đơn nếu R R ( hay R R ) là môđun nửa đơn. Ví dụ. Mỗi thể là một vành nửa đơn 1.4. Vành địa phơng, vành nửa địa phơng 8 8 1.4.1. Định nghĩa. Vành R đợc gọi là vành địa phơng nếu )(RRadR là một thể. 1.4.2.Định lí. Đối với mỗi vành R các mệnh đề sau là tơng đơng (a) R là một vành địa phơng. (b) Rad( R ) là iđêan phải (trái) tối đại. 1.4.3. Định nghĩa. Vành R đợc gọi là vành nửa địa phơng nếu JR là vành nửa đơn. Ví dụ. 1) Vành nửa đơn là vành nửa địa phơng 2) Vành địa phơng là vành nửa địa phơng 1.4.4. Định lí. Nếu R là vành nửa địa phơng thì với mọi R M ta có 1) MJMRad = )( 2) ( ) { } JrxrmxJlMSoc M === ,)( 0 1.5. Vành chính quy 1.5.1. Định nghĩa. Vành R đợc gọi là vành chính quy nếu với mỗi Rr tồn tại r sao cho rrrr = . Ví dụ. 1) Mỗi thể đều là vành chính quy 2) Mỗi vành nửa đơn đều là vành chính quy 1.5.2. Mệnh đề. Nếu R là vành chính quy thì 0 = )(RRad . 1.6. Vành nửa hoàn chỉnh vành hoàn chỉnh (1) Một môđun M đợc gọi là nửa hoàn chỉnh nếu mọi ảnh đồng cấu của M đều có bao xạ ảnh. 9 9 (2) Một môđun M đợc gọi là hoàn chỉnh nếu mọi tập chỉ số A , ( ) A M là nửa hoàn chỉnh. (3) Một vành R đợc gọi là nửa hoàn chỉnh nếu mọi R môđun phải hữu hạn sinh đều có bao xạ ảnh. (4) Một vành R đợc gọi là hoàn chỉnh phải nếu mọi R - môđun phải đều có bao xạ ảnh. 1.6.1. Định lý Bass Cho R là một vành với J = J( R ). khi đó các mệnh đề sau tơng đơng: (a) R là vành hoàn chỉnh trái (b) R/J là nửa đơn và J là J_lũy linh trái (c) R/J là nửa đơn và mọi R_môđun trái khác 0 đều chứa một môđun con tối đại (d) Mọi R_môđun trái phẳng là xạ ảnh (e) R thỏa mãn điều kiện cực tiểu cho Iđean phải chính (f) R chứa tập lũy đẳng trực giao hữu hạn và mọi R_môđun phải chứa một môđun con cực tiểu. Xem [4]. 1.7. Linh hoá tử và iđêan suy biến 1.7.1 Linh hoá tử 1.7.1.1. Định nghĩa. Cho M là R môđun phải và Mm 1. Tập hợp ( ) { } 0 == mrRmmr R đợc gọi là linh hoá tử của phần tử m và viết gọn r(m) 10 10