Cấu trúc môđun của tập điểm có bậc hữu hạn trên đường cong elliptic và ứng dụng trong mật mã

Mục đích chính của bài báo này là mô tả cấu trúc môđun của tập hợp những điểm P nằm trên đường cong elliptic thỏa mãn điều kiện nP=O. Trong đó, P là điểm có bậc hữu hạn trên đường cong elliptic E không kỳ dị, phương trình của đường cong elliptic E được cho bởi dạng Weierstrass trên trường Zp (là số nguyên tố lớn hơn 3), O là điểm tại vô cùng.

Journal of Science – 2015, Vol (4), 10 – 21 Part D: Natural Sciences, Technology and Environment CẤU TRÚC MƠĐUN CỦA TẬP ĐIỂM CĨ BẬC HỮU HẠN TRÊN ĐƯỜNG CONG ELLIPTIC VÀ ỨNG DỤNG TRONG MẬT MÃ Võ Anh Tuấn1 ThS Trường Đại học An Giang Thông tin chung: Ngày nhận bài: 30/12/14 Ngày nhận kết bình duyệt: 15/02/15 Ngày chấp nhận đăng: 12/15 ABSTRACT Title: Module structure of the set of points having finite order on elliptic curve and application in cryptography Weierstrass form over Từ khóa: Đường cong elliptic khơng kỳ dị, điểm có bậc hữu hạn, cấu trúc module, mật mã Keywords: Nonsingular elliptic curve, the point has finite order, the module structure, cryptography The main aim of this article is describing module structure of the set of the points P on elliptic curve which satisfy nP=O In this set, P is the point having finite order on nonsingular elliptic curve E The elliptic’s equation is given by p field (p is a prime number greater than 3) and O is the point at infinity The set of the points which satisfy this condition is a subgroup and its structure is a  n  module Beside this new  n  module structure, this article also describes a new encryption method based on this structure by maple 13.0 software TĨM TẮT Mục đích báo mơ tả cấu trúc môđun tập hợp điểm P nằm đường cong elliptic thỏa mãn điều kiện nP=O Trong đó, P điểm có bậc hữu hạn đường cong elliptic E khơng kỳ dị, phương trình đường cong elliptic E cho dạng Weierstrass trường  p (là số nguyên tố lớn 3), O điểm vơ Tập hợp điểm mà thỏa mãn điều kiện nhóm cấu trúc  n  mơđun Bên cạnh cấu trúc mơđun này, báo cịn mơ tả phương pháp mã hóa dựa cấu trúc phần mềm maple 13.0  p n nhóm GIỚI THIỆU nP=O E  Ta ký hiệu tập điểm đường cong elliptic E  p  cấu trúc nhóm trường  p (p số nguyên tố lớn 3) E   p  Để tập điểm trở thành nhóm aben ta E   n  module Trong trường hợp n số bổ sung vào điểm vô O quy tắc cộng điểm Một điểm P đường cong elliptic E gọi có bậc n nP  O, mP  O với nguyên tố ta có phương pháp mã hóa dựa vào cấu trúc mơđun nhóm Trong suốt báo phương trình đường cong elliptic E cho dạng Weierstrass:  p n tập số nguyên  m  n Nếu gọi E  y  x  ax  b hợp điểm đường cong elliptic thỏa mãn 4a  27b  10 thỏa mãn điêu kiện Journal of Science – 2015, Vol (4), 10 – 21 Part D: Natural Sciences, Technology and Environment CẤU TRÚC MƠĐUN CỦA TẬP ĐIỂM CĨ BẬC HỮU HẠN TRÊN ĐƯỜNG CONG ELLPTIC 2.1 Định nghĩa Điểm P đường cong elliptic gọi điểm có bậc n nP = O , mP  O, với số nguyên  m  n ký hiệu bậc P deg(P) 2.2 Mệnh đề Cho P điểm có bậc n đường cong elliptic E khơng kỳ dị Khi đó, với số nguyên k   điểm kP  mP Trong m số dư phép chia k cho n Hay nói cách khác với k  m   n , P  E  p  kP  mP n Chứng minh Với k  m   n tồn số nguyên a   cho k  m  an Khi với P  E  p  ta có kP  m  an  P Bằng phương pháp quy nạp ta chứng minh kP  mP n Thật vậy, với a   kP  mP hiển nhiên   + Với a   kP  m  n P  mP  nP cấu trúc   mơđun nP=O nên kP  mP   + Với a   kP  m  2n P lý luận tương tự ta kP  mP     + Giử sử a  l  ta chứng minh với a  l Nghĩa kP  m  l  n P  mP   ta chứng minh kP  m  ln P  mP Thật vậy,       kP  m  l   1 n P  kP  m  l  1 n  n P  m  l  1 n P  nP     Do giả thuyết quy nạp m  l  n P  mP  kP  mP  nP Vì nP  O nên ta thu kP  mP  n □ Dễ dàng chứng minh điểm mP  E  p 2.3 Mệnh đề Cho đường cong Elliptic E xác định trường  p (p> 3) thỏa mãn điều kiện không kỳ dị Khi đó,   E p n   môđun n Chứng minh   i Trước tiên ta chứng minh E  p   + E p n   n   nhóm E  p    E  p , điểm O  E  p n   E  p 11 n   Journal of Science – 2015, Vol (4), 10 – 21   + P , Q  E  p n Part D: Natural Sciences, Technology and Environment   ta chứng minh P  Q  E  p n Thật vậy, ta xét điểm n(P  Q )  nP  nQ tính chất   môđun   Mà P , Q  E  p n nên nP  O, nQ  O  nP  nQ  O  n (P  Q )  O    P Q  E p n + Ta xét phần tử đối P, giả sử Q phần tử đối P Khi đó, ta có: P  Q  O  n(P  Q )  O Mặt khác, n(P  Q )  nP  nQ  nP  nQ  O , mà nP  O , đó: nQ  O Từ   ta có Q  E  p   Như vậy, E  p n n   bảo tồn phép tốn cộng nhóm E  p ii Tiếp theo ta xây dựng phép nhân   n  E  p n (m, P )    E p n  mP   Ta có: k (lP )  k (lP ) a Tính chất kết hợp: k , l   n , P  E  p n  k (lP )  k (lP )  k (lP )  (kl )P  k (lP )  (kl )P  k (lP )  (kl )P   Ta có: b Tính chất phân phối: k , l   n , P , Q  E  p n + (k  l )P  (k  l )P  (k  l )P  (k  l )P  (k  l )P  (k  l )P  (k  l )P  kP  lP  (k  l )P  kP  lP + k (P  Q )  k (P  Q )  k (P  Q )  kP  kQ  k (P  Q )  kP  kQ c Tính chất Unita Ta có: 1P  1P  P Rõ ràng   mơđun n ỨNG DỤNG Ví dụ Sử dụng giao thức trao đổi chìa khóa Diffie-Hellman vào phương pháp mã hóa sử dụng điểm có bậc hữu hạn Giả sử T cần gởi văn mật cho C là: “Mathematics is my favorite subject” 12 Journal of Science – 2015, Vol (4), 10 – 21 Giả sử khóa bí mật T  ví dụ Part D: Natural Sciences, Technology and Environment k1  , khóa bí mật B k2  u phần tử chọn ngẫu nhiên u  Khi đó: Khóa cơng khai T KSCKT  7k1  49 Khóa cơng khai C KSCKC  k2  343 * Tiến trình mã hóa: T muốn gởi văn cho C tiến hành sau: T đặt tương ứng văn rõ với điểm P có bậc số nguyên tố n thuộc đường cong E tính khóa bí mật cho phiên làm việc k K  (KSCKC )  117649 T tiến hành mã hóa cách tính điểm nhân K P  Q gởi cho C điểm Q * Tiến trình giải mã: C nhận điểm Q tiến hành giải mã sau: k C tính khóa phiên làm việc M  (KSCKT ) tìm bậc Q C tìm m   n , tính nghịch đảo m 1 1 giải mã cách tính điểm m Q Chứng minh Vì n số ngun tố Khi đó,  n trường Với m   n , m  tồn m cho m.m 1 1  n  mà 1P  1P  P Như vậy, với số nguyên k chọn làm khóa ln tồn m   n cho k  m  m  n   kP  mP  Q 1 1 1 Để khôi phục lại liệu, ta lấy m Q  m (mP )  (m m )P  1P Mà 1P  1P  P Kết luận: Dữ liệu khôi phục MÔ TẢ PHƯƠNG PHÁP BẰNG PHẦN MỀM MAPLE 13.0 Bảng tương ứng số - ký tự - điểm Tương ứng hệ thập phân Đồ hoạ (Hiển thị được) Khoảng trống (␠) Tương ứng với điểm đường cong E Tương ứng hệ thập phân Đồ hoạ (Hiển thị được) Tương ứng với điểm đường cong E [19,67] 49 w [116,160] A [22,91] 50 x [120,93] B [23,99] 51 y [124,190] C [26,100] 52 z [125,40] D [27,67] 53 ! [126,195] E [28,194] 54 # [135,60] F [30,135] 55 $ [138,139] G [33,52] 56 % [140,142] H [34,154] 57 & [142,198] 13 Journal of Science – 2015, Vol (4), 10 – 21 Part D: Natural Sciences, Technology and Environment Tương ứng hệ thập phân Đồ hoạ (Hiển thị được) Tương ứng với điểm đường cong E Tương ứng hệ thập phân Đồ hoạ (Hiển thị được) Tương ứng với điểm đường cong E I [35,45] 58 ' [143,26] 10 J [37,132] 59 ( [144,48] 11 K [38,191] 60 ) [145,80] 12 L [40,52] 61 * [146,124] 13 M [41,85] 62 + [147,155] 14 N [43,13] 63 , [148,59] 15 O [45,42] 64 - [150,87] 16 P [46,93] 65 [155,19] 17 Q [47,170] 66 / [157,4] 18 R [49,32] 67 [161,109] 19 S [50,147] 68 [164,88] 20 T [53,101] 69 [167,189] 21 U [54,194] 70 [168,15] 22 V [55,189] 71 [173,51] 23 W [56,177] 72 [179,189] 24 X [57,178] 73 [181,140] 25 Y [58,200] 74 [183,47] 26 Z [61,36] 75 [189,84] 27 a [62,68] 76 [190,158] 28 b [64,72] 77 : [191,199] 29 c [65,35] 78 ; [195,14] 30 d [69,101] 79 < [196,184] 31 e [70,141] 80 = [197,11] 32 f [77,17] 81 > [198,7] 33 g [80,45] 82 ? [202,83] 34 h [86,145] 83 @ [205,74] 35 i [90,127] 84 [ [206,84] 36 j [92,117] 85 ] [212,14] 37 k [94,25] 86 { [213,23] 38 l [95,175] 87 } [215,116] 39 m [97,46] 88 ^ [219,89] 40 n [98,42] 89 _ [220,22] 41 o [99,49] 90 ` [222,53] 42 p [101,148] 91 | [224,6] 43 q [104,135] 92 ~ [234,53] 44 r [106,13] 93 Ñ [238,82] 14 Journal of Science – 2015, Vol (4), 10 – 21 Part D: Natural Sciences, Technology and Environment Tương ứng hệ thập phân Đồ hoạ (Hiển thị được) Tương ứng với điểm đường cong E Tương ứng hệ thập phân Đồ hoạ (Hiển thị được) Tương ứng với điểm đường cong E 45 s [107,61] 94 ä [240,103] 46 t [112,34] 95 ñ [247,82] 47 u [113,71] 96 æ [250,89] 48 v [114,98] * Ghi chú: Các điểm bảng tương ứng trên, điểm có bậc số nguyên tố 373, đường cong elliptic E có phương trình y  x  x  17 trường  401 Các bảng tương ứng: Ký tự - số, số - ký tự, điểm - số, số - điểm cần thiết trình mã hóa Ứng dụng mã hóa [  BangKyTuSo : {" "=0,"A"=1,"B"=2,"C"=3,"D"=4,"E"=5,"F"=6,"G"=7,"H"=8, "I"=9,"J"=10,"K"=11,"L"=12,"M"=13,"N"=14,"O"=15,"P"=16,"Q"=17,"R"=18,"S"=19, "T"=20,"U"=21,"V"=22,"W"=23,"X"=24,"Y"=25,"Z"=26,"a"=27,"b"=28,"c"=29, "d"=30,"e"=31,"f"=32,"g"=33,"h"=34,"i"=35,"j"=36,"k"=37,"l"=38,"m"=39,"n"=40, "o"=41, "p"=42,"q"=43,"r"=44,"s"=45,"t"=46,"u"=47,"v"=48,"w"=49,"x"=50,"y"=51, "z"=52,"!"=53,"#"=54,"$"=55,"%"=56,"&"=57,"'"=58,"("=59,")"=60,"*"=61,"+"=62, ","=63,"-"=64,"."=65,"/"=66,"0"=67,"1"=68,"2"=69,"3"=70,"4"=71,"5"=72,"6"=73, "7"=74,"8"=75, " "  76, " : "  77, "; "  78, "  "  79, "  "  80, "  "  81, "?"  82, "@"  83, " [ "  84, " ]"  85, " { "  86, " } "  87, "^ "  88, "_"  89, "`"  90, " | "  91, " ~ "  92, " Ñ "  93, " ä "  94, " đ "  95, " ỉ "  96 : [  n1 : nop BangKyTuSo  : [  BangSoKyTu : {0=" ",1="A",2="B",3="C",4="D",5="E",6="F",7="G",8="H", 9="I",10="J",11="K",12="L",13="M",14="N",15="O",16="P",17="Q",18="R",19="S", 20="T",21="U",22="V",23="W",24="X",25="Y",26="Z",27="a",28="b",29="c", 30="d",31="e",32="f",33="g",34="h",35="i",36="j",37="k",38="l",39="m",40="n", 41="o", 42  "p",43="q",44="r",45="s",46="t",47="u",48="v",49="w",50="x",51="y", 52="z",53="!",54="#",55="$",56="%",57="&",58="'",59="(",60=")",61="*",62="+", 63=",",64="-",65=".",66="/",67="0",68="1",69="2",70="3",71="4",72="5",73="6", 74="7",75="8", 76  " ", 77  " : ", 78  "; ", 79  "  ", 80  "  ", 81  "  ", 82  "?", 83  "@", 84  " [ ", 85  " ]", 86  " { ", 87  " } ", 88  "^ ", 89  "_", 90  "`", 91  " | ", 92  " ~ ", 93  " Ñ ", 94  " ä ", 95  " ñ ", 96  " æ " : [  n2 : nop BangSoKyTu  : [  BTUSoVoiD : {0=[19, 67],1=[22,91],2=[23,99],3=[26,100],4=[27,67],5=[28,94], 15 Journal of Science – 2015, Vol (4), 10 – 21 Part D: Natural Sciences, Technology and Environment 6=[30,135],7=[33,52],8=[34,154],9=[35,45],10=[37,132],11=[38,191],12=[40,52], 13=[41,85],14=[43,13],15=[45,42],16=[46,93],17=[47,170],18=[49,32],19=[50,147], 20=[35,101],21=[54,194],22=[55,189],23=[56,177],24=[57,178],25=[58,200],26=[61,36], 27=[62,68],28=[64,72],29=[65,35],30=[69,101],31=[70,141],32=[77,17],33=[80,45], 34=[86,145],35=[90,127],36=[92,117],37=[94,25],38=[95,175],39=[97,46],40=[98,42], 41=[99,49], 42  [101,148],43=[104,135],44=[106,13],45=[107,61],46=[112,34], 47=[113,71],48=[114,98],49=[116,106],50=[120,93],51=[124,190],52=[125,40], 53=[126,195],54=[135,60],55=[138,139],56=[140,142],57=[142,198],58=[143,26], 59=[144,48],60=[145,80],61=[146,124],62=[147,155],63=[148,59],64=[150,87], 65=[155,19],66=[157,4],67=[161,109],68=[164,88],69=[167,189],70=[168,115], 71=[173,51],72=[179,89],73=[181,140],74=[183,47],75=[189,84], 76  [190,158], 77  [191,199], 78  [195,14], 79  [196,184], 80  [197,11], 81  [198,7], 82  [202,83], 83  [205,74], 84  [206,84], 85  [212,14], 86  [213,23], 87  [215,116], 88  [219,89], 89  [220,22], 90  [222,53], 91  [224,6], 92  [234,53], 93  [238,82], 94  [240,103], 95  [247,82], 96  [250,89] : [  n : nop BTUSoVoiD  : [  BTUDVoiSo : {[19, 67]=0,[22,91]=1,[23,99]=2,[26,100]=3,[27,67]=4,[28,94]=5, [30,135]=6,[33,52]=7,[34,154]=8,[35,45]=9,[37,132]=10,[38,191]=11,[40,52]=12, [41,85]=13,[43,13]=14,[45,42]=15,[46,93]=16,[47,170]=17,[49,32]=18,[50,147]=19, [35,101]=20,[54,194]=21,[55,189]=22,[56,177]=23,[57,178]=24,[58,200]=25,[61,36]=26, [62,68]=27,[64,72]=28,[65,35]=29,[69,101]=30,[70,141]=31,[77,17]=32,[80,45]=33, [86,145]=34,[90,127]=35,[92,117]=36,[94,25]=37,[95,175]=38,[97,46]=39,[98,42]=40, [99,49]=41,[101,148]=42,[104,135]=43,[106,13]=44,[107,61]=45,[112,34]=46, [113,71]=47,[114,98]=48,[116,106]=49,[120,93]=50,[124,190]=51,[125,40]=52, [126,195]=53,[135,60]=54,[138,139]=55,[140,142]=56,[142,198]=57,[143,26]=58, [144,48]=59,[145,80]=60,[146,124]=61,[147,155]=62,[148,59]=63,[150,87]=64, [155,19]=65,[157,4]=66,[161,109]=67,[164,88]=68,[167,189]=69,[168,115]=70, [173,51]=71,[179,89]=72,[181,140]=73,[183,47]=74,[189,84]=75,[190,158]=76, [191,199]=77,[195,14]=78,[196,184]=79,[197,11]=80,[198,7]=81,[202,83]=82, [205,74]=83,[206,84]=84,[212,14]=85,[213,23]=86,[215,116]=87,[219,89]=88, [220,22]=89,[222,53]=90,[224,6]=91,[234,53]=92,[238,82]=93,[240,103]=94, [247,82]=95,[250,89]=96 : [  n : nop BTUDVoiSo  :   [ > Restart : with numtheory : 16 Journal of Science – 2015, Vol (4), 10 – 21 Part D: Natural Sciences, Technology and Environment p := nextprime 10*40 ;  p := seq i,i 0 p1 : a := : b := 17 :   f := x ,y   y x a *x b  mod p;        TapDiem := seq   msolvex i, f x ,y , p ,i 0 p1 : p := 401   f := x ,y   y x ax b  mod p Chương trình tìm điểm nghịch đảo [ DND : proc A ; local x , y ; if A : infinity then return infinity ; end if ; x : A[1] mod p; y : 0A2  mod p; return x ,y  ; end proc : Chương trình tìm điểm cộng [ DC : proc A,B  ; local x , y, lamda ; if A  infinity then return B ; end if ; if B  infinity then return A; end if ; if A  DND B  then return infinty ; end if ; if B 1  A 1  mod p then B 2A2  lamda : mod p; B 1A 1    x : lamda  A1 B 1 mod p;   y : A 2  lamda * A1 x  mod p; elif B 2  A 2  mod p then   3* A1 a        lamda : mod p; 2*A2     x : lamda  * A1  mod p; 17 Journal of Science – 2015, Vol (4), 10 – 21  Part D: Natural Sciences, Technology and Environment  y : A 2  lamda * A1x  mod p; end if ; return x ,y  ; end proc : Chương trình tìm điểm nhân [ DN : proc A,k  ; local i, P , Q ; if A  infinity then return A; end if ; if k  then return infinity ; end if ; P : infinity ; Q : A; for i from by while i  k P : DC P ,Q  ; end do; return P ; end proc : Chương trình tìm bậc điểm [ Bac : proc A ; local i, P ; for i from by to 7919 P : DN A,i  ; if P  infinity then P : DN A,i 1 elif return i; end if ; end do; return i; end proc : Chương trình tìm phần tử nghịch đảo trường  p [ PTND : proc n  ; local x , y, i, k ; x : n mod p; if x  mod p then return infinity; end if; for i from by to p  y : n * i mod p; if y  mod p then y : n * i 1 mod p else return i; end if; end do; return i; end proc : [ VanBanRo : " Mathematics is my favorite subject " ; 18 Journal of Science – 2015, Vol (4), 10 – 21 Part D: Natural Sciences, Technology and Environment L1 : length VanBanRo ;     DayVanBanRo : seq VanBanRo i ,i 1 L1  ; DaySoRo : sub BangKyTuSo,DayVanBanRo  ; L2 : nop DaySoRo  ; DayDiemRo : sub BTUSoVoiD ,DaySoRo  ; L3 : nop DayDiemRo  ; VanBanRo := "Mathematics is my favorite subject" L1 : 34 DayVanBanRo : [" M ", " a ", " t ", " h ", " e ", " m ", " a ", " t ", " i ", " c ", " s ", " ", " i ", " s ", " ", " m ", " y ", " ", " f ", " a ", " v ", " o ", " r ", " i ", " t ", " e ", " ", " s ", " u ", " b ", " j ", " e ", " c ", " t "] DaySoRo : [13, 27, 46, 34, 31, 39, 27, 46, 35, 29, 45, 0, 35, 45, 0, 39, 51, 0, 32, 27, 48, 41, 44, 35, 46, 31, 0, 45, 47, 28, 36, 31, 29, 46] L2 : 34 DayDiemRo : [ 41, 85 , 62, 68 , 112, 34 , 86.145 , 70,141 , 41, 85 , 97, 46 ,               62, 68 , 112, 34 , 90, 127 , 65, 35 , 107, 61 , 19, 67 , 90,127 , 107, 61 , 19, 67 ,                   77,17 , 62, 68 , 114, 98 , 99, 49 , 106,13 , 90,127 , 112, 34 , 70, 141 , 90,127 ,                   19, 67 , 107, 61 , 90, 127 , 113, 71 , 64, 72 , 92,117 , 70,141 , 65, 35 , 112, 34 ]                   L3 : 34 [ k1 : 2; k2 : 3; u := 7; k KSCKT : u ; KSCKC : u ; K : KSCKC  ; k k     DayDiemMa : seq DN DayDiemRo i ,K ,i 1 L3  ; k1 : k2 : u := KSCKT : 49 KSCKC : 343 K : 117649 19 Journal of Science – 2015, Vol (4), 10 – 21 Part D: Natural Sciences, Technology and Environment DayDiemMa : [ 13, 32 , 54, 194 , 157, 4 , 3.122 , 339, 369 , 388, 68 , 54,194 ,               157, 4 , 238, 319 , 224, 395 , 333, 312 , 310, 62 , 238, 319 , 333, 312 , 310, 62 ,                 388, 68 , 90, 274 , 310, 62 , 27, 334 , 54, 194 , 395, 14 , 23, 302 , 61, 365 ,                 157, 4 , 339, 369 , 310, 62 , 333, 312 , 142, 203 , 319, 207 , 219, 89 ,               339, 369 , 224, 395 , 157, 4 ]       Sau B nhận dãy điểm mã B tiến hành giải mã sau:   [ M : KSCKT k2  mod 373; if M  mod 373 then return infinity ; end if ; for i from by to 372 V : M * i mod 373; if V  mod 373 then V : M * i 1 mod 373; else return i; end if ; end do; M : 154 109 [ N : nop DayDiemMa  ;     DayDiemGiaiMa : seq DN DayDiemMa  j ,109, j 1 N  ;   N : 34 DayDiemGiaiMa : [ 41, 85 , 62, 68 , 112, 34 , 86.145 , 70, 141 , 41, 85 , 97, 46 ,               62, 68 , 112, 34 , 90, 127 , 65, 35 , 107, 61 , 19, 67 , 90,127 , 107, 61 , 19, 67 ,                   77,17 , 62, 68 , 114, 98 , 99, 49 , 106,13 , 90,127 , 112, 34 , 70, 141 , 90,127 ,                   19, 67 , 107, 61 , 90, 127 , 113, 71 , 64, 72 , 92,117 , 70,141 , 65, 35 , 112, 34 ]                   [ L : nop DayDiemGiaiMa  ; DaySoGiaiMa : subs BTUDVoiSo,DayDiemGiaiMa  ; DayKyTuGiaiMa : subs BangSoKyTu,DaySoGiaiMa  ;   VBGiaiMa : cat seq BangSoKyTu  j , j 1 L  ; L : 34 DaySoGiaiMa : [13, 27, 46, 34, 31, 39, 27, 46, 35, 29, 45, 0, 35, 45, 0, 39, 51, 0, 32, 27, 48, 41, 44, 35, 46, 31, 0, 45, 47, 28, 36, 31, 29, 46] DayKyTuGiaiMa : [" M ", " a ", " t ", " h ", " e ", " m ", " a ", " t ", " i ", " c ", " s ", " ", " i ", " s ", " ", " m ", " y ", " ", " f ", " a ", " v ", " o ", " r ", " i ", " t ", " e ", " ", " s ", " u ", " b ", " j ", " e ", " c ", " t "] 20 Journal of Science – 2015, Vol (4), 10 – 21 Part D: Natural Sciences, Technology and Environment VBGiaiMa := "Mathematics is my favorite subject" Ví dụ Minh chứng cho việc khơng thể giải mã khơng tìm bậc điểm thuộc đường cong Giả sử chọn điểm M=[41,85] tương ứng với ký tự M bảng tương ứng điểm, số, ký tự [ M : 41,85 ; DiemMa : DN M ,K  ; M : 41,85 DiemMa : 13,32 Giải mã tìm nghịch đảo K trường  p [ PTNDCuaKTrenZ p : PTND K  ; DiemGiaiMaTrenZ p : DN DiemMa,PTNDCuaKTrenZ p  ; PTNDCuaKTrenZ p : 18 DiemGiaiMaTrenZ p : 28,207  Giải mã trường  n n  373 bậc M [ PTNDCuaKTrenZn : PTND K  ; DiemGiaiMaTrenZn : DN DiemMa,PTNDCuaKTrenZn  ; PTNDCuaKTrenZn : 109 DiemGiaiMaTrenZn : 41,85 KẾT LUẬN TÀI LIỆU THAM KHẢO Bài báo trình bày cấu trúc mơđun tập điểm thỏa mãn nP=O đường cong elliptic xác Hà Huy Khoái & Phạm Huy Điển (2003) Số học thuật toán Hà Nội: NXB Đại học Quốc gia Hà Nội định trường  p đưa ứng dụng Phạm Huy Điển (2002) Tính tốn, Lập trình Giảng dạy Toán học Maple Hà Nội: NXB Khoa học Kỹ thuật mã hóa thơng tin Điều khác biệt phương pháp mã hóa mã lập trường  p giải Silverman, J H & Tate, J (1992) Rational Points Elliptic Curves USA: Springer Verlag New York Inc trường  n Cấu trúc môđun tác giả mở rộng nghiên cứu nhóm xoắn tập điểm có bậc hữu hạn đường cong elliptic nghiên cứu ứng dụng lĩnh vực khác Silverman, J H (2009) Arithmetic Of Elliptic Curves USA: Springer Dordrecht Heidelberg London New York Stinson, D (1995) Cryptography: Theory and Practice USA: CRS press LLC 21 ... Environment CẤU TRÚC MƠĐUN CỦA TẬP ĐIỂM CĨ BẬC HỮU HẠN TRÊN ĐƯỜNG CONG ELLPTIC 2.1 Định nghĩa Điểm P đường cong elliptic gọi điểm có bậc n nP = O , mP  O, với số nguyên  m  n ký hiệu bậc P deg(P)... Unita Ta có: 1P  1P  P Rõ ràng   môđun n ỨNG DỤNG Ví dụ Sử dụng giao thức trao đổi chìa khóa Diffie-Hellman vào phương pháp mã hóa sử dụng điểm có bậc hữu hạn Giả sử T cần gởi văn mật cho... Các điểm bảng tương ứng trên, điểm có bậc số nguyên tố 373, đường cong elliptic E có phương trình y  x  x  17 trường  401 Các bảng tương ứng: Ký tự - số, số - ký tự, điểm - số, số - điểm