Môđun giả nội xạ cốt yếu

Bài viết trình bày các tính chất cơ bản của các môđun giả nội xạ cốt yếu lẫn nhau và môđun giả nội xạ cốt yếu đã được nghiên cứu. Hơn nữa, mối quan hệ của chúng với các môđun giả nội xạ sẽ được giới thiệu trong bài viết.

UED JOURNAL OF SOCIAL SCIENCES, HUMANITIES AND EDUCATION VOL.2, NO.2 (2012) MÔĐUN GIẢ NỘI XẠ CỐT YẾU Phan Thế Hải, Trương Cơng Quỳnh * TĨM TẮT Cho M N môđun Môđun M gọi N- giả nội xạ cốt yếu với môđun A cốt yếu N, với đơn cấu f : A → M mở rộng thành đồng cấu g : N → M Môđun M gọi môđun giả nội xạ cốt yếu M M − giả nội xạ cốt yếu Các tính chất môđun giả nội xạ cốt yếu lẫn môđun giả nội xạ cốt yếu nghiên cứu Hơn nữa, mối quan hệ chúng với môđun giả nội xạ chúng toi giới thiệu báo Từ khóa: giả nội xạ cốt yếu, giả nội xạ Mở đầu Cho M N R − môđun phải vành R Môđun M gọi N − giả nội xạ với môđun A N , với đơn cấu HomR ( A, M ) mở rộng thành đồng cấu thuộc HomR ( N , M ) Môđun M gọi giả nội xạ M M − giả nội xạ [3] Gần đây, nhiều tác giả quan tâm đến lớp môđun giả nội xạ mở rộng chúng theo nhiều hướng khác [1, 2, 3, 6] Theo [1], môđun M gọi N − giả nội xạ cốt yếu với môđun A cốt yếu N , với đơn cấu f : A → M mở rộng thành đồng cấu g : N → M Môđun M gọi môđun giả nội xạ cốt yếu M M − giả nội xạ cốt yếu Một số tính chất môđun giả nội xạ cốt yếu ứng dụng chúng QF − vành đưa Trong báo này, số đặc trưng khác môđun giả nội xạ cốt yếu lẫn môđun giả nội xạ cốt yếu Việc đặc trưng số lớp vành cổ điển thông qua môđun giả nội xạ cốt yếu nghiên cứu Trong toàn báo, vành R xét vành kết hợp có phần tử đơn môđun xét vành R R − môđun phải unita Chúng ký hiệu M R để M R − môđun phải Với N môđun M, dùng ký hiệu A  M ( M  N ), N  M N e M để ký hiệu N môđun M (tương ứng, môđun thực sự), N hạng tử trực tiếp M N môđun cốt yếu M Môđun giả nội xạ cốt yếu cốt yếu lẫn Cho M N môđun Môđun M gọi N − giả nội xạ cốt yếu với môđun A cốt yếu N, với đơn cấu f : A → M mở rộng thành đồng cấu g : N → M Môđun M gọi môđun giả nội xạ cốt yếu M M − giả nội xạ cốt yếu Dễ dàng suy M N − giả nội xạ M N-giả nội xạ cốt yếu Nhưng điều ngược lại không trường hợp tổng quát 13 TẠP CHÍ KHOA HỌC XÃ HỘI, NHÂN VĂN VÀ GIÁO DỤC TẬP 2, SỐ (2012) Ví dụ 2.1 Cho p số ngun tố Khi Z-mơđun Z/p2 Z  Z/p2 - giả nội xạ cốt yếu khơng phải Z  Z/p2 - giả nội xạ Trước hết, đặc trưng môđun giả nội xạ cốt yếu đặc trưng chứng minh [6, Theorem 2.2] Định lý 2.2 Các điều kiện sau tương đương môđun M N : (1) M N − giả nội xạ cốt yếu (2)  ( N )  M với đơn cấu  : E ( N ) → E (M ) Chứng minh (1)  (2) Cho  : E ( N ) → E (M ) đơn cấu Đặt A = N   −1 ( M ) , A e N  ( A)  M Vì vậy, tồn đồng cấu g : N → M cho g (a) =  (a) a  A Ta chứng minh g (n) =  (n) n  N Giả sử n0  N để g (n0 )   (n0 ) Đặt x = g (n0 ) −  (n0 )  E ( M ) Vì M e E ( M ) nên tồn r  R cho  xr = g (n0 r ) −  (n0 r )  M Do  (n0 r )  M   (n0 r ) = g (n0 r )  xr = 0, điều mâu thuẫn (2)  (1) Giả sử f : A → M đơn cấu cốt yếu với A e N Hiển nhiên E ( A) = E ( N ) Do A e N nên tồn đơn cấu g : E ( N ) → E ( M ) cho g g (N )  M Vậy g mở rộng cần tìm f A = f Do Hệ 2.3 Các điều kiện sau tương đương: (1) M giả nội xạ cốt yếu (2)  ( M )  M với đơn cấu  E (M ) Một mô đun N M gọi bất biến hoàn toàn f ( N ) chứa N với f  End ( M R ) Rõ ràng M môđun bất biến M Định lý 2.4 Các điều kiện sau tương đương môđun M : (1) Mọi môđun M giả nội xạ cốt yếu (2) M giả nội xạ cốt yếu mơđun cốt yếu M bất biến hồn toàn qua đơn cấu M (3) Mọi môđun cốt yếu M giả nội xạ cốt yếu Chứng minh (1)  (2) Cho f đơn cấu M Khi tồn đơn cấu g E (M ) cho g mở rộng f Do với mơđun cốt yếu H M g ( H )  H f ( H )  H (vì E ( H ) = E (M ) ) 14 UED JOURNAL OF SOCIAL SCIENCES, HUMANITIES AND EDUCATION VOL.2, NO.2 (2012) (2)  (3) Cho H môđun cốt yếu M Đặt f : A → H đơn cấu với A  e H Khi tồn đơn cấu g E ( M ) cho g mở rộng f Từ suy f ( H )  H g H mở rộng f (3)  (1) Giả sử H mơđun M , tồn môđun K M cho H  K e M Theo (3), H  K giả nội xạ cốt yếu, H giả nội xạ cốt yếu Hai môđun M N gọi giả nội xạ cốt yếu lẫn M N − giả nội xạ cốt yếu N M − giả nội xạ cốt yếu Mệnh đề 2.5 Cho M N môđun (1) M N − giả nội xạ cốt yếu M K − giả nội xạ cốt yếu với môđun cốt yếu K M (2) Nếu M N − giả nội xạ cốt yếu K đẳng cấu với N, M K − giả nội xạ cốt yếu (3) Giả sử M N môđun giả nội xạ cốt yếu Nếu tồn đẳng cấu môđun A B cho A e N B e M M đẳng cấu với N (4) Giả sử A B môđun giả nội xạ cốt yếu lẫn Nếu E(A) đẳng cấu với E(B) với đẳng cấu từ E ( A) → E ( B) thu gọn thành đẳng cấu A → B , nói riêng A đẳng cấu với B Do vậy, A B môđun giả nội xạ cốt yếu Chứng minh (1) Cho L e K e N f : L → M đơn cấu Dễ thấy E ( L) = E ( K ) = E ( N ) Khi tồn đơn cấu g : E ( A) → E ( B) cho g L = f Theo Định lý 2.2, từ M N − giả nội xạ cốt yếu, suy g ( N )  M Vậy g ( K )  M (2) Cho L  e K g : K → N đẳng cấu Rõ ràng, g ( L) e N Ta có, với đơn cấu f : L → M tồn đơn cấu fg  : g ( L) → M , g  : g ( L) → L đơn cấu Do M N − giả nội xạ cốt yếu nên ánh xạ hợp thành fg  mở rộng thành h : N → M Do hg : K → M đồng cấu cần tìm (3) Cho f : A → B đẳng cấu Do M N − giả nội xạ cốt yếu nên tồn đồng cấu g : E ( N ) → E (M ) cho g A = f Từ A e N B e M , ta có g đẳng cấu Do g ( N )  M g −1 ( M )  N (theo Định lý 2.2) Vì vậy, g N : N → M đẳng cấu (4) Cho g : E ( A) → E ( B) đẳng cấu Vì B A − giả nội xạ cốt yếu nên 15 TẠP CHÍ KHOA HỌC XÃ HỘI, NHÂN VĂN VÀ GIÁO DỤC TẬP 2, SỐ (2012) g ( A)  B (theo Định lý 2.2) Tương tự g −1 ( B)  A Khi B = ( gg −1 )( B) = g (( g −1 )( B))  g ( A)  B Vì vậy, g ( A) = B g A : A → B đẳng cấu Từ A B − giả nội xạ cốt yếu B đẳng cấu với A, suy A A − giả nội xạ cốt yếu hay A môđun giả nội xạ cốt yếu Sau đây, chúng tơi trình bày số tính chất khác mơđun N − giả nội xạ cốt yếu Định lý 2.6 Cho M N môđun (1) N môđun nửa đơn M N − giả nội xạ cốt yếu với môđun M (2) Giả sử N = A  B M = C  D cho B nhúng D Nếu M N − giả nội xạ cốt yếu C A − giả nội xạ cốt yếu Chứng minh (1) Lấy A  N C  N cho A  C e N Giả sử  : A  C → N đơn cấu tắc Do A  C N − giả nội xạ cốt yếu nên tồn f : N → A  C cho f  = 1AC , tức N = A  C Điều ngược lại hiển nhiên (2) Giả sử  : B → D đơn cấu Đặt f : H → C đơn cấu với H  e A Thế thì, f   : H  B → M đơn cấu Do M N − giả nội xạ cốt yếu nên tồn đồng cấu g : M → N cho g mở rộng f   Đặt f =  g : A → C  : M → C phép chiếu  : A → C đơn cấu tắc Khi f H = f Vì vậy, C A − giả nội xạ cốt yếu Hệ 2.7 Mỗi hạng tử trực tiếp môđun giả nội xạ cốt yếu giả nội xạ cốt yếu Chứng minh Hệ suy từ Định lý 2.6 Tiếp theo xét điều kiện môđun tựa nội xạ thông qua điều kiện giả nội xạ cốt yếu Bổ đề 2.8 Mọi môđun giả nội xạ cốt yếu thỏa mãn tính chất (C3) Chứng minh Cho M môđun giả nội xạ cốt yếu Giả sử A B hạng tử M cho A  B = Chúng ta cần chứng minh A  B hạng tử M Đặt M = A  A  : M → A phép chiếu tắc Gọi C mơđun M cho ( A + B)  C = A  B  C e M Đặt D = B  C , A  D = A   ( D) 16  D : D →  ( D) đẳng cấu Vì vậy, UED JOURNAL OF SOCIAL SCIENCES, HUMANITIES AND EDUCATION 1A   D VOL.2, NO.2 (2012) : A  D → A   ( D) đẳng cấu Do M giả nội xạ cốt yếu A  D cốt yếu M nên 1A   D mở rộng thành đẳng cấu g M Vì B hạng tử M  ( B) = g ( B) hạng tử M nên suy  ( B ) hạng tử A Do A  B = A   ( B) hạng tử M Định lý 2.9 M tựa nội xạ M CS − môđun giả nội xạ cốt yếu Chứng minh Từ Bổ đề 2.8 giả thiết ta có M tựa liên tục Khi đó, với f  End ( E ( M )) f = e + g e2 = e  End ( E ( M )) g  Aut ( E ( M )) Do f (M ) = e(M ) + g (M )  M Vậy M tựa nội xạ Hệ 2.10 M tựa nội xạ M CS − môđun giả nội xạ Trong phần xét tính chất vành giả nội xạ cốt yếu kết lấy từ [6] Một vành R gọi giả nội xạ cốt yếu phải RR môđun giả nội xạ cốt yếu Định lý 2.11 Cho M môđun tự sinh Nếu End ( M ) giả nội xạ cốt yếu phải M giả nội xạ cốt yếu Chứng minh Đặt S = End (M ) f : A→M đơn cấu với A e M Đặt I =  g  S / g ( M  A , I iđêan phải S Chúng ta chứng minh I iđêan phải côt yếu S Thật vậy, với  s  S s (m0 )  cho m0  M Do A e M nên tồn r  R cho  s(m0 r )  A hay (m0 rR)  A Mặt khác, từ M môđun tự sinh nên m0 rR =  uK u ( M ) cho K  S Nhưng m0 rR  nên tồn u  K cho  su(M )  A hay  su  I Ta xây dựng đồng cấu  : I → S S cho  ( g ) = fg Do f R-đơn cấu nên  S − đơn cấu Vì S giả nội xạ cốt yếu phải nên  ( g ) = f g cho f  S Vậy f g = fg , g  I Với a  A , tồn u1 , , uk  I ; m1 , , mk  M cho a = u1 (m1 ) + + uk (mk ) Do vậy, f (a) = f u1 (m1 ) + + f uk (mk ) = fu1 (m1 ) + + fuk (mk ) = f (a) , tức f mở rộng f Cho R vành  lớp R − môđun,  gọi socle fine M , N  Soc(M) đẳng cấu với Soc(N) M đẳng cấu với N ([4]) Một môđun M gọi giả nội xạ cốt yếu mạnh M N − giả nội xạ 17 TẠP CHÍ KHOA HỌC XÃ HỘI, NHÂN VĂN VÀ GIÁO DỤC TẬP 2, SỐ (2012) cốt yếu với N R − môđun phải Chúng ta ký hiệu  lớp R − môđun phải giả nội xạ cốt yếu mạnh  lớp R − môđun phải xạ ảnh Định lý 2.12 Các điều kiện sau tương đương vành R (1) R QF − vành ( 2) Hợp    socle fine Chứng minh (1)  (2) Nếu R QF − vành R − môđun xạ ảnh nội xạ Vậy    =  Lấy M , N   cho Soc(M) đẳng cấu với Soc(N), E(Soc(M)) đẳng cấu với E(Soc(N)) Vì R vành Artin phải nên Soc( M ) e M Soc( N ) e N , E(M) đẳng cấu với E(N) Kết hợp với (4) mệnh đề 2.5 ta nhận M đẳng cấu với N Điều chứng tỏ    socle fine (2)  (1) Cho P R − môđun phải xạ ảnh, P , E ( P)   Soc(P) đẳng cấu với Soc(E(P)) Từ ( ) có P đẳng cấu với E(P) P nội xạ Vì R QF − vành Định lý 2.13 Các điều kiện sau tương đương vành R (1) R vành nửa đơn ( 2) Họ môđun giả nội xạ cốt yếu socle fine ( 3) Họ  socle fine Chứng minh (1)  (2) Vì R vành nửa đơn nên họ R − môđun socle fine (2)  (3) Hiển nhiên (3)  (1) Dễ thấy Soc(E(RR)) đẳng cấu với Soc(RR), từ E ( RR ) Soc(M ) mơđun giả nội xạ cốt yếu nên có E(RR) đẳng cấu với Soc(RR), (theo (3)) Điều suy E ( RR ) vành nửa đơn R vành nửa đơn Tiếp theo, nghiên cứu lớp vành quan trọng Định lý 2.14 Cho R môđun giả nội xạ cốt yếu phải Nếu e2 = e  R thỏa mãn ReR = R S = eRe giả nội xạ cốt yếu phải Chứng minh Đặt  : T → S S S − đơn cấu cốt yếu, T iđêal phải cốt yếu S 18 UED JOURNAL OF SOCIAL SCIENCES, HUMANITIES AND EDUCATION Đặt đồng cấu h : TR → RR cho h (  t r ) =   (t ) r i i i i i i VOL.2, NO.2 (2012) với ti  T ri  R Giả  t r = , với r  R  t r re =  t (er re) = , suy   (t (erre)) =   (t )(erre) =    (t )r re =   (t )r = sử i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i Điều có nghĩa  R − đồng cấu Lặp lại trình h R − đơn cấu Tiếp theo, TR e eR Im(h) e eR Thật vậy, với  ex  eR tồn x0  R cho exx0 e  Vì T e SS nên tồn ex1e  S cho  ( exx0 e ) ex1e  T hay  (ex)( x0ex1e)  TR , suy TR e eR Do đó, TR  (1 − e) R e RR Im h  (1 − e) R e RR Điều chứng tỏ tồn R − đơn cấu cốt yếu g : TR  (1 − e) R → RR mở rộng h Vì R mơđun giả nội xạ cốt yếu phải nên g mở rộng thành R − đồng cấu  : RR → RR Do tồn c  R cho  ( x) = cr r  R Khi  (t ) = e (t ) = e (t ) = ect = ecet Đặt  : S S → S S với  (s) = (ece)s s  S ,  S − đồng cấu mở rộng đồng cấu  Ví dụ sau giả thiết ReR = R Định lý 2.15 khơng thể thiếu Ví dụ 2.15 Cho R [5, Example 9], tức a x 0  0 b 0 0 c y K có dạng  0 0 a 0 0  0 0 R đại số ma trận trường 0  0 0  0 b z  c  Đặt e = e11 + e22 + e33 + e44 + e55 , eij ma trận đơn vị, e lũy đẳng R ReR  R Hơn nữa, R giả nội xạ cốt yếu phải S = eRe giả nội xạ cốt yếu phải Chứng minh Theo [5, Example 9], R QF − vành, S = eRe QF − vành đẳng cấu với vành ma trận cấp hai tam giác trường K Khi R đẳng cấu bất biến phải, S CS phải Artin phải Nếu S giả nội xạ cốt yếu phải S QF − vành theo Định lý 2.15 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Alahmadi, A., Er, N and Jain, S.K (2005) Modules which are invariant under monomorphisms of their injective hulls J Aust Math Soc 79(3):349-360 [2] Dinh, H.Q.(2005) A note on pseudo-injective modules Commun Algebra 19 TẠP CHÍ KHOA HỌC XÃ HỘI, NHÂN VĂN VÀ GIÁO DỤC TẬP 2, SỐ (2012) 33:361-369 [3] Jain, S.K and Singh, S (1975) Quasi - injective and pseudo - injective modules, Canad Math Bull., 18(3)359-365 [4] Idelhadj, A., Kaidi, E., Martin, Barquero, D., Martn Gonzlez, C (2004) Rings whose class of projective modules is socle fine Publ Mat 48(2), 397-408 [5] Koike, K (1995) Dual rings and cogenerator rings Math J Okayama Univ 37:99103 [6] Quynh, T C., Hai, P T Relative essentially pseudo injective Preprint ESSENTIALLY PSEUDO INJECTIVE MODULES Phan The Hai, Truong Cong Quynh Baria -Vungtau teacher training College Faculty of Mathematics, The University of Danang, University of Science and Education ABSTRACT Let M and N be two modules M is called essentially pseudo N-injective if any essential submodule A of N, any monomorphism f : A → M can be extended to some g  Hom(M , N ) M is called the essentially pseudo injective module if M is essentially pseudo M-injective In this paper, basic properties of mutually essentially pseudo injective modules and essentially pseudo injective modules are proved and their connections with pseudo-injective modules are addressed Key words:essentially pseudo injective, pseudo injective * ThS Phan Thế Hải, Trường CĐSP Bà Rịa – Vũng Tàu TS Trương Công Quỳnh, Email: tcquynh@dce.udn.vn Trường Đại học Sư phạm, ĐHĐN 20 ... Giả sử H mơđun M , tồn môđun K M cho H  K e M Theo (3), H  K giả nội xạ cốt yếu, H giả nội xạ cốt yếu Hai môđun M N gọi giả nội xạ cốt yếu lẫn M N − giả nội xạ cốt yếu N M − giả nội xạ cốt. .. cốt yếu Mệnh đề 2.5 Cho M N môđun (1) M N − giả nội xạ cốt yếu M K − giả nội xạ cốt yếu với môđun cốt yếu K M (2) Nếu M N − giả nội xạ cốt yếu K đẳng cấu với N, M K − giả nội xạ cốt yếu (3) Giả. .. tiếp môđun giả nội xạ cốt yếu giả nội xạ cốt yếu Chứng minh Hệ suy từ Định lý 2.6 Tiếp theo xét điều kiện môđun tựa nội xạ thông qua điều kiện giả nội xạ cốt yếu Bổ đề 2.8 Mọi môđun giả nội xạ cốt