Về môđun đối cốt yếu đơn và môđun nâng đơn

Một môđun con N của M được gọi là đối cốt yếu trong M, ký hiệu N = M, trong trường hợp với mọi môđun con L < = M : N + L suy ra L = M. Bài viết đưa ra khái niệm môđun đối cốt yếu đơn, môđun nâng đơn và áp dụng của chúng trong một số lớp vành và môđun đã biết.

UED JOURNAL OF SOCIAL SCIENCES, HUMANITIES AND EDUCATION VOL.4, NO.1 (2014) VỀ MÔĐUN ĐỐI CỐT YẾU ĐƠN VÀ MÔĐUN NÂNG ĐƠN ON MONO SMALL AND MONO LIFTING MODULES Nguyễn Thị Thu Sương Nguyễn Thị Nhành Trường ĐH Sư phạm – Đại học Đà Nẵng Trường ĐH Đồng Tháp Email: nttsuong.hlp@gmail.com TĨM TẮT Một mơđun N M gọi đối cốt yếu M, ký hiệu N = M , trường hợp với môđun L  M : N + L = M suy L = M Một môđun M gọi nâng môđun N M, tồn phân tích M = M  M : M  N , M  N = M Lớp môđun nghiên cứu năm gần Hơn người ta chứng minh vành hoàn chỉnh phải mơđun phải M, tồn tồn cấu :P→M Ker( ) = P Đồng thời vành R gọi nửa hồn chỉnh mơđun phải (trái) đơn M, tồn tồn cấu  : P → M với P xạ ảnh Ker( ) = P Từ tính chất quan trọng đó, với P xạ ảnh báo đưa khái niệm môđun đối cốt yếu đơn, môđun nâng đơn áp dụng chúng số lớp vành mơđun biết Từ khóa: đối cốt yếu; nâng; đối cốt yếu đơn; nâng đơn ABSTRACT A submodule N is called superfluous in M, write N= M, if for any submodule L  M L = M A module M is called lifting if for any submodule N of M, M = M1  M : M1  N , M  N = M Recently, this classes are studied by the implies that right perfect if for every right R-module M, there exists an epimorphism :N+L=M there is a decomposition authors A ring R is called  : P → M with P is projective and Ker( ) = P A ring R is called right smiperfect if for every simple right R-module M, there exists an epimorphism  : P → M with P is projective and Ker( ) = P In this paper, we study some generalizations of superfluous submodules and lifting modules and their applications for classes rings and modules Key words: small; lifting; mono-small; mono-lifting Giới thiệu A  M ( A  M ), A  d M để A môđun Trong báo này, vành R cho giả thiết vành kết hợp có đơn vị  R-môđun xét môđun unita Trong mục này, giới thiệu khái niệm sử dụng báo Một số khái niệm khác liên quan đến báo tham khảo Wisbauer ([5]) Với vành R cho, ta viết M R (tương ứng, R M ) để M R- (t.ư., thực sự), hạng tử trực tiếp M môđun phải (t.ư, trái) Trong ngữ cảnh cụ thể báo, không sợ nhầm lẫn phía mơđun, để đơn giản ta viết mơđun M thay M R Chúng ta dùng ký hiệu Một vài năm gần đây, hướng nghiên cứu mở rộng môđun nâng nhiều người quan tâm nghiên cứu Năm 2006, tác giả Clark, Lomp, Vanaja Wisbauer đưa nghiên cứu lớp môđun nâng Năm 2005, Kosan nghiên cứu điều kiện môđun nâng môđun bất biến hồn tồn Cũng theo đó, chúng tơi nghiên cứu môđun đối cốt yếu đơn áp dụng lý thuyết vành mơđun; cụ thể áp dụng chúng vào lớp môđun mở rộng lớp mơđun nâng, mơđun nâng đơn Trong báo này, chúng tơi chứng minh 12 TẠP CHÍ KHOA HỌC XÃ HỘI, NHÂN VĂN VÀ GIÁO DỤC TẬP 4, SỐ (2014) môđun N M gọi đối cốt yếu đơn M N  Rad ( M ) (Mệnh đề 2.2) Hơn chúng tơi Lại có: I1 = M , I = M , , I k = M Nên (I1 + I + + I k ) = M (2.2.2) chứng minh lớp mơđun nâng đơn đóng tổng trực tiếp môđun M gọi nâng đơn với A  M , tồn Từ (2.2.1) (2.2.2) ta có K = M Điều mâu thuẫn K  M Mâu thuẫn chứng A = N  S cho N  d M S = n  N Như N = m M (Mệnh đề 3.2) Từ chúng tơi cịn chứng minh được: Cho M môđun nâng đơn X  M Nếu hạng tử trực tiếp K M, ( X + K ) / X hạng tử trực tiếp M / X , M / X mơđun nâng đơn (Định lý 3.7) Ngồi số tính chất khác mơđun đối cốt yếu đơn mơđun nâng đơn ví dụ chúng xét đến Môđun đối cốt yếu đơn Định nghĩa 2.1 Một môđun N M gọi đối cốt yếu đơn M, ký hiệu N= m M với n  N , M  nR + K , với tỏ nR + K  M Suy nR = M , với m M Ví dụ 2.3 (1) Với mơđun M Rad ( M ) = m M (2) Nếu Rad ( M ) = M môđun M đối cốt yếu đơn M (3) Nếu M mơđun địa phương môđun thực M đối cốt yếu đơn M (4) Mọi môđun môđun hổng, không địa phương M đối cốt yếu đơn M (5) M Z-môđun tự Từ Rad(Z) = ta có Rad (M) = Khi mơđun đối cốt K môđun thực M, tức với yếu đơn M n  N , nR = M Từ bổ đề trên, bắt đầu với vài tính chất mơđun đối cốt yếu đơn, tính chất thường sử dụng cho kết sau Mệnh đề 2.2 Cho N môđun môđun M Khi N = m M N  Rad ( M ) Bổ đề 2.4 Cho A, B C môđun R-môđun M Chứng minh () Với n  N Ta có : N= m M nên nR = M Khi : m B B  C A = (2) Nếu A = m M , A  B B d M m M f : M → N C m n  nR  Rad ( M ) Điều chứng tỏ N  Rad ( M ) A= () Với n  N Do N  Rad ( M ) nên n  Rad ( M ) , suy n  I1 + I + + I k với I i = M , i = 1, k Khi tồn m B (3) Nếu A = đồng cấu f ( A) = m f (M) (4) Cho A  B Khi B = i1 , i2 , , ik  I1 , I , , I k : n = i1 + i2 + + ik Vì nR  I1 + I + + I k Gọi K môđun thực M Ta phải nR + K  M Giả sử ngược lại nR + K = M Khi đó: (I1 + I + + I k ) + K = M (1) Nếu A = (2.2.1) A = m M B / A = m m M M / A (5) Cho A1 , A2 , , An môđun đối cốt yếu đơn M Khi đó: A1 + A2 + + An = m M (6) A + B = m M 13 UED JOURNAL OF SOCIAL SCIENCES, HUMANITIES AND EDUCATION A= M B = m M m (7) Cho N môđun môđun M, Rad ( M ) = M Khi N = m M N = M Chứng minh (1) Từ A = m B B  C , ta có A  Rad ( B)  Rad (C ) Vì A= m C (2) Từ A = M A  B d M , ta có m A  Rad (M )  B Nhưng ( Rad ( M )  B) = Rad ( B) A  Rad (B) Vậy A = (3) Từ A = m m B M nên A  Rad (M ) , f đồng cấu nên f ( A)  f ( Rad ( M )) Nhưng f ( Rad (M ))  Rad ( f ( M )) Điều kéo theo f(A) = (4) () Từ A  B B = m M ta có A  B  Rad ( M ) , nên A  Rad (M ) , suy A  Rad (M ) Mặt khác B = m M f ( B) = m M / A m f ( M ) hay B / A = () Từ A = m M B / A = m M / A ta có A  Rad (M ) B / A  Rad (M / A) Mà ta lại có Rad ( M / A)  Rad(M) / A Từ ta suy ta B  Rad (M) Vì ta chứng minh B = m M (7) () Vì N = m M Rad (M) = M nên N  Rad (M) = M Do N = M () Rõ ràng Môđun nâng đơn Trong phần đưa nghiên cứu lớp môđun mở rộng lớp môđun nâng lớp môđun nâng đơn 14 M = A  B cho A  N N  B đối cốt yếu đơn M có nghĩa với N  M , tồn phân tích M = A  B cho A  N N  B  Rad (M ) Mệnh đề cho ta biết điều kiện tương đương môđun nâng đơn Mệnh đề 3.2 (1) Các điều kiện sau tương đương môđun M R : (i) M nâng đơn (ii) Với A  M , tồn A = N  S cho N  d M S = m M (iii) Với A  M , tồn N  d M cho N  A A / N = m M /N A M , e = e2  End ( M ) f ( M ) m Định nghĩa 3.1 Môđun M gọi nâng đơn nếu, với N  M tồn phân tích (iv) Với Khi f ( A)  Rad ( f ( M )) VOL.4, NO.1 (2014) cho tồn e(M)  A (1 − e) A  Rad (1 − e)M (2) Các lớp mơđun nâng đơn đóng tổng trực tiếp Chứng minh (1) (i)  (ii) Với A  M , từ (i) ta có M nâng đơn nên tồn M = N  N ' cho N  A N '  A = m M Khi N  ( N '  A) = A (Luật Modular), nên N '  A = S Do S = m M (ii)  (iii) Với A  M , (ii) nên tồn A = N  S cho N  d M S= m M Với a + N  A / N , a  A ; ta có (a + N ) R = M / N Vậy nên A / N = m M /N (iii)  (iv) Với A  M , (iii) ta có N  d M nên tồn e = e2  End ( M ) : e( M ) = N (1 − e) M = N ' Do N  A nên e( M )  A Tiếp theo chứng minh (1 − e) A  Rad ((1 − e)M ) Thật TẠP CHÍ KHOA HỌC XÃ HỘI, NHÂN VĂN VÀ GIÁO DỤC với a  A , H  (1 − e)M : (1 − e)aR + H = (1 − e)M Do (a + e( M )) R + H = (1 − e) M , ta suy (a + e( M )) R + ( H + e( M )) / e( M ) = (1 − e) M + e( M ) Vì (a + e(M)) R + (H+ e(M)) / e(M) = M / e(M) Từ (iii) ta có A/ e(M) = m M / e( M ) Vậy nên H + e(M ) = M Suy ra: ( H + e(M ))  (1 − e( M )) = M  (1 − e) M Hơn dùng luật Modular ta chứng H = (1 − e)M Do với a  A,(1 − e)aR = (1 − e) M Vậy (1 − e) A  Rad (1 − e)M (iv)  (i) Với A  M , từ (iv) ta có e = e2  End ( M ) , e(M )  A nên ta có M = M  M Khi M = e( M )  A M  A Vì (1 − e) A  M nên (1 − e) A  Rad ((1 − e)M )  Rad (M ) Bây ta cần chứng minh (1 − e) M  A = (1 − e) A (1 − e) M = M Thật vậy, với (1 − e)a  (1 − e) A, e(M )  A nên ta có (1 − e)a  (1 − e) M  A  (1 − e) A  ((1 − e) M A) Tiếp đến y  (1 − e)M  A tồn m  M , a  A : (1 − e)m = a  m = em + a  A Do y  (1 − e) A Suy ((1 − e) M  A)  (1 − e) A Vì m M Vậy M nâng đơn (2) Giả sử M nâng đơn, K hạng tử trực tiếp M Với L  K  M , M nâng đơn nên tồn phân tích M = M  M cho M1  L M  L = m M1  ( M  K ) = K L  (M  K ) = L  M = m M Theo Bổ đề (2.4)(2) suy ( M  K )  L = m K Vậy ta chứng minh K nâng đơn Ví dụ 3.3 Rõ ràng mơđun nâng mơđun nâng đơn Định nghĩa 3.4 M gọi môđun hổng môđun thực M đối cốt yếu M Định nghĩa 3.5 M  gọi môđun địa phương tồn môđun lớn khác M Mệnh đề ta chứng minh điều kiện tương đương mơđun nâng đơn, mơđun khơng phân tích Mệnh đề 3.6 Cho M môđun khác không, khơng phân tích Các điều kiện sau tương đương: (1) M môđun nâng đơn (2) Mọi môđun thực đối cốt yếu đơn M (3) Rad(M) tổng tất môđun thực M (4) Rad (M ) = M M môđun địa phương (5) M nửa hổng (1 − e)a = a − ea  A Lại có M2  A = TẬP 4, SỐ (2014) M Ta có Chứng minh : (i)  (ii) Với N  M , N  M , M nâng đơn nên tồn phân tích M = C  D cho C  N , D  N = m M Do M khơng phân tích nên C = C = M Chúng ta ýM  N , N= m nên ta có C = 0, D = M Vậy M (ii)  (iii) Đặt E =  I , với I mơđun thực mơđun M Ta có theo (ii) ta có E  M,E  M, 15 UED JOURNAL OF SOCIAL SCIENCES, HUMANITIES AND EDUCATION E= m M  E  Rad ( M ) Mặt khác VOL.4, NO.1 (2014) d  D, d '  D ' cho d + X = d ' + X , suy Rad (M )  E , ta chứng minh d − d '  X Do M môđun phân phối nên Rad (M ) = E X = ( D I X )  ( D'  X ) nên (iii)  (iv) Giả sử Rad (M )  M Khi M mơđun địa phương d − d '  ( D I X )  ( D '  X ) , suy y  X Khi M / X = ( X + D) / X  ( X + D ' ) / X (iv)  (i) Hiển nhiên Theo (1) M / X mơđun nâng đơn (v)  (iv) Nếu Rad (M ) = M chứng (3) Hoàn toàn tương tự chứng minh ta có điều cần chứng minh Bây Rad(M)  M Rad ( M ) mơđun thực (2) Vì eX  X với e2 = e  End ( M ) nên M Vì Rad(M) mơđun lớn Nên M môđun địa phương Các định lý sau đưa vài điều kiện để đảm bảo môđun thương môđun nâng đơn môđun nâng đơn Định lý 3.7 (1) Giả sử M môđun nâng đơn X  M Nếu K hạng tử trực tiếp M, ( X + K ) / X hạng tử trực tiếp M / X Khi M / X môđun nâng đơn (2) Nếu M môđun phân phối, M / X mơđun nâng đơn với X  M X  M (3) Cho eX  X với e2 = e  End ( M ) Khi M / X nâng đơn Chứng minh (1) Với A / X  M / X , suy X  A  M Do M môđun nâng đơn nên ( X + D) / X  ( X + D ' ) / X = X Khi ta có điều phải chứng minh Bổ đề 3.8 Cho M môđun Nếu M nửa hổng mơđun thương M nửa hổng Chứng minh Bổ đề chứng minh dễ dàng Cho M môđun, M = iI M i , M i môđun M Nếu N mơđun bất biến hồn tồn M N = iI ( N  M i ) Bổ đề 3.9 Cho M môđun đối ngẫu M = M  M Khi M mơđun nâng đơn M M môđun nâng đơn Chứng minh : () Hiển nhiên () Giả sử M M môđun nâng M = K  K cho K  A A / K = m M / K Vì (X + K) / X hạng tử trực đơn Với K  M , ta có M = M  M Do tiếp M/ X , nên ( X + K ) / K  A / X K = ( M1  K )  ( M  K ) Từ M  K ' tồn A / (K + X ) = m M / ( K + X ) Vậy M/ X môđun nâng đơn (2) Với D hạng tử trực tiếp M, có nghĩa M = D  D' Ta có M / X = ( X + D) / X + ( X + D ' ) / X Ta cần chứng minh ( X + D) / X  ( X + D ' ) / X = X M đối ngẫu nên ta có M  K mơđun M M Lúc tồn A1 , B1  M cho A1  (M1  K ) M = A1  B1 B1  ( K  M1 ) = B1  K = B1 A2 , B2  M cho A2  ( M  K ) Thật với M = A2  B2 để y  ( X + D) / X  ( X + D ' ) / X , tồn B2  ( K  M ) = B2  K = 16 m m B2 Lúc TẠP CHÍ KHOA HỌC XÃ HỘI, NHÂN VĂN VÀ GIÁO DỤC M = A1  A2  B1  B2 , A1  A2  K TẬP 4, SỐ (2014) Vậy M môđun nâng đơn ( B1  B2 )  K  ( B1  K )  ( B2  K ) = m M1  M TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] F.W.Anderson and K.R.Fuller (1974), Rings and Categories of Modules, Springer-Verlag, New York [2] J.Clark, C.Lomp, N.Vanaja and R.Wisbauer (2006), Lifting Modules, Frontiers in Mathematics, Birkhauser [3] M.T.Kosan (2005), The Lifting Condition and Fully Invariant Submodules, East-West Journal of Math, 7(1) (2005) 99-106 [4] Y Wang and N Ding (2006), Generalized Supplemented Modules, Taiwanese J Mathematics, 10 (2006), 1589-1601 [5] Wisbauer R (1991), Foundations of Module and Ring Theory; Gordon and Breach: Reading 17 ... Rad ( M ) = M mơđun M đối cốt yếu đơn M (3) Nếu M mơđun địa phương mơđun thực M đối cốt yếu đơn M (4) Mọi môđun môđun hổng, không địa phương M đối cốt yếu đơn M (5) M Z -môđun tự Từ Rad(Z) = ta... (M) = M Do N = M () Rõ ràng Môđun nâng đơn Trong phần đưa nghiên cứu lớp môđun mở rộng lớp môđun nâng lớp môđun nâng đơn 14 M = A  B cho A  N N  B đối cốt yếu đơn M có nghĩa với N  M , tồn... Vậy ta chứng minh K nâng đơn Ví dụ 3.3 Rõ ràng mơđun nâng môđun nâng đơn Định nghĩa 3.4 M gọi môđun hổng môđun thực M đối cốt yếu M Định nghĩa 3.5 M  gọi môđun địa phương tồn môđun lớn khác M Mệnh