Môđun goldie H-nguyên tố

Bài viết nghiên cứu khái niệm môđun con nguyên tố theo tính chất đồng cấu của các môđun; đặc biệt theo định nghĩa tích của các môđun con. Cho M là R-môđun phải và X < M là môđun con bất biến hoàn toàn của M. Khi đó, X được gọi là môđun con H-nguyên tố của M nếu mọi môđun con bất biến hoàn toàn I và U của M sao cho IU ≤ X thì suy ra I ≤ X hoặc U ≤ X.

UED JOURNAL OF SOCIAL SCIENCES, HUMANITIES AND EDUCATION VOL.3, NO.3 (2013) MÔĐUN GOLDIE H-NGUYÊN TỐ H-PRIME GOLDIE MODULES Huỳnh Thị Phấn, Trương Công Quỳnh Trường Đại học Sư phạm – Đại học Đà Nẵng TÓM TẮT Trong báo nghiên cứu khái niệm môđun nguyên tố theo tính chất đồng cấu mơđun; đặc biệt theo định nghĩa tích mơđun Cho M R-môđun phải X < M môđun bất biến hồn tồn M Khi đó, X gọi môđun H-nguyên tố M mơđun bất biến hồn tồn I U M cho IU ≤ X suy I ≤ X U ≤ X Một số đặc trưng lớp môđun vành tự đồng cấu mơđun H-ngun tố nghiên cứu Từ khóa: Môđun H-nguyên tố; Môđun H-nguyên tố; Iđêan nguyên tố; Mơđun bất biến hồn tồn ABSTRACT In this paper we study the definition prime submodules by property homomorphism of modules; in particular, by definition of product submodules Let M be a right R-module and X < M be a fully invariant submodule X is called H-prime submodule of M if for all fully invariant submodules I and U of M such that IU ≤ X then I ≤ X or U ≤ X Key words: H-prime submodule; H-prime module; prime ideal; fully invariant submodule Mở đầu Cùng với phát triển tốn học đại nói chung, lý thuyết mơđun nhiều nhà tốn học quan tâm nghiên cứu đạt nhiều kết xuất sắc Trong đó, mơđun ngun tố xuất nhiều lĩnh vực đại số giao hoán Nhiều nhà toán học nghiên cứu lớp môđun C P Lu (1984), A.Gaur and A Kumar Maloo (2008), Năm 2004, Lomp đưa khái niệm tích hai mơđun Trên sở đó, tác giả T C Quynh A Thu đưa khái niệm mơđun ngun tố dựa vào tích hai mơđun gọi chúng môđun H-nguyên tố Bài báo tiếp tục nghiên cứu sâu vấn đề Mặt khác, năm gần khái niệm môđun Goldie xuất nhiều áp dụng chúng vào lớp vành môđun nghiên cứu chiều Goldie hữu hạn, chiều Goldie mạnh môđun Đồng thời, vài năm gần đây, tác giả R L McCasland and P.F Smith, N V Sanh and N.V Vu nghiên cứu lớp môđun nguyên tố, nửa nguyên tố theo nghĩa khác với chiều Goldie hữu hạn Các tác giả thu số kết mới, đặc biệt việc đưa kết tính hữu hạn môđun nguyên tố cực tiểu Trong báo đưa đặc trưng lớp môđun H-nguyên tố vành tự đồng cấu môđun H-nguyên tố Hơn nữa, đặc trưng vành nửa đơn thông qua lớp môđun H-nguyên tố nghiên cứu Trong toàn báo, vành R xét vành kết hợp có phần tử đơn môđun xét vành R R − môđun phải unita Chúng ký hiệu M R để M R − môđun phải Với N môđun M, dùng ký hiệu A  M ( M  N ), N  M N e M để ký hiệu N môđun M (tương ứng, môđun thực sự), N hạng tử trực tiếp M N môđun cốt yếu M Một số kết môđun Goldie H-nguyên tố Định nghĩa 2.1 Cho M R-môđun phải X < M mơđun bất biến hồn tồn M Khi đó, X gọi mơđun H-nguyên tố M môđun bất biến hồn tồn 27 TẠP CHÍ KHOA HỌC XÃ HỘI, NHÂN VĂN VÀ GIÁO DỤC I U M cho IU ≤ X suy I ≤ X U ≤ X Định lý 2.2 Cho M R-môđun phải, X ≠ M môđun bất biến hoàn toàn M S vành tự đồng cấu M Khi đó, a Nếu M tự xạ ảnh X môđun Hnguyên tố M I X iđêan nguyên tố S b Ngược lại, M tự sinh I X iđêan nguyên tố S X môđun H-nguyên tố M Chứng minh a Giả sử M tự xạ ảnh, X ≠ M môđun H-nguyên tố M, ta chứng minh I X iđêan nguyên tố S Vì X ≠ M nên I X ≠ S Gọi J, K iđêan hai phía S cho JK ≤ I X Khi đó, JK(M) ≤ I X (M) ≤ X Mặt hoàn toàn M nên U = S(U) =  Sf (M ) f I Suy  (U ) =  (  Sf (M )) =  Sf (M ) f I Vì φ(U) ≤ X nên φSf  I X nên f  I X f I  I X với f  I Vì φ (do I X iđêan nguyên tố S) Suy f(M) ≤ X với f  I hay U ≤ X Vậy X môđun H-nguyên tố M Định nghĩa 2.3 Một R-môđun phải M gọi môđun H-nguyên tố môđun H-nguyên tố M Rõ ràng, vành R gọi vành nguyên tố RR môđun H-nguyên tố Định lý 2.4 Cho M R-môđun phải S vành tự đồng cấu M Khi đó, f (M ) Giả sử J ’ I X Khi đó, tồn h ∈ J b Nếu M tự sinh S vành nguyên tố M môđun H-nguyên tố  f JK cho h  I X , suy hK(M) ≤ X Tiếp theo ta chứng minh h(M)K(M) ≤ X Thật vậy, với f  Hom(M,h(M)) tồn u  Hom(M,M) cho f = hu (vì M tự xạ ảnh) Khi đó, f(K(M))=(hu)K(M) ≤ hK(M) ≤ X Vì h(M)K(M)=  f ( K (M )) ≤ X Vì X f Hom ( M , h ( M )) môđun H-nguyên tố M nên suy h(M) ≤ X K(M) ≤ X Tuy nhiên, h  I X nên phải có K(M) ≤ X hay K ≤ I X Vậy I X iđêan nguyên tố S b Giả sử M tự sinh I X iđêan nguyên tố S, ta chứng minh X môđun H-nguyên tố M Với φ  S, U mơđun bất biến hồn tồn M cho Sφ(M).U ≤ X Giả sử φ(M) ’ X Ta cần chứng minh U ≤ X Thật vậy, φ(M) ’ X nên φ  I X Do M tự sinh nên U =  f (M ) cho tập I  S Suy ra, f(M) ≤ U 28 với f  I Khi đó, U môđun bất biến a Nếu M môđun H-nguyên tố M tự xạ ảnh S vành nguyên tố khác, ta có JK(M) = f I TẬP 3, SỐ (2013) Chứng minh a Do M môđun Hnguyên tố nên môđun H-nguyên tố M Khi đó, tập I0 = iđêan nguyên tố S Vậy S vành nguyên tố b Do S vành nguyên tố nên iđêan nguyên tố S Theo Định lý 2.2 suy I0 = môđun H-nguyên tố M Vậy M môđun H-nguyên tố Định nghĩa 2.5 Cho M R-môđun phải, môđun bất biến hồn tồn X M gọi mơđun nửa H-nguyên tố giao họ mơđun Hngun tố M Một R-môđun phải M gọi môđun nửa H-nguyên tố môđun nửa Hnguyên tố M Bởi vậy, vành R vành nửa nguyên tố RR môđun nửa H-nguyên tố Hệ 2.6 Cho M R-môđun phải, tự xạ ảnh, nửa H-nguyên tố S vành tự đồng cấu M Khi đó, S vành nửa nguyên tố Định lý 2.7 Cho M R-môđun phải, tự xạ ảnh, hữu hạn sinh, tự sinh S vành tự UED JOURNAL OF SOCIAL SCIENCES, HUMANITIES AND EDUCATION đồng cấu M Khi đó, S vành nửa ngun tố M mơđun nửa H-ngun tố Chứng minh Trước hết giả sử I iđêan nguyên tố S đặt X = I(M) Theo giả thiết M tự xạ ảnh hữu hạn sinh nên I = Hom(M, I(M)) Từ suy I X = I Tiếp theo chứng minh X môđun H-nguyên tố M Thật vậy, lấy φ  S U mơđun bất biến hồn tồn M cho [Sφ(M)](U) ≤ X φ(M) ’  X φ  I Vì M mơđun tự sinh nên U =  f ( M ) với J  S X Khi đó, φ(U) f J Khi đó, U = S(U) =  Sf (M ) f J Suy  (U ) =  (  Sf (M )) =   Sf (M ) f J f J Vì φ(U) ≤ X nên φSf(M) ≤ X = I(M) với f  J Suy φSf  I Vì φ I nên f  I (vì I iđêan nguyên tố S) Khi đó, f(M) ≤ I(M) = X với f  J Suy U ≤ X Vậy X môđun H-nguyên tố M Theo Định lý 2.2 ta IX iđêan nguyên tố S Giả sử S vành nửa nguyên tố Khi đó, mơđun nửa H-ngun tố hay = I I F họ iđêan nguyên tố I F S Với I  F , đặt X=I(M) Khi đó, theo chứng minh ta I X = I X VOL.3, NO.3 (2013) vành tự đồng cấu M Khi đó, với mơđun bất biến hoàn toàn X ≠ M với f  S tập f + I X chứa phần tử quy S Chứng minh Trước hết ta chứng minh I X iđêan phải cốt yếu S Thật vậy, X mơđun bất biến hoàn toàn M nên IX iđêan hai phía S X ≠ 0, M tự sinh nên I X ≠ Lấy J iđêan phải S cho I X ∩ J = Khi đó, JI X  I X ∩ J = Suy JI X = Do M môđun H-nguyên tố nên theo Định lý 2.4 S vành nguyên tố iđêan nguyên tố S Do J = Điều I X iđêan phải cốt yếu S Mặt khác, M thỏa mãn điều kiện ACC DCC M-linh hóa tử, theo Bổ đề 2.8 S thỏa mãn điều kiện ACC DCC linh hóa tử phải Theo [1, Lemma 1.18] suy tập f + I X chứa phần tử quy S Định lý 2.10 Cho M R-môđun phải nửa H-nguyên tố, tự xạ ảnh, hữu hạn sinh, tự sinh thỏa mãn điều kiện ACC DCC Mlinh hóa tử S vành tự đồng cấu M Khi đó, với môđun cốt yếu X M với f  S tập f + I X chứa phần tử quy S Chứng minh Trước hết ta chứng minh I X iđêan phải cốt yếu S Thật vậy, M môđun H-nguyên tố M Vì M tự sinh tự sinh X ≠ nên ta I X ≠ Giả sử J nên chứng minh = iđêan S cho I X ∩ J = Khi đó, I X = I X Vậy M môđun nửa H-nguyên tố Bổ đề 2.8 ([5, Proposition 3.7]) Cho M R-môđun phải S vành tự đồng cấu M Khi đó, M thỏa mãn điều kiện ACC (tương ứng DCC) M-linh hóa tử S thỏa mãn điều kiện ACC (tương ứng DCC) linh hóa tử phải Định lý 2.9 Cho M R-môđun phải Hnguyên tố, tự xạ ảnh, hữu hạn sinh, tự sinh thỏa mãn điều kiện ACC DCC M-linh hóa tử S Hom(M, I X (M)) = Hom(M, X) J = Hom(M, J(M)) Do đó: = I X ∩ J= Hom(M, X) ∩ Hom(M, X ∩ J(M)) = Hom(M, X ∩ J(M)) Suy X ∩ J(M) = 0, X mơđun cốt yếu M nên J(M) = Suy J = Do I X iđêan phải cốt yếu S Mặt khác, M mơđun nửa H-ngun tố nên theo Hệ 2.6 ta S vành nửa nguyên tố Vì M thỏa mãn điều kiện ACC DCC M-linh hóa tử nên theo Bổ đề 2.8 S thỏa mãn điều kiện ACC 29 TẠP CHÍ KHOA HỌC XÃ HỘI, NHÂN VĂN VÀ GIÁO DỤC DCC linh hóa tử phải Cuối theo [1, Lemma 1.19] suy f + I X chứa phần tử quy S Định lý 2.11 Cho M R-môđun tự xạ ảnh, hữu hạn sinh, tự sinh S vành tự đồng cấu M Khi đó, M mơđun Goldie Hngun tố đơn cấu f  S quy Chứng minh Theo giả thiết ta S vành Goldie phải Khi đó, S có chiều Goldie hữu hạn thỏa mãn điều kiện ACC linh hóa tử phải Theo [1, Theorem 1.6] Z(SS) lũy linh Vì S vành nửa nguyên tố nên Z(SS) = Do đó, S vành khơng suy biến phải Cuối cùng, theo [1, Lemma 1.12] suy phần tử quy phải S quy Bổ đề 2.12 ([2, Theorem 3.1]) Cho M R-môđun phải, tự xạ ảnh, hữu hạn sinh, tự sinh S vành tự đồng cấu M Khi đó, M mơđun Goldie S vành Goldie phải Định lý 2.13 Cho M R-môđun phải Goldie nửa H-nguyên tố, tự xạ ảnh, hữu hạn sinh tự sinh S vành tự đồng cấu M Khi đó, với mơđun cốt yếu X M với f  S tập f + I X chứa phần tử quy S Chứng minh Trước hết ta IX iđêan phải cốt yếu S Mặt khác, M môđun Godie nửa H-nguyên tố nên theo Hệ 2.6 Bổ đề 2.11 ta S vành Goldie phải nửa nguyên tố Cuối theo [1, Corollary 1.20] suy tập f + I X chứa phần tử quy S Định lý 2.14 Cho M R-môđun phải tự TẬP 3, SỐ (2013) xạ ảnh, hữu hạn sinh, tự sinh S vành tự đồng cấu M Giả sử M môđun Goldie nửa H-nguyên tố X môđun M Khi đó, X mơđun cốt yếu M I X chứa phần tử quy S Chứng minh Trước hết ta IX iđêan phải cốt yếu S Vì M mơđun Godie nửa H-ngun tố nên theo Hệ 2.6 Bổ đề 2.11 ta S vành Goldie phải nửa nguyên tố Theo [1, Theorem 1.10] suy IX chứa phần tử quy S Ngược lại, giả sử I X chứa phần tử quy f S Vì M tự sinh nên f phải đơn cấu Ta chứng minh f (M) cốt yếu M Thật vậy, giả sử f(M) mơđun cốt yếu M Khi đó, tồn môđun N khác không M cho f(M) ∩ N = Vì f đơn cấu, N ≠ nên f(N) ≠ Do N+ f(N) tổng trực M Bằng quy nạp ta N+ f(N)+ f2(N)+ + fn(N) tổng trực tiếp với n Điều mâu thuẫn với M có chiều Goldie hữu hạn Vậy f(M) môđun cốt yếu M Tiếp theo, xét iđêan phải f S S giả sử J iđêan phải S cho fS ∩ J = Khi đó, ta có = fS ∩ J = Hom(M, fS(M))∩ Hom(M, J(M))= Hom(M, f(M) ∩ J(M)) Vì M tự sinh nên f(M) ∩ J(M) = Suy J(M) = hay J = Điều f S iđêan phải cốt yếu S IX cốt yếu S iđêan phải Giả sử Y môđun M X ∩ Y = Khi đó, IY ∩ IY = I0 = Điều kéo theo IY = từ Y = M tự sinh Vậy X môđun cốt yếu M TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] A W Chatters, C R Hajarnavis (1980), Rings With Chain Conditions, Pitman Advanced Publishing Program [2] A Gaur and A Kumar Maloo (2008), "Minimal prime submodules", Int J Algebra 2(20), 953-956 [3] C Lomp (2004), Prime element in partially ordered groupoids applied to modules and Hopf algebra actions, J Algebra Appl, 4(1), 77-97 [4] C P Lu (1984), Prime submodules of modules, Comment Mat Univ St Pal 33(1), 61-69 [5] N V Sanh, S Asawasamrit (2010), K F U Ahmed and L P Thao, "On prime and 30 UED JOURNAL OF SOCIAL SCIENCES, HUMANITIES AND EDUCATION VOL.3, NO.3 (2013) semiprime Goldie modules", Asian-European Journal of Mathematics, 4, 1-14 [6] T.C.Quynh, A.Thu, "On H-prime submodules", preprint 31 ... nửa H-nguyên tố giao họ môđun Hnguyên tố M Một R -môđun phải M gọi môđun nửa H-nguyên tố môđun nửa Hnguyên tố M Bởi vậy, vành R vành nửa nguyên tố RR môđun nửa H-nguyên tố Hệ 2.6 Cho M R -môđun. .. nguyên tố S) Suy f(M) ≤ X với f  I hay U ≤ X Vậy X môđun H-nguyên tố M Định nghĩa 2.3 Một R -môđun phải M gọi môđun H-nguyên tố môđun H-nguyên tố M Rõ ràng, vành R gọi vành nguyên tố RR môđun H-nguyên. .. nguyên tố b Do S vành nguyên tố nên iđêan nguyên tố S Theo Định lý 2.2 suy I0 = môđun H-nguyên tố M Vậy M môđun H-nguyên tố Định nghĩa 2.5 Cho M R-mơđun phải, mơđun bất biến hồn tồn X M gọi môđun