Một số tính chất của môđun giả nội xạ

r ệ ệ é ữỡ tự (Ci) ổ ổ ổ tỹ tử ữỡ ởt số t t ổ ổ ởt số t t ổ ề m AM A e M A ổ M A ổ ốt M Hom(N, M ) tt ỗ ổ tứ N M trỹ t ổ f : N M P tữỡ ự tứ N M tự tỹ |A tr A N =M ổ N ợ M t tú ự A tỷ trỹ t M A ốt tr M A M A M ữủ t t t trữớ ữợ sỹ ữợ t P ổ ũ t tọ ỏ t ỡ s s t ữớ ữợ t t sốt q tr t ự ụ t ỷ ỡ t t qỵ ổ ỏ t rữớ trữớ ỗ ợ số ỵ tt số t t ủ ú ù t t t õ tỹ ữủ ũ õ ố s ổ t tr ọ ỳ t sõt ú tổ rt ữủ ỳ ỵ õ õ t ổ ữủ t ỡ tr trồ ỡ t é ũ ợ sỹ t tr õ sỹ t tr số õ r ỵ tt ổ ữủ q t ự t ữủ t q r ỵ tt ổ ợ ổ ữủ q t ự õ ợ ổ ợ ổ r ữợ rở ổ t ổ ởt tr ỳ ợ ổ ữủ ự tr ỳ ữ r ú tổ ỹ tr t Pst s ts r ợ t ự t t ổ tố ởt số q ổ tr ố q ỳ ổ ổ tỹ t t t ữủ ữỡ ữỡ tự ữỡ tr ởt số t t (Ci) ổ ổ ổ tỹ tử ử ự t q ữỡ ữỡ ởt số t t ổ r ữỡ ú tổ tr ỵ t t ổ ì r t t R t ủ õ tỷ ỡ tt ổ t tr R Rổ tr r ữỡ ú tổ tr ỵ ũ ự t q t t ổ Ci ổ Ci ổ M Rổ t t s ố ợ M C1 ợ ộ ổ A M tỗ t ởt tỷ trỹ t X M A ốt tr X (1 C1) ợ ộ ổ U M U tỗ t ởt tỷ trỹ t X M U ốt tr X (C2) ởt ổ A M ợ tỷ trỹ t M t A tỷ trỹ t M (C3) M1 M2 ỳ tỷ trỹ t M s M1 M2 = t M1 M2 ụ tỷ trỹ t M ổ M ữủ t ổ CS ổ M tọ (C1) ổ M ữủ t ổ ố ợ ổ M õ (1 C1 ) ổ M ữủ tử õ tọ (C1) (C2) ổ M ữủ tỹ tử M tọ (C1) (C3) M Rổ ởt ổ N ữủ M ỗ : X N rở ữủ t ỗ : M N ổ M ữủ tỹ M M m XM t tr Z Z tọ (C1) ợ nZ Z t õ ã n = s r Z ã n = s r nZ Z Z ợ Z = Z Z tọ (1 C1) Z ổ tọ (C2) 2Z = Z Z Z ữ 2Z ổ ốt tr Z Z tọ (C2) s r Z tọ (C3) t s ổ M tọ (C2) t M tọ (C3) ự ú t s sỷ t r ự tr t r ổ M = A + B (1) X M, A X t ợ X t õ X = A + (B X) sỷ M tọ (C2) t s ự M tọ (C3) t M1 M M = M1 M t m : M1 M M1 x1 + x2 x1 s ự M1 M2 = M1 M2 t x1 + x2 M1 M2 x2 M2 x2 M x2 = x1 + x1 (x2 ) = (x1 + x1 ) = x1 x1 M2 x1 + x2 = (x1 + x1 ) + x1 x1 + x2 M1 M2 t y1 + y2 M1 + M2, (y2 M2) y2 M2 y2 M õ y2 = y1 + y1 s r y1 = y2 y1 (y2) = y1 õ y1 + y2 = y1 + y1 = y1 + y2 y1 = (y1 y1 ) + y2 M1 + M2 M2 Ker = M2 M1 = /M2 ỡ r M2 = M2 M M tọ C2 M2 M m M = M2 N N M t M2 M1 t sỷ t r ợ M1, M1 = M2 (N M1) t ữủ M = M1 M2 (N M1 ) õ M = M2 M ổ A M m A M ữủ ổ õ tr A M ổ õ rở tỹ sỹ tr A õ M ữủ õ tr A ổ X = m A M X t X = M ổ M tọ (C1) ổ õ tr M tỷ trỹ t ự sỷ ổ M tọ (C1) t ự ổ õ tr M tỷ trỹ t t A ổ õ M M tọ (C1) tỗ t B ổ M s B M, A B A õ A = B ứ õ s r A M sỷ ổ õ tr M tỷ trỹ t t ự M tọ (C1) õ ợ ổ B ổ M ổ tỗ t õ B B õ B ổ tố õ B õ tr M t tt ổ õ tỷ trỹ t B tỷ trỹ t M M tọ (C1) ổ tọ (C1) ổ tỹ ổ tử ự sỷ M ổ tỹ t ự M ổ tử t ự M tọ (C1) (C2) t t ự M tọ (C1) t m N M t I(M ) M ự I(N ) = E N I(M ) = E G ợ ộ ổ G ữ t õ M = (M E) (M G) t N E N (M E) õ ự tọ r M tọ (C1) t ự M tọ (C2) A ổ M tỷ trỹ t M = A A , i ữủt M õ : A A A i : A M f : A M ỡ t N = f (A) tt t õ M tỹ tỗ t h : M M s hf = i õ hf = 1A õ N tỷ trỹ t M sỷ r N = P M ứ M M t s r P P õ N M õ ỗ t 1N : N N õ t rở t ỗ : M N õ õ r tự M = N Ker M tọ (C2) ổ ổ tỹ tử M N R ổ ổ M ữủ N ợ ổ X N ỗ f : X M rở ữủ t ỗ g : N M tự ỗ s g i = f tr õ i ú ỗ ổ M ữủ tỹ M M ổ M ữủ ổ M N ợ ổ N ổ M N ữủ M N M ổ M E(M ) ổ t s M ốt tr E(M ) N M Rổ tr õ M M = E(M ) N e M t E(N ) = E(M ) M Q Q ổ t Q = E(M ) E A E(M) t A ỳ t E( A E(M ) sỷ ổ M = A M ) tờ trỹ t ổ Mi õ t s tữỡ ữỡ M tỹ Mi tỹ M (I i) Miở ợ i I ự (i) (ii) M ổ I tr R f : I M ởt ỗ ổ R Rổ M Rở õ f rở t ỗ f : R M t m = f (1) õ iI Mi f (x) = f (x.1) = f (x.1) = xf (1) = xm, x I (ii) (i) sỷ õ t ự M N ợ ổ N t X ổ tũ ỵ N g : x M ởt ỗ t t ự tỗ t ỗ g rở g = t S = {(T, ) | X T N, : T M, |x = g} t (X, g) S r S = ỉ tự tỹ t S t q ữ s (T1 , ) (T2 , ) T1 T2 |T1 = ự S tọ r t s tự tỹ t t S s (T1 , ) (T2 , ) (Tn , n ) (1) t T = i=1 r T N : T M ợ x T r k : x Tk (x) = k (x) tr ữủ ỗ õ (T, ) tr r S õ tỷ tố (B, ) S ự B = N g = t B N s r a N \B t H = B + Ra r B H a B ỗ h : H M h(b + ra) = (b) + rm tr õ m ữủ ữ s I = {r R | B} t tr ữủ I tr R ỗ g : I M g(r) = (ra), r I ữ B H t h h rở t ợ t tố (B, ) B = N g = r g rở g ổ M ợ tr I R ỗ f : I M t tỗ t m M f (x) = xm, x I M N A N t M Aở N/Aở ự rữợ t t ự M Aở t X A f : X M ỗ ụ õ X N M N f rở t ỗ g : N M õ g|A rở f tr A M Aở t ự M N/Aở X/A N/A : X/A M ỗ : N N/A ỗ tỹ t = |X M N rở t ỗ : N M õ (A) = (A) = (0) = r Ker Ker õ tỗ t ỗ : N/A M s = ợ x X t õ (x + A) = (x) = (x) = (x) = (x + A) rở M N/Aở M N (N ) M ợ Hom(E(N ), E(M )) M1 M2 ổ M = M1 M2 t M2 M1ở ợ ổ N M N M2 = tỗ t ổ K M s M = K M2 N K ự sỷ M2 M1 ợ ổ N M N M2 = i : M Mi , (i = 1, 2) t = 1|N , = 2|N N M2 = ỡ M2 M1 tỗ t ỗ : M1 M2 s = K = {m1 + (m1 ) | m1 M1 } ợ n N t n = m1 + m2 õ (n) = (n) (m1) = m2 ứ t s r n = m1 + (m1) K õ N K õ m1 M1 m2 M2 s m1 + (m1) = m2 t m1 = m2 (m1) M2 m1 = m2 = ữ K M2 = t ợ m M t m = m1 + m2 = m1 + (m1 ) + m2 (m1 ) K M2 M = K M2 sỷ ổ N M N M2 = tỗ t ổ K M s M = K M2 N K X ổ M1 f : X M2 ỗ t H = {x f (x) | x X} õ H ổ M H M2 = tt tỗ t ởt ổ H M s M = H M2 H H : M = H M2 M2 t g : |M , x X t g(x) = (x) = (x f (x) + f (x) = f (x) g rở f M2 M1ở ổ M ữủ ởt ổ ộ ổ ổ ốt tr ởt tỷ trỹ t õ M ổ M ữủ tỹ tử õ ởt ổ ợ tỷ trỹ t M1 M2 M M1 M2 = t M1 M2 ụ ởt tỷ trỹ t M ổ ổ tỹ tử ự N = t M N = t ổ M ốt tr M t N M N M õ M tọ ổ ộ ổ N M õ rở ốt tỷ trỹ t M ự M tọ ợ tỷ trỹ t M1, M2 M M1 M2 = t M1 M2 ụ ởt tỷ trỹ t M t M1 = M2 = t t tt M t õ ổ M ốt tr M tự M1 M, M2 M, õ M1 M2 = tr ợ tt t ợ M1 M2 = ổ t r ỗ tớ M1 = 0, M2 = t ổ õ M1 M M M ổ tỹ tử ổ s ổ tỹ tử ú ổ ỡ Z số ợ p số tố n N õ Z ổ Z/Zp õ ổ tỹ tử Q t số ỳ t QZ Zổ õ ộ ổ QZ ổ tỹ tử n ổ ZZ ổ tỹ tử ỵ M Rổ s tữỡ ữỡ M ổ tỹ tử M = X Y ợ ộ ổ X, Y M ú ũ f (M ) M ợ ộ ụ f End(E(M )) E(M ) = iI Ei t M = iI M Ei ố ợ ộ ổ M t ộ s tữỡ ữỡ M ổ tỹ tử ợ ổ t M1, M2 M M1 M2 = t ộ t i : M1 M2 Mi, (i = 1, 2) rở ữủ t ởt ỗ M ì ế r ữỡ ú tổ tố õ tr ởt số t q t ữủ ự ởt số t t ổ ổ M, N Rổ tr M ữủ N ợ ổ A N ợ ỡ f : A M rở ữủ t ỗ g : N M M ữủ ổ M M ởt ỗ Rổ fn fn+1 An1 An An+1 ữủ ợ t An Imfn = Kerfn+1 õ ợ õ ợ t An ợ n ởt ợ f g M N K ữủ ợ f ỡ g t Imf = Kerg f ởt t Rổ M N ữủ r tỗ t ởt ỗ g : N M s f g = 1N f ởt ỡ Rổ M N ữủ r tỗ t ởt ỗ g : N M s gf = 1M ợ f g M N K ữủ r Imf (Kerg) tỷ trỹ t N M N t ỡ f : M N r ổ M M N ợ ổ N M N t M A ợ ổ A N ộ tỷ trỹ t ổ M ổ M M ổ N t (N ) M ợ : E(M ) E(N ) ỡ t P ổ t (P ) P ợ ỡ End(E(P )) sỷ A B ổ E(A) = E(B) t ộ tứ E(A) E(B) tr t ởt tứ A B tr trữớ ủ A = B õ A B ổ ự sỷ f : M N ởt ỡ f : f (M ) M f M N õ ởt ỗ f : N M rở f t u = f ã f f (M ) r tr N ứ M ổ N N õ ộ ỡ M N r õ M õ M ổ M N N M N N sỷ X ởt ổ A f : X M ởt ỡ õ X ụ ởt ổ N N M f rở ữủ t ỗ f : N M f |A f ợ A ởt ỗ A M ụ ởt rở f õ M ổ A sỷ M ổ N A tỷ trỹ t M tự M = A B ợ B M ự A ổ X A f : X A ởt ỡ õ iAf : X M ụ ởt ỡ tr õ iA : A M ú M iAf rở ữủ t ỗ : M M t = |A : M = A B A g = : A A t õ giX = iX = iA f = f, tr õ iX : X A ú g rở f t A ổ sỷ M ổ N : E(N ) E(M ) ởt ỡ X = {n N |(n) M } M ổ N |X õ t rở rở ữủ t : N M n N, m M ợ( )(n) = m t õ (n) = (n) + m M õ õ n X tứ m = (n) (n) = (n) (n) = õ M ( )(N ) = M e E(M ) ( (N )) = (N ) = (N ) M sỷ f : E(A) E(B) ởt ứ t õ f (A) B ữỡ tỹ f 1(B) A õ B = (f f )(B) = f (f (B)) f (A) B õ õ f (A) = B õ f |A : A B ởt A = B ỡ ỳ ợ A B B = A t õ A A ứ õ s r A ổ ởt số t t ổ ỵ M1 M2 ổ t M1 M2 ự sỷ M1 M2 ổ t ự M1 M2ở M2 M1ở t sỷ A M2 f : A M1 ởt ỗ g : A M1 M2 ợ g(a) = (f (a), a) ợ a A õ g ởt ỡ ứ t t õ M1 M2 M2 õ g rở ữủ t ỗ g : M2 M1 M2 : M1 M2 M1 tỹ M1 M2 M1 t 1g : M2 M1 ởt ỗ rở f õ M1 M2ở ự tữỡ tỹ t ụ õ ữủ M2 M1ở q i Mi ổ t Mj Mk ợ j, k ự s r tứ ỵ q ợ số tỹ n M n M tỹ ự M n ổ t t q M M õ M ổ tỹ ữủ M ổ tỹ t M n ổ tỹ tr trữớ ủ t M n ổ r trữớ ủ t MR = RR t q õ r số tỹ n ổ RRn R tỹ R ụ tỹ k ợ ộ số k t ổ M (R) Rk Mk (R)R = RR R = R k R tỹ 2 t q ự tọ r P r q ổ ú P r q õ r M ổ t tỷ trỹ t ỳ M M n ổ ợ n t q ữủ ổ M tỹ õ ổ ổ ổ tỹ ỵ ổ tọ t t (C2) ự sỷ M ổ B ổ M ợ tỷ trỹ t A M ự B tỷ trỹ t M t f : A B õ f ụ ởt ỡ tứ A M M M t t s r A M t ỡ f r B tỷ trỹ t M ổ M tọ t t (C2) t ởt ổ ổ sỷ M ởt ổ ổ ữ s õ N1 = N2 tỹ ỗ Ni ởt tứ Z/(2) ỹ tỗ t ổ ữủ t tt ữủ tr tr M ổ ró r M ổ tọ (C1) q ởt ổ tử ự ứ ỵ t s r ự ợ r ởt P D ởt s ộ Dổ t ởt ổ tử ổ t tt ổ ữ tr r sỷ D ởt P õ ổ tự ởt tr s tỗ t ởt D ữ sỷ E(D) D E(D)/D ổ ỷ ỡ E(D) ởt ổ ợ t M ữ D õ M Dổ tử ó r M ổ ổ õ M õ t ổ õ ú t õ t s tỹ tử tỹ tử ỵ R ởt õ ổ M ổ s t M tỹ R tr t ộ ổ ổ s Rổ M ự ởt ổ tỹ ợ t E s E ốt tr M r trữớ ủ ộ ổ M ốt tr tỷ trỹ t M t M = E ợ M ổ tỹ ự A ổ M f : A M ỗ Kerf = t tt t f rở ữủ t ỗ g : M M Kerf = t : iA f tr õ iA : A M x Kerf Ker t õ f (x) = x f (x) = x = Ker = M rở ữủ t ỗ g : M M g rở f sỷ R tr MR ởt ổ ổ s õ M ự ởt ổ ốt E = iE Ei ợ ộ Ei ởt ổ õ t sỷ r Ei rở ốt t M M ổ s ộ Ei rở ốt ợ t t M m sỷ fi : Ai Ei ởt ỗ ợ Ai Ei fi = t fi ởt ỡ õ fi õ t rở t ỗ fi : M M fi|E ởt ỡ fi(E) ợ Ej f i(Ei) = ỡ ỳ M/Ej ổ s ứ õ s r fi(Ei) Ej õ t õ f i|E : Ei Ej rở fi õ Ej Eiở ợ i, jinI r Pr ổ E = iI Ei tỹ ợ ú ỵ r t ổ tt t R ổ õ số ỳ ợ ộ E ỹ sỷ õ ởt ổ X M tỹ ự E F I ởt t ỳ T = iF Ei ự n = |F | ợ T tỷ trỹ t X ợ n = ró r Ei õ tr M õ Ei ụ õ tr X õ ởt tỷ trỹ t X sỷ ự ú ợ t I ợ ỹ ữủ < n i i õ X = (Ei1 Ein1 ) Y t ổ ú t õ Ei1 Ein1 Ein = Ei1 Ein1 Z ợ Z = Ei Ei Ei Y ó r Z = Ei t sỷ Z rở ợ t Z tr X u : Z Ei ởt õ u ởt rở ỗ u : X X õ U |Z ởt ỡ ứ õ s r u(Z ) ổ ự Ei Ei õ tr M t õ u(Z ) = Ei ứ õ s r Z = Z ợ Z tỷ trỹ t X r Pr E ởt tỷ trỹ t X E ốt tr X õ X = E ố ũ t ú ỵ trữớ ủ ộ ổ M ốt tr ởt tỷ trỹ t M ứ õ t r r {Ei}iI ởt tỷ ữỡ trỹ t M õ R tr E ốt tr M t õ M = E n1 n n n n n ỹ ú tổ t tờ ủ tứ õ tr t q ởt số t t ổ t ú tổ t ữủ ỳ ổ s tr ổ ởt số t t r ự ởt số t t ổ ỹ tự trữợ t ữỡ ố t ỵ tt t sữ P r r Ps t s t t t Pst s t r st st s t r ts srt s t tr t r r rst Prss [...]... tr M tự M1 M, M2 M, õ M1 M2 = 0 tr ợ tt t ợ M1 M2 = 0 ổ t r ỗ tớ M1 = 0, M2 = 0 t ổ õ M1 M 2 M M ổ tỹ ở tử ử ổ s ổ tỹ ở tử ú ổ ỡ Z số ợ p số tố n N õ Z ổ Z/Zp õ ổ tỹ ở tử Q t số ỳ t QZ Zổ õ ộ ổ 0 ừ QZ ổ tỹ ở tử n ổ ZZ ổ tỹ ở tử ỵ M Rổ s tữỡ ữỡ M ổ tỹ ở tử M = X Y ợ ộ ổ X, Y ừ M ú ũ ừ f (M ) M ợ ộ ụ f End(E(M ))... tữỡ tỹ t ụ õ ữủ M2 M1ở q i Mi ổ ở t Mj Mk ở ợ ồ j, k ự s r tứ ỵ q ợ ồ số tỹ n 2 M n ở M tỹ ở ự M n ổ ở t t q M M ở õ M ổ tỹ ở ữủ M ổ tỹ ở t M n ổ tỹ ở tr trữớ ủ t M n ổ ở r trữớ ủ t ồ MR = RR t q õ r ồ số tỹ n 2 ổ RRn ở R tỹ ở R ụ tỹ ở k ợ ộ số k 2 t ổ M (R) Rk Mk (R)R = RR R = R k ở R tỹ ở 2 2 t q ự tọ r P r... tr ởt tỷ trỹ t ừ M ứ õ t r r {Ei}iI ởt tỷ ữỡ trỹ t ừ M õ R tr E ốt tr M t õ M = E 1 n1 n n n n n ỹ ú tổ t tờ ủ tứ õ tr t q ởt số t t ừ ổ ở ử t ú tổ t ữủ ỳ ổ s tr ổ ở ởt số t t r ự ởt số t t ừ ổ ở ỹ tự trữợ t ữỡ ố t ỵ tt t ồ sữ P r r Ps t s t t t Pst s t r st st s t r ts srt s t... Ei t M = iI M Ei ố ợ ộ ổ M t ộ s tữỡ ữỡ M ổ tỹ ở tử ợ ổ t M1, M2 ừ M M1 M2 = 0 t ộ t i : M1 M2 Mi, (i = 1, 2) rở ữủ t ởt ỗ ừ M ì ế r ữỡ ú tổ tố õ tr ởt số t q t ữủ ự ởt số t t ừ ổ ở ổ ở M, N Rổ tr M ữủ ồ N ở ợ ồ ổ A ừ N ợ ồ ỡ f : A M rở ữủ t ỗ g : N M M ữủ ồ ổ ở M M ở ởt ỗ Rổ fn fn+1 An1 An An+1 ữủ ồ ợ t An Imfn... fi : M M fi|E ởt ỡ fi(E) ợ Ej f i(Ei) = 0 ỡ ỳ M/Ej ổ s ứ õ s r fi(Ei) Ej õ t õ f i|E : Ei Ej rở ừ fi õ Ej Eiở ợ ồ i, jinI r Pr ổ E = iI Ei tỹ ở ợ ú ỵ r t ổ tt t R ổ õ số ỳ ợ ộ E ỹ sỷ õ ởt ổ X ừ M tỹ ở ự E F I ởt t ỳ T = iF Ei ự n = |F | ợ T tỷ trỹ t ừ X ợ n = 1 ró r Ei õ tr M õ Ei ụ õ tr X õ ởt tỷ trỹ t ừ X sỷ ự ú ợ ồ t I ợ ỹ ữủ < n i... f : E(A) E(B) ởt ứ t õ f (A) B ữỡ tỹ f 1(B) A õ B = (f f 1 )(B) = f (f 1 (B)) f (A) B õ õ f (A) = B õ f |A : A B ởt A = B ỡ ỳ ợ A B ở B = A t õ A A ở ứ õ s r A ổ ở ởt số t t ừ ổ ở ỵ M1 M2 ổ ở t M1 M2 ở ự sỷ M1 M2 ổ ở t ự M1 M2ở M2 M1ở t sỷ A M2 f : A M1 ởt ỗ g : A M1 M2 ợ g(a) = (f (a), a) ợ ồ a A õ g ởt ỡ ứ t t õ M1 M2 ... t P ổ ũ t tọ ỏ t ỡ s s t ữớ ữợ t t sốt q tr t ự ụ t ỷ ỡ t t qỵ ổ ỏ t rữớ trữớ ỗ ợ số ỵ tt số t t ủ ú ù t t t õ tỹ ữủ ũ õ ... t ự t t ổ tố ởt số q ổ tr ố q ỳ ổ ổ tỹ t t t ữủ ữỡ ữỡ tự ữỡ tr ởt số t t (Ci) ổ ổ ổ tỹ tử ử ự t q ữỡ ữỡ ởt số t t ổ r ữỡ ú tổ tr... t ổ õ M1 M M M ổ tỹ tử ổ s ổ tỹ tử ú ổ ỡ Z số ợ p số tố n N õ Z ổ Z/Zp õ ổ tỹ tử Q t số ỳ t QZ Zổ õ ộ ổ QZ ổ tỹ tử n ổ ZZ ổ tỹ tử ỵ M Rổ