Đang tải... (xem toàn văn)
LỜI NÓI ĐẦU.......................................................................................... 2 Đ1.Nửa nhóm các phép biến đổi trên một tập........................................... 4 Đ2.Nhóm liên tục các phép biến đổi trên một tập..................................... 12 Đ3. Tổng quan về nhóm tô pô....................................................................18 Đ4.Nhóm liên tục các phép biến đổi .........................................................25 KẾT LUẬN...............................................................................................30 TÀI LIỆU THAM KHẢO.........................................................................31
1 MỤC LỤC Trang LỜI NÓI ĐẦU Đ1.Nửa nhóm phép biến đổi tập Đ2.Nhóm liên tục phép biến đổi tập 12 Đ3 Tổng quan nhóm tơ pơ 18 Đ4.Nhóm liên tục phép biến đổi 25 KẾT LUẬN .30 TÀI LIỆU THAM KHẢO .31 LỜI NĨI ĐẦU Nhóm phép bậc hữu hạn lớp nhóm khảo sát từ giai đoạn lý thuyết nhóm đời, tỏ có nhiều ứng dụng quan trọng Đại số nói riêng Tốn học nói chung Có thể mở rộng khái niệm nhóm phép bậc hữu hạn theo nhiều hướng khác Trước hết, người ta xét nửa nhóm phép biến đổi tập hợp tuỳ ý, từ khảo sát lớp nhóm đối xứng tập hợp (nghĩa nhóm song ánh từ tập hợp X tuỳ ý - không thiết hữu hạn - lên với phép tốn phép hợp thành ánh xạ) Từ đó, xét lớp nhóm đặc biệt hơn: Nhóm liên tục phép biến đổi khơng gian tơpơ Khố luận chúng tơi theo hướng thứ hai Khố luận gồm bốn phần Đ1 Nửa nhóm phép biến đổi tập.Trong tiết này, trước hết xét nửa nhóm đầy đủ phép biến đổi tập hợp tuỳ ý sâu vào nửa nhóm ngược phép biến đổi phận - tập hợp Các kết cần ý mệnh đề 1.2.5 định lý 1.3.14 Đ Nhóm phép biến đổi tập Trong tiết này, chúng tơi xét nhóm song ánh từ tập X lên với X tập tuỳ ý Sau đó, xét lớp nhóm trường hợp thân X nhóm Các kết cần ý mệnh đề 2.1.5, mệnh đề 2.2.8 Đ3 Tổng quan nhóm tơpơ.Trong tiết này, chúng tơi nhắc lại khái niệm tính chất nhóm tơpơ để làm sở cho việc trình bày tiết sau Đ 4: Nhóm liên tục phép biến đổi Đây phần luận văn Dựa kết trình bày tiết tiết 3, chúng tơi xét nhóm liên tục phép biến đổi không gian tôpô, đặc biệt sâu vào khảo sát nhóm liên tục bắc cầu khơng gian tơpơ thu kết bước đầu (mệnh đề 4.2, mệnh đề 4.3) Khố luận hồn thành hướng dẫn thầy giáo PGS.TS Lê Quốc Hán Nhân dịp tác giả bày tỏ lòng cảm ơn sâu sắc thầy giúp đỡ nhiệt tình góp ý thiết thực cho tác giả q trình hồn thành khố luận Tác giả xin cảm ơn thầy giáo,cô giáo tổ đại số; thầy giáo, giáo khoa Tốn Đại Học Vinh tập thể bạn bè lớp 44B-toán động viên,giúp đỡ tác giả hồn thành khố luận Vì trình độ thời gian có hạn nên khố luận chắn nhiều thiếu sót,rất mong nhận đóng góp ý kiến bạn đọc để khố luận hoàn thiện Tác giả: Đ1 NỬA NHÓM CÁC PHÉP BIẾN ĐỔI TRÊN MỘT TẬP Tiết trình bày số khái niệm lí thuyết nửa nhóm bước đầu sâu vào khảo sát lớp nửa nhóm phép biến đổi tập 1.1.Các khái niệm 1.1.1.Định nghĩa: i) Giả sử S tập hợp tuỳ ý Khi ánh xạ từ S S vào S gọi phép tốn hai ngơi S Nếu ánh xạ kí hiệu (.) ảnh phần tử (a,b) S S S kí hiệu a.b hay đơn giản : ab ii) Tập hợp S khác rỗng với phép tốn hai ngơi gọi nhóm iii) Phỏng nhóm S gọi nửa nhóm phép tốn hai ngơi S có tính chất kết hợp, nghĩa (ab)c = a(bc), a,b,c S 1.1.2 Định nghĩa: Giả sử S nhóm Khi đó, phần tử e S gọi đơn vị S ea = ae = a, a S 1.1.3 Chú ý : Phần tử đơn vị nhóm S, có, nhất.Thật vậy, e e, phần tử đơn vị S ee’ = e’(do e đơn vị ) ee’ = e ( e’ đơn vị), e’ = e Trong trường hợp S khơng có đơn vị ta ghép thêm kí hiệu S xét tập hợp S1 = S {1},mà mở rộng phép toán S lên S1 cách đặt 1.a = a.1 = a, a S1.Khi S1 trở thành nhóm S nửa nhóm S nửa nhóm (có đơn vị).Các nửa nhóm có đơn vị gọi vị nhóm 1.1.4 Định nghĩa: Với tập hợp X tuỳ ý, xét tập hợp ℑX ánh xạ từ X vào Tích (hay hợp thành) hai phép biến đổi tập X phép biến đổi định nghĩa : ( )(x) = ( (x)), x X Khi ta có ( ) = ( ) Thật vậy, với x X ta có : ( ( ))(x) = (( )(x)) = ( )( (x)) = ( )( (x)) = (( ) )(x) Nên ( ) = ( ) Do tập ℑX tất phép biến đổi tập X nửa nhóm phép hợp thành Ta gọi ℑX nửa nhóm đầy đủ phép biến đổi X • Ánh xạ : X → Y ánh xạ lên (hay gọi tồn ánh) phần tử thuộc Y ảnh phần tử thuộc X • Ánh xạ : X → Y ánh xạ - ( đơn ánh ) phần tử khác thuộc X có ảnh qua phần tử khác thuộc Y • Ánh xạ - từ tập X lên gọi phép tập X, X vơ hạn • Tập GX tất phép tập X với phép nhân ánh xạ lập thành nhóm gọi nhóm đối xứng X 1.1.5 Định nghĩa: • Tập T nhóm gọi nhóm từ a T,b T ab T Giao họ tuỳ ý nhóm nhóm • Nếu A , A S giao tất nhóm S chứa A nhóm nhóm S chứa A chứa nhóm S chứa A nói nhóm nhóm S sinh A Nếu = S ta gọi A tập sinh nhóm S Nếu S nửa nhóm nhóm S nửa nhóm dùng từ nửa nhóm thay cho từ nhóm Nếu S nhóm,thì lực lượng |S | tập S gọi cấp S 1.1.6 Định nghĩa : Phần tử e thuộc nhóm S gọi đơn vị trái(phải) ea = a (ae = a) a S Phần tử e thuộc nhóm S gọi đơn vị hai phía ( hay đơn vị ) e vừa đơn vị trái vừa đơn vị phải Nếu S chứa đơn vị trái e đơn vị phải f e = f Phần tử z thuộc nhóm S gọi phần tử không bên trái (phải) za = z (az=z) a Z Phần tử z thuộc nhóm S gọi phần tử không z vừa phần tử không bên trái, vừa phần tử không bên phải z1 phần tử không bên trái, z2 phần tử khơng bên phải z1=z2 1.2 Phần tử khả nghịch nửa nhóm phép biến đổi 1.2.1 Định nghĩa: Giả sử S nửa nhóm với phần tử đơn vị Nếu p q phần tử thuộc S cho pq =1, ta gọi p nghịch đảo bên trái q,còn q gọi nghịch đảo bên phải p 1.2.2 Định nghĩa: Phần tử khả nghịch bên phải (trái) thuộc S định nghĩa phần tử thuộc S có nghịch đảo bên phải (trái) thuộc S Vậy pq = p khả nghịch bên phải, q khả nghịch bên trái 1.2.3 Định nghĩa: Phần tử khả nghịch thuộc S phần tử vừa khả nghịch bên trái vừa khả nghịch bên phải 1.2.4 Mệnh đề[1]: Giả sử S nửa nhóm với phần tử đơn vị Khi ta có: (i) Tập P[Q] tất phần tử khả nghịch bên phải (trái) S nửa nhóm với luật giản ước phải (trái) chứa (ii) Tập U tất phần tử khả nghịch thuộc S nhóm S U = P∩ Q Mỗi phần tử khả nghịch có phần tử nghịch đảo hai phía thuộc U’ khơng có nghịch đảo bên trái bên phải thuộc tập (iii) Mỗi nhóm S chứa chứa U Từ định nghĩa định lý ta có mệnh đề sau: 1.2.5.Mệnh đề: Giả sử ℑX nửa nhóm đầy đủ phép biến đổi tập X nửa nhóm phần tử khả nghịch bên phải ℑX gồm tất ánh xạ (một - ) từ X vào X Chứng minh Giả sử f: X X khả nghịch phải.Khi tồn ánh xạ g: X X cho g f =1 Ta chứng minh f đơn ánh Thật vậy, f(x) = f(y) ⇒ g[f(x)] = g[f(y)] ⇒ 1X(x) =1X(y) ⇒x =y f đơn ánh Ngược lại f đơn ánh ta chứng minh khả nghịch phải Ta xây dựng ánh xạ g: X X sau: y f ( x) x (do f đơn) y f ( X ) a (với a0 phần tử cố định thuộc X) 1.2.6 Mệnh đề: Giả sử ℑX nửa nhóm đầy đủ phép biến đổi tập hợp X nửa nhóm phần tử khả nghịch bên trái ℑX gồm tất toàn ánh từ X lên X Chứng minh: Giả sử f: X X khả nghịch trái Khi tồn ánh xạ g : X X cho fog = 1X Ta chứng minh f toàn ánh Thật y X, g(y) X cho: f(g(y)) = (f0g)(y) = y ⇒ f toàn ánh Ngược lại f toàn ánh,ta chứng minh f khả nghịch trái Do f : X X tồn ánh nên với y X ln tồn f-1(y).Với tập f-1(y) ta cố định phần tử xy (tức f(xy) = y ) Xây dựng ánh xạ g: X X cho g(y) = xy Khi ta có: (f g)(y) = f(g(y)) = f(xy) = y ⇒ f g = 1X ⇒ f khả nghịch trái (đpcm) 1.2.7 Hệ : Nhóm tất phần tử khả nghịch ℑX trùng với nhóm đối xứng GX 1.3 Nửa nhóm ngược phép biến đổi phận - Tiết dành cho việc khảo sát nửa nhóm ngược phép biến đổi phận - một tập hợp X cho trước.Trước hết, ta nhắc lại định nghĩa tính chất đơn giản nửa nhóm quy nửa nhóm ngược 1.3.1 Định nghĩa: Giả sử S nửa nhóm i) Phần tử a thuộc S gọi phần tử qui tồn phần tử x thuộc S cho axa = a ii) Nửa nhóm S gọi nửa nhóm qui phần tử S phần tử qui 1.3.2 Chú ý: Nếu axa = a e = ax luỹ đẳng Hơn ea = a Thật vậy, e = ( ax)( ax) = ( axa)x = ax= e ea = axa= a Tương tự f = xa luỹ đẳng S af = a Ta ý a phần tử qui nửa nhóm S iđêan phải aS = a aS sinh a aS , a = af kéo theo a aS.Tương tự, S1a = Sa Về sau ta dùng hai ý mà khơng nói thêm 1.3.3 Bổ đề : Phần tử a thuộc nửa nhóm S phần tử qui iđêan phải (trái) nửa nhóm S sinh a sinh luỹ đẳng e đó, nghĩa aS1 = eS1 (hay S1a =S1e) Chứng minh: Nếu a phần tử qui axa = a với x thuộc S Khi e = ax phần tử luỹ đẳng S ea = a Khi eS1 = aS1 Đảo lại, giả sử aS1 = eS1 e2 = e.Khi a = ex với x thuộc S1 Vì ea = e2x = ex = a; e = ay với y phần tử S Nếu y = e = a a = ea = aa nên a =aa = aaa; y S a = ea = aya nên a aSa Suy a qui 1.3.4 Định nghĩa: Hai phần tử a b nửa nhóm S gọi ngược aba = a bab = b 1.3.5.Bổ đề: Nếu a phần tử qui nửa nhóm S a có phần tử b thuộc S ngược với Chứng minh: Vì a phần tử qui S nên S tồn phần tử x cho axa = a.Đặt b =xax Khi b thuộc S aba = a(xax)a = ax( axa) = axa = a Tương tự, có bab = (xax)a(xax) = x(axa) xax = xa(xax) = (xax)ax = xax = b 1.3.6.Bổ đề: Hai phần tử thuộc nửa nhóm S nghịch đảo nhóm S chúng ngược giao hoán với Chứng minh: Giả sử a b phần tử ngược giao hốn với thuộc nửa nhóm S e = ab Khi e luỹ đẳng ba = e, nên ea = aba = a ae = aba = a.Tương tự eb = be = b Do a b phần tử khả nghịch eSe thuộc nhóm tối đại He S chứa e đơn vị Vì ab = ba = e nên a b nghịch đảo S 1.3.7 Định nghĩa: Nửa nhóm ngược nửa nhóm phần tử có phần tử ngược 1.3.8.Bổ đề Nếu e,f,ef fe luỹ đẳng thuộc nửa nhóm S ef fe ngược Chứng minh: Ta có (ef)(fe)(ef) = ef2e2f = ef.ef = (ef)2 = ef Tương tự ta có (fe)(ef)(fe) =fe ⇒ ef fe ngược 1.3.9.Định lý Ba điều kiện sau đối vơí nửa nhóm tương đương: i) S quy hai luỹ đẳng giao hốn với ii) Mỗi iđêan phải iđêan trái S có phần tử sinh luỹ đẳng (iii) S nửa nhóm ngược (tức phần tử thuộc S có phần tử ngược nhất) Chứng minh (i) ⇒(ii): Vì e f luỹ đẳng sinh iđêan phải tức eS = fS ⇒ ef = f fe = e Nhưng theo (i) ta có: ef = fe nên e = f (ii)⇒ (iii) : Ta có phần tử a thuộc nửa nhóm S qui iđêan phải (trái) nửa nhóm S sinh luỹ đẳng e đó, tức aS1 = eS1 [S1a = S1e] nên suy nửa nhóm S quy Bây ta cần chứng minh phần tử ngược Thật vậy, giả sử b c ngược với a Khi ta có 10 aba = a; bab = b; cac = c Từ abS = aS = acS Sba = Sa = Sca, nên ab = ac ba = ca Do b = bab = bac = cac = a (iii)⇒(i) Rõ ràng nửa nhóm ngược qui Ta cần chứng minh hai luỹ đẳng giao hốn với Trước hết ta chứng minh tích ef hai luỹ đẳng e f luỹ đẳng Thật vậy,giả sử a phần tử ngược (duy nhất) ef Khi ta có : (ef)a(ef) = ef ; a(ef)a = a Đặt b = ae ⇒ (ef)b(ef) = (ef)ae(ef) = efae2f = efaef = ef; b(ef)b = ae2fae =aefae = ae = b ⇒ b phần tử ngược ef , theo (iii) ae = b = a Nhưng luỹ đẳng phần tử ngược với theo (iii) ta suy a = ef ⇒ ef luỹ đẳng Bây giả sử e f hai luỹ đẳng Theo ta có ef fe luỹ đẳng, nên theo bổ đề 1.3.8 ta có chúng ngược nhau.Vậy ef fe ngược với ef, ef = fe (đpcm) 1.3.10 Định nghĩa: Ta gọi phép biến đổi phận -một tập X ánh xạ - một, từ tập Y X lên tập Y’ = Y X: Ký hiệu -1: Y Y y’ -1 = y (y Y;y’ Y ) y’ = y Giả sử ℑX tập tất phép biến đổi phận - tập X,bao gồm ánh xạ từ tập rỗng lên nó.“Phép biến đổi rỗng’’ ta kí hiệu 1.3.11 Bổ đề Tích hai phần tử , ℑX định nghĩa sau: Giả sử Y Z miền xác định tương ứng Nếu Y ∩ Z = ta đặt = Ngược lại, giả sử W =( Y ∩ Z ) -1 ⇒ hợp thành phép biến đổi | W | W theo nghĩa thơng thường Khi ta có ánh xạ -một từ tập W lên W Do thuộc ℑX nên ℑX nửa nhóm gọi nửa nhóm ngược đối xứng tập X 18 Trong tiết trình bày tóm tắt số kết lý thuyết nhóm tơpơ số lớp nhóm tôpô cần cho việc nghiên cứu tiết 3.1: Định nghĩa số tính chất nhóm tơpơ 3.1.1Định nghĩa: Nhóm tơpơ tập hợp G, trang bị cấu trúc nhóm cấu trúc tôpô, thoả mãn hai điều kiện sau: Ánh xạ f: GxG G liên tục (x,y) xy Ánh xạ g: G G liên tục x x-1 Khi ta nói cấu trúc nhóm cấu trúc tơpơ tương thích với Hai điều kiện tương đương với điều kiện sau: Ánh xạ : GxG G liên tục (x,y) xy-1 3.1.2 Định lý: Giả sử G nhóm tơpơ a G Khi đó, ánh xạ a: G G , a(x) = ax a: G G , a(x) = a : : G G , (x) = x-1 ánh xạ đồng phôi không gian tôpô G 3.1.3 Hệ quả[3]: Giả sử F tập đóng, U tập mở, P tập hợp tuỳ ý a phần tử nhóm tơpơ G Khi ta có: Fa, aF, F -1 tập đóng UP, PU, U-1 tập mở 3.1.4.Mệnh đề: Không gian tôpô G không gian Chứng minh: Để chứng minh không gian tôpô G không gian nhất, ta chứng minh: với hai phần tử x,y nhóm G tìm đồng phơi G lên biến x thành y Thật vậy: Với x, y G, đặt a = x-1y a G Khi đó, ánh xạ a : G G , a(x) = xa phép đồng phôi G a(x) = xa = x(x-1y) = (xx-1)y = ey = y 19 Tính khơng gian tơpơ G cho phép ta muốn kiểm tra tính chất tơpơ địa phương nhóm G cần làm điểm, chẳng hạn đơn vị e G 3.1.5 Định lý: Nếu P Q tập compact nhóm tơpơ G PQ tập compact Chứng minh: Ta xét ánh xạ f: P x Q P.Q (x,y) x.y Giả sử a P, b Q W lân cận tích ab, tính chất liên tục phép nhân nên tồn lân cận U a P,V b Q, cho U.V W Ta có: f (U,V) = U.V W Vậy với lân cận W ab, tồn lân cận (U,V) (a,b) cho: f(U,V) W Suy f ánh xạ liên tục Do f biến tập compact thành tập compact Vì P,Q tập compact nên P x Q tập compact, f (P x Q) = P.Q tập compact (đpcm) 3.1.6 Định lý: Giả sử G nhóm tơpơ Khi khơng gian G khơng gian quy Chứng minh: Vì G nhóm tơpơ nên G khơng gian Do đó, để chứng minh G khơng gian quy, ta cần kiểm tra tính quy điểm đơn vị e G Giả sử U lân cận e, tồn V e cho VV-1 U Ta chứng minh V U Thật vậy, với x V , V e xV x xV lân cận x xV V a, b V: xa = b x = b a-1 VV-1 U V U Như vậy, với lân cận U e, tồn lân cận V e cho V U Do đó, khơng gian G khơng gian quy 3.2 Nhóm con, ước chuẩn, nhóm thương, đồng cấu nhóm tơpơ 20 3.2.1 Định nghĩa: Giả sử G nhóm tơpơ Tập H G gọi nhóm tơpơ nhóm tơpơ G hai điều kiện sau thoả mãn: i) H nhóm nhóm trừu tượng G ii) H tập đóng khơng gian tơpơ G - Nhóm tơpơ N nhóm tơpơ G gọi ước chuẩn nhóm tơpơ G N ước chuẩn nhóm trừu tượng G 3.2.2 Mệnh đề[7]: Giả sử G nhóm tơpơ, H ước chuẩn nhóm trừu tượng G Khi đó, H ước chuẩn nhóm tơpơ G Nếu H tập mở G H = H 3.2.3 Mệnh đề: Giả sử C (G) = { g G / xg = gx, x G } Khi C (G) ước chuẩn nhóm tơpơ G Chứng minh: Hiển nhiên C(G) ước chuẩn nhóm trừu tượng G theo lý thuyết nhóm trừu tượng, nên ta cần chứng minh C (G) đóng G, tức chứng minh: C(G) = C (G) +) Hiển nhiên C(G) C(G) +) Ta cần chứng minh C(G) C(G): Giả sử a C(G) mà a C(G), suy tồn x G cho xa ax Khi a’ = x-1ax a Vì G T2 - không gian, nên tồn lân cận U a, U' a' thoả mãn: U U' = Đặt V = C(G) U, a V Vì a C(G) U nên a C(G) U = C(G) U = V Còn a' = x-1ax x-1 V x = x 1Vx= V Suy U' V mâu thuẫn với U' V = Bởi vậy: x-1ax = a với x G hay ax = xa tức a C(G) Ta có: C(G) C(G) Vậy C(G) = C(G) 3.2.4 Mệnh đề: Thành phần liên thông đơn vị G0 nhóm tơpơ G ước chuẩn tơpơ G 21 Chứng minh: Giả sử a, b G0, G0 liên thơng nên aG0-1 liên thông e eG0 Bởi aG0-1 G0 ab-1 aG0-1 G0 nên G0 nhóm trừu tượng G Giả sử a G0 x G x-1G0x liên thơng chứa e nên x-1G0x G0, x-1ax x-1G0x G0, nên G0 ước chuẩn trừu tượng G Do thành phần liên thông khơng gian tơpơ ln ln đóng nên G0 đóng Vậy G0 ước chuẩn G (đpcm) 3.2.5 Định nghĩa: Giả sử N ước chuẩn nhóm tơpơ G, ta đưa vào nhóm thương G N nhóm trừu tượng G tôpô xác định sau: Giả sử B sở G, với U B, xét tập U* = { N g / g U } G N Khi B' = { U* / U B} sở không gian G N G N với tơpơ xác định gọi nhóm thương tơpơ nhóm tơpơ G theo ước chuẩn N ký hiệu G* 3.2.6 Định nghĩa: Ánh xạ từ nhóm tơpơ G đến nhóm tơpơ G' gọi đồng cấu thoả mãn hai điều kiện sau: i) đồng cấu từ nhóm trừu tượng G đến nhóm trừu tượng G' ii) ánh xạ liên tục đẳng cấu đẳng cấu từ nhóm trừu tượng G đến nhóm trừu tượng G' ánh xạ mở mở từ không gian tôpô G đến không gian tôpô G' 3.2.7 Mệnh đề[7]: Giả sử G G' hai nhóm tơpơ, g đồng cấu từ nhóm trừu tượng G đến nhóm trừu tượng G' Để g liên tục hay mở cần g liên tục hay mở đơn vị e G 3.2.8 Mệnh đề[7]: Giả sử G nhóm tơpơ N ước chuẩn G Khi ánh xạ tự nhiên từ nhóm G lên nhóm thương G N p: G G N , p(x) = Nx ánh xạ liên tục, mở 3.2.9 Định lí[7]: Giả sử g: G G' tồn cấu mở từ nhóm tơpơ G lên nhóm tơpơ G' Khi đó: 22 i) N = Ker (g) ước chuẩn tơpơ nhóm tơpơ G ii) Nhóm thương G N đẳng cấu với G' 3.2.10 Mệnh đề: Giả sử G nhóm compact, H N nhóm con, ước chuẩn nhóm G cho HN đóng khơng gian G Khi HN nhóm G H N ước chuẩn H Hơn HN N H H N Chứng minh: Theo lý thuyết nhóm trừu tượng, ta có HN H N nhóm trừu tượng nhóm tơpơ G Theo giả thiết HN đóng G, suy HN nhóm tơpơ nhóm tơpơ G Vì H N nhóm ước chuẩn G nên H, N đóng G, suy H N đóng G H N ước chuẩn tơpơ G - Vì N nhóm trừu tượng NH N ước chuẩn tôpô G nên N ước chuẩn tôpô NH Ta xét tồn cấu tắc: p: HN HN N Ta có N = Ker (p) Suy p(HN) = p(H) Gọi thu hẹp p H tức = pH Khi Im( ) = Im( pH) = p(H) = p(HN) = HN N Ker( ) = { x H/ (x) = e* }= { x H / p(x) = e* } = { x H / x N }= H N - Vì H, HN đóng G mà G compact nên H, HN tập compact, HN N tập compact Khi đó, ánh xạ tồn cấu: : H HN N từ nhóm compact H lên nhóm compact HN N đồng cấu mở Do H tức H Ker( ) Im ( ) H N HN N 3.3 Định nghĩa: Nhóm tơpơ G gọi nhóm compact (compact địa phương) không gian G không gian compact (compact địa phương) Nhóm tơpơ G 23 gọi compact sinh tồn tập M compact G để G bao đóng nhóm sinh M 3.3.1 Mệnh đề: Giả sử G nhóm tơpơ, H ước chuẩn nó, nếu: i) G nhóm compact H G H nhóm compact ii) G nhóm compact địa phương G H nhóm compact địa phương Chứng minh: i) Giả sử U phủ mở H, H nhóm G nên U chứa G Mặt khác G nhóm compact nên có phủ mở V phủ G tồn phủ hữu hạn V' phủ G Đặt U' = U V' Vì V' phủ G nên V' chứa U, U' phủ mở hữu hạn trích từ phủ mở U phủ H Vậy H nhóm compact Bây ta chứng minh G H nhóm compact Lấy phủ mở U G H , ta xét đồng cấu tự nhiên: :G G H Ta có liên tục nên -1(U) = { -1(u) / u U } phủ mở G Vì G compact nên trích phủ hữu hạn: ( -1(U))* = { -1(u1), -1(u2), , -1(un) } phủ G Do mở nên (( -1(U))*) họ hữu hạn tập mở, mà toàn ánh nên (( -1(U))*) phủ mở hữu hạn phủ G , suy G nhóm conpact H H ii) Giả sử G nhóm compact địa phương, ta chứng minh H nhóm compact địa phương Do G nhóm compact địa phương nên điểm thuộc G tồn lân cận compact mà H nhóm G, suy phần tử H tồn lân cận compact, H nhóm compact địa phương Chứng minh G H nhóm compact địa phương Giả sử gH G H , ta chứng minh gH có lân cận compact Xét đồng cấu tự nhiên: :G G H 24 Khi đó, -1(gH) G, G compact địa phương nên tồn lân cận compact V -1(gH), mà liên tục nên (V) lân cận compact gH (do ánh xạ liên tục biến tập compact thành tập compact) Suy G H compact địa phương (đpcm) 3.3.2 Mệnh đề: Giả sử G nhóm compact địa phương compact sinh Khi đó, G tồn lân cận đối xứng compact đơn vị sinh tồn nhóm G Chứng minh: Vì G nhóm compact sinh nên tồn tập compact H cho G = H Khi tồn lân cận đối xứng compact V đơn vị e G Đặt D = HV V Vì D D-1 compact nên K = D D-1 tập compact đối xứng chứa e Vậy K = G 3.3.3 Mệnh đề: Cho G nhóm tơpơ, H ước chuẩn compact G cho nhóm thương G H nhóm compact Khi G nhóm compact Chứng minh: Để chứng minh G compact, ta chứng minh G có họ tập có tính giao hữu hạn giao khác rỗng Xét hệ tâm có tính giao hữu hạn nhóm G: n Ei i 1 Ta chứng minh: E E Ký hiệu * = { f(E) / E , f: G G H }, (f đồng cấu tự nhiên) * hệ trung tâm Vì G H nhóm compact, nên tồn A E, cho E: f (E) * tức U e G AU f(E) (vì AU lân cận A), suy tập AU phần tử G có giao với tập khác rỗng tức AU E , suy EU-1 A Lấy ' = { EU-1 A / E } Do A lớp ghép nên A đồng phôi với H mà H compact, suy A compact 25 Vậy hệ ' có điểm chung a EU-1 A, E Suy lân cận V e G EU-1 aV (vì aV chứa a) Do đó, E aVU , E Lấy W chứa e, phép nhân liên tục nên tồn u,v cho uv W, suy auv aW Vậy aW E , E G nhóm compact 3.3.4 Hệ quả: Giả sử G nhóm tơpơ, H ước chuẩn compact, f đồng cấu tự nhiên từ G vào G H Khi đó, Q tập compact G H f-1(Q) tập compact G Đ4 NHÓM LIÊN TỤC CÁC PHÉP BIẾN ĐỔI Tiết dành cho việc nghiên cứu nhóm liên tục phép biến đổi 4.1.Định nghĩa: a Nhóm tơpơ G gọi nhóm liên tục phép biến đổi không gian tôpô T, phần tử x G đặt tương ứng với phép biến đổi x* tập hợp T, x* = J(x) thoả mãn điều kiện: J (xy) = J (x) J (y) ánh xạ : G T T , ((x, t)) = x* (t) liên tục b Các phép biến đổi x* ứng với x G ánh xạ tôpô Nếu phần tử khác G đặt tương ứng với phép biến đổi khác nhau, nhóm G gọi nhóm hữu hiệu phép biến đổi Khi phần tử G xem phép biến đổi (x = x*) Hạt nhân N nhóm trừu tượng khơng hữu hiệu G đóng khơng gian G Nhóm thương G* = G N nhóm liên tục hữu hiệu phép biến đổi không gian T Nhóm liên tục G phép biến đổi khơng gian T gọi bắc cầu, với hai phần tử không gian T, tìm phần tử x G cho x* () = c Giả sử G G' nhóm liên tục phép biến đổi khơng gian T T' tương ứng Cặp ánh xạ , gọi đồng dạng từ cặp G, T lên cặp G', T' ánh 26 xạ đẳng cấu từ nhóm tơpơ G lên nhóm tơpơ G' ánh xạ đồng phôi từ không gian tôpô T lên không gian tôpô T' cho x' = (x), ' = () suy x'*(') = (x*()) Các cặp G, T G', T' gọi đồng dạng tồn cặp ánh xạ đồng dạng từ G, T lên cặp G', T' 4.2 Định lý: Giả sử G nhóm tơpơ, H nhóm G H không gian lớp ghép bên phải Với x G, xác định phép biến đổi x* hệ thức x* (gH) = xgH, nhận nhóm bắc cầu phép biến đổi liên tục tập hợp G H Thế G nhóm liên tục phép biến đổi không gian tôpô G H Hạt nhân khơng hữu hiệu nhóm G ước chuẩn tối đại nhóm G chứa H Chứng minh:Chúng ta chứng tỏ (xem định nghĩa 4.1) liên tục Giả sử x G, gH G H , x* (gH) = xgH = H Lân cận tuỳ ý W* phần tử H khơng gian G H cho cách xuất phát từ lân cận W phần tử xa nhóm G xác định W* tập hợp tất lớp liên hợp chứa không gian G cho UV W Ký hiệu V* lân cận phần tử gH không gian G H , bao gồm tất lớp liên hợp chứa tập hợp VH Từ hệ thức UV W trực tiếp suy (U, V*) W* Do định lý 4.2.được chứng minh 4.3 Định lý: Giả sử G nhóm liên tục bắc cầu phép biến đổi không gian tôpô T Ký hiệu phần tử khơng gian T Ký hiệu () tập hợp tất phần tử x G thoả mãn điều kiện x* ( ) = Khi H = ( ) nhóm nhóm tơpơ G Hơn ánh xạ đồng phôi từ không gian T lên không gian G H Giả sử ánh xạ đồng nhóm G Nếu khơng gian G T compact địa phương không gian G biểu diễn hợp 27 số đếm tập compact, cặp , cặp đồng dạng từ cặp G, T lên cặp G’, G H Chứng minh: Tính chất đóng H suy từ tính liên tục ánh xạ định nghĩa nhóm liên tục phép biến đổi Ta chứng minh -1 liên tục Ký hiệu p ánh xạ tự nhiên từ G lên G H đặt g = -1 p Ta chứng minh từ tính liên tục g suy tính liên tục -1 Thật vậy, giả sử L tập mở thuộc , (L) = p (g-1 (L)) Vì g liên tục theo giả thiết, nên g-1(L) tập mở G, p ánh xạ mở, nên p(g -1(L)) mở gian G H Vì ánh xạ - nên -1 liên tục Bây ta chứng tỏ tính mở g suy tính liên tục của Giả sử M tập mở G H Khi -1 (M) = g (p-1(M)) Vì p liên tục nên p-1(M) mở G g mở nên g (p -1(M)) mở, từ suy liên tục Như vậy, ta phải chứng minh g liên tục trường hợp đặc biệt phải chứng minh g mở Trước hết, dễ dàng nhận thấy ánh xạ g xác định điều kiện g(x) = x*( ), x G Bởi tính liên tục g suy từ tính liên tục Bây giờ, ta chứng minh G, T compact địa phương G hợp họ đếm tập compact g mở Giả sử U lân cận tuỳ ý đơn vị nhóm G, chứng minh g(U) chứa lân cận điểm không gian T Lấy lân cận V đơn vị G cho F : = V compact F-1F U Giả sử họ đếm tập compact phủ không gian G Với E , hệ lân cận xV, x E phủ E tồn phủ mở hữu hạn E, mà tập mở phủ có dạng xV với x E Vì hệ chứa đếm tập hợp, nên tồn dãy đếm x1, x2, G cho Fi = xi F , i = 1, Đặt C i := g(Fi) Khi tập hợp g(F) chứa tập mở T Để chứng minh điều đó, cần chứng minh tập hợp Ci chứa tập mở T Thật vậy, C i = g(Fi) = x*i(g(F)) nên Ci 28 nhận từ g(F) phép biến đổi đồng phơi x*i tồn khơng gian T Giả sử không tập hợp tập C i chứa tập mở T.Giả sử L0 lân cận tuỳ ý T mà bao đóng compact Vì C khơng chứa tập mở, nên T tồn lân cận L1 cho L1 compact chứa nguyên vẹn L0 \ C1 Bởi C2 khơng chứa tập mở nên tồn lân cận L cho L compact chứa L1 \ C2 Tiếp tục trình đó, ta nhận dãy vơ hạn lân cận L 0, L1, L2, cho L i compact chứa trọn vẹn Li - \ Ci, i = 1, 2, Vì tất tập L i compact không rỗng, nên giao chúng không rỗng, điều xảy ra, họ L i , i = 1, 2, phủ T Vậy, g(F) phải chứa tập mở L Giả sử L x F cho g (x) = Khi x*() = Vì F-1F U nên x-1F U Do g(U) g(x-1F) = (x-1)*(g(F)) (x-1)*(L) Nhưng (x-1)*(L) tập mở T chứa điểm Như vậy, ta chứng minh rằng: với lân cận U đơn vị nhóm G, tập hợp g(U) chứa lân cận điểm Cuối ta chứng minh g mở Giả sử x G, W lân cận phần tử x g(x)= , nghĩa x*() = Tập mở x-1W chứa đơn vị nhóm G, g(x-1W) chứa tập mở L' điểm : L' g(x-1W) Thay hệ thức tác động phép biến đổi x*, nhận = x*() x*(L') x*(g (x-1W)) = g(W) Như g(W) chứa lân cận x*(L') điểm , tính mở g chứng minh 4.4Ví dụ: Giả sử T không gian mêtric Phép biến đổi x tập T gọi phép biến đổi đặng cự khơng gian T bảo tồn khoảng cách, nghĩa , T d (x(), x()) = d (, ) Rõ ràng tập hợp tất phép biến đổi đẳng cự khơng gian T nhóm Các nhóm khác nhóm gọi nhóm biến đổi đẳng cự không gian T 29 Giả sử G nhóm phép biến đổi đẳng cự khơng gian mêtric compact T Đưa vào G mêtric, tơpơ, cách xác định khoảng cách d(x,y) hai điểm x, y phép biến đổi T sau: d(x,y) = max d(x(),y()) Đối với khoảng cách xác định G, thoả mãn tiên đề không gian mêtric Dễ thấy nhóm tơpơ G nhóm phép biến đổi không gian T Nếu G nhóm tất phép biến đổi khơng gian T, khơng gian G compact tơpơ đưa vào G tôpô biến G thành nhóm phép biến đổi khơng gian T Nếu nhóm G tất phép đẳng cự khơng gian T bắc cầu, áp dụng mệnh đề 4.3 Chẳng hạn, nhóm tất phép đẳng cự hình cầu đơn vị x2i = biết không gian Ơclit n + chiều Nhóm đẳng cự với nhóm tơpơ tất ma trận trực giao cấp n + 4.5.Ví dụ: Giả sử T không gian vectơ thực n chiều, với hệ toạ độ xác định G nhóm tơ pơ tất ma trận thực, vuông cấp n với định thức khác i không Mỗi ma trận X j thuộc G đặt tương ứng với phép biến đổi không gian T, chuyển vectơ = (1, , n) thành vectơ x () = (1, 2, , n) xác định hệ thức n = i x i j j (i = 1, 2, , n) i 1 Dễ thấy ma trận khác đặt tương ứng với phép biến đổi khác tích ma trận tương ứng với tích phép biến đổi Bởi vậy, nhóm trừu tượng G nhóm hữu hiệu phép biến đổi không gian T Kiểm tra nhóm tơpơ G nhóm liên tục phép biến đổi khơng gian tơpơ Vì G nhóm compact địa phương có sở đếm được, nên tơpơ đưa vào để G trở thành nhóm liên tục phép biến đổi T Chúng ta thấy G gồm tất tự đẳng cấu nhóm tơpơ T Bởi vậy, nhóm G tất tự đẳng cấu nhóm vectơ T, tơpơ đưa vào tôpô biến G thành nhóm tơpơ 30 KẾT LUẬN Khố luận thu kết sau -Tổng quan nửa nhóm đầy đủ phép biến đổi tập hợp tuỳ ý -Tổng quan nửa nhóm ngược phép biến đổi phận một-một tập hợp -Hệ thống hố số tính chất nhóm song ánh từ tập hợp tuỳ ý lên -Nhắc lại khái niệm tính chất nhóm tơ pơ -Khảo sát số tính chất nhóm liên tục phép biến đổi -Việc khảo sát số tính chất nhóm liên tục phép biến đổi vấn đề tiếp tục nghiên cứu 31 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] A H Cliphớt G.B Prestơn, Lý thuyết nửa nhóm, tập, NXB Đại Học Trung Học, Hà Nội, 1979 [2]Lê Quốc Hán, Giáo trình Lý thuyết nhóm, Đại Học Sư Phạm Vinh, 1997 [3] Lê Quốc Hán, Giáo trình Lý thuyết nhóm tơpơ, Đại Học Sư Phạm Vinh, 1998 [4] S T Hu, Đại số đại, Bản dịch Tiếng Việt, 1972 [5] Nguyễn Hữu Việt Hưng, Đại số đại cương, NXB Giáo dục Hà Nội, 1998 [6] S Lang, Đại số, tập, NXB Đại Học Trung Học chun nghiệp, Hà Nội, 1975 [7] L S Pơntriagin, Nhóm liên tục (Tiếng Nga), NXB Toán - Lý, Matxcơva, 1966 (Bản dịch Tiếng Việt Lê Quốc Hán, Thư viện Trường Đại Học Vinh, 1982) [8] Hồng Xn Sính, Đại số đại cương, NXB Giáo dục, Hà Nội, 1972 32 MỤC LỤC Trang LỜI NÓI ĐẦU Đ1.Nửa nhóm phép biến đổi tập 11 Đ2.Nhóm liên tục phép biến đổi tập 17 Đ3 Tổng quan nhóm tơ pơ 24 KẾT LUẬN 29 TÀI LIỆU THAM KHẢO 30 ... tập compact G Đ4 NHÓM LIÊN TỤC CÁC PHÉP BIẾN ĐỔI Tiết dành cho việc nghiên cứu nhóm liên tục phép biến đổi 4.1.Định nghĩa: a Nhóm tơpơ G gọi nhóm liên tục phép biến đổi khơng gian tôpô T, phần tử... phép biến đổi khác tích ma trận tương ứng với tích phép biến đổi Bởi vậy, nhóm trừu tượng G nhóm hữu hiệu phép biến đổi khơng gian T Kiểm tra nhóm tơpơ G nhóm liên tục phép biến đổi không gian tôpô. .. khơng gian lớp ghép bên phải Với x G, xác định phép biến đổi x* hệ thức x* (gH) = xgH, nhận nhóm bắc cầu phép biến đổi liên tục tập hợp G H Thế G nhóm liên tục phép biến đổi không gian tôpô