Nhóm liên tục các phép biến đổi

1 mục lục trang Lời nói đầu Đ1.Nửa nhóm phép biến đổi tập Đ2.Nhóm liên tục phép biến đổi tập 12 Đ3 Tổng quan nhóm tô pô 18 Đ4.Nhóm liên tục phép biến đổi 25 kết luận .30 tài liệu tham khảo .31 lời nói đầu Nhóm phép bậc hữu hạn lớp nhóm đợc khảo sát từ giai đoạn lý thuyết nhóm đời, tỏ có nhiều ứng dụng quan trọng Đại số nói riêng Toán học nói chung Có thể mở rộng khái niệm nhóm phép bậc hữu hạn theo nhiều hớng khác Trớc hết, ngời ta xét nửa nhóm phép biến đổi tập hợp tuỳ ý, từ khảo sát lớp nhóm đối xứng tập hợp (nghĩa nhóm song ánh từ tập hợp X tuỳ ý - không thiết hữu hạn - lên với phép toán phép hợp thành ánh xạ) Từ đó, xét lớp nhóm đặc biệt hơn: Nhóm liên tục phép biến đổi không gian tôpô Khoá luận theo hớng thứ hai Khoá luận gồm bốn phần Đ1 Nửa nhóm phép biến đổi tập.Trong tiết này, trớc hết xét nửa nhóm đầy đủ phép biến đổi tập hợp tuỳ ý sâu vào nửa nhóm ngợc phép biến đổi phận - tập hợp Các kết cần ý mệnh đề 1.2.5 định lý 1.3.14 Đ Nhóm phép biến đổi tập Trong tiết này, xét nhóm song ánh từ tập X lên với X tập tuỳ ý Sau đó, xét lớp nhóm trờng hợp thân X nhóm Các kết cần ý mệnh đề 2.1.5, mệnh đề 2.2.8 Đ3 Tổng quan nhóm tôpô.Trong tiết này, nhắc lại khái niệm tính chất nhóm tôpô để làm sở cho việc trình bày tiết sau Đ 4: Nhóm liên tục phép biến đổi Đây phần luận văn Dựa kết trình bày tiết tiết 3, xét nhóm liên tục phép biến đổi không gian tôpô, đặc biệt sâu vào khảo sát nhóm liên tục bắc cầu không gian tôpô thu đợc kết bớc đầu (mệnh đề 4.2, mệnh đề 4.3) Khoá luận đợc hoàn thành dới hớng dẫn thầy giáo PGS.TS Lê Quốc Hán Nhân dịp tác giả bày tỏ lòng cảm ơn sâu sắc thầy giúp đỡ nhiệt tình góp ý thiết thực cho tác giả trình hoàn thành khoá luận Tác giả xin cảm ơn thầy giáo,cô giáo tổ đại số; thầy giáo, cô giáo khoa Toán Đại Học Vinh tập thể bạn bè lớp 44B-toán động viên,giúp đỡ tác giả hoàn thành khoá luận Vì trình độ thời gian có hạn nên khoá luận chắn nhiều thiếu sót,rất mong nhận đợc đóng góp ý kiến bạn đọc để khoá luận đợc hoàn thiện Tác giả: Đ1 Nửa nhóm phép biến đổi tập Tiết trình bày số khái niệm lí thuyết nửa nhóm bớc đầu sâu vào khảo sát lớp nửa nhóm phép biến đổi tập 1.1.Các khái niệm 1.1.1.Định nghĩa: i) Giả sử S tập hợp tuỳ ý Khi ánh xạ từ S ì S vào S gọi phép toán hai S Nếu ánh xạ đợc kí hiệu (.) ảnh phần tử (a,b) S ì S S đợc kí hiệu a.b hay đơn giản : ab ii) Tập hợp S khác rỗng với phép toán hai đợc gọi nhóm iii) Phỏng nhóm S đợc gọi nửa nhóm phép toán hai S có tính chất kết hợp, nghĩa (ab)c = a(bc), a,b,c S 1.1.2 Định nghĩa: Giả sử S nhóm Khi đó, phần tử e S đợc gọi đơn vị S ea = ae = a, a S 1.1.3 Chú ý : Phần tử đơn vị nhóm S, có, nhất.Thật vậy, e e, phần tử đơn vị S ee = e(do e đơn vị ) ee = e ( e đơn vị), e = e Trong trờng hợp S đơn vị ta ghép thêm kí hiệu S xét tập hợp S1 = S {1},mà mở rộng phép toán S lên S cách đặt 1.a = a.1 = a, a S1.Khi S1 trở thành nhóm S nửa nhóm S nửa nhóm (có đơn vị).Các nửa nhóm có đơn vị gọi vị nhóm 1.1.4 Định nghĩa: Với tập hợp X tuỳ ý, xét tập hợp X ánh xạ từ X vào Tích (hay hợp thành) hai phép biến đổi tập X phép biến đổi đợc định nghĩa : ( )(x) = ( (x)), x X Khi ta có ( ) = ( ) Thật vậy, với x X ta có : ( ( ))(x) = (( )(x)) = ( )( (x)) = ( )( (x)) = (( ) )(x) Nên ( ) = ( ) Do tập X tất phép biến đổi tập X nửa nhóm phép hợp thành Ta gọi X nửa nhóm đầy đủ phép biến đổi X ánh xạ : X Y ánh xạ lên (hay gọi toàn ánh) phần tử thuộc Y ảnh phần tử thuộc X ánh xạ : X Y ánh xạ - ( đơn ánh ) phần tử khác thuộc X có ảnh qua phần tử khác thuộc Y ánh xạ - từ tập X lên đợc gọi phép tập X, X vô hạn Tập GX tất phép tập X với phép nhân ánh xạ lập thành nhóm đợc gọi nhóm đối xứng X 1.1.5 Định nghĩa: Tập T nhóm đợc gọi nhóm từ a T,b T ab T Giao họ tuỳ ý nhóm nhóm Nếu A , A S giao tất nhóm S chứa A nhóm nhóm S chứa A đợc chứa nhóm S chứa A nói nhóm nhóm S sinh A Nếu = S ta gọi A tập sinh nhóm S Nếu S nửa nhóm nhóm S nửa nhóm dùng từ nửa nhóm thay cho từ nhóm Nếu S nhóm,thì lực lợng |S | tập S đợc gọi cấp S 1.1.6 Định nghĩa : Phần tử e thuộc nhóm S đợc gọi đơn vị trái(phải) ea = a (ae = a) a S Phần tử e thuộc nhóm S đợc gọi đơn vị hai phía ( hay đơn vị ) e vừa đơn vị trái vừa đơn vị phải Nếu S chứa đơn vị trái e đơn vị phải f e = f Phần tử z thuộc nhóm S đợc gọi phần tử không bên trái (phải) za = z (az=z) a Z Phần tử z thuộc nhóm S đợc gọi phần tử không z vừa phần tử không bên trái, vừa phần tử không bên phải z1 phần tử không bên trái, z2 phần tử không bên phải z1=z2 1.2 Phần tử khả nghịch nửa nhóm phép biến đổi 1.2.1 Định nghĩa: Giả sử S nửa nhóm với phần tử đơn vị Nếu p q phần tử thuộc S cho pq =1, ta gọi p nghịch đảo bên trái q,còn q gọi nghịch đảo bên phải p 1.2.2 Định nghĩa: Phần tử khả nghịch bên phải (trái) thuộc S đợc định nghĩa phần tử thuộc S có nghịch đảo bên phải (trái) thuộc S Vậy pq = p khả nghịch bên phải, q khả nghịch bên trái 1.2.3 Định nghĩa: Phần tử khả nghịch thuộc S phần tử vừa khả nghịch bên trái vừa khả nghịch bên phải 1.2.4 Mệnh đề[1]: Giả sử S nửa nhóm với phần tử đơn vị Khi ta có: (i) Tập P[Q] tất phần tử khả nghịch bên phải (trái) S nửa nhóm với luật giản ớc phải (trái) chứa (ii) Tập U tất phần tử khả nghịch thuộc S nhóm S U = P Q Mỗi phần tử khả nghịch có phần tử nghịch đảo hai phía thuộc U nghịch đảo bên trái bên phải thuộc tập (iii) Mỗi nhóm S chứa đợc chứa U Từ định nghĩa định lý ta có mệnh đề sau: 1.2.5.Mệnh đề: Giả sử X nửa nhóm đầy đủ phép biến đổi tập X nửa nhóm phần tử khả nghịch bên phải X gồm tất ánh xạ (một ) từ X vào X Chứng minh Giả sử f: X X khả nghịch phải.Khi tồn ánh xạ g: X X cho g f =1 Ta chứng minh f đơn ánh Thật vậy, f(x) = f(y) g[f(x)] = g[f(y)] 1X(x) =1X(y) x =y f đơn ánh Ngợc lại f đơn ánh ta chứng minh khả nghịch phải Ta xây dựng ánh xạ g: X X nh sau: y = f ( x) x (do f đơn) y f ( X ) a (với a0 phần tử cố định thuộc X) 1.2.6 Mệnh đề: Giả sử X nửa nhóm đầy đủ phép biến đổi tập hợp X nửa nhóm phần tử khả nghịch bên trái X gồm tất toàn ánh từ X lên X Chứng minh: Giả sử f: X X khả nghịch trái Khi tồn ánh xạ g : X X cho fog = 1X Ta chứng minh f toàn ánh Thật y X, g(y) X cho: f(g(y)) = (f0g)(y) = y f toàn ánh Ngợc lại f toàn ánh,ta chứng minh f khả nghịch trái Do f : X X toàn ánh nên với y X tồn f-1(y).Với tập f-1(y) ta cố định phần tử xy (tức f(xy) = y ) Xây dựng ánh xạ g: X X cho g(y) = xy Khi ta có: (f g)(y) = f(g(y)) = f(xy) = y f g = 1X f khả nghịch trái (đpcm) 1.2.7 Hệ : Nhóm tất phần tử khả nghịch X trùng với nhóm đối xứng GX 1.3 Nửa nhóm ngợc phép biến đổi phận - Tiết dành cho việc khảo sát nửa nhóm ngợc phép biến đổi phận - một tập hợp X cho trớc.Trớc hết, ta nhắc lại định nghĩa tính chất đơn giản nửa nhóm quy nửa nhóm ngợc 1.3.1 Định nghĩa: Giả sử S nửa nhóm i) Phần tử a thuộc S đợc gọi phần tử qui tồn phần tử x thuộc S cho axa = a ii) Nửa nhóm S đợc gọi nửa nhóm qui phần tử S phần tử qui 1.3.2 Chú ý: Nếu axa = a e = ax luỹ đẳng Hơn ea = a Thật vậy, e = ( ax)( ax) = ( axa)x = ax= e ea = axa= a Tơng tự f = xa luỹ đẳng S af = a Ta ý a phần tử qui nửa nhóm S iđêan phải aS = a aS sinh a aS , a = af kéo theo a aS.Tơng tự, S1a = Sa Về sau ta dùng hai ý mà không nói thêm 1.3.3 Bổ đề : Phần tử a thuộc nửa nhóm S phần tử qui iđêan phải (trái) nửa nhóm S sinh a đợc sinh luỹ đẳng e đó, nghĩa aS1 = eS1 (hay S1a =S1e) Chứng minh: Nếu a phần tử qui axa = a với x thuộc S Khi e = ax phần tử luỹ đẳng S ea = a Khi eS1 = aS1 Đảo lại, giả sử aS1 = eS1 e2 = e.Khi a = ex với x thuộc S1 Vì ea = e2x = ex = a; e = ay với y phần tử S1 Nếu y = e = a a = ea = aa nên a =aa = aaa; y S a = ea = aya nên a aSa Suy a qui 1.3.4 Định nghĩa: Hai phần tử a b nửa nhóm S đợc gọi ngợc aba = a bab = b 1.3.5.Bổ đề: Nếu a phần tử qui nửa nhóm S a có phần tử b thuộc S ngợc với Chứng minh: Vì a phần tử qui S nên S tồn phần tử x cho axa = a.Đặt b =xax Khi b thuộc S aba = a(xax)a = ax( axa) = axa = a Tơng tự, có bab = (xax)a(xax) = x(axa) xax = xa(xax) = (xax)ax = xax = b 1.3.6.Bổ đề: Hai phần tử thuộc nửa nhóm S nghịch đảo nhóm S chúng ngợc giao hoán đợc với Chứng minh: Giả sử a b phần tử ngợc giao hoán đợc với thuộc nửa nhóm S e = ab Khi e luỹ đẳng ba = e, nên ea = aba = a ae = aba = a.Tơng tự eb = be = b Do a b phần tử khả nghịch eSe thuộc nhóm tối đại He S chứa e nh đơn vị Vì ab = ba = e nên a b nghịch đảo S 1.3.7 Định nghĩa: Nửa nhóm ngợc nửa nhóm phần tử có phần tử ngợc 1.3.8.Bổ đề Nếu e,f,ef fe luỹ đẳng thuộc nửa nhóm S ef fe ngợc Chứng minh: Ta có (ef)(fe)(ef) = ef2e2f = ef.ef = (ef)2 = ef Tơng tự ta có (fe)(ef)(fe) =fe ef fe ngợc 1.3.9.Định lý Ba điều kiện sau đối vơí nửa nhóm tơng đơng: i) S quy hai luỹ đẳng giao hoán với ii) Mỗi iđêan phải iđêan trái S có phần tử sinh luỹ đẳng (iii) S nửa nhóm ngợc (tức phần tử thuộc S có phần tử ngợc nhất) Chứng minh (i) (ii): Vì e f luỹ đẳng sinh iđêan phải tức eS = fS ef = f fe = e Nhng theo (i) ta có: ef = fe nên e = f 10 (ii) (iii) : Ta có phần tử a thuộc nửa nhóm S qui iđêan phải (trái) nửa nhóm S sinh luỹ đẳng e đó, tức aS1 = eS1 [S1a = S1e] nên suy nửa nhóm S quy Bây ta cần chứng minh phần tử ngợc Thật vậy, giả sử b c ngợc với a Khi ta có aba = a; bab = b; cac = c Từ abS = aS = acS Sba = Sa = Sca, nên ab = ac ba = ca Do b = bab = bac = cac = a (iii)(i) Rõ ràng nửa nhóm ngợc qui Ta cần chứng minh hai luỹ đẳng giao hoán với Trớc hết ta chứng minh tích ef hai luỹ đẳng e f luỹ đẳng Thật vậy,giả sử a phần tử ngợc (duy nhất) ef Khi ta có : (ef)a(ef) = ef ; a(ef)a = a Đặt b = ae (ef)b(ef) = (ef)ae(ef) = efae2f = efaef = ef; b(ef)b = ae2fae =aefae = ae = b b phần tử ngợc ef , theo (iii) ae = b = a Nhng luỹ đẳng phần tử ngợc với theo (iii) ta suy a = ef ef luỹ đẳng Bây giả sử e f hai luỹ đẳng Theo ta có ef fe luỹ đẳng, nên theo bổ đề 1.3.8 ta có chúng ngợc nhau.Vậy ef fe ngợc với ef, ef = fe (đpcm) 1.3.10 Định nghĩa: Ta gọi phép biến đổi phận -một tập X ánh xạ - một, từ tập Y X lên tập Y = Y X: Ký hiệu -1: Y Y y -1 = y (y Y;y Y ) y = y Giả sử X tập tất phép biến đổi phận - tập X,bao gồm ánh xạ từ tập rỗng lên nó.Phép biến đổi rỗng ta kí hiệu 1.3.11 Bổ đề Tích hai phần tử , X đợc định nghĩa nh sau: 18 Trong tiết trình bày tóm tắt số kết lý thuyết nhóm tôpô số lớp nhóm tôpô cần cho việc nghiên cứu tiết 3.1: định nghĩa số tính chất nhóm tôpô 3.1.1Định nghĩa: Nhóm tôpô tập hợp G, đợc trang bị cấu trúc nhóm cấu trúc tôpô, thoả mãn hai điều kiện sau: ánh xạ f: G x G G liên tục (x,y) xy ánh xạ g: GG liên tục x x-1 Khi ta nói cấu trúc nhóm cấu trúc tôpô tơng thích với Hai điều kiện tơng đơng với điều kiện sau: ánh xạ : G x G G liên tục (x,y) xy-1 3.1.2 Định lý: Giả sử G nhóm tôpô a G Khi đó, ánh xạ a: G G , a(x) = ax a: G G , a(x) = a : : G G , (x) = x-1 ánh xạ đồng phôi không gian tôpô G 3.1.3 Hệ quả[3]: Giả sử F tập đóng, U tập mở, P tập hợp tuỳ ý a phần tử nhóm tôpô G Khi ta có: Fa, aF, F -1 tập đóng UP, PU, U-1 tập mở 3.1.4.Mệnh đề: Không gian tôpô G không gian Chứng minh: Để chứng minh không gian tôpô G không gian nhất, ta chứng minh: với hai phần tử x,y nhóm G tìm đợc đồng phôi G lên biến x thành y Thật vậy: Với x, y G, đặt a = x-1y a G Khi đó, ánh xạ a : G G , a(x) = xa phép đồng phôi G a(x) = xa = x(x-1y) = (xx-1)y = ey = y 19 Tính không gian tôpô G cho phép ta muốn kiểm tra tính chất tôpô địa phơng nhóm G cần làm điểm, chẳng hạn đơn vị e G 3.1.5 Định lý: Nếu P Q tập compact nhóm tôpô G PQ tập compact Chứng minh: Ta xét ánh xạ f: P x Q P.Q (x,y) x.y Giả sử a P, b Q W lân cận tích ab, tính chất liên tục phép nhân nên tồn lân cận U a P,V b Q, cho U.V W Ta có: f (U,V) = U.V W Vậy với lân cận W ab, tồn lân cận (U,V) (a,b) cho: f(U,V) W Suy f ánh xạ liên tục Do f biến tập compact thành tập compact Vì P,Q tập compact nên P x Q tập compact, f (P x Q) = P.Q tập compact (đpcm) 3.1.6 Định lý: Giả sử G nhóm tôpô Khi không gian G không gian quy Chứng minh: Vì G nhóm tôpô nên G không gian Do đó, để chứng minh G không gian quy, ta cần kiểm tra tính quy điểm đơn vị e G Giả sử U lân cận e, tồn V e cho VV-1 U Ta chứng minh V U Thật vậy, với x V , V e xV x xV lân cận x xV V a, b V: xa = b x = b a-1 VV-1 U V U Nh vậy, với lân cận U e, tồn lân cận V e cho V U Do đó, không gian G không gian quy 3.2 Nhóm con, ớc chuẩn, nhóm thơng, đồng cấu nhóm tôpô 20 3.2.1 Định nghĩa: Giả sử G nhóm tôpô Tập H G đợc gọi nhóm tôpô nhóm tôpô G hai điều kiện sau thoả mãn: i) H nhóm nhóm trừu tợng G ii) H tập đóng không gian tôpô G - Nhóm tôpô N nhóm tôpô G đợc gọi ớc chuẩn nhóm tôpô G N ớc chuẩn nhóm trừu tợng G 3.2.2 Mệnh đề[7]: Giả sử G nhóm tôpô, H ớc chuẩn nhóm trừu tợng G Khi đó, H ớc chuẩn nhóm tôpô G Nếu H tập mở G H = H 3.2.3 Mệnh đề: Giả sử C (G) = { g G / xg = gx, x G } Khi C (G) ớc chuẩn nhóm tôpô G Chứng minh: Hiển nhiên C(G) ớc chuẩn nhóm trừu tợng G theo lý thuyết nhóm trừu tợng, nên ta cần chứng minh C (G) đóng G, tức chứng minh: C(G ) = C (G) +) Hiển nhiên C(G) C(G ) +) Ta cần chứng minh C(G ) C(G): Giả sử a C(G ) mà a C(G), suy tồn x G cho xa ax Khi a = x-1ax a Vì G T2 - không gian, nên tồn lân cận U a, U' a' thoả mãn: U U' = Đặt V = C(G) U, a V Vì a C(G ) U nên a C(G ) U = C( G ) U = V Còn a' = x-1ax x-1 V x = x Vx = V Suy U' V mâu thuẫn với U' V = Bởi vậy: x-1ax = a với x G hay ax = xa tức a C(G) Ta có: C(G ) C(G) Vậy C(G ) = C(G) 3.2.4 Mệnh đề: Thành phần liên thông đơn vị G nhóm tôpô G ớc chuẩn tôpô G Chứng minh: Giả sử a, b G0, G0 liên thông nên aG0-1 liên thông e eG0 Bởi aG0-1 G0 ab-1 aG0-1 G0 nên G0 nhóm trừu tợng G 21 Giả sử a G0 x G x-1G0x liên thông chứa e nên x-1G0x G0, x-1ax x-1G0x G0, nên G0 ớc chuẩn trừu tợng G Do thành phần liên thông không gian tôpô luôn đóng nên G0 đóng Vậy G0 ớc chuẩn G (đpcm) 3.2.5 Định nghĩa: Giả sử N ớc chuẩn nhóm tôpô G, ta đa vào nhóm thơng G N nhóm trừu tợng G tôpô xác định nh sau: Giả sử b sở G, với U b, xét tập U* = { N g / g U } G N Khi b' = { U* / U b} sở không gian G N G N với tôpô xác định nh gọi nhóm thơng tôpô nhóm tôpô G theo ớc chuẩn N đợc ký hiệu G* 3.2.6 Định nghĩa: ánh xạ từ nhóm tôpô G đến nhóm tôpô G' gọi đồng cấu thoả mãn hai điều kiện sau: i) đồng cấu từ nhóm trừu tợng G đến nhóm trừu tợng G' ii) ánh xạ liên tục đẳng cấu đẳng cấu từ nhóm trừu tợng G đến nhóm trừu tợng G' ánh xạ mở mở từ không gian tôpô G đến không gian tôpô G' 3.2.7 Mệnh đề[7]: Giả sử G G' hai nhóm tôpô, g đồng cấu từ nhóm trừu tợng G đến nhóm trừu tợng G' Để g liên tục hay mở cần g liên tục hay mở đơn vị e G 3.2.8 Mệnh đề[7]: Giả sử G nhóm tôpô N ớc chuẩn G Khi ánh xạ tự nhiên từ nhóm G lên nhóm thơng G N p: G G N , p(x) = Nx ánh xạ liên tục, mở 3.2.9 Định lí[7]: Giả sử g: G G' toàn cấu mở từ nhóm tôpô G lên nhóm tôpô G' Khi đó: i) N = Ker (g) ớc chuẩn tôpô nhóm tôpô G ii) Nhóm thơng G N đẳng cấu với G' 22 3.2.10 Mệnh đề: Giả sử G nhóm compact, H N nhóm con, ớc chuẩn nhóm G cho HN đóng không gian G Khi HN nhóm G H N ớc chuẩn H Hơn HN N H H N Chứng minh: Theo lý thuyết nhóm trừu tợng, ta có HN H N nhóm trừu tợng nhóm tôpô G Theo giả thiết HN đóng G, suy HN nhóm tôpô nhóm tôpô G Vì H N nhóm ớc chuẩn G nên H, N đóng G, suy H N đóng G H N ớc chuẩn tôpô G - Vì N nhóm trừu tợng NH N ớc chuẩn tôpô G nên N ớc chuẩn tôpô NH Ta xét toàn cấu tắc: p: HN HN N Ta có N = Ker (p) Suy p(HN) = p(H) Gọi thu hẹp p H tức = p|H Khi Im( ) = Im( p|H) = p(H) = p(HN) = HN N Ker( ) = { x H/ (x) = e* }= { x H / p(x) = e* } = { x H / x N }= H N - Vì H, HN đóng G mà G compact nên H, HN tập compact, HN N tập compact Khi đó, ánh xạ toàn cấu: : H HN N từ nhóm compact H lên nhóm compact HN N đồng cấu mở Do H tức H Ker ( ) Im ( ) H N HN N 3.3 Định nghĩa: Nhóm tôpô G đợc gọi nhóm compact (compact địa phơng) không gian G không gian compact (compact địa phơng) Nhóm tôpô G đợc gọi compact sinh tồn tập M compact G để G bao đóng nhóm sinh M 3.3.1 Mệnh đề: Giả sử G nhóm tôpô, H ớc chuẩn nó, nếu: 23 i) G nhóm compact H G H nhóm compact ii) G nhóm compact địa phơng G H nhóm compact địa phơng Chứng minh: i) Giả sử U phủ mở H, H nhóm G nên U đợc chứa G Mặt khác G nhóm compact nên có phủ mở V phủ G tồn phủ hữu hạn V' phủ G Đặt U' = U V' Vì V' phủ G nên V' chứa U, U' phủ mở hữu hạn đợc trích từ phủ mở U phủ H Vậy H nhóm compact Bây ta chứng minh G H nhóm compact Lấy phủ mở U G H , ta xét đồng cấu tự nhiên: : G G H Ta có liên tục nên -1(U) = { -1(u) / u U } phủ mở G Vì G compact nên trích đợc phủ hữu hạn: ( -1(U))* = { -1(u1), -1(u2), , -1(un) } phủ G Do mở nên (( -1(U))*) họ hữu hạn tập mở, mà toàn ánh nên (( -1(U))*) phủ mở hữu hạn phủ G , suy G nhóm conpact H H ii) Giả sử G nhóm compact địa phơng, ta chứng minh H nhóm compact địa phơng Do G nhóm compact địa phơng nên điểm thuộc G tồn lân cận compact mà H nhóm G, suy phần tử H tồn lân cận compact, H nhóm compact địa phơng Chứng minh G H nhóm compact địa phơng Giả sử gH G H , ta chứng minh gH có lân cận compact Xét đồng cấu tự nhiên: :G G H Khi đó, -1(gH) G, G compact địa phơng nên tồn lân cận compact V -1(gH), mà liên tục nên (V) lân cận compact gH (do ánh xạ liên tục biến tập compact thành tập compact) Suy G H compact địa phơng (đpcm) 24 3.3.2 Mệnh đề: Giả sử G nhóm compact địa phơng compact sinh Khi đó, G tồn lân cận đối xứng compact đơn vị sinh toàn nhóm G Chứng minh: Vì G nhóm compact sinh nên tồn tập compact H cho G = H Khi tồn lân cận đối xứng compact V đơn vị e G Đặt D = HV V Vì D D-1 compact nên K = D D-1 tập compact đối xứng chứa e Vậy K = G 3.3.3 Mệnh đề: Cho G nhóm tôpô, H ớc chuẩn compact G cho nhóm thơng G H nhóm compact Khi G nhóm compact Chứng minh: Để chứng minh G compact, ta chứng minh G có họ tập có tính giao hữu hạn giao khác rỗng Xét hệ tâm có tính giao hữu hạn nhóm G: n Ei i =1 Ta chứng minh: E E Ký hiệu * = { f(E) / E , f: G G H }, (f đồng cấu tự nhiên) * hệ trung tâm Vì G H nhóm compact, nên tồn A E, cho E: f (E ) * tức U e G AU f(E) (vì AU lân cận A), suy tập AU phần tử G có giao với tập khác rỗng tức AU E , suy EU-1 A Lấy ' = { EU-1 A / E } Do A lớp ghép nên A đồng phôi với H mà H compact, suy A compact Vậy hệ ' có điểm chung a EU-1 A, E Suy lân cận V e G EU-1 aV (vì aV chứa a) Do đó, E aVU , E Lấy W chứa e, phép nhân liên tục nên tồn u,v cho uv W, suy auv aW Vậy aW E , E G nhóm compact 25 3.3.4 Hệ quả: Giả sử G nhóm tôpô, H ớc chuẩn compact, f đồng cấu tự nhiên từ G vào G H Khi đó, Q tập compact G H f-1(Q) tập compact G Đ4 Nhóm liên tục phép biến đổi Tiết dành cho việc nghiên cứu nhóm liên tục phép biến đổi 4.1.Định nghĩa: a Nhóm tôpô G đợc gọi nhóm liên tục phép biến đổi không gian tôpô T, phần tử x G đợc đặt tơng ứng với phép biến đổi x* tập hợp T, x* = J(x) thoả mãn điều kiện: J (xy) = J (x) J (y) ánh xạ : G ì T T , ((x, t)) = x* (t) liên tục b Các phép biến đổi x* ứng với x G ánh xạ tôpô Nếu phần tử khác G đợc đặt tơng ứng với phép biến đổi khác nhau, nhóm G đợc gọi nhóm hữu hiệu phép biến đổi Khi phần tử G đợc xem nh phép biến đổi (x = x*) Hạt nhân N nhóm trừu tợng không hữu hiệu G đóng không gian G Nhóm thơng G* = G N nhóm liên tục hữu hiệu phép biến đổi không gian T Nhóm liên tục G phép biến đổi không gian T đợc gọi bắc cầu, với hai phần tử không gian T, tìm đợc phần tử x G cho x* () = c Giả sử G G' nhóm liên tục phép biến đổi không gian T T' t ơng ứng Cặp ánh xạ , đợc gọi đồng dạng từ cặp G, T lên cặp G', T' ánh xạ đẳng cấu từ nhóm tôpô G lên nhóm tôpô G' ánh xạ đồng phôi từ không gian tôpô T lên không gian tôpô T' cho x' = (x), ' = () suy x'*(') = (x*()) Các cặp G, T G', T' đợc gọi đồng dạng tồn cặp ánh xạ đồng dạng từ G, T lên cặp G', T' 26 4.2 Định lý: Giả sử G nhóm tôpô, H nhóm G H không gian lớp ghép bên phải Với x G, xác định phép biến đổi x* hệ thức x* (gH) = xgH, nhận đợc nhóm bắc cầu phép biến đổi liên tục tập hợp G H Thế G nhóm liên tục phép biến đổi không gian tôpô G H Hạt nhân không hữu hiệu nhóm G ớc chuẩn tối đại nhóm G đợc chứa H Chứng minh:Chúng ta chứng tỏ (xem định nghĩa 4.1) liên tục Giả sử x G, gH G H , x* (gH) = xgH = H Lân cận tuỳ ý W* phần tử H không gian G H cho cách xuất phát từ lân cận W phần tử xa nhóm G xác định W* nh tập hợp tất lớp liên hợp đợc chứa không gian G cho UV W Ký hiệu V* lân cận phần tử gH không gian G H , bao gồm tất lớp liên hợp đợc chứa tập hợp VH Từ hệ thức UV W trực tiếp suy (U, V*) W* Do định lý 4.2.đợc chứng minh 4.3 Định lý: Giả sử G nhóm liên tục bắc cầu phép biến đổi không gian tôpô T Ký hiệu phần tử không gian T Ký hiệu () tập hợp tất phần tử x G thoả mãn điều kiện x* ( ) = Khi H = ( ) nhóm nhóm tôpô G Hơn ánh xạ đồng phôi từ không gian T lên không gian G H Giả sử ánh xạ đồng nhóm G Nếu không gian G T compact địa phơng không gian G biểu diễn nh hợp số đếm đợc tập compact, cặp , cặp đồng dạng từ cặp G, T lên cặp G , G H Chứng minh: Tính chất đóng H suy từ tính liên tục ánh xạ định nghĩa nhóm liên tục phép biến đổi 27 Ta chứng minh -1 liên tục Ký hiệu p ánh xạ tự nhiên từ G lên G H đặt g = -1 p Ta chứng minh từ tính liên tục g suy tính liên tục -1 Thật vậy, giả sử L tập mở thuộc , (L) = p (g-1 (L)) Vì g liên tục theo giả thiết, nên g-1(L) tập mở G, p ánh xạ mở, nên p(g -1(L)) mở gian G H Vì ánh xạ - nên -1 liên tục Bây ta chứng tỏ tính mở g suy tính liên tục Giả sử M tập mở G H Khi -1 (M) = g (p-1(M)) Vì p liên tục nên p-1(M) mở G g mở nên g (p -1(M)) mở, từ suy liên tục Nh vậy, ta phải chứng minh g liên tục trờng hợp đặc biệt phải chứng minh g mở Trớc hết, dễ dàng nhận thấy ánh xạ g đợc xác định điều kiện g(x) = x*( ), x G Bởi tính liên tục g đợc suy từ tính liên tục Bây giờ, ta chứng minh G, T compact địa phơng G hợp họ đếm đợc tập compact g mở Giả sử U lân cận tuỳ ý đơn vị nhóm G, chứng minh g(U) chứa lân cận điểm không gian T Lấy lân cận V đơn vị G cho F : = V compact F-1F U Giả sử họ đếm đợc tập compact phủ không gian G Với E , hệ lân cận xV, x E phủ E tồn phủ mở hữu hạn E, mà tập mở phủ có dạng xV với x E Vì hệ chứa đếm đợc tập hợp, nên tồn dãy đếm đợc x1, x2, G cho Fi = xi F , i = 1, Đặt Ci := g(Fi) Khi tập hợp g(F) chứa tập mở T Để chứng minh điều đó, cần chứng minh tập hợp Ci chứa tập mở T Thật vậy, C i = g(Fi) = x*i(g(F)) nên Ci nhận đợc từ g(F) phép biến đổi đồng phôi x *i toàn không gian T Giả sử không tập hợp tập C i chứa tập mở T.Giả sử L lân cận tuỳ ý T mà bao đóng compact Vì C không chứa tập mở, nên T tồn lân cận L1 cho L1 compact đợc chứa nguyên vẹn L0 \ C1 Bởi C2 không chứa tập mở nên tồn lân cận L cho L compact đợc chứa 28 L1 \ C2 Tiếp tục trình đó, ta nhận đợc dãy vô hạn lân cận L0, L1, L2, cho L i compact đợc chứa trọn vẹn Li - \ Ci, i = 1, 2, Vì tất tập L i compact không rỗng, nên giao chúng không rỗng, nhng điều xảy ra, họ L i , i = 1, 2, phủ T Vậy, g(F) phải chứa tập mở L Giả sử L x F cho g (x) = Khi x*() = Vì F-1F U nên x-1F U Do g(U) g(x-1F) = (x-1)*(g(F)) (x-1)*(L) Nhng (x-1)*(L) tập mở T chứa điểm Nh vậy, ta chứng minh đợc rằng: với lân cận U đơn vị nhóm G, tập hợp g(U) chứa lân cận điểm Cuối ta chứng minh g mở Giả sử x G, W lân cận phần tử x g(x)= , nghĩa x*() = Tập mở x-1W chứa đơn vị nhóm G, g(x-1W) chứa tập mở L' điểm : L' g(x-1W) Thay hệ thức tác động phép biến đổi x*, nhận đợc = x*() x*(L') x*(g (x-1W)) = g(W) Nh g(W) chứa lân cận x*(L') điểm , tính mở g đợc chứng minh 4.4Ví dụ: Giả sử T không gian mêtric Phép biến đổi x tập T đợc gọi phép biến đổi đặng cự không gian T bảo tồn khoảng cách, nghĩa , T d (x(), x()) = d (, ) Rõ ràng tập hợp tất phép biến đổi đẳng cự không gian T nhóm Các nhóm khác nhóm đợc gọi nhóm biến đổi đẳng cự không gian T Giả sử G nhóm phép biến đổi đẳng cự không gian mêtric compact T Đa vào G mêtric, tôpô, cách xác định khoảng cách d(x,y) hai điểm x, y phép biến đổi T nh sau: d(x,y) = max d(x(),y()) Đối với khoảng cách đợc xác định G, nh thoả mãn tiên đề không gian mêtric Dễ thấy nhóm tôpô G nhóm phép biến đổi không gian T Nếu G nhóm tất phép biến đổi không gian T, không gian G compact tôpô đa vào G tôpô biến G thành nhóm 29 phép biến đổi không gian T Nếu nhóm G tất phép đẳng cự không gian T bắc cầu, áp dụng đợc mệnh đề 4.3 Chẳng hạn, nhóm tất phép đẳng cự hình cầu đơn vị x2i = nh biết không gian Ơclit n + chiều Nhóm đẳng cự với nhóm tôpô tất ma trận trực giao cấp n + 4.5.Ví dụ: Giả sử T không gian vectơ thực n chiều, với hệ toạ độ đợc xác định G nhóm tô pô tất ma trận thực, vuông cấp n với định thức khác không i Mỗi ma trận X j thuộc G đợc đặt tơng ứng với phép biến đổi không gian T, chuyển vectơ = (1, , n) thành vectơ x () = (1, 2, , n) xác định hệ thức n = i x i =1 i j j (i = 1, 2, , n) Dễ thấy ma trận khác đợc đặt tơng ứng với phép biến đổi khác tích ma trận tơng ứng với tích phép biến đổi Bởi vậy, nhóm trừu tợng G nhóm hữu hiệu phép biến đổi không gian T Kiểm tra đợc nhóm tôpô G nhóm liên tục phép biến đổi không gian tôpô Vì G nhóm compact địa phơng có sở đếm đợc, nên tôpô đợc đa vào để G trở thành nhóm liên tục phép biến đổi T Chúng ta thấy G gồm tất tự đẳng cấu nhóm tôpô T Bởi vậy, nhóm G tất tự đẳng cấu nhóm vectơ T, tôpô đợc đa vào tôpô biến G thành nhóm tôpô Kết luận Khoá luận thu đợc kết sau -Tổng quan nửa nhóm đầy đủ phép biến đổi tập hợp tuỳ ý -Tổng quan nửa nhóm ngợc phép biến đổi phận một-một tập hợp -Hệ thống hoá số tính chất nhóm song ánh từ tập hợp tuỳ ý lên -Nhắc lại khái niệm tính chất nhóm tô pô -Khảo sát số tính chất nhóm liên tục phép biến đổi 30 -Việc khảo sát số tính chất nhóm liên tục phép biến đổi vấn đề tiếp tục nghiên cứu tài liệu tham khảo [1] A H Cliphớt G.B Prestơn, Lý thuyết nửa nhóm, tập, NXB Đại Học Trung Học, Hà Nội, 1979 [2]Lê Quốc Hán, Giáo trình Lý thuyết nhóm, Đại Học S Phạm Vinh, 1997 [3] Lê Quốc Hán, Giáo trình Lý thuyết nhóm tôpô, Đại Học S Phạm Vinh, 1998 [4] S T Hu, Đại số đại, Bản dịch Tiếng Việt, 1972 [5] Nguyễn Hữu Việt Hng, Đại số đại cơng, NXB Giáo dục Hà Nội, 1998 31 [6] S Lang, Đại số, tập, NXB Đại Học Trung Học chuyên nghiệp, Hà Nội, 1975 [7] L S Pôntriagin, Nhóm liên tục (Tiếng Nga), NXB Toán - Lý, Matxcơva, 1966 (Bản dịch Tiếng Việt Lê Quốc Hán, Th viện Trờng Đại Học Vinh, 1982) [8] Hoàng Xuân Sính, Đại số đại cơng, NXB Giáo dục, Hà Nội, 1972 32 mục lục trang Lời nói đầu Đ1.Nửa nhóm phép biến đổi tập 11 Đ2.Nhóm liên tục phép biến đổi tập 17 Đ3 Tổng quan nhóm tô pô 24 kết luận 29 tài liệu tham khảo 30 [...]... vậy, nhóm trừu tợng G là nhóm hữu hiệu các phép biến đổi của không gian T Kiểm tra đợc rằng nhóm tôpô G là nhóm liên tục các phép biến đổi của không gian tôpô Vì G là nhóm compact địa phơng và có cơ sở đếm đợc, nên tôpô đợc đa vào để G trở thành nhóm liên tục các phép biến đổi của T là duy nhất Chúng ta thấy rằng G gồm tất cả các tự đẳng cấu của nhóm tôpô T Bởi vậy, nhóm G tất cả các tự đẳng cấu của nhóm. .. tơng ứng với các phép biến đổi khác nhau, thì nhóm G đợc gọi là nhóm hữu hiệu các phép biến đổi Khi đó mỗi phần tử của G đợc xem nh là một phép biến đổi (x = x*) Hạt nhân N của nhóm trừu tợng không hữu hiệu G đóng trong không gian G Nhóm thơng G* = G N là nhóm liên tục hữu hiệu các phép biến đổi của không gian T Nhóm liên tục G các phép biến đổi của không gian T đợc gọi là bắc cầu, nếu với hai phần tử... sử T là không gian mêtric Phép biến đổi x của tập T đợc gọi là phép biến đổi đặng cự của không gian T nếu nó bảo tồn khoảng cách, nghĩa là nếu , T thì d (x(), x()) = d (, ) Rõ ràng tập hợp tất cả các phép biến đổi đẳng cự của không gian T là một nhóm Các nhóm con khác nhau của nhóm đó đợc gọi là các nhóm biến đổi đẳng cự của không gian T Giả sử G là một nhóm các phép biến đổi đẳng cự nào đó của không... S(ab)(ab)-1(đpcm) Đ2 Nhóm các phép biến đổi của một tập Trong tiết này, chúng ta xét nhóm G các phép biến đổi của một tập hợp X cho trớc Thực chất G là nhóm con nào đó của nhóm đối xứng GX 2.1: Nhóm các phép biến đổi của 1 tập 2.1.1: Định nghĩa: Giả sử X là tập hợp tuỳ ý, GX là nhóm đối xứng của X, GX ={f: X X/ f là song ánh} Khi đó mỗi nhóm con G của GX đợc gọi là một nhóm các phép biến đổi của X 13 Nh... nghĩa: a Nhóm tôpô G đợc gọi là nhóm liên tục các phép biến đổi của không gian tôpô T, nếu mỗi phần tử x G đợc đặt tơng ứng với một phép biến đổi x* của tập hợp T, x* = J(x) thoả mãn điều kiện: J (xy) = J (x) J (y) và ánh xạ : G ì T T , ((x, t)) = x* (t) liên tục b Các phép biến đổi x* ứng với x G là ánh xạ tôpô Nếu các phần tử khác nhau của G đợc đặt tơng ứng với các phép biến đổi khác nhau, thì nhóm. .. 26 4.2 Định lý: Giả sử G là nhóm tôpô, H là nhóm con của nó và G H là không gian các lớp ghép bên phải Với mỗi x G, xác định phép biến đổi x* bởi hệ thức x* (gH) = xgH, chúng ta nhận đợc nhóm bắc cầu các phép biến đổi liên tục của tập hợp G H Thế thì G là nhóm liên tục các phép biến đổi của không gian tôpô G H Hạt nhân không hữu hiệu của nhóm G là ớc chuẩn tối đại của nhóm G đợc chứa trong H Chứng... từ G lên G* ii) Hạt nhân của đợc gọi là hạt nhân không hữu hiệu của nhóm các phép biến đổi G Nếu là đẳng cấu, thì nhóm G đợc gọi là nhóm các phép biến đổi hữu hiệu Trong trờng hợp này, G có thể đợc đồng nhất với G* bằng cách đặt x = x* và xem rằng mỗi phần tử thuộc G là một phép biến đổi của tập hợp iii) Nhóm G các phép biến đổi của tập hợp đợc gọi là bắc cầu nếu G* bắc cầu, nghĩa là nếu với hai... bằng cách xác định khoảng cách d(x,y) giữa hai điểm x, y các phép biến đổi của T nh sau: d(x,y) = max d(x(),y()) Đối với khoảng cách đợc xác định trong G, nh vậy thoả mãn các tiên đề của không gian mêtric Dễ thấy rằng nhóm tôpô G là nhóm các phép biến đổi của không gian T Nếu G là nhóm tất cả các phép biến đổi của không gian T, thì không gian G là compact và tôpô đa vào trong G là tôpô duy nhất biến. .. là 1 nhóm các phép biến đổi của tập hợp X Khi đó G đợc gọi là bắc cầu, nếu với mọi x,y X, tồn tại f G sao cho f (x) = y Nói riêng, GX là một nhóm các phép biến đổi bắc cầu của X 2.1.3 Ví dụ: Giả sử Gn là nhóm tất cả các phép biến đổi của tập hữu hạn X n gồm n phần tử, chẳng hạn Xn = {1,2, ,n} Khi đó Gn chính là nhóm tất cả các phép thế bậc n, Gn = Sn và S n = n!.Mỗi phép thế đợc phân tích một cách... chứa e, do phép nhân liên tục nên tồn tại u,v sao cho uv W, suy ra auv aW Vậy aW E , E G là nhóm compact 25 3.3.4 Hệ quả: Giả sử G là một nhóm tôpô, H là ớc chuẩn compact, f là đồng cấu tự nhiên từ G vào G H Khi đó, nếu Q là tập compact trong G H thì f-1(Q) cũng là tập compact trong G Đ4 Nhóm liên tục các phép biến đổi Tiết này dành cho việc nghiên cứu nhóm liên tục các phép biến đổi 4.1.Định ... f-1(Q) tập compact G Đ4 Nhóm liên tục phép biến đổi Tiết dành cho việc nghiên cứu nhóm liên tục phép biến đổi 4.1.Định nghĩa: a Nhóm tôpô G đợc gọi nhóm liên tục phép biến đổi không gian tôpô T,... ứng với phép biến đổi khác tích ma trận tơng ứng với tích phép biến đổi Bởi vậy, nhóm trừu tợng G nhóm hữu hiệu phép biến đổi không gian T Kiểm tra đợc nhóm tôpô G nhóm liên tục phép biến đổi không... nhóm tôpô G nhóm phép biến đổi không gian T Nếu G nhóm tất phép biến đổi không gian T, không gian G compact tôpô đa vào G tôpô biến G thành nhóm 29 phép biến đổi không gian T Nếu nhóm G tất phép