Mối liên hệ giữa hình học afin và hình học xạ ảnh

-1Mục lục Mục lục Lời nói đầu Đ1 Mô hình xạ ảnh không gian afin Đ2 Phép biến đổi An Đ3 Siêu mặt bậc hai An Đ4 ứng dụng mô hình An Đ5 Mô hình afin không gian xạ ảnh Đ6 Phép biến đổi PAn Đ7 ứng dụng mô hình PAn Kết luận Tài liệu tham khảo Trang 12 17 29 32 36 43 44 -2- Lời nói đầu Nh đà biết từ không gian afin đà cho ta xây dựng mô hình không gian xạ ảnh Ngợc lại, từ không gian xạ ảnh ta xây dựng đợc mô hình không gian afin Nh hai không gian afin không gian xạ ảnh cã sù liªn quan mËt thiÕt víi Bëi vËy, hiển nhiên hình học afin hình học xạ ảnh có liên hệ Trong số giáo trình hình học cao cấp đà đề cập đến mối quan hệ Trong luận văn này, tổng hợp, hệ thống mối quan hệ số tính chất afin với tính chất xạ ảnh ứng dụng chúng Nội dung luận văn đợc chia làm mục: Đ1 Mô hình xạ ảnh không gian afin Trong mục này, trình bày thể afin nh: mục tiêu toạ độ, phẳng, tỉ số kép Đ2 Phép biến đổi An trình bày phép biến đổi afin thể afin phép thấu xạ Đ3 Siêu mặt bậc hai An Trong mục này, tiếp tục trình bày thể afin siêu mặt bậc hai khái niệm: tâm, phơng tiệm cận, đờng tiệm cận sau thể afin đờng cônic, mặt trái xoan mặt kẻ bậc hai Đ4 ứng dụng mô hình An Trong mục này, trình bày ứng dụng mô hình A n để chuyển số định lý không gian xạ ảnh thành định lý không gian afin nh: Định lý Paquýt, Định lý Đơdac thứ Đ5 Mô hình afin không gian xạ ảnh Trong mục này, trình bày thể xạ ảnh nh: Mục tiêu toạ độ afin, phẳng vị trí tơng đối phẳng, tỉ số đơn Đ6 Phép biến đổi PAn trình bày phép biến đổi xạ ảnh thể xạ ảnh số phép biến đổi afin đặc biệt nh: phép m-thấu xạ, phép thấu xạ trợt Đ7 ứng dụng mô hình PAn -3- Qua mục trình bày ứng dụng mô hình PAn để chuyển số toán afin thành toán xạ ảnh Luận văn đợc hoàn thành Khoa Toán trờng Đại học Vinh với hớng dẫn nhiệt tình TS Nguyễn Hữu Quang Nhân dịp xin đợc bày tỏ lòng biết ơn chân thành đến thầy Đồng thời xin cảm ơn thầy cô giáo, gia đình bạn bè đà tận tình giúp đỡ suốt trình học tập rèn luyện trờng Đại học Vinh Do thời gian có hạn nên chắn luận văn không tránh khỏi thiếu sót Tôi mong nhận đợc đánh giá, phê bình góp ý thầy cô giáo bạn bè Tôi xin chân thành cảm ơn Vinh, ngày 30 tháng năm 2002 Sinh viên: Lê Thị Quỳnh Phơng Đ1 Mô hình xạ ảnh không gian afin 1.1 Xây dựng mô hình Nh đà biết (xem 2), từ không gian xạ ảnh P n ta bỏ siêu phẳng xây dựng phần lại thành không gian afin Bằng cách ta đợc mô hình xạ ảnh không gian afin Giả sử Pn không gian xạ ảnh liên kết với không gian vectơ thực Vn+1 Pn-1 siêu phẳng Pn Ta đặt An = Pn\ Pn-1 Trong Pn ta chän mơc tiªu { A1,A2,…,An+1;E} cho A1, A2,…, An thuộc Pn-1 Khi Pn-1 có phơng trình: xn+1 = Nếu điểm X thuộc An có toạ độ (x1, x2,…, xn+1) th× xn+1  Ta ký hiƯu: Xi = xi , i = 1,2,…,n (Xi  R) Khi ®ã bé sè (X1, X2,…., Xn) gäi lµ x n toạ độ không điểm X viÕt lµ X = (X 1, X2,…, Xn,) Râ -4rµng có song ánh từ tập An vào Rn cách cho điểm thuộc An tơng ứng với toạ độ không Ký hiệu: XY vect¬ (Y1 - X1, Y2 - X2,…, Yn - Xn,) Rn, X,Y điểm An mà X = (X1, X2,,Xn), Y= (Y1,Y2,,Yn) Ta đặt : AnxAn Rn (X,Y) XY Khi ánh xạ thoà mÃn tiên đề không gian afin ThËt vËy: * X An, X = (X1, X2,…, Xn) vµ  v = (V1, V2,…, Vn)  Rn   ! (Y1, Y2,…, Yn ), víi Yi = Xi + Vi, (i=1,2,…,n) Sao cho (X,Y) = v *  X,Y,Z  An : X = (X1, X2,…, Xn) Y = (Y1, Y2,…, Yn) Z = (Z1, Z2,…, Zn)  (X,Z) = XZ = (Z1-X1, Z2-X2,…, Zn-Xn) = (Z1-Y1, Z2-Y2,…, Zn-Yn) + (Y1-X1, Y2-X2,…, Yn-Xn) = YZ + XY = (Y,Z) + (X,Y) n Vậy A không gian afin n- chiều liên kết với không gian véctơ R n ánh xạ liên kết Ta gọi An mô hình xạ ảnh không gian afin Chú ý: Từ Đ1 đến Đ4 ta dùng ký hiệu An nghĩa mô hình xạ ảnh không gian afin Pn-1 gọi siêu phẳng vô tận A n có phơng trình là: xn+1 = 1.2 Mục tiêu toạ độ afin An Vẫn xét mục tiêu xạ ảnh Pn nh Gọi Ei giao điểm đờng thẳng AiAn+1 với siêu phẳng Pi qua tất đỉnh mục tiêu trừ điểm Ai An+1(i=1,2,,n) Khi dễ dàng suy toạ độ điểm Ei (0,0,,1,0,0,,0) Vì toạ độ không điểm E i An+1 là: E1 = (1,0,…,0) E2 = (0,1,…,0) En = (0,0,…,1) An+1 = (0,0,…,0) -5- Nếu đặt A n E i e i (i=1,2,,n) {An+1;E1,E2,,En} mục tiêu afin An đợc gọi mục tiêu afin sinh mục tiêu xạ ảnh {A 1,A2, ,An+1;E} Nếu XAn,X = (X1, X2,…, Xn) th×: A n 1 X X e  X e   X n e n Suy (X1,X2,,Xn) toạ độ afin X mục tiêu afin sinh mục tiêu xạ ảnh 1.3 Các phẳng An Giả sử r-phẳng Pn không nằm Pn-1 Khi = \ Pn-1 r-phẳng afin An Thật vậy, với mục tiêu xạ ảnh nh trên, giả sử r-phẳng có phơng trình: n 1 a j 1 ij x j 0 , i = 1,2,…,n-r (1.1) Trong ®ã ma trËn (aij)n-r x n+1 có hạng n-r Vì phẳng không nằm Pn-1 nên ta thêm vào hệ phơng trình (1.1) phơng trình thứ n-r+1 x n+1=0 ta đợc hệ n-r+1 phơng trình độc lập mà ma trận hệ số có hạng n-r+1 Do ma trËn (a ij)n-r x n cã h¹ng b»ng n-r Với điểm X thuộc có toạ độ X(x1,x2,,xn+1) xn+1 (x1,x2,,xn+1) nghiệm hệ phơng trình (1.1) Vì toạ độ không X thoà mÃn hệ phơng trình: n a j ij X j  a in 1 0 , i=1,2,…, n - r (1.2) Tõ (1.2) suy ’ lµ r - phẳng afin An Nh đà biết, với hai phẳng phân biệt Pn chúng cắt chéo Bây ta xét vị trí tơng đối phẳng An Giả sử phẳng phân biệt Pn (không nằm Pn-1) có số chiều tơng ứng m,k (m k) Ta ý đến khả sau: * Nếu Pn-1 Pn-1 phẳng afin song với Thật vậy: Giả sử có phơng trình: -6- n a j 1 ij x j 0, i = 1,2,…,n-m Pn-1 có phơng trình: n a x 0, i 1,2, , n  m  ij j  j1   x n 1 0 V× không nằm Pn-1 nên ma trận (aij)n-m x n có hạng n-m Tơng tự; có phơng tr×nh: n 1 b j1 ij x j 0 , i=1,2,,n-k Pn-1 có phơng trình: n b x 0, i 1,2, , n  k  ij j  j 1   x n Phơng trình lần lợt lµ: n a j 1 ij X j  a in 1 0 , i=1,2,…,n-m n b j 1 ij X j  b in 1 0 , i=1,2,…,n-k Do Pn-1 Pn-1 nên phơng trình Pn-1 hệ phơng trình cđa   Pn-1 V× vËy '  ' hay ’ song song víi ’ * NÕu    = , r-phẳng (r < m) P n-1 chéo Thật vậy, giả sử phẳng , , tơng ứng với không gian vectơ m+1 V , Vk+1, Vr+1 = Vm+1 Vk+1 Khi có phơng tơng ứng k Vn ' V m V n , ' V Từ đẳng thøc: (Vm+1  Vn)  (Vk+1 Vn) = (Vm+1 Vk+1)  Vn Suy ra: '  ' V hay ’ không song song với Mặt khác, =   \ Pn-1 =  VËy ’ vµ ’ chÐo * NÕu    lµ mét r - phẳng (r < m) không nằm Pn-1 phẳng cắt theo r - phẳng Kết đợc suy từ đẳng thức: = (\Pn-1)  (\Pn-1) = (  )\Pn-1 r 1 -7Nh vËy, hai phẳng phân biệt cắt P n (không nằm Pn-1) sau bỏ điểm thuộc Pn-1 ta thu đợc phẳng afin tơng ứng song song chéo cắt Hơn nữa, phẳng xạ ảnh chéo An phẳng afin tơng ứng chéo 1.4 Tû sè kÐp An Trong An cho bốn điểm phân biệt A, B, C, D thẳng hàng Đối với mục tiêu đà chọn, giả sử toạ độ điểm A B là: A(a 1, a2, …, an, 1), B(b1, b2, …, bn, 1) Khi ®ã toạ độ C D là: C(k1a1 + l1b1, k1a2 + l1b2, …, k1an+ l1bn, k1 + l1) D(k2a1 + l2b1, k2a2 + l2b2, …, k2an + l2bn, k2 + l2) Trong Pn, tû sè kÐp cña A, B, C, D lµ: [A, B, C, D] = l1 l : k1 k Toạ độ afin A, B, C, D An lµ: A = (a1, a2, …, an); B =(b1, b2, …, bn); C = (c1, c2, …, cn); D = (d1, d2, …, dn) Trong ®ã: ci  k a i  l1 b i ; k  l1 di  k 2a i  l2 bi , k  l2 i = 1, 2,…, n Suy ra: a i  ci  l1  a i  b i   k a  b  ; b i  c i  i i , i = 1, 2, …, n k  l1 k  l1 Do ®ã, CA  l1 l CB hay (A,B,C) = - k1 k1 T¬ng tù ta cã: (A, B, D) =  V× vËy: [A, B, C, D] = l2 k2 ( A, B, C) ( A, B, D) VËy An ta cã thÓ xem tỷ số kép bốn điểm thẳng hàng A, B, C, D lµ tû sè cđa hai tû sè đơn (A, B, C) (A, B, D) Đ2 Phép biÕn ®ỉi An 2.1 PhÐp biÕn ®ỉi An Trong Pn, ta xét phép biến đổi f: Pn Pn mà f(Pn-1) = Pn-1 Giả sử phơng trình f mục tiêu đà chọn là: -8- n 1 kx 'i  a ij x j , i = 1, 2, …, n+1; k  j Vì f(Pn-1) = Pn-1 nên xn+1 = x 'n Do từ phơng trình sau hệ ta suy an+1i = (i = 1, 2, …, n) VËy ph¬ng trình f có dạng: kx ' n a x , i 1,2, , n  i ij j  j1  kx '  n 1 a n 1 n 1 x n 1 Trong ®ã hạng ma trận (aij)nn = n an+1 n+1, k  Do f(Pn-1) = Pn-1 nªn f(An) = An Bởi ta có ánh xạ f = f | A : An  An n B»ng c¸ch chun từ toạ độ xạ ảnh điểm A n thành toạ độ afin phơng trình cđa f’ lµ: n X 'i  a 'ij X j  a 'i n 1 , i = 1, 2, …, n j1 Chó ý: a 'ij  a ij a n 1 n 1 vµ ma trËn (a 'ij ) nn cã h¹ng b»ng n Suy f’ phép biến đổi afin An Nh vậy, với phép biến đổi afin P n mà giữ nguyên siêu phẳng sinh An mét phÐp biÕn ®ỉi afin 2.2 PhÐp thÊu xạ An Định nghĩa: Một phép biến đổi xạ ảnh f: Pn Pn không gian xạ ảnh Pn gọi phép thấu xạ có siêu phẳng cho điểm điểm kép Siêu phẳng gọi phép thÊu x¹ NhËn xÐt: * NÕu phÐp thÊu x¹ f: Pn Pn phép đồng sÏ cã mét ®iĨm kÐp O nhÊt cho đờng thẳng qua O biến thành Điểm O nh gọi tâm phép thấu xạ * Một phép thấu xạ f đợc xác định biết tâm thấu xạ, thấu xạ cặp điểm tơng ứng M, M = f(M) (M M) * Nếu M không điểm kép f B = OM Pn-1 [M,M,O,B] không phụ thuộc vào M giá trị đợc gọi tỷ số thấu xạ phép thấu xạ f, ký hiệu là: k = [M,M,O,B] Sau ta xÐt mét sè thĨ hiƯn afin cđa phÐp thÊu x¹ An 2.2.1 Phép thấu xạ có tâm không thuộc nỊn -9* NÕu ta chän Pn-1 trïng víi nỊn phép thấu xạ gọi B giao OM Pn-1 An ta có: (M, M’, O) = [M,M’,O,B] = k Suy OM'  OM k VËy f sinh An phép vị tự f tâm O, tỷ số k * Nếu chọn Pn-1 siêu phẳng qua O, kh«ng trïng víi nỊn  cđa f, ®ã An: (M’, M, B) = [M’, M, B, O] = k Suy BM' k BM Ngoµi ra, MM' phơng với vectơ v ( v , v , , v ) sinh bëi “®iĨm vô tận O Vậy phép thấu xạ f sinh A n mét phÐp thÊu x¹ afin f’ víi , phơng thấu xạ v (sinh điểm vô tận O), tỷ số thấu xạ k Trờng hợp đặc biệt k = -1 Khi BM' BM nên f phép đối xứng xiên qua siêu phẳng theo phơng véctơ v (sinh điểm vô tận O) n 2.2.2 Phép thấu xạ có tâm thuộc * Nếu tâm thấu xạ O thuộc phép thấu xạ f với cặp điểm tơng ứng M, M N, N M M cắt NN' O, MN cắt MN điểm I thuộc Nếu chọn Pn-1 trùng với An, MMNN' hình bình hành Từ suy f sinh An mét phÐp tÞnh tiÕn * NÕu chän Pn-1 siêu phẳng qua O, không trùng với An với cặp điểm tơng ứng điểm kép f M, M N, N MM NN' song song với Nh vËy, phÐp thÊu x¹ f sinh An phép thấu xạ trợt afin với siêu phẳng phơng v =(v1, v2, , vn) sinh bëi ®iĨm O (v1, v2, …, vn, 0) 2.3 Phép thấu xạ m - cặp Trong Pn cho m - phẳng U(0 m n-1) (n - m - 1) - phẳng V chéo Cặp (U, V) nh gọi m cặp Định nghĩa: Cho m - cỈp (U, V) Pn mét phÐp biến đổi f:PnPn cho điểm U V điểm kép f đợc gọi phép thấu xạ m - cặp hay m - thấu xạ Các phẳng U V gọi phẳng thấu x¹ cđa phÐp m - thÊu x¹ f - 10 Mệnh đề: Giả sử f: PnPn phép m- thấu xạ (khác phép đồng nhất) với phẳng thấu xạ U V Khi với điểm M không thuộc U V đờng thẳng MM (M = f (M)) cắt U V tơng ứng A B cho [M, M, A, B] = k không phụ thuộc vào vị trí M gọi tỷ số thấu xạ Chứng minh: Xem Ta h·y xÐt mét thĨ hiƯn afin cđa phÐp m - thÊu x¹ An Chän Pn-1 cho Pn-1 chøa V Khi ®ã An: (M, M’, A) = [M, M’, A, B] = k Suy AM'  AM k Ngoµi ra, MM' thuéc  ( không gian n - m chiều sinh bëi V) VËy phÐp m - thÊu x¹ f sinh An mét phÐp m - thÊu xạ afin f với sở m - phẳng afin phơng thấu xạ phơng (n - m) - chiều xác định (n - m - 1) - phẳng vô tận V, tỷ số thấu xạ k Đ3 Siêu mặt bậc hai An Giả sử S siêu mặt bậc Pn có phơng trình mục tiêu đà chọn lµ: n 1 a i , j1 ij x i x j Ta đặt S = S \ Pn-1 Lúc điểm S có toạ ®é afin tho· m·n: n a i , j1 n ij X i X j  2 a in 1 X i  a n 1n 1 0 i Nếu aij không đồng thời (i,j = 1,2,,n) S mặt siêu mặt bậc hai An Khi ta nói siêu mặt bậc hai xạ ảnh S sinh siêu mặt bậc hai afin S Sau ta xét thể afin siêu phẳng đối cực, siêu phẳng tiếp xúc siêu mặt bậc hai xạ ảnh liên quan đến khái niệm: Tâm, tiệm cận siêu mặt bậc hai afin Chú ý: * Định nghĩa, tính chất điểm liên hợp, siêu phẳng đối cực (xem 2) * Hai điểm An gọi liên hợp với S chúng liên hợp với S ... hình học afin hình học xạ ảnh có liên hệ Trong số giáo trình hình học cao cÊp ®· ®Ị cËp ®Õn mèi quan hƯ ®ã Trong luận văn này, tổng hợp, hệ thống mối quan hệ số tính chất afin với tính chất xạ. .. từ không gian afin đà cho ta xây dựng mô hình không gian xạ ảnh Ngợc lại, từ không gian xạ ảnh ta xây dựng đợc mô hình không gian afin Nh hai không gian afin không gian xạ ảnh có liên quan mật... không gian afin n- chiều liên kết với không gian véctơ R n ánh xạ liên kết Ta gọi An mô hình xạ ảnh không gian afin Chú ý: Từ Đ1 đến Đ4 ta dùng ký hiệu An nghĩa mô hình xạ ảnh không gian afin Pn-1