Nhóm giải được và tính địa phương của nhóm giải được luận văn tốt nghiệp đại học

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH ******************** TĂNG THỊ NGA NHÓM GIẢI ĐƯỢC VÀ TÍNH ĐỊA PHƯƠNG CỦA NHÓM GIẢI ĐƯỢC KHÓA LUẬN CỬ NHÂN KHOA HỌC NGÀNH TOÁN HỌC Vinh – 2011 1 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH ******************** TĂNG THỊ NGA NHÓM GIẢI ĐƯỢC VÀ TÍNH ĐỊA PHƯƠNG CỦA NHÓM GIÁI ĐƯỢC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC ThS. NGUYỄN QUỐC THƠ Vinh – 2011 2 MỤC LỤC Trang LỜI NÓI ĐẦU 2 Chương 1. Nhóm giải được 4 §1. Nhóm hữu hạn và nhóm con với chỉ số hữu hạn 4 §2. Tác động của một nhóm trên một tập .9 §3. Nhóm giải được .16 §4. Nhóm giải được tổng quát .20 Chương 2. Tính địa phương của nhóm giải được 23 §1. Nhóm hữu hạn địa phương 23 §2. Tính địa phương của nhóm giải được .26 KẾT LUẬN .31 TÀI LIỆU THAM KHẢO .32 3 LỜI NÓI ĐẦU Lớp nhóm giải được là một lớp nhóm giữ vị trí quan trọng trong đại số mói riêng và toán học nói chung. Nó có nhiều ứng dụng không chỉ trong lý thuyết nhóm, mà còn trong các ngành khoa học khác như lý thuyết Galoa, vật lý, hóa học… Lớp nhóm này đã được nhiều nhà toàn học quan tâm nghiên cứu và thu được nhiều kết quả tốt. Bản thân lý thuyết này cũng không ngừng phát triển bên cạnh lý thuyết nhóm giải được trừu tượng, lý thuyết nhóm giải được tuyến tính… Nội dung của khóa luận là hệ thống lại và tìm một số ví dụ minh họa về nhóm giải được và tính địa phương của nhóm giải được. Khóa luận ngoài phần mở đầu và tài liệu tham khảo, được chia làm hai chương: Chương 1. Nhóm giải được Nội dung chính của chương này nhắc lại các khái niệm về nhóm hữu hạn, nhóm con với chỉ số hữu hạn, khái niệm về tác động. Từ định lý Sylow, tìm ra một số ứng dụng của nó. Nhắc lại khái niệm về nhóm giải được và giải được hữu hạn, từ đó tìm một số ví dụ và chứng minh một số tính chất của nó. Cụ thể được thể hiện qua các mục sau: § 1. Nhóm hữu hạn và nhóm con với chỉ số hữu hạn. § 2. Tác động của một nhóm trên một tập. § 3. Nhóm giải được. § 4. Nhóm giải được tổng quát. Chương 2.Tính địa phương của nhóm giải được Nội dung chính của chương này là nhắc lại khái niệm về nhóm hữu hạn địa phương và từ đó xét một số tính chất của nó. Cuối cùng tác giả nghiên cứu một số tính chất địa phương của nhóm giải được. Cụ thể được thể hiện qua các mục sau: § 1. Nhóm hữu hạn địa phương. § 2. Tính địa phương của nhóm giải được. 4 Khóa luận được hoàn thành dưới sự hướng dẫn của thầy giáo – Ths Nguyễn Quốc Thơ. Qua đây tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đối với thầy vì sự giúp đỡ nhiệt tình và những góp ý thiết thực cho tác giả trong quá trình hoàn thành khóa luận. Tác giả trân trọng cảm ơn ban lãnh đạo khoa Toán, các thầy giáo, cô giáo trong tổ Đại số và tập thể lớp 48B – Toán đã động viên giúp đỡ, tạo điều kiện thuận lợi để tác giả hoàn thành khóa luận này. Với thời gian và năng lực hạn chế, chắc rằng khóa luận còn nhiều thiếu sót, tác giả mong được sự góp ý, chỉ bảo của các thầy cô giáo và các bạn để khóa luận được hoàn thiện hơn. Vinh, tháng 5 năm 2011. Tác giả 5 CHƯƠNG 1 NHÓM GIẢI ĐƯỢC §1. NHÓM HỮU HẠN VÀ NHÓM CON VỚI CHỈ SỐ HỮU HẠN 1.1. Khái niệm về nhóm hữu hạn và nhóm con với chỉ số hữu hạn 1.1.1. Định nghĩa. Một nửa nhóm hoặc một nhóm G được gọi là hữu hạn nếu có hữu hạn phần tử. Khi đó, số các phần tử trong G được gọi là cấp của G. Giả sử G có n phần tử, khi đó cấp của G được kí hiệu là: G = n hoặc là ord (G) = n. 1.1.2. Mệnh đề. Một nửa nhóm khác rỗng hữu hạn X là một nhóm khi và chỉ khi phép toán trong X có luật giản ước. Chứng minh. Điều kiện cần: Giả sử X là một nhóm, khi đó với mọi x,y.z ∈ X ta có: xy = xz ⇒ x 1 − (xy) = x 1 − (xz) ⇒ (x 1 − x)y = (x 1 − x)z ⇒ ey = ez ⇒ y = z Ta suy ra phép toán trong X có luật giản ước trái. Tương tự, phép toán trong X có luật giản ước phải. Vậy khi X là một nhóm thì phép toán trong X có luật giản ước. Điều kiện đủ: Giả sử X là nửa nhóm khác rỗng hữu hạn, phép toán trong X có luật giản ước. Cần chứng minh X là một nhóm. Giả sử X = {a 1 ,…,a n }; a,b là các phần tử bất kỳ của X. Ta có: aa 1 ,…,aa n là n phần tử khác nhau của X ( do trong X có luật giản ước). Do đó aX = {aa 1 ,…,aa n } là tập con của X và có cùng số phần tử với X. Vì aX, X hữu hạn nên aX = X. 6 Vì b ∈ X nên b ∈ aX. Do đó, tồn tại a k ∈ X (1 ≤ k ≤ n) sao cho aa k = b. Vậy phương trình ax = b có nghiệm x = a k trong X. Tương tự, phương trình ya = b có nghiệm trong X. Theo định nghĩa của nhóm ta suy ra X là một nhóm.  1.1.3. Hệ quả. Một nửa nhóm con khác rỗng H của một nhóm hữu hạn G là một nhóm con của G. Chứng minh. Vì G là một nhóm hữu hạn phần tử nên theo Mệnh đề 1.1.2 G có luật giản ước. Khi đó với ∀ a,b,c ∈ H và ac = bc thì a,b,c ∈ G và ac = bc ( Vì H ⊂ G) ⇒ a = b Tương tự, ∀ a,b,c ∈ H và ca = cb ⇒ a = b. Do đó H có luật giản ước. Vì H là tập con của G và G có hữu hạn phần tử nên H cũng có hữu hạn phần tử. Theo mệnh đề 1.1.2, nửa nhóm con khác rỗng H là một nhóm và do đó H là nhóm con của G.  1.1.4. Định nghĩa: Giả sử G là một nhóm hữu hạn tùy ý cho trước có cấp n và H là một nhóm con cấp m của G. Xét tập thương Q:= G/H = { xH : x ∈ G } các lớp ghép trái của G theo H. Khi đó, Q hữu hạn. Số k các phần tử của Q được gọi là chỉ số của nhóm con H trong G. Kí hiệu: HG : . 1.1.5. Định lý Lagrange: Giả sử T là nhóm con của S trong đó S là nhóm con của nhóm hữu hạn G. Khi đó: .:.:: TSSGTG = Chứng minh. Giả sử {x 1 ,…,x n } (tương ứng { y 1 ,…,y n }) là tập các đại diện của các lớp kề trái của S trong G (tương ứng của T trong S). Khi đó, m = ,: SG n = TS : và G, S được phân tích thành các hợp rời rạc: SxSxSxG m ∪∪∪= . 21 . TyTyTyS n ∪∪∪= . 21 . Theo luật giản ước ta có: TyxTyxSx niii ∪∪= . 1 ⇒   m i n j ji TyxG 1 1 = = = . 7 Vậy { } njmiyx ji ,1,,1, == là tập đại diện của các lớp kề trái của T trong G. TSSGnmTG :.:.: ==⇒ .  1.1.6. Hệ quả. Cấp của một phần tử tùy ý của một nhóm hữu hạn G là một ước của cấp của G. Chứng minh. Giả sử a ∈ G, G = n. Nếu a = {e} thì a = 1 nên a là ước của G . Nếu a ≠ {e} thì cấp của a là cấp của nhóm xyclic (hữu hạn) a sinh bởi a. Vì a là ước của G nên a là ước của G .  1.1.7. Định lý Keli: Mọi nhóm con hữu hạn cấp n đều đẳng cấu với một nhóm con của nhóm đối xứng S n . Chứng minh. Giả sử G = {x 1 ,…x n } là nhóm hữu hạn cấp n; P(X) là nhóm các song ánh từ G lên G. Với mỗi a ∈ G, ta có ánh xạ : a ρ G → G là một song ánh x  ax Thật vậy, ∀ x 1 ,x 2 ∈ G ta có: a ρ (x 1 ) = a ρ (x 2 ) ⇒ ax 1 = ax 2 ⇒ x 1 = x 2 (vì G là một nhóm nên có luật giản ước). Vậy a ρ đơn ánh. Với ∀ g ∈ G, ∃ x = a 1 − g ∈ G sao cho: a ρ (x) = ax = a(a 1 − g) = (aa 1 − )g = eg = g ⇒ a ρ toàn ánh. Vậy a ρ song ánh ⇒ a ρ ∈ P(X). Khi đó ánh xạ ϕ : G → P(X) là một đồng cấu a  a ρ Thật vậy, ta có: ( a ρ b ρ )(x) = a ρ ( b ρ (x)) = a ρ (bx) = a(bx) = ab(x) = ab ρ (x), ∀ a.b ∈ G, ∀ x ∈ G ⇒ a ρ b ρ = ab ρ . Do đó ϕ (ab) = ab ρ = a ρ b ρ = ϕ (a). ϕ (b), ∀ a.b ∈ G ⇒ ϕ là một đồng cấu. 8 Mặt khác ∀ a.b ∈ G, ϕ (a) = ϕ (b) ⇒ a ρ = b ρ ⇒ a ρ (e) = b ρ (e) (e là đơn vị của nhóm G). ⇒ ae = be ⇒ a = b ⇒ ϕ đơn ánh. Vậy ϕ là đơn cấu ⇒ G ≅ ϕ (G), trong đó ϕ (G) là nhóm con của nhóm các phép thế bậc n.  1.1.8. Khảo sát các nhóm con có chỉ số hữu hạn. Giả sử G là một nhóm, H là nhóm con với chỉ số hữu hạn trong G (G không nhất thiết là nhóm hữu hạn). Giả sử mHG = : và m xx , ., 1 là đại diện của các lớp ghép phải của G theo nhóm con H. Với mỗi g ∈ G, ta đặt: ĝ =         gHxgHxgHx HxHxHx m m . . 21 21 Khi đó ta có ánh xạ ψ : H G G → g  ĝ Thật vậy, với Ggg ∈ 21 , ta có: 21 gg = ⇒ ψ ( 1 g ) = ĝ 1 =         111 1 . . gHxgHx HxHx m m =         221 1 . . gHxgHx HxHx m m = ĝ = ψ ( 2 g ) ⇒ ψ ( 1 g ) = ψ ( 2 g ). 1.1.9. Định lý Poincare: Mọi nhóm con có chỉ số hữu hạn m đều chứa một ước chuẩn có chỉ số hữu hạn chia hết cho m và chia hết m!. Chứng minh. Giả sử H là nhóm con của G với chỉ số hữu hạn m và  Gx x HN ∈ = . 9 Khi đó N chuẩn tắc trong G và được chửa trong H nên NHHGNG ::: = ⇒ NHmNG :: = Vậy NG : chia hết cho m. Mặt khác, vì N là hạt nhân của đồng cấu biểu diễn ψ nên G/N đẳng cấu với nhóm con của nhóm các phép thế T trên tập G/H gồm m phần tử. Khi đó: !mT = Theo định lý Lagrange, NG / là ước của m! hay NG : là ước của m!.  1.1.10. Mệnh đề. Giao của một họ hữu hạn các nhóm con có chỉ số hữu hạn của một nhóm G là một nhóm con có chỉ số hữu hạn của G. Chứng minh. Theo nguyên lý quy nạp, ta chỉ cần chứng minh: A và B các nhóm con có chỉ số hữu hạn của G là nhóm con có chỉ số hữu hạn của G. Thật vậy, ta có: BAGBAAAG ∩=∩ ::.: (1) Mặt khác, ta xác định ánh xạ f: B G BA A → ∩ cho bởi f(x(A ∩ B)) = xB. Với ∀ x,y ∈ A, ta có: f(x(A ∩ B)) = f(y(A ∩ B)) ⇒ xB = yB ⇒ x 1 − y ∈ B mà x 1 − y ∈ A nên suy ra x 1 − y ∈ A ∩ B ⇒ x(A ∩ B) = y(A ∩ B). Vậy f là đơn ánh ⇒ .:: BGBAA ≤∩ (2) Từ (1), (2) suy ra .:.:: BGAGBAG ≤∩  §2. TÁC ĐỘNG CỦA MỘT NHÓM TRÊN MỘT TẬP 2.1.1. Định nghĩa. Giả sử S là một tập và G là một nhóm. Khi đó ánh xạ: G × S → S 10