MÔĐUN NỘI XẠ CỐT YẾU

Trong lý thuyết môđun, hai lớp môđun được các nhà toán học quan tâm nghiên cứu là lớp môđun nội xạ và lớp môđun xạ ảnh.

MỤC LỤC Trang CÁC KÍ HIỆU DÙNG TRONG LUẬN VĂN 2 LỜI NÓI ĐẦU 3 Chương I. KIẾN THỨC CƠ BẢN 5 §1. Môđun nội xạ và môđun con cốt yếu. 5 §2. Chiều Goldie và CS – môđun. 12 Chương II. MÔĐUN NỘI XẠ CỐT YẾU 17 §1. Môđun giả nội xạ. 17 §2. Môđun giả nội xạ cốt yếu. 24 §3. Môđun nội xạ cốt yếu. 28 KẾT LUẬN 34 TÀI LIỆU THAM KHẢO 35 1 CÁC KÍ HIỆU DÙNG TRONG LUẬN VĂN MA ≤ : A là môđun con của môđun M. MA e ≤ : A là môđun con cốt yếu của môđun M. o ≤ : quan hệ thứ tự. MA ⊆ : A là tập hợp con của tập M. ( ) M,NHom : tập tất cả các đồng cấu môđun từ N đến M. ⊕ : tổng trực tiếp của các môđun. MN:f → : phép tương ứng từ N đến M. NM : môđun thương của M trên N. : phép nhúng. A ϕ : thu hẹp của ϕ trên A. MN ≅ : môđun N đẳng cấu với M.  : kết thúc một chứng minh. 2 LỜI NÓI ĐẦU Trong lý thuyết môđun, hai lớp môđun được các nhà toán học quan tâm nghiên cứu là lớp môđun nội xạ và lớp môđun xạ ảnh. Trên cơ sở tương tự dựa trên yếu tố nội xạ, người ta đã mở rộng ra nhiều lớp môđun. Các lớp môđun như: môđun giả nội xạ, môđun giả nội xạ cốt yếu đã được nghiên cứu bởi S.K.Jain and S.Singh (1967), M.L.Teply (1975), A.A.Tuganbaev (1978), Đinh Quang Hải … ; các lớp CS – môđun, môđun liên tục cũng được Đinh Văn Huỳnh, Nguyễn Việt Dũng, P.F.Smith, R. Wisbauer, N. Er, M.Okado, S.H. Mohamed and B.J.Muller…phát triển, xây dựng mối liên hệ giữa các lớp môđun mở rộng với nhau và đã đưa ra được nhiều kết quả hữu ích trong việc phát triển lý thuyết môđun. Ngoài ra, lớp môđun nội xạ cốt yếu cũng được nghiên cứu và phát triển bởi He Qun. Lần đầu tiên, mối liên hệ giữa môđun nội xạ cốt yếu và hệ phương trình tuyến tính được thiết lập, tạo nền móng cho việc nghiên cứu, xây dựng đặc trưng của các lớp môđun mở rộng khác theo phương trình. Trên cơ sở vấn đề đặc trưng phương trình bởi môđun tựa nội xạ của A.Laradji: “mọi hệ phương trình tuyến tính tương thích mạnh trên môđun tựa nội xạ đều giải được”, He Qun đã đưa ra đặc trưng của môđun nội xạ cốt yếu theo phương trình: “một môđun là nội xạ cốt yếu khi và chỉ khi mọi hệ phương trình tuyến tính tương thích mạnh trên nó là giải được”. Tiếp tục nghiên cứu về lớp môđun nội xạ cốt yếu, luận văn đã trình bày một cách hệ thống một số vấn đề có liên quan về môđun giả nội xạ, giả nội xạ cốt yếu, môđun nội xạ cốt yếu và chứng minh được: môđun giả nội xạ là nội xạ cốt yếu, môđun nội xạ cốt yếu là giả nội xạ khi và chỉ khi nó là môđun đều. Luận văn cũng chứng minh các kết quả như: hệ quả 2.2.8, định lí 2.3.6, mệnh đề 2.3.7, mệnh đề 2.3.10. Cấu trúc của luận văn được chia thành hai chương: 3 – Chương I. Trình bày một số kiến thức cơ bản chuẩn bị. Các khái niệm được đề cập chủ yếu trong chương này là môđun nội xạ, môđun con cốt yếu, CS – môđun, môđun có chiều đều hữu hạn. – Chương II. Trên cơ sở xem xét trình bày các tính chất của môđun giả nội xạ, giả nội xạ cốt yếu, nghiên cứu về lớp môđun nội xạ cốt yếu. Chứng minh một số tính chất và đặc trưng của môđun nội xạ cốt yếu theo phương trình. Luận văn được hoàn thành tại trường Đại học Sư phạm Đồng Tháp, dưới sự gợi ý và hướng dẫn nhiệt tình của Thầy PGS.TS.Ngô Sỹ Tùng. Tác giả xin bài tỏ lòng biết ơn sâu sắc đối với Thầy, đồng thời tác giả cũng xin chân thành cảm ơn Thầy PGS.TS.Lê Quốc Hán, PGS.TS. Nguyễn Thành Quang, TS.Chu Trọng Thanh cùng quý thầy cô trong bộ môn Toán, khoa Sau đại học của Đại học Vinh, phòng QLKH&SĐH của ĐHSP Đồng Tháp, các bạn học viên cao học Toán khoá 13 tại ĐHSP Đồng Tháp đã hỗ trợ giúp đỡ và tạo điều kiện để tác giả hoàn thành luận văn này. Đồng Tháp, tháng 4 năm 2008. Tác giả 4 CHƯƠNG I. KIẾN THỨC CƠ BẢN §1. MÔĐUN NỘI XẠ VÀ MÔĐUN CON CỐT YẾU Trong luận văn này, ta xét vành R là vành kết hợp có phần tử đơn vị, kí hiệu là 1, và tất cả các môđun xét trên vành R đều là R – môđun trái Unita. 1.1.1 Định nghĩa – Cho M là R – môđun trái, môđun con A của M được gọi là môđun con cốt yếu, kí hiệu MA e ≤ , nếu với mọi môđun con X của M thoả mãn 0 =∩ XA thì X = 0. Môđun M được gọi là môđun đều nếu mọi môđun khác 0 của M đều cốt yếu trong M. Môđun con K của M được gọi là phần bù của môđun B trong M nếu K là môđun con tối đại trong số những môđun con của M có giao với B bằng không, và K được gọi là phần bù trong M nếu K là phần bù của môđun con nào đó của M. Môđun K được gọi là bao đóng của môđun B nếu K là mở rộng cốt yếu tối đại của B. – Môđun con K của M được gọi là môđun con đóng nếu K không có mở rộng cốt yếu thực sự nào trong M. 1.1.2 Tính chất (1) MA e ≤ khi và chỉ khi 0,,0 ≠∈∀≠∩ xMxxRA . (2) Cho MNA ≤≤ thì MA e ≤ khi và chỉ khi NA e ≤ và MN e ≤ . (3) Cho MA e ≤ và MK ≤ thì KKA e ≤∩ . (4) Cho MNA ≤≤ . Nếu AMAN e ≤ thì MN e ≤ . Chứng minh. (1) Hiển nhiên. (2) Giả sử A cốt yếu trong M, lấy môđun con X bất kỳ của N mà 0 =∩ XA . Do NX ≤ nên MX ≤ và MA e ≤ nên X = 0. Vậy NA e ≤ . Tương tự, lấy môđun con Y bất kỳ của M mà 0 =∩ YN . Do NA ≤ nên 0 =∩ YA và MA e ≤ . Suy ra Y = 0. Vậy, MN e ≤ . Ngược lại, nếu NA e ≤ và MN e ≤ thì với môđun con X bất kì của M mà 0 =∩ XA . Đặt XNB ∩= , ta có 0 =∩=∩∩=∩ XAXNABA , do NA e ≤ nên B = 0 0 =∩⇒ XN và do MN e ≤ 0 =⇒ X . Vậy MA e ≤ . 5 (3) Lấy X là môđun con bất kì của K sao cho 0 =∩∩ XKA hay 0 =∩ XA , do MA e ≤ 0 =⇒ X . Vậy KA ∩ cốt yếu trong K. (4) Lấy MX ≤ sao cho 0 =∩ XN . Khi đó, ( ) AXAN =⊕∩ , từ đây ta suy ra ( ) 0 =⊕∩ AXAAN . Do AMAN e ≤ nên ( ) 0 =⊕ AXA hay AXA =⊕ . Vậy X = 0 hay MN e ≤ .  1.1.3 Bổ đề Cho MN → : ϕ là đẳng cấu môđun trên R. Khi đó môđun con L của N cốt yếu trong N khi và chỉ khi ϕ (L) cốt yếu trong M. Chứng minh. (⇒) Cho NL e ≤ , thì MX ≤∀ sao cho ( ) 0=∩ XL ϕ . Suy ra: ( ) ( )( ) ( ) 00 111 ==∩=∩ −−− ϕϕϕϕ XLXL . Do NL e ≤ nên ( ) 0 1 = − X ϕ 0 =⇒ X (ϕ là đẳng cấu). Vậy ( ) ML e ≤ ϕ . (⇐) Cho ( ) ML e ≤ ϕ , thì NY ≤∀ sao cho 0 =∩ YL . Do ϕ đẳng cấu ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) 0 111 =∩=∩=∩⇒ −−− YLYLYL ϕϕϕϕϕϕϕ ( ) ( ) 0 =∩⇒ YL ϕϕ . Do ( ) ML e ≤ ϕ nên ( ) 0 = Y ϕ 0 =⇒ Y . Vậy NL e ≤ . 1.1.4 Mệnh đề Với mọi môđun con A của môđun M luôn tồn tại môđun con T của M sao cho MTA e ≤⊕ . Chứng minh. Đặt { } 0: =∩≤= AXMXS , vì S ∈ 0 nên ∅≠ S . Ta sắp thứ tự S theo quan hệ bao hàm. Lấy tập con sắp thứ tự tuyến tính của S sao cho: 21 ≤≤≤≤ n XXX Khi đó i i XB ∞ = ∪= 1 là môđun con của M và dễ thấy B là cận trên của dãy đã cho. Lấy BAx ∩∈ , suy ra có một số k nào đó sao cho k Xx ∈ . Từ đây ta có k XAx ∩∈ . Vậy x = 0 hay 0 =∩ AB . Do đó, theo bổ đề Zorn, S có phần tử tối đại là T. Ta chứng minh MTA e ≤⊕ . Thật vậy, MY ≤∀ thỏa mãn ( ) 0 =∩⊕ YTA . Ta có 0 =∩ YA và 0 =∩ YT . Nếu có Aa ∈ và YyTt ∈∈ , sao cho yta += thì TAtay ⊕∈−= , ta suy ra 0 = y và 0== ta . Như vậy ( ) 0 =⊕∩ YTA , ta suy ra ( ) SYT ∈⊕ . Do tính tối đại của T nên 0 = Y . Vậy MTA e ≤⊕ .  1.1.5 Bổ đề Nếu K là phần bù của B trong môđun M thì ( ) KMKBK e ≤⊕ . 6 Chứng minh. Giả sử KMKX ≤ sao cho ( ) 0 =∩⊕ KXKBK , ta có 0 =∩ BK và ( ) KXBK =∩⊕ . Khi đó: ( ) BXBXBK ∩=∩∩⊕= 0 . Do tính tối đại của K, nên X = K. Vậy 0 = KX hay ( ) KMKBK e ≤⊕ .  1.1.6 Mệnh đề Cho B là môđun con của M, K là phần bù của B trong M, thế thì: (1) K đóng trong M. (2) BK ⊕ là môđun con cốt yếu của M. Chứng minh. (1) Giả sử có một môđun con N của M sao cho NK e ≤ , thế thì, nếu KN ≠ , do 0 =∩ BK , K tối đại nên 0 ≠∩ BN . Ta có ( ) ( ) 0 =∩=∩∩=∩∩ BKBNKBNK , vì NK e ≤ , suy ra 0 =∩ BN . Điều này vô lý. Vậy, K đóng trong M. (2) Suy ra từ 1.1.4.  1.1.7 Định nghĩa Cho M và N là các R – môđun. – Môđun M được gọi là N – nội xạ nếu với mọi môđun con X của N, mọi đồng cấu f : MX → đều mở rộng thành đồng cấu MNg → : , tức là biểu đồ sau giao hoán: fig o = , trong đó i là phép nhúng đồng cấu. – Môđun M gọi là tựa nội xạ nếu M là M – nội xạ. – Môđun M gọi là môđun nội xạ nếu M là N – nội xạ, với mọi môđun N. – Hai môđun M và N được gọi là nội xạ lẫn nhau nếu M là N – nội xạ và N là M – nội xạ. – Bao nội xạ của môđun M, kí hiệu E(M), là môđun nội xạ bé nhất sao cho M cốt yếu trong E(M). 1.1.8 Mệnh đề [3, Proposition 18.12] Cho M là R – môđun trái. Khi đó: (1) M là nội xạ khi và chỉ khi M = E(M). (2) Nếu MN e ≤ thì E(N) = E(M). (3) Nếu QM ≤ và Q là môđun nội xạ thì ( ) 'EMEQ ⊕= . 7 X N M i f g (4) Nếu ( ) α ME A ⊕ là nội xạ (đặc biệt, nếu A là hữu hạn) thì ( ) ( ) αα MEME AA ⊕=⊕ . 1.1.9 Mệnh đề Giả sử môđun i Ii MM ∈ ⊕= là tổng trực tiếp các môđun i M . Khi đó các phát biểu sau là tương đương: (1) M là tựa nội xạ. (2) i M là tựa nội xạ và ( ) iIM − là i M – nội xạ với mọi Ii ∈ . Chứng minh. xem [6, Proposition 1.18]. 1.1.10 Mệnh đề Môđun M là nội xạ khi và chỉ khi với mọi ideal trái I của R, mọi đồng cấu MIf → : thì tồn tại Mm ∈ để ( ) Ixxmxf ∈∀= , . Chứng minh. (⇒) Cho M là môđun nội xạ. Lấy I là ideal trái của R, MI:f → là đồng cấu môđun. Vì R là R – môđun nên M là R – nội xạ. Do đó, f mở rộng thành đồng cấu MR:f * → . Đặt ( ) 1 * fm = . Khi đó: ,Ix ∈∀ thì ( ) ( ) xmxfxfxfxf ==== )1()1.(1. ** . (⇐) Giả sử đã có điều kiện đủ, ta chứng minh M là N – nội xạ, với mọi môđun N. Lấy X là môđun con tuỳ ý của N, MXg → : là đồng cấu bất kỳ. Ta chứng minh tồn tại đồng cấu g * là mở rộng của g. Thật vậy, xét họ { } gMTNTXTS X =→≤≤= ααα ,:,/),( . Ta thấy ( ) ∅≠⇒∈ SSgX , . Sắp thứ tự tập S theo quan hệ như sau: ( ) ( )      = ≤ ⇔≤ 12 21 2211 1 αα αα T o TT ,T,T . Ta chứng minh S thoả mãn bổ đề Zorn. Lấy tập con sắp thứ tự tuyến tính của S sao cho: ( ) ( ) ( ) ,T .,T,T onnooo ≤≤≤≤ ααα 2211 (a) Đặt NTTT i i ≤⇒∪= ∞ = 1 . Lấy MT → : α , với k TxkTx ∈∃⇒∈ : Ta định nghĩa ( ) ( ) xx k αα = . Dễ dàng kiểm tra được α là đồng cấu. Khi đó ( ) α ,T là cận trên của dãy (a). Theo bổ đề Zorn, S có phần tử tối đại, kí hiệu ( ) SB ∈ β , . Ta chứng minh NB = và g* = β. 8 X N AX AN M α π φ ϕ β Thật vậy, nếu BNaNB \ ∈∃⇒⊂ . Đặt RaBH += ⇒ HB ⊂ (do a∉B), ta xác định đồng cấu MHh → : cho bởi ( ) ( ) rmbrabh +=+ β , trong đó m được xác định như sau: Gọi { } BraRrI ∈∈= / . Ta hoàn toàn kiểm tra được I là ideal trái của R. Xác định đồng cấu MIg → : bởi ( ) ( ) Ir,rarg ∈= β . Theo giả thiết nên Mm ∈∃ để ( ) xmxg = , ∀x∈I. Như vậy, do HB ⊂ , và theo cách xác định của h nên h là mở rộng của β. Điều này mâu thuẫn với tính tối đại của ( ) β ,B . Vậy, NB = và lấy g* = β. Vậy g* là mở rộng của g.  1.1.11 Mệnh đề Nếu M là N – nội xạ và NA ≤ thì M là A – nội xạ và AN – nội xạ. Chứng minh. Trước hết ta chứng minh M là A – nội xạ. Thật vậy, lấy AX ≤ và MXf → : là đồng cấu. Ta cũng có NX ≤ , do M là N – nội xạ nên f mở rộng thành đồng cấu MNg → : . Khi đó A g là mở rộng của f trên A hay M là A – nội xạ. Bây giờ ta chứng minh M là AN – nội xạ. Lấy ANAX ≤ và MAX: → α là đồng cấu. Gọi ANN: → π là đồng cấu tự nhiên. Đặt X πϕ = . Do M là N – nội xạ nên αϕ mở rộng thành đồng cấu MN → : φ . Ta có: ( ) ( ) ( ) 00 === ααϕφ AA . Suy ra φπ kerker ≤ . Do đó, tồn tại đồng cấu MAN: → β sao cho φβπ = . Với mọi Xx∈ , ta có ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) AxxxxAx +====+ ααϕφβπβ . Vậy, β là mở rộng của α hay M là AN – nội xạ.  1.1.12 Mệnh đề M là N – nội xạ khi và chỉ khi ( ) MN ≤ ϕ với mọi ( ) ( )( ) MENEHom , ∈ ϕ . Chứng minh. Vì E(N) là môđun nội xạ, ta chỉ cần chứng minh với mọi ( )( ) ME,NHom ∈ ϕ là đủ. )( ⇒ Giả sử M là N – nội xạ, với ( )( ) MENHom , ∈ ϕ . 9 Đặt ( ){ } MnNnX ∈∈= ϕ : . Dễ thấy X là môđun con của N. Vì M là N – nội xạ, X ϕ mở rộng thành đồng cấu MN → : φ , ta chứng minh ( )( ) 0 =−∩ NM ϕφ . Thật vậy, giả sử có Mm ∈ và Nn ∈ sao cho ( )( ) nm ϕφ −= . Khi đó, ( ) ( ) Mmnn ∈−= φϕ nên Xn∈ . Như vậy, ( ) ( ) ( ) ( ) 0 =−=−= nnnnm ϕϕϕφ . Vậy, ( )( ) 0 =−∩ NM ϕφ và vì ( ) MEM e ≤ nên ( ) ( ) MNN ≤= ϕφ . ( ) ⇐ Giả sử có ( ) MN ≤ ϕ với mọi ( )( ) MENHom , ∈ ϕ . Lấy NX ≤ và MXf → : là đồng cấu. Vì E(M) là nội xạ, nên f mở rộng thành đồng cấu ( ) MEN → : ϕ . Theo giả thuyết ( ) MN ≤ ϕ . Vậy, MXf → : mở rộng thành đồng cấu MN → : ϕ hay M là N – nội xạ.  1.1.13 Bổ đề Cho M 1 và M 2 là các môđun và 21 MMM ⊕= . Thế thì, M 2 là M 1 – nội xạ khi và chỉ khi với mọi môđun con N của M mà 0 2 =∩ MN đều tồn tại môđun con K của M sao cho 2 MKM ⊕= và KN ≤ . Chứng minh. ( ) ⇒ Giả sử M 2 là M 1 – nội xạ và với mọi môđun con N của M mà 0 2 =∩ MN . Gọi ( ) 2,1: =→ iMM ii π là các phép chiếu. Đặt NN 21 , πβπα == . Vì 0 2 =∩ MN nên α là đơn cấu và do M 2 là M 1 – nội xạ nên tồn tại đồng cấu 21 : MM → ϕ sao cho βϕα = . Lấy ( ){ } 1111 : MmmmK ∈+= ϕ . Với mọi Nn ∈ thì 21 mmn += . Ta có ( ) ( ) nn βϕα = hay ( ) 21 mm = ϕ , từ đây ta suy ra ( ) Kmmn ∈+= 11 ϕ . Do đó, KN ≤ . Nếu có 11 Mm ∈ và 22 Mm ∈ sao cho ( ) 211 mmm =+ ϕ thì ( ) 2121 Mmmm ∈−= ϕ , nên m 1 = 0 và m 2 = 0. Như vậy, 0 2 =∩ MK . Mặt khác, ( ) ( ) 2121121 , MKmmmmmmmMm ⊕∈−++=+=∈∀ ϕϕ . Vậy 2 MKM ⊕= . ( ) ⇐ Giả sử với mọi môđun con N của M mà 0 2 =∩ MN đều tồn tại môđun con K của M sao cho 2 MKM ⊕= và KN ≤ . Lấy X là môđun con của M 1 và 2 : MXf → là đồng cấu. Đặt ( ){ } XxxfxH ∈−= : . Khi đó H là môđun con của M và hiển nhiên 0 2 =∩ MH . Theo giả thiết, tồn tại môđun con H’ của M sao cho 10 [...]... là P – nội xạ cốt yếu 2.3.10 Mệnh đề Hạng tử trực tiếp của môđun nội xạ cốt yếu là môđun nội xạ cốt yếu Chứng minh Giả sử A là hạng tử trực tiếp của môđun M Vì M là M – nội xạ cốt yếu, theo 2.3.4, M là A – nội xạ cốt yếu và theo 2.3.5 thì A là A – nội xạ cốt yếu Vậy A là nội xạ cốt yếu 2.3.11 Định lí Một R – môđun M là nội xạ cốt yếu khi và chỉ khi mọi hệ phương trình tuyến tính tương thích cốt yếu trên... N – nội xạ M = A⊕ B cốt yếu 2.3.6 Định lí Nếu M ⊕ N là nội xạ cốt yếu thì M là N – nội xạ cốt yếu Chứng minh Do M ⊕ N nội xạ cốt yếu nên M ⊕ N là M ⊕ N – nội xạ cốt yếu Theo 2.3.4, M ⊕ N là N – nội xạ cốt yếu, theo 2.3.5, thì M là N – nội xạ cốt yếu 2.3.7 Mệnh đề Nếu môđun M là N – nội xạ cốt yếu thì ϕ ( N ) ≤ M , ∀ϕ ∈ Hom( E ( N ) , E ( M ) ) thoả mãn ker ϕ ≤ e N Đặc biệt, nếu M là nội xạ cốt yếu. .. 27 §3 MÔĐUN NỘI XẠ CỐT YẾU 2.3.1 Định nghĩa Một R – môđun M được gọi là N – nội xạ cốt yếu nếu với mọi môđun con X của N, mọi đồng cấu f :X →M cho ker f ≤ e X thì tồn tại đồng cấu là mở rộng g : N →M sao của f M được gọi là nội xạ cốt yếu nếu M là M – nội X i f N g xạ cốt yếu M 2.3.2 Hệ quả (1) M là môđun tựa nội xạ thì M là nội xạ cốt yếu (2) M là môđun đều và nội xạ cốt yếu thì M là tựa nội xạ Chứng... môđun và là mở rộng của f Do đó, M là môđun nội xạ cốt yếu 33 KẾT LUẬN Luận văn đã đề cập và giải quyết được các vấn đề sau: 1 Khảo sát, nghiên cứu tính chất của các lớp môđun giả nội xạ, giả nội xạ cốt yếu, nội xạ cốt yếu và chứng minh được một liên hệ giữa môđun tựa nội xạ và giả nội xạ cốt yếu (Hệ quả 2.2.8) 2 Chứng minh được một số tính chất của môđun nội xạ cốt yếu: – Nếu M ⊕ N là nội xạ cốt yếu. .. chứng minh 23 §2 MÔĐUN GIẢ NỘI XẠ CỐT YẾU 2.2.1 Định nghĩa Cho M, N là các môđun M được gọi là N – giả nội xạ cốt f : A→M yếu nếu với mọi môđun con A cốt yếu của N, với mọi đơn cấu mở rộng thành đồng cấu g : N →M đều M được gọi là môđun giả nội xạ cốt yếu nếu M là M – giả nội xạ cốt yếu 2.2.2 Hệ quả M là N – giả nội xạ thì M là N – giả nội xạ cốt yếu 2.2.3 Mệnh đề Cho M, N là các môđun và X = M ⊕... để một môđun nội xạ cốt yếu là giả nội xạ, và nếu M là N – nội xạ cốt yếu thì M có là N – giả nội xạ hay không?, trong đó M, N là các môđun đều, từ đó thể đặc trưng phương trình qua lớp môđun giả nội xạ và cũng chứng minh được mọi môđun có chiều đều hữu hạn, CS – môđun và nội xạ cốt yếu đều là tựa nội xạ 34 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Đặng Thị Minh Thắng, Môđun suy biến, môđun suy biến bậc 2 và CS – môđun, ... môđun nội xạ cốt yếu: – Nếu M ⊕ N là nội xạ cốt yếu thì M là N – nội xạ cốt yếu (Định lí 2.3.6) – Nếu M là môđun nội xạ cốt yếu thì M là bất biến với mọi ϕ ∈ End ( E ( M ) ) thoả mãn ker ϕ ≤ e M (Mệnh đề 2.3.7) – Hạng tử trực tiếp của môđun nội xạ cốt yếu là môđun nội xạ cốt yếu (Mệnh đề 2.3.10) 3 Chứng minh được môđun giả nội xạ là nội xạ cốt yếu (Hệ quả 2.3.3) Ngoài ra, trong quá trình thực hiện luận... M là giả nội xạ, thế thì theo 2.1.12, M(I – i) là M i – nội xạ, với mọi i ∈ I Theo (1) và hạng tử trực tiếp của môđun giả nội xạ là môđun giả nội xạ, nên mỗi Mi là tựa nội xạ Theo 1.1.9, M là tựa nội xạ 2.1.14 Định lí Môđun M có chiều đều hữu hạn là tựa nội xạ khi và chỉ khi M là giả nội xạ và là CS – môđun Chứng minh Cho M là giả nội xạ, CS – môđun Theo 1.2.5, M là tổng trực tiếp của các môđun đều... Theo giả thiết, M là y∈ N\ x 25 Rx – giả nội xạ cốt yếu nên M là N ⊕ Ry – giả nội xạ cốt yếu Theo 2.2.5, thì M là N – nội y∈ N\ x xạ 2.2.7 Định lí Môđun M với chiều đều hữu hạn là giả nội xạ khi và chỉ khi nó là giả nội xạ cốt yếu Chứng minh Cho M là môđun giả nội xạ cốt yếu và A là môđun con của M, f : A→M là đơn cấu Đặt B = f ( A) Theo 1.1.4, tồn tại hai môđun con A’ và B’ của M sao cho A ⊕ A' ≤e... Mệnh đề Hạng tử trực tiếp của môđun N – nội xạ cốt yếu là N – nội xạ cốt yếu Chứng minh Giả A là hạng tử trực tiếp của môđun M là N – nội xạ cốt yếu, tức là M = A ⊕ B , với B ≤ M Ta chứng minh A là N – nội xạ cốt yếu Thật vậy, lấy X ≤ N và f :X →A là đồng cấu sao cho ker f ≤ e X Gọi i A : A → M X f i g là phép nhúng Do ker f ≤ e X nên ker i A f ≤ e X Vì M là N – nội xạ cốt yếu nên i A f mở rộng thành