Giới hạn thuận và giới hạn nghịch của một họ môđun luận văn tốt nghiệp đại học

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH ---------------------------------------- TRẦN THỊ MẾN GIỚI HẠN THUẬN VÀ GIỚI HẠN NGHỊCH CỦA MỘT HỌ MÔĐUN KHÓA LUẬN CỬ NHÂN KHOA HỌC NGÀNH TOÁN HỌC 2 VINH - 2011 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH ---------------------------------------- TRẦN THỊ MẾN GIỚI HẠN THUẬN VÀ GIỚI HẠN NGHỊCH CỦA MỘT HỌ MÔĐUN NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC TS. NGUYỄN THỊ HỒNG LOAN 4 VINH - 2011 MỤC LỤC Trang MỞ ĐẦU 1 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO .1 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO .3 6 MỞ ĐẦU Môđun và vành là một trong những đề tài đã được nhiều nhà toán học quan tâm nghiên cứu. Có thể thấy rằng cấu trúc môđun xuất hiện hầu hết trong các lý thuyết toán học hiện đại, nó có khả năng thống nhất một cách bản chất với các cấu trúc vành, iđêan, nhóm Aben, không gian vectơ. Trong khóa luận này, trên cơ sở các kiến thức về lý thuyết môđun đã được học và tìm hiểu ở các tài liệu, chúng tôi trình bày một số vấn đề về giới hạn thuận và giới hạn nghịch của một họ môđun. Ngoài phần Mở đầu, Kết luận và Tài liệu tham khảo, nội dung khóa luận được chia làm hai chương. Chương 1: Kiến thức chuẩn bị. Trong chương này, chúng tôi trình bày các kiến thức cơ sở của lý thuyết môđun có liên quan đến các kết quả và chứng minh ở Chương 2. Chương 2: Giới hạn thuận và giới hạn nghịch của một họ môđun. Trong chương này, chúng tôi trình bày định nghĩa và một số tính chất của giới hạn thuận, giới hạn nghịch của một họ môđun. Khóa luận được thực hiện tại trường Đại học Vinh dưới sự hướng dẫn tận tình, chu đáo của TS. Nguyễn Thị Hồng Loan. Nhân dịp này tác giả xin bày tỏ lòng cảm ơn sâu sắc nhất đối với cô về sự giúp đỡ nhiệt tình và những góp ý thiết thực cho tác giả trong quá trình hoàn thành Khóa luận. Đồng thời tác giả xin gửi lời cảm ơn chân thành tới Ban chủ nhiệm khoa Toán, các thầy, cô giáo trong khoa Toán, đặc biệt là các thầy cô trong tổ Đại số đã nhiệt tình giảng dạy và giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập. Xin cảm ơn tập thể 48B Toán đã động viên tôi trong thời gian làm khóa luận này. Mặc dù đã có nhiều cố gắng nhưng do trình độ và thời gian có hạn nên khóa luận không tránh khỏi những thiếu sót. Tác giả rất mong nhận được sự chỉ bảo góp ý của thầy cô và các bạn để khóa luận được hoàn thiện hơn. Vinh, tháng 05 năm 2011 Tác giả 7 CHƯƠNG 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Trong chương này, chúng tôi trình bày một số khái niệm và kết quả được dùng trong Chương 2. Trong toàn bộ Khóa luận, vành A luôn được giả thiết là vành giao hoán, có đơn vị. 1.1. Tập định hướng Một tập sắp thứ tự I được gọi là một tập định hướng nếu với mọi i, j ∈ I, đều tồn tại k ∈ I để i ≤ k và j ≤ k. Ví dụ: Tập các số tự nhiên N với quan hệ “ ≤ ” thông thường là một tập định hướng. 1.2. Tích trực tiếp và tổng trực tiếp của một họ môđun 1.2.1. Tích trực tiếp. Cho I là một tập khác rỗng. Giả sử { } i M i ∈ I là một họ các A – môđun chỉ số hóa bởi I. Kí hiệu M = i i I M ∈ ∏ là tích Descartes của họ { } i M i ∈ I i i I M ∈ ∏ = ( ) { } i i i i I x x M , i I . ∈ ∈ ∀ ∈ Khi đó có thể xây dựng phép cộng trong M và phép nhân với vô hướng như sau: ( ) ( ) ( ) i i i i i I i I i I x y x y . ∈ ∈ ∈ + = + ( ) ( ) i i i I i I a x ax , ∈ ∈ = với mọi a ∈ A và mọi ( ) ( ) i i i i I i I i I x , y M . ∈ ∈ ∈ ∈ ∏ Chúng ta thấy ngay rằng hai phép toán vừa xác định làm cho i i I M ∈ ∏ trở thành một A – môđun và gọi là tích trực tiếp của họ các A – môđun { } i M i ∈ I . Nếu M i = N với ∀ i ∈ I thì ta kí hiệu i i I M ∈ ∏ bởi N I . 1.2.2. Tổng trực tiếp. Cho { } i i I M ∈ là một họ tùy ý các A – môđun. Gọi S là tập con của i i I M ∈ ∏ gồm tất cả các phần tử có giá hữu hạn, tức là: S = { ( ) i i i I i I x M ∈ ∈ ∈ ∏ | chỉ có hữu hạn x i ≠ } 0 . 8 Khi đó S là một môđun con của i i I M ∈ ∏ . S được gọi là tổng trực tiếp của họ các A – môđun { } i i I M ∈ . Tổng trực tiếp của họ các A – môđun { } i i I M ∈ được kí hiệu là ⊕ i ∈ I M i. 1.3. Dãy khớp các A – môđun 1.3.1. Định nghĩa. Cho dãy đồng cấu các A – môđun ( ) 0 ζ : … M i+1 i 1 d + → M i i d → M i-1 i 1 d − → … ( ) i Dãy ( ) 0 ζ được gọi là khớp tại i nếu Im d i+1 = Ker d i . ( ) ii Dãy ( ) 0 ζ được gọi là dãy khớp nếu nó khớp tại ∀ i, tức là Imd i+1 = Ker d i , ∀ i. 1.3.2. Dãy khớp ngắn. Một dãy khớp các A – môđun dạng: 0  → M’  → f M  → g M”  → 0, trong đó M, M’, M” là các A – môđun; f và g là các A – đồng cấu được gọi là một dãy khớp ngắn. 1.4. Dãy Cauchy 1.4.1. Định nghĩa. Cho A là một vành giao hoán, M là một A – môđun và I là một iđêan của A. Giả sử { } n n 0 M ≥ là một họ các môđun con của M sao cho M n+1 ⊆ M n với mọi n ≥ 0. Một dãy vô hạn (x n ) các phần tử của M được gọi là một dãy Cauchy theo (M n ) n ≥ 0 , nếu với mỗi n đều tồn tại N để x d ∈ M n với Nd ≥∀ . Hai dãy Cauchy (x n ) ~ (y n ) nếu với mỗi n đều tồn tại n 0 để x m – y m ∈ M n với mọi m ≥ n 0 . 1.4.2. Mệnh đề. Quan hệ ~ giữa các dãy Cauchy theo (M n ) n ≥ 0 của M là một quan hệ tương đương. Chứng minh. Giả sử (x n ), (y n ), (z n ) là các dãy Cauchy trong M theo (M n ) n ≥ 0 .Với mỗi n, ta c ó x m – x m = 0 ∈ M n với mọi m ≥ 0, do đó (x n ) ~ (x n ). Giả sử (x n ) ~ (y n ), tức là với mỗi n tồn tại n 0 sao cho x m – y m ∈ M n với∀n ≥ n 0 . Khi đó y m – x m = -( x m – y m ) ∈ M n với mọi n ≥ n 0, suy ra (y n ) ~ (x n ). Cuối cùng, giả sử (x n ) ~ (y n ) và (y n ) ~ (z n ). Lúc đó, với mỗi n tồn tại n 0 sao cho x m – y m ∈ M n và y m – z m ∈ M n với mọi n ≥ n 0 ,suy ra x m – z m = ( x m – y m ) + (y m – z m ) ∈ M n với mọi n ≥ n 0, do đó 9 (x n ) ~ (z n ).Vậy ~ là một quan hệ tương đương trên tập các dãy Cauchy trong M theo (M n ) n ≥ 0 .  1.4.3. Mệnh đề. Cho A là một vành giao hoán, M là một A-môđun. Giả sử 0 ( ) n n M ≥ là một họ các môđun con của M sao cho 1+ ⊆ n n M M với 0. ∀ ≥ n Gọi M * là tập các lớp tương đương của các dãy Cauchy theo 0 ( ) n n M ≥ trong M. Với hai quy tắc cộng dãy và nhân một phần tử của A với dãy trong M sẽ cảm sinh ra hai phép toán làm cho M * trở thành một A-môđun. Chứng minh. Với mỗi dãy Cauchy ( ) n x theo 0 ( ) n n M ≥ kí hiệu ( ) n x là lớp tương đương của ( ) n x trong M * . Trước hết ta chỉ ra rằng quy tắc cộng hai phần tử của M*. ( ) ( ) ( ) n n n n x y x y+ = + và quy tắc nhân mỗi phần tử của A với một phần tử của M * : ( ) ( ) n n a x ax= là những ánh xạ. Thật vậy, giả sử , ( ) ( )= n n x x và , ( ) ( )= n n y y . Theo định nghĩa, với mỗi n tồn tại 0 n sao cho , m m n x x M− ∈ và , m m n y y M− ∈ với mọi 0 m n≥ . Khi đó , , , , ( ) ( ) ( ) ( )+ − + = − + − ∈ m m m m m m m m n x y x y x x y y M , , ( ) n n n n n ax ax a x x M− = − ∈ với mọi 0 m n≥ . Suy ra , , ( ) ( ) n n n n x y x y+ = + và , ( ) ( ) n n ax ax= . Vậy quy tắc cộng và nhân ngoai xác định như trên là những ánh xạ. Ta chứng minh M * cùng với chúng làm thành một A-môđun. Trước hết dễ thấy rằng (M * , +) là một nhóm Abel: phần tử không là lớp tương đương (0) của dãy Cauchy (0) gồm toàn phần tử 0, phần tử đối của ( ) n x là ( ) n x− . Bây giờ với mọi * ( ),( ) n n x y M∈ và mọi a, b ∈ A, ta dễ dàng kiểm tra các đẳng thức sau ( ) ( ) ( ) ( ) ( ), n n n n a x y a x a y+ = + ( )( ) ( ) ( ), n n n a b x a x b x+ = + ( ) ( )( ) ( ) n n ab x a b x= , 1( ) ( ) n n x x= . Vậy M * với các phép toán như đã xác định là một A-môđun.  10 CHƯƠNG 2 GIỚI HẠN THUẬN VÀ GIỚI HẠN NGHỊCH CỦA MỘT HỌ MÔĐUN 2.1. Giới hạn nghịch 2.1.1. Định nghĩa. Cho I là một tập định hướng. Giả sử (M i ) i ∈ I là một họ các A- môđun và với mỗi cặp i ≤ j có đồng cấu A –môđun θ ji : M j  → M i . Khi đó họ (M i ) i ∈ I cùng với họ ( θ ji ) i ≤ j được gọi là một hệ nghịch nếu các điều kiện sau được thoả mãn: (i) θ ii là ánh xạ đồng nhất trên M i với mọi i ∈ I; (ii) θ ki = θ ji θ kj, tức là biểu đồ sau giao hoán với mọi i ≤ j ≤ k. Để cho tiện, ta kí hiệu hệ nghịch này là (M i , θ ji ). 2.1.2. Định nghĩa. Giới hạn nghịch (hay giới hạn nội xạ) của một hệ nghịch các A – môđun (M i , θ ji ) là một A – môđun M cùng với họ các A - đồng cấu (f i ) i ∈ I , trong đó f i : M  → M i sao cho các điều kiện sau được thoả mãn: (i) θ ji f j = f i , tức là biểu đồ sau giao hoán với mọi i ≤ j; (ii) Nếu M ' là một A – môđun cùng với một họ các A - đồng cấu (g i ) i ∈ I , trong đó g i : M '  → M i thoả mãn θ ji g j = g i , tức là biểu đồ sau giao hoán k M kj θ j M i M ji θ ki θ M j f j M i M ji θ i f . trình bày định nghĩa và một số tính chất của giới hạn thuận, giới hạn nghịch của một họ môđun. Khóa luận được thực hiện tại trường Đại học Vinh dưới sự hướng. xác định là một A -môđun.  10 CHƯƠNG 2 GIỚI HẠN THUẬN VÀ GIỚI HẠN NGHỊCH CỦA MỘT HỌ MÔĐUN 2.1. Giới hạn nghịch 2.1.1. Định nghĩa. Cho I là một tập định