Báo cáo khoa học: "Vận dụng một số kiến thức về nhóm các phép biến đổi điểm trong không gian nhằm bồi dưỡng cho sinh viên khả năng tìm tòi lời giải và phát hiện các bài toán mới thông qua dạy học Hình học sơ cấp" potx

Đại học Vinh Tạp chí khoa học, tập XXXVI, số 2A-2007 103 Vận dụng một số kiến thức về nhóm các phép biến đổi điểm trong không gian nhằm bồi dỡng cho sinh viên khả năng tìm tòi lời giải và phát hiện các bài toán mới thông qua dạy học Hình học sơ cấp Đào Tam (a) Tóm tắt. Trong bài báo này chúng tôi trình bày mối liên hệ giữa việc dạy học các phân môn toán và dạy học Hình học sơ cấp ở trờng Đại học s phạm. Cụ thể chúng tôi đa ra một số kiến thức về nhóm các phép biến đổi trong không gian, nhằm giúp sinh viên s phạm toán tìm tòi lời giải và các bài toán mới thông qua dạy học Hình học sơ cấp. 1. Trong những năm gần đây nhiều nhà s phạm trong nớc và nớc ngoài đã quan tâm nghiên cứu mối liên hệ giữa dạy học Toán ở các trờng s phạm và dạy học Toán ở trờng phổ thông. Tiêu biểu trong số họ nh: Nguyễn Cảnh Toàn, Nguyễn Đăng Phất, Đoàn Quỳnh, Văn Nh Cơng, Đỗ Đức Thái, Nguyễn Văn Mậu, N. I-A.Vilenkin, L. A. Kalurin, A. A. Stolia, K. I. Dunhitrev Các tác giả trên đã nghiên cứu các vấn đề toán học cao cấp, toán học hiện đại soi sáng các t tởng nền tảng của giáo trình Toán phổ thông, xem xét các ứng dụng của toán cao cấp, toán hiện đại vào các nội dung bồi dỡng học sinh giỏi nh: Lý thuyết tập hợp, quan hệ, ánh xạ, các phép biến hình, phơng trình hàm Trong bài viết này chúng tôi đề cập một số phơng thức tiếp cận việc dạy học toán cơ bản ở trờng Đại học theo hớng tăng cờng ứng dụng vào việc dạy học Hình học sơ cấp và dạy học Hình học ở trờng phổ thông. Việc nghiên cứu cách thức tiếp cận nói trên nhằm mục tiêu bồi dỡng năng lực thích nghi nghề nghiệp gắn với chuyên môn của sinh viên s phạm ngành Toán, bớc đầu làm sáng tỏ khả năng gắn kết việc dạy học khoa học cơ bản với khoa học giáo dục. Việc dạy Toán hớng vào mục tiêu nói trên sẽ góp phần tích cực vào việc thực hiện mục đích đổi mới dạy học Toán ở trờng đại học. 2. Các phơng thức tiếp cận một số kiến thức về lý thuyết nhóm các phép biến đổi điểm trong không gian khi dạy học Hình học sơ cấp. Chúng tôi cho rằng để t tởng gắn kết việc dạy học các môn toán cơ bản với dạy học các môn toán sơ cấp, toán phổ thông đợc thực thi triển khai nhằm nâng cao hiệu quả bồi dỡng giáo viên Toán, đòi hỏi sự nghiên cứu công phu cả về phơng diện khoa học và phơng diện phơng pháp. Trớc hết các phơng thức đợc đề ra trên cơ sở khắc phục những khó khăn liên quan đến năng lực truyền tải các tri thức khoa học cơ bản sang tri thức phổ thông. Khó khăn nổi bật gắn với việc giải quyết tốt mối quan hệ giữa cái cụ thể và cái trừu tợng, liên quan tới quan hệ giữa nội dung và hình thức trong phạm trù cú pháp và ngữ nghĩa; Việc giải quyết các mâu thuẫn trên cho phép thực hiện sự lồng ghép các tri thức muôn màu muôn vẻ vào các sơ đồ nhận thức trừu tợng của toán học cao cấp, toán học hiện đại. Nhận bài ngày 13/4/2007. Sửa chữa xong 18/7/2007. Đại học Vinh Tạp chí khoa học, tập XXXVI, số 2A-2007 104 C Từ những cơ sở lý luận về việc khắc phục những khó khăn thuộc phạm trù phơng pháp luận nhận thức Toán học nói trên và từ cơ sở kinh nghiệm dạy học Toán của các chuyên gia và bản thân, chúng tôi đề xuất các phơng thức khai thác, các ứng dụng, các kiến thức về nhóm các phép biến đổi điểm trong không gian để tìm tòi lời giải, phát hiện các bài toán, các vấn đề Toán học trong dạy học môn Hình học sơ cấp. Đồng thời việc thực hiện tốt các phơng thức đề ra sẽ góp phần dạy học theo hớng tích hợp các môn Toán, góp phần rèn luyện năng lực, nghề nghiệp gắn với chuyên môn cho sinh viên. Sau đây chúng tôi trình bày các phơng thức và các biện pháp thực hiện các phơng thức đó. Phơng thức thứ nhất: Lựa chọn các nội dung Hình học sơ cấp có thể nhìn nhận chúng theo quan điểm nhóm; Khai thác các bài toán theo các nội dung trên có thể giải đợc nhờ sử dụng các kiến thức về nhóm, sau đó chuyển sang cách giải sơ cấp, phổ thông, đề xuất các bài toán mới và cách giải chúng. Ví dụ 1: Khi nghiên cứu các kiến thức về khối đa diện trong Hình học sơ cấp, chúng ta có thể chứng minh mệnh đề sau về các nhóm với phép toán tích các phép dời: Điều kiện ắt có và đủ để tồn tại nhóm các phép dời hình trong không gian, khác với nhóm chỉ có một phần tử đơn vị <e>, biến tứ diện thành chính nó, là tứ diện đó có ít nhất hai cặp cạnh, không có cạnh chung, mỗi cặp có độ dài các cạnh bằng nhau. Tuỳ thuộc vào vị trí tơng đối giữa các cặp cạnh của tứ diện và quan hệ bằng nhau xác định trên tập hợp 6 cạnh của tứ diện chúng ta có một tập hợp hữu hạn các nhóm khác với nhóm đơn vị. Chẳng hạn: Xét tứ diện ABCD có AC = BD = AD = BC = a; AB + CD = 2a (xem hình 1). Từ quan điểm nhóm có thể xem xét các vấn đề sau: ABDC ABCD f : 1 là phép đối xứng qua mặt phẳng trung trực của đoạn CD, đó là mặt phẳng (AMB), với M là trung điểm cạnh CD; : 2 BACD ABCD f là phép đối xứng qua mặt phẳng trung trực của AB, đó là mặt phẳng (CND), N là trung điểm của đoạn AB. BADC ABCD f : 3 là phép đối xứng trục MN. Do tích các phép dời trong không gian có tính chất kết hợp, phần tử đơn vị là phép biến đổi đồng nhất, từ định nghĩa phép đối xứng mặt và đối xứng trục suy ra: Tìm các phép dời biến tứ diện ABCD thành chính nó. Do AB CD nên các phép dời khác phép biến đổi đồng nhất tơng ứng các khả năng sau, viết ở dạng các hoán vị các đỉnh: A B N D M Hình 1 Đại học Vinh Tạp chí khoa học, tập XXXVI, số 2A-2007 105 1 1- 1 = ff ; 2 1- 2 = ff ; 3 1- 3 = ff . Vậy để kiểm tra tập hợp gồm các phép dời {f 1 ; f 2 ; f 3 ; e} với phép toán tích các phép dời lập thành một nhóm chỉ cần kiểm tra điều kiện khép kín phép toán. Có thể kiểm tra f 2 . f 1 = f 3 ; f 3 . f 1 = f 2 ; f 3 . f 2 = f 1 Chứng minh tính đúng đắn của các tích trên có thể bằng hai cách: Cách 1: Dựa vào tích các hoán vị (thực chất là các song ánh); Cách 2: Dựa vào các mệnh đề sau đây: Mệnh đề 1. Tích của hai phép đối xứng qua hai mặt phẳng (P), (Q) cắt nhau theo giao tuyến là một phép quay xung quanh trục (với đợc định hớng) và góc quay bằng hai lần góc nhị diện cạnh , hớng xác định từ mặt phẳng (P) đến mặt phằng (Q): Đ Q . Đ P = Q (, ); = 2; Với là độ lớn góc phẳng nhị diện [(P), (Q)] có định hớng. Mệnh đề 2: Với mọi phép quay Q (, ) đều phân tích đợc thành tích của hai phép đối xứng mặt qua hai mặt phẳng (P), (Q) đi qua đã định hớng và góc nhị diện tạo bởi (P) và (Q) có góc phẳng bằng (1/2) và hớng từ mặt phẳng thứ nhất đến mặt phẳng thứ hai, đồng thời có vô số cách phân tích nh vậy. Việc chứng minh hai mệnh đề nêu trên có thể xem [3]. Chúng ta khảo sát bài toán sau đây theo quan điểm nhóm: Chứng minh rằng tứ diện đã cho xét trong ví dụ 1 có tâm mặt cầu ngoại tiếp O, tâm mặt cầu nội tiếp I và trọng tâm G thuộc một đờng thẳng. Có thể giải bài toán dựa vào các quan điểm nhóm nh sau: - Cách 1: Qua ABDC ABCD f : 1 thì f 1 : (O) (O); f 1 : (I) (I); f 1 : G G Từ đó suy ra f 1 : (O, I, G) (O, I, G); BACD ABCD f : 2 thì f 2 : (O, I, G) (O, I, G). Vậy bộ ba điểm (O, I, G) biến thành chính nó qua phép tích f 2 . f 1 . Từ đó suy ra f 3 : (O, I, G) (O, I, G). Từ đó bộ ba điểm (O, I, G) thuộc trục đối xứng MN. - Cách 2: Chứng minh trực tiếp BADC ABCD f : 3 nên f 3 : (O) (O); f 3 : (I) (I); f 3 : G G. Từ đó suy ra trục đối xứng MN đi qua O, I, G. Có thể diễn đạt theo cách giải phổ thông theo tơng ứng với hai cách giải nêu trên nh sau: - Qua phép đối xứng mặt f 1 mặt cầu (O) biến thành chính nó nên tâm O thuộc mặt phẳng (CDN). Tơng tự O thuộc mặt phẳng (ABM), suy ra O thuộc giao tuyến MN của hai mặt phẳng trên. Tơng tự, suy ra I và G thuộc giao tuyến MN của hai mặt phẳng đó. - Có thể lập luận cách khác: Do phép đối xứng trục MN biến tứ diện thành chính nó nên mặt cầu (O), mặt cầu (I) và G biến thành chính nó. Từ đó suy ra các điểm O, G, I thuộc trục đối xứng MN. Đại học Vinh Tạp chí khoa học, tập XXXVI, số 2A-2007 106 Chúng ta có thể đề xuất bài toán ở mức độ khó khăn hơn bài toán xét ở ví dụ 1 và yêu cầu sinh viên khảo sát lời giải theo quan điểm nhóm và chuyển sang ngôn ngữ của cách giải phổ thông: Cho tứ diện ABCD có AC = BD = AD = BC = a và AB + CD = 2a, với AB CD. Chứng minh: 1) Tứ diện đó có mặt cầu tiếp xúc với tất cả các cạnh; 2) Tâm mặt cầu ngoại tiếp, tâm mặt cầu nội tiếp, tâm mặt cầu tiếp xúc với các cạnh và trọng tâm G thuộc một đờng thẳng. Ví dụ 2: Cho hai đờng thẳng chéo nhau a, b. Xác định các phép dời trong không gian biến cặp đờng thẳng chéo nhau đó thành chính nó. Chứng minh rằng tập hợp các phép dời nói trên với phép toán tích các phép dời lập thành một nhóm (xem hình 2). 2) f: (a, b) (b, a). Do đờng vuông góc chung AB là duy nhất nên phép dời f chính là phép đối xứng trục f 2 : A B, có trục đối xứng là 2 đi qua trung điểm O của đoạn AB. Do f 2 : 2 2 và f 2 : a b, nên góc giữa 2 và a bằng góc giữa 2 và b. Từ điều kiện cuối cùng suy ra 2 là đờng thẳng đi qua O tạo với a, b hai góc bằng nhau và đờng thẳng 2 thuộc mặt phẳng (R) đi qua O và vuông góc với 1 . Lập luận tơng tự suy ra tồn tại phép đối xứng trục f 3 : a b; f 3 : b a có trục là 3 thuộc mặt phẳng (R), đi qua O và vuông góc với 2 . Từ dạng chính tắc của phép dời trong không gian suy ra tập hợp các phép dời biến cặp đờng thẳng chéo nhau (a, b) thành chính nó là (e; f 1 ; f 2 ; f 3 ). Từ định lí về sự phân tích một phép đối xứng trục thành tích của hai phép đối xứng qua hai mặt phẳng vuông góc cùng đi qua trục đã cho và góc giữa hai mặt phẳng bằng 90 o và chú ý rằng, ba trục 1 ; 2 ; 3 đôi một vuông góc. Suy ra: f 2 .f 1 = f 3 ; f 3 .f 1 = f 2 ; f 3 .f 2 = f 1 . Kiểm tra các dấu hiệu còn lại của nhóm ta có: {e; f 1 ; f 2 ; f 3 } lập thành một nhóm với phép toán tích các phép dời. Từ cách nhìn nhận trên có thể đề xuất cho sinh viên sử dụng quan điểm nhóm, giải và mở rộng các bài toán sau, đồng thời chuyển sang ngôn ngữ cách giải phổ thông: Bài toán 1: Cho hai đờng thẳng chéo nhau a, b có đờng vuông góc chung là AB, với A a; B b. Các điểm M, N di động, lần lợt thuộc a, b sao cho AM = BN. Chứng minh rằng đờng thẳng MN luôn cắt và vuông góc với một trong hai đờng thẳng cố định. Cặp đờng thẳng (a, b) biến thành chính nó qua phép dời f, ứng với các khả năng sau: 1) f: (a, b) (a, b): - Phép đồng nhất e: a a; e: b b, sao cho mọi điểm của a, b đều là điểm kép (điểm có ảnh là chính nó). - f 1 là phép đối xứng trục, có trục là đờng vuông góc chung 1 của hai đờng thẳng chéo nhau: f 1 : a a; f 1 : b b; t rong đó chỉ có A, B là các giao điểm của 1 với a và b là cặp điểm kép duy nhất. Hình 2 O B 3 2 A 1 b b' a a' Đại học Vinh Tạp chí khoa học, tập XXXVI, số 2A-2007 107 Bài toán 2: Cho hình lập phơng ABCD.A 1 B 1 C 1 D 1 . Các điểm M, N di động lần lợt thuộc các cạnh AD và BB 1 sao cho AM = BN. Chứng minh rằng đờng thẳng MN luôn cắt và vuông góc với một đờng thẳng cố định. Phơng thức hai: Sử dụng các bất biến của các nhóm các phép biến đổi nhằm định hớng phát hiện lời giải các bài toán, từ đó chuyển đổi ngôn ngữ sang cách giải phổ thông. Ví dụ: Chúng ta có thể lập luận chứng tỏ rằng tích của phép tịnh tiến v T và phép đối xứng tâm Đ O trong không gian là một phép đối xứng tâm. Tích của hai phép tịnh tiến là một phép tịnh tiến: 2112 + =. vvvv TTT . Tích của hai phép đối xứng tâm trong không gian là một phép tịnh tiến. Từ những kiến thức cơ bản trên suy ra tập hợp các phép tịnh tiến và các phép đối xứng tâm trong không gian lập thành một nhóm với phép toán tích hai phép dời hình. Do phép đối xứng tâm và phép tịnh tiến có tính chất biến một vectơ thành vectơ cùng phơng nên phép tịnh tiến và đối xứng tâm biến mặt phẳng thành mặt phẳng song song hoặc trùng với mặt phẳng đó. Nói cách khác, phơng trong không gian là bất biến qua phép tịnh tiến và đối xứng tâm. Từ các kết quả trên chúng ta có thể rút ra kết luận bổ ích sau: Nếu gặp dạng toán chứa đựng điều kiện phơng không đổi thì cần quan tâm sử dụng phép tịnh tiến hoặc phép đối xứng tâm để giải chúng. Chẳng hạn, xét bài toán sau: Cho hai mặt cầu (O 1 ), (O 2 ) và mặt phẳng (P). Hãy dựng mặt phẳng () sao cho () song song với (P) và () cắt các mặt cầu (O 1 ), (O 2 ) theo hai đòng tròn bằng nhau. Có thể lập luận cách tìm lời giải nh sau: Điều kiện mặt phẳng () cần dựng song song với (P) gợi cách chọn phép tịnh tiến để giải. - Gọi (C 1 ), (C 2 ) là giao của () cần dựng với (O 1 ), (O 2 ). Kí hiệu H 1 , H 2 lần lợt là các hình chiếu của O 1 , O 2 lên mặt phẳng (P). Khi đó H 1 O 1 đi qua tâm I 1 của (C 1 ) và H 2 O 2 đi qua tâm I 2 của (C 2 ). - Phép tịnh tiến 21 HH T biến mặt cầu (O 1 ) thành mặt cầu (O' 1 ). Mặt cầu (O' 1 ) giao với (O 2 ) theo đờng tròn C 2 . Khi đó mặt phẳng () cần dựng là mặt phẳng chứa giao (O' 1 ) với (O 2 ). Phơng thức thứ ba: Biến đổi bài toán thành bài toán mới nhờ sử dụng các hình tơng đơng (các hình sai khác một phép biến đổi của một nhóm nào đó). Ví dụ: Có thể tổng quát bài toán trên mô hình hình lập phơng sang bài toán trên mô hình hình hộp nhờ bỏ qua các bất biến của phép biến đổi trực giao không thuộc các bất biến afin và giữ nguyên các bất biến của phép biến đổi afin. Chẳng hạn, xét bài toán sau trên mô hình hình lập phơng: Cho hình lập phơng ABCD.A 1 B 1 C 1 D 1 . Chứng minh rằng đờng chéo AC 1 vuông góc với mặt phẳng (BDA 1 ) tại trọng tâm G của tam giác BDA 1 và AG = (1/3)AC 1 . Đại học Vinh Tạp chí khoa học, tập XXXVI, số 2A-2007 108 Do hình lập phơng tơng đơng afin với hình hộp bất kì; khái niệm trọng tâm và tính chất 3 1 = 1 AC AG là khái niệm và tính chất afin. Khi bỏ qua tính chất AC 1 vuông góc với mặt phẳng (BDA 1 ) có thể chuyển sang bài toán tổng quát sau: Cho hình hộp ABCD.A 1 B 1 C 1 D 1 . Chứng minh rằng đờng chéo AC 1 đi qua trọng tâm G của tam giác BDA 1 và AG = (1/3)AC 1 . Trên đây là một số phơng thức xem xét, nghiên cứu Hình học sơ cấp theo quan điểm nhóm. Khả năng sử dụng toán học cao cấp, toán học hiện đại vào việc nhìn nhận sâu sắc các môn toán sơ cấp và toán học phổ thông còn phong phú, đa dạng, thể hiện trên nhiều tuyến kiến thức khác nhau. Tài liệu tham khảo [1] Văn Nh Cơng, Tạ Mân, Hình học Afin và hình học Ơclit, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội, 1998. [2] Nguyễn Đặng Phất, Bài giảng chuyên đề các phép biến hình, Đại học S phạm Hà Nội, 2002. [3] Đào Tam, Hình học sơ cấp, NXB Đại học S phạm, 2004. [4] Đào Tam, Nguyễn Huỳnh Phán, Các cơ sở Toán học của giáo trình toán phổ thông, Đại học Vinh, 1995. [5] N. I-A Vilenkin và các tác giả khác, Các cơ sở toán học hiện đại của giáo trình toán phổ thông, Matxcơva, NXB Giáo dục, 1980. [6] Đặng Quang Việt, Tăng cờng tính nghiệp vụ khi dạy đại số đại cơng ở trờng s phạm, Tạp chí Giáo dục, Số 9/2004. Summary Using some knowledge of transformation groups in space to foster the students ability of finding solutions and new problems through teaching and learning elementary geometry In this article, we present the connections between teaching and learning mathematics divisions and elementary geometry in Pedagohical Universities. To be specific, we propose some knowledge of transformational groups in space with an aim of fostering the ability of students of pedagogical maths of finding solutions and new problems through teaching and learning elementary geometry. (a) Khoa toán, trờng Đại học Vinh. . Đại học Vinh Tạp chí khoa học, tập XXXVI, số 2A-2007 103 Vận dụng một số kiến thức về nhóm các phép biến đổi điểm trong không gian nhằm bồi dỡng cho sinh viên khả năng tìm tòi lời giải và. học Hình học sơ cấp ở trờng Đại học s phạm. Cụ thể chúng tôi đa ra một số kiến thức về nhóm các phép biến đổi trong không gian, nhằm giúp sinh viên s phạm toán tìm tòi lời giải và các bài toán. điểm trong không gian để tìm tòi lời giải, phát hiện các bài toán, các vấn đề Toán học trong dạy học môn Hình học sơ cấp. Đồng thời việc thực hiện tốt các phơng thức đề ra sẽ góp phần dạy học