Mối quan hệ giữa hình học afin và hình học xạ ảnh

Mục lục Mục lục Lời nói đầu Trang Đ1 Một số yếu tố hình học afin Đ2 Một số yếu tố hình học xạ ảnh Đ3 Mô hình afin không gian xạ ảnh 12 Đ4 Mô hình xạ ảnh không gian afin 17 Đ5 ứng dụng mô hình Lời kết Tài liệu tham khảo 26 38 39 Lời nói đầu Qua việc nghiên cứu hình học afin hình học xạ ảnh cho ta thấy từ không gian afin đà cho ta xây dựng đợc mô hình không gian xạ ảnh, ngợc lại từ không gian xạ ảnh ta xây dựng đợc không gian afin Nh không gian afin không gian xạ ¶nh cã mét sè mèi quan hƯ mËt thiÕt víi Do hình học afin hình học xạ ảnh có quan hệ với nhau.Trong giáo trình hình học cao cấp (Hình học xạ ảnh ) ®· ®Ị cËp ®Õn mèi quan hƯ ®ã V× vËy luận văn tổng hợp hệ thống lại số mối quan hệ số tính chất hình học afin hình học xạ ảnh hai mô hình, mô hình afin không gian xạ ảnh mô hình xạ ảnh kh«ng gian afin cïng øng dơng mèi quan hƯ chúng Nội dung luận văn gồm năm mục : Đ1 Một số yếu tố hình học afin Trong mục đa mét sè kiÕn thøc cđa h×nh häc afin phơc vơ cho mục Đ3, Đ4 Đ5 Đ2 Một số yếu tố hình học xạ ảnh Trong mục tiếp tục đa số kiến thức hình học xạ ảnh để phục vụ cho mục Đ3, Đ4 Đ5 Đ3 Mô hình afin không gian xạ ảnh Trong mục đa cách xây dựng mô hình afin không gian xạ ảnh trình bầy thể afin mô hình nh : Mục tiêu toạ độ, vị trí tơng đối phẳng, tỷ số đơn xuất phát từ không gian afin An- chiều Đ4 Mô hình xạ ảnh không gian afin Mục diễn tả trình ngợc laị trình xây dựng mô hình afin không gian xạ ảnh Từ cách xây dựng mô hình đến xây dựng mục tiêu, toạ độ, vị trí tơng đối phẳng, tỷ số kép tính chất chúng Ngoài mục trình bày thêm số kiến thức siêu mặt bậc hai thể afin đờng cô níc A2 Đ5 ứng dụng mô hình Trong mục chia lµm ba mơc Mơc - A : Lµ øng dơng mô hình afin không gian xạ ảnh mục toán afin ban đầu ta chuyển sang toán xạ ảnh cách thêm đờng thẳng vô tân ta giải toán không gian xạ ảnh Mục - B : Là ứng dụng mô hình xạ ảnh không gian afin mục trình bày số toán xạ ảnh gốc sau bớt đờng thẳng vô tận sinh toán afin không gian afin, ứng với đờng thẳng vô tận đợc bớt sinh toán afin tơng ứng.Vì có toán xạ ảnh cho trớc có họ toán afin đợc sinh từ đó, nên kết đợc chứng minh toán xạ ảnh toán afin đợc sinh từ Mục -C trình bày quan hệ qua lại toán afin toán xạ ảnh, tức từ toán afin cho trớc ta bổ sung thêm đờng thẳng vô tân để đợc toán xạ ảnh từ toán xạ ảnh ta lại bớt đờng thẳng vô tận đợc họ toán afin đợc sinh từ ta gọi toán toán dẫn xuất Khoá luận đợc hoàn thành trờng Đại Học Vinh dới hớng dẫn nhiệt tình thầy giáo TS : Nguyễn Duy Bình Nhân dịp xin đợc bày tỏ lòng biết ơn chân thành đến thầy, đồng thời xin cảm ơn thầy giáo cô giáo, gia đình bạn bè đà tận tình giúp đỡ suốt trình học tập rèn luyện trờng Đai Học Vinh Do hạn chế mặt thời gian nh lực nên chắn luận văn không tránh khỏi thiếu sót Tôi mong đ ợc đánh giá phê bình góp ý thầy giáo cô giáo bạn bè Tôi xin chân thành cảm ơn Vinh ngày 26 tháng năm 2004 Sinh viên : Lê Văn Duy Đ1 số yếu tố hình học afin 1.1Định nghĩa: Cho V không gian véc tơ trờng K tập A không rỗng mà phần tử gọi điểm Giả sử có ánh xạ với M, N A ) thỏa mÃn hai tiên đề : i) Với điểm M A véc tơ  : AxA  V uV (ta ký hiÖu ( MN )  cã nhÊt mét ®iĨm N  A  cho MN  u ii) Víi bÊt kú ba ®iĨm M , N, P  A (A, , V ) MN NP MP Khi ta gọi ba không gian afin A liên kết với không gian véc tơ V ký hiƯu lµ A *NÕu K= R ta gäi A lµ kh«ng gian afin thùc *NÕu K= C ta gäi A không gian afin phức *Trong khuôn khổ khãa ln tèt nghiƯp ta chØ xÐt kh«ng gian afin thùc 1.2 HƯ ®iĨm ®éc lËp : (m 1) cđa Mét hƯ m+1 ®iĨm A0, A1, , Am, độc lập m- véc tơ không gian afin A đợc gọi A A1, A A 2, , A A m độc lập tuyến tính Hệ không độc lập tuyến tính gọi hệ phụ thuộc 1.3 Định nghĩa mục tiêu afin : Cho không gian afin n- chiều A liên kết với không gian véc tơ A Gäi    {o ; e1, e 2, e n } së cđa   tËp hỵp  ;  hay  { ; , , o e1 e gọi điểm gốc mục tiêu, 1.4 Định nghĩa : Trong không {o ; e1, e 2, nhÊt n phÇn tư    ei gian  A vµ O lµ điểm thuộc A Khi en } gọi mục tiêu afin A, O véc tơ thø i cđa mơc tiªu afin A n-chiỊu cho mơc tiêu afin e n } với điểm X  A ta cã vÐc t¬ OA  A , v× vËy cã x1, x2, , xn OX x1 e1  x e cña trêng R cho  xn en Bộ n phần tử (x1,x2, , xn) đợc gọi toạ độ điểm X mục tiêu đà chọn ký hiệu X(x1,x2, , xn) hay X = (x1,x2, , xn) 1.5 Các phẳng không gian afin : 1.5.1 Định nghĩa : Cho không gian afin A liên kết với không gian véc tơ A Gọi I điểm A không gian véc tơ A Khi tập hợp {M A \ IM } đợc gọi phẳng (gọi tắt "phẳng") qua I có phơng *NÕu     cã sè chiÒu b»ng m phẳng m- chiều hay gọi m-phẳng 1.5.2 Phơng trình tham số m-phẳng : Định nghĩa : Phơng trình tham số m-phẳng phơng trình có dạng x (i=1, 2, ,n) hay X = At +b ®ã X t           t1 t t m           i j 1 A (aij) ma trận n dòng, m cột x1  x2       xn  m  a ij t j  b j           ; ; b           b1 b2 b n      1.5.3 Phơng trình tổng quát m- phẳng : Phơng trình tổng quát m- phẳng phơng trình có dạng : n a ij x j  bi 0 (i= 1,2, ,n-m) j 1 ®ã ma trËn A (a ij) ma trận có hạng n-m 1.6 Vị trí tơng đối phẳng : 1.6.1 Định nghĩa : Trong không gian afin An cho p-phẳng q-phẳng phơng , (với p q ) lần lợt có a) Cái phẳng gọi cắt chúng có điểm chung b) Cái phẳng gọi song song với không gian c) Các phẳng gọi chéo chúng không cắt không song song víi d) Giao    hiĨu theo nghĩa thông thờng lý thuyết tập hợp gọi giao hai phẳng e) Tỉng (  +  ) cđa hai c¸i phẳng giao tất phẳng chứa 1.6.2 Định lý : Giao hai phẳng tập rỗng phẳng có phơng   Chøng minh : xem[1] 1.7 Siªu mặt bậc hai : 1.7.1 Định nghĩa : Trong không gian afin An trªn trng sè thùc chän mơc tiªu afin    {O; e1, e 2, ta cho phơng trình bậc hai : Trong hệ số a ij e n} n n i , j1 i 1  a ij xi x j  2 a i xi  a aij , , a o 0 a ij số thực, (1) không đồng thời a ji Tập tất điểm X thuộc A n cho toạ độ (x1, x2 , , xn) cña nã tháa m·n phơng trình (1) gọi siêu mặt bậc hai xác định siêu mặt 1.7.2 Định nghĩa : Tâm siêu mặt bậc hai (S) điểm mà ta chọn làm gốc mục tiêu n xtAx+ao= phơng trình (S ) có dạng a ij x i x j  a o 0 hay ij 1 víi A (a ij) 1.7.3 Ph¬ng tiƯm cËn : VÐc t¬  c = (c ,c , ,c ) gọi phơng tiệm cận siêu mặt bậc hai (S ) có phơng trình : xtAx n +2atx +a0 = nÕu   c 0 vµ n ctAc = i,j1 a ij ci c j 1.7.4 Định nghĩa tiếp tuyến : Đờng thẳng d đợc gọi tiếp tuyến siêu mặt bậc hai (S) nếu: +Hoặc phơng d phơng tiệm cận (S) d cắt (S) điểm (điểm gọi tiếp điểm hay ta nói điểm tiếp xúc với (S) +Hoặc d nằm (S ) +Nếu siêu mặt bậc hai (S) có phơng trình xtAx +2atx +a0 = vµ cho B(b1, b2, , bn) nằm (S) đờng thẳng d qua B có phơng tiếp tuyến chØ btAc §2  c =(c , c , , cn) +atc =0 mét sè yếu tố hình học xạ ảnh 2.1 Định nghĩa : Cho Vn ( n 1) không gian véc tơ trờng K (K trờng số phức thực ) Ta ký hiệu [Vn] tập tất không gian chiều Vn Lấy tập P không rỗng Nếu có song ¸nh P : [V n+1]  P th× bé ba (P,p,Vn+1) gọi không gian xạ ảnh n- chiều liên kết với không gian V n+1 chiều ký hiệu Pn Mỗi phần tử A P đợc gọi điểm không gian xạ ảnh Nếu V V n 1 , P(V1) = A cïng vÐc t¬    x 0 cho  x V véc tơ đợc gọi véc tơ đại diện điểm A X Lu ý : Hai véc tơ đại diện cho điểm cộng tuyến với 2.2 Định nghĩa phẳng không gian xạ ảnh : Cho không gian xạ ảnh (P,p,Vn+1) , Vm+1 không gian Vn+1 Tập hợp P([Vm+1]) P gọi m-phẳng m-chiều cđa P ký hiƯu P m, Pm =P([Vm+1]) lµ mét không gian xạ ảnh m-chiều 0-phẳng điểm 1-phẳng đờng thẳng 2-phẳng mặt phẳng (n-1)-phẳng gọi siêu phẳng 2.3 Hệ điểm độc lập Trong không gian xạ ảnh P cho hệ k điểm M1, M2, , Mk có véc tơ đại diện tơng ứng : k n  x1 , x , , x k HƯ ®iĨm M1, M2, , Mk đợc gọi độc lập hệ véc tơ đại diện ( i= 1,2, ,k) hệ độc lập tuyến tính 2.4 Định lý :  {x i } HƯ k ®iĨm (k 2) độc lập chúng không thuéc mét (r-2) - ph¼ng Chøng minh : xem [2] 2.5 Định lý : Có (k-1) - phẳng qua hệ k điểm độc lập cho trớc Chứng minh : xem [2] 2.6 Mục tiêu xạ ảnh : Trong không gian xạ ảnh Pn Hệ gồm cã n+2 ®iĨm cã thø tù {A0, A1, , An; E} đợc gọi mục tiêu xạ ảnh hệ n+1 điểm n+2 điểm độc lập 2.7 Toạ độ xạ ảnh : Trong không gian xạ ảnh Pn cho mục tiêu {Ai; E} vµ   {e i } , i =(1, , n) sở đại diện cho mục tiêu Với M Pn x véc tơ đại diện điểm M toạ độ điểm M mục tiêu {A i; E} toạ độ x ®èi víi c¬ së   {e i } 2.8 Phơng trình tổng quát m-phẳng : Phơng trình tổng quát m-phẳng Pn có dạng : m  bij x j 0 (i= 0,1, 2, , n-m ) j 0 ®ã (b ij ) ma trận có hạng n-m ,(i = 0,1, 2, …, n-m;j =0,1, 2, …, n ), n-m;j =0,1, 2, …, n-m;j =0,1, 2, …, n ), n ) 2.8 Tû sè kÐp : 2.8.1 Tû sè kÐp điểm thẳng hàng : Trong Pn cho bốn ®iĨm A, B, C, D cïng thc mét ®êng th¼ng cho A khác B ; C D không trùng với A B Giả sử với mục tiêu cho trớc Pn cho điểm A, B, C, D có ma trận toạ độ [A], [B], [C], [D] Ta cã : [C] = 1[A] + 1[B] [D]= 2[A] + 2[B] Tû sè kÐp cđa ®iĨm A, B, C, D theo thø tù ký hiƯu lµ [A,B,C,D] đợc xác định [A, B, C, D] 1  : 1  2.8.2 Mét số tính chất : Tính chất 1: Khi hoán vị hai điểm đầu với hai điểm cuối với tỷ số kép trở thành nghịch đảo tức lµ : [B, A, C, D] [A, B, D, C]  [A, B, C, D] HƯ qu¶ : Khi hoán vị hai điểm đầu với hai điểm cuối với tỷ số kép không thay ®ỉi tøc lµ: [A, B, C, D] = [B, A, D, C] TÝnh chÊt : NÕu A, B, C, D, E điểm thẳng hàng phân biệt : [A, B, C, D].[A, B, D, E] = [A, B, C, E] 2.9 Định nghĩa : Nếu tỷ số kÐp [A, B, C, D] = -1 th× ta nãi cặp điểm C, D chia điều hoà cặp điểm A, B hay nói cách khác cặp điểm A, B cặp điểm C, D liên hợp điều hoà hay nói hàng điểm A, B, C, D hàng điểm điều hoà 2.10 Định nghĩa : Trong không gian xạ ảnh Pn tập siêu phẳng qua n-2 phẳng đợc gọi chùm siêu phẳng với giá n-2 phẳng 2.11 Định nghĩa : Bốn siêu phẳng U, V, W, Z chùm đợc gọi chùm bốn siêu phẳng điều hoà tỷ số kép siêu phẳng -1 Khi ta nói cặp siêu phẳng U,V chia điều hoà cặp siêu phẳng W, Z ký hiệu : [U, V, W, Z] = -1 2.12 Định lý : Cho bốn siêu phẳng U, V, W, Z thuộc chùm, U, V, W đôi phân biệt Nếu đờng thẳng d cắt bốn siêu phẳng lần lợt điểm A, B, C, D (không cắt giá chùm) tỷ số kép điểm không phụ thuộc vào vị trí đờng th¼ng d Chøng minh : xem [2] Chó ý : Từ định lý ta suy tỷ số kép bốn siêu phẳng có tính chất tơng tự nh tỷ số kép bốn điểm thẳng hàng 2.13 Định lý hình bốn đỉnh toàn phần : Trong hình bốn đỉnh toàn phần hai điểm chéo nằm đờng chéo chia điều hoà cặp giao điểm đờng chéo với cặp cạnh qua điểm chéo thứ ba Chứng minh : xem [2] 2.14 Định lý hình bốn cạnh toàn phần : Trong hình bốn cạnh toàn phần, hai đờng chéo qua điểm chéo chia điều hoà đờng thẳng nối hai điểm chéo với hai đỉnh nằm đờng chÐo thø ba Chøng minh : xem [2] 2.15 Định lý : Giả sử hai điểm phân biệt Y Z liên hợp với siêu mặt bậc hai (S) không gian xạ ảnh Pn : Nếu đờng thẳng < Y, Z > cắt (S) hai điểm phân biệt M, N [Y, Z, M, N] =-1 Nếu đờng thẳng < Y, Z > cắt (S) điểm điểm Y Z Chứng minh : xem [2] 2.16 Định lý Paxcan : Nếu hình sáu đỉnh có sáu đỉnh nằm đờng ôvan (còn gọi hình sáu đỉnh nội tiếp đờng ôvan ) giao điểm cặp đối diện nằm đờng thẳng Chứng minh: xem [2] 2.17 Các trờng hợp đặc biệt định lý Paxcan : a) Nếu năm đỉnh A1, A2, A3, A4, A5 nội tiếp đờng ôvan (S) ba giao điểm cạnh A1A2 víi c¹nh A4A5 ; c¹nh A2A3 víi tiÕp tun cđa (S) t¹i A cđa c¹nh A3A4 víi c¹nh A5A1 thẳng hàng b) Nếu hình bốn đỉnh A, B, C, D nội tiếp đờng ôvan giao điểm cặp cạnh đối diện giao điểm tiếp tuyến tai cặp đỉnh đối diện bốn điểm thẳng hàng c) Nếu hình ba đỉnh nội tiếp đờng ôvan giao điểm cạnh với tiếp tuyến đỉnh đối diện ba điểm thẳng hàng 2.18 Định lý Briăngsông : Nếu hình sáu cạnh có sáu cạnh phân biệt tiếp xúc với đờng ôvan (còn gọi hình lục giác ngoại tiếp ôvan ) đờng thẳng nối đỉnh đối diện đồng quy 2.19 Các trờng hợp đặc biệt định lý Briăngsông : a) Nếu hình bốn cạnh ngoại tiếp đờng ôvan đờng thẳng nối đỉnh với tiếp tuyến cạnh đối diện bốn đờng thẳng đồng quy b)Nếu hình ba cạnh ngoại tiếp đờng ôvan đờng thẳng nối đỉnh với tiếp tuyến cạnh đối diện ba đờng thẳng ®ång quy 10 ... (Hình học xạ ảnh ) đà ®Ị cËp ®Õn mèi quan hƯ ®ã V× vËy luận văn tổng hợp hệ thống lại số mối quan hệ số tính chất hình học afin hình học xạ ảnh hai mô hình, mô hình afin không gian xạ ảnh mô hình. .. gian xạ ảnh ta xây dựng đợc không gian afin Nh không gian afin không gian xạ ảnh cã mét sè mèi quan hƯ mËt thiÕt víi Do hình học afin hình học xạ ảnh có quan hệ với nhau.Trong giáo trình hình học. .. tố hình học xạ ảnh Trong mục tiếp tục đa số kiến thức hình học xạ ảnh để phục vụ cho mục Đ3, Đ4 Đ5 Đ3 Mô hình afin không gian xạ ảnh Trong mục đa cách xây dựng mô hình afin không gian xạ ảnh