Nhóm liên tục các phép biến đổi của một không gian tôpô

LỜI NÓI ĐẦU.......................................................................................... 2 Đ1.Nửa nhóm các phép biến đổi trên một tập........................................... 4 Đ2.Nhóm liên tục các phép biến đổi trên một tập..................................... 12 Đ3. Tổng quan về nhóm tô pô....................................................................18 Đ4.Nhóm liên tục các phép biến đổi .........................................................25 KẾT LUẬN...............................................................................................30 TÀI LIỆU THAM KHẢO.........................................................................31

MỤC LỤC

Trang

LỜI NÓI ĐẦU 2

Đ1.Nửa nhóm các phép biến đổi trên một tập 4

Đ2.Nhóm liên tục các phép biến đổi trên một tập 12

Đ3 Tổng quan về nhóm tô pô 18

Đ4.Nhóm liên tục các phép biến đổi 25

KẾT LUẬN 30

TÀI LIỆU THAM KHẢO 31

LỜI NÓI ĐẦU

Nhóm các phép thế bậc hữu hạn là một lớp nhóm đã được khảo sát từ giaiđoạn đầu tiên khi lý thuyết nhóm ra đời, và đã tỏ ra có nhiều ứng dụng quan trọngtrong Đại số nói riêng và Toán học nói chung Có thể mở rộng khái niệm nhómphép thế bậc hữu hạn theo nhiều hướng khác nhau Trước hết, người ta xét nửanhóm các phép biến đổi trên một tập hợp tuỳ ý, từ đó khảo sát lớp nhóm đối xứngtrên tập hợp đó (nghĩa là nhóm các song ánh từ một tập hợp X tuỳ ý - không nhấtthiết hữu hạn - lên chính nó với phép toán là phép hợp thành các ánh xạ) Từ đó,xét lớp nhóm đặc biệt hơn: Nhóm liên tục các phép biến đổi của một không giantôpô

Khoá luận của chúng tôi đi theo hướng thứ hai này

Khoá luận gồm bốn phần

Đ1 Nửa nhóm các phép biến đổi trên một tập.Trong tiết này, trước hết chúng

tôi xét nửa nhóm đầy đủ các phép biến đổi trên một tập hợp tuỳ ý và đi sâu vào nửanhóm ngược các phép biến đổi bộ phận một - một của tập hợp đó Các kết quả cầnchú ý là mệnh đề 1.2.5 và định lý 1.3.14

Đ 2 Nhóm các phép biến đổi trên một tập. Trong tiết này, chúng tôi xétnhóm các song ánh từ một tập X lên chính nó với X là một tập tuỳ ý Sau đó, xétlớp nhóm đó trong trường hợp bản thân X là một nhóm Các kết quả cần chú ý làmệnh đề 2.1.5, mệnh đề 2.2.8

Đ3 Tổng quan về nhóm tôpô.Trong tiết này, chúng tôi nhắc lại những khái niệm

và tính chất cơ bản của nhóm tôpô để làm cơ sở cho việc trình bày tiết sau

Đ 4: Nhóm liên tục các phép biến đổi Đây là phần chính của luận văn Dựa trên

các kết quả đã trình bày trong tiết 2 và tiết 3, chúng tôi xét nhóm liên tục các phépbiến đổi của không gian tôpô, đặc biệt đi sâu vào khảo sát nhóm liên tục và bắc cầucủa không gian tôpô đó và đã thu được kết quả bước đầu (mệnh đề 4.2, mệnh đề4.3)

Khoá luận được hoàn thành dưới sự hướng dẫn của thầy giáo PGS.TS Lê QuốcHán Nhân dịp này tác giả bày tỏ lòng cảm ơn sâu sắc đối với thầy về những sự giúp đỡnhiệt tình và những góp ý thiết thực cho tác giả trong quá trình hoàn thành khoá luận Tác giả cũng xin cảm ơn các thầy giáo,cô giáo trong tổ đại số; các thầy giáo, côgiáo trong khoa Toán Đại Học Vinh và tập thể bạn bè lớp 44B-toán đã độngviên,giúp đỡ tác giả hoàn thành khoá luận này.

Vì trình độ và thời gian có hạn nên khoá luận chắc chắn còn nhiều thiếu sót,rấtmong nhận được sự đóng góp ý kiến của bạn đọc để khoá luận này được hoànthiện hơn

Tác giả:

Đ1 NỬA NHÓM CÁC PHÉP BIẾN ĐỔI TRÊN MỘT TẬP.

Tiết này trình bày một số khái niệm của lí thuyết nửa nhóm và bước đầu đi sâuvào khảo sát lớp nửa nhóm các phép biến đổi trên một tập

1.1.Các khái niệm cơ bản.

1.1.1.Định nghĩa: i) Giả sử S là một tập hợp tuỳ ý Khi đó một ánh xạ từ SS

vào S gọi là một phép toán hai ngôi trên S Nếu ánh xạ đó được kí hiệu là (.) thì

ảnh của phần tử (a,b) S S trong S được kí hiệu là a.b hay đơn giản hơn : ab.

ii) Tập hợp S khác rỗng cùng với một phép toán hai ngôi trên nó được gọi là một

phỏng nhóm.

iii) Phỏng nhóm S được gọi là nửa nhóm nếu phép toán hai ngôi trên S có tính chất kết hợp, nghĩa là (ab)c = a(bc), a,b,cS

1.1.2 Định nghĩa: Giả sử S là một phỏng nhóm Khi đó, phần tử eS được gọi

là đơn vị của S nếu ea = ae = a,aS

1.1.3 Chú ý : Phần tử đơn vị của phỏng nhóm S, nếu có, sẽ duy nhất.Thật vậy,

nếu e và e, là các phần tử đơn vị của S thì ee ’ = e ’ (do e là đơn vị ) và ee ’ = e ( do e ’ là đơn

vị), do đó e ’ = e.

Trong trường hợp S không có đơn vị thì ta ghép thêm một kí hiệu 1S và xét tậphợp S1 = S{1},mà mở rộng phép toán của S lên S1 bằng cách đặt 1.a = a.1 = a,

aS1.Khi đó S1 trở thành một phỏng nhóm và nếu S là nửa nhóm thì S1 cũng là

một nửa nhóm (có đơn vị).Các nửa nhóm có đơn vị gọi là vị nhóm

1.1.4 Định nghĩa: Với mỗi tập hợp X tuỳ ý, xét tập hợp ℑX các ánh xạ từ X vào

chính nó

Tích (hay hợp thành) của hai phép biến đổi  và  của tập X là phép biến đổi 

được định nghĩa bởi :

Do đó tập ℑX tất cả các phép biến đổi của tập X là một nửa nhóm đối với phép hợpthành

Ta gọi ℑX là nửa nhóm đầy đủ các phép biến đổi trên X

• Ánh xạ  : X → Y là ánh xạ lên (hay còn gọi là toàn ánh) nếu mỗi phần tử thuộc

Y là ảnh của ít nhất một phần tử thuộc X

• Ánh xạ  : X → Y là ánh xạ một - một ( hay là đơn ánh ) nếu các phần tử khác

nhau thuộc X có ảnh qua  là các phần tử khác nhau thuộc Y

• Ánh xạ một - một từ tập X lên chính nó được gọi là một phép thế của tập X,

ngay cả khi X vô hạn

• Tập GX tất cả các phép thế của tập X với phép nhân ánh xạ lập thành một nhóm

và được gọi là nhóm đối xứng trên X.

1.1.5 Định nghĩa:

• Tập con T  của một phỏng nhóm được gọi là phỏng nhóm con của nó nếu từ

aT,bT  abT

Giao của một họ tuỳ ý các phỏng nhóm con hoặc là  hoặc là phỏng nhóm con

• Nếu A , AS thì giao của tất cả các phỏng nhóm con của S chứa A là mộtphỏng nhóm con <A> của phỏng nhóm S chứa A và được chứa trong mọi phỏng

nhóm con của S chứa A và nói <A> là phỏng nhóm con của phỏng nhóm S sinh bởi A.

Nếu <A> = S thì ta gọi A là tập sinh của phỏng nhóm S

Nếu S là nửa nhóm thì phỏng nhóm con của S cũng là nửa nhóm và dùng từ nửa

nhóm con thay cho từ phỏng nhóm con

Nếu S là phỏng nhóm,thì lực lượng |S | của tập S được gọi là cấp của S

1.1.6 Định nghĩa : Phần tử e thuộc phỏng nhóm S được gọi là đơn vị trái(phải)

nếu ea = a (ae = a) aS

 Phần tử e thuộc phỏng nhóm S được gọi là đơn vị hai phía ( hay đơn vị ) nếu e

vừa là đơn vị trái vừa là đơn vị phải

Nếu S chứa đơn vị trái e và đơn vị phải f thì e = f

 Phần tử z thuộc phỏng nhóm S được gọi là phần tử không bên trái (phải) nếu za = z

(az=z) aZ Phần tử z thuộc phỏng nhóm S được gọi là phần tử không nếu z vừa

là phần tử không bên trái, vừa là phần tử không bên phải nếu z1 là phần tử không bên trái, z2 là phần tử không bên phải thì z1=z2.

1.2 Phần tử khả nghịch của nửa nhóm các phép biến đổi.

1.2.1 Định nghĩa: Giả sử S là một nửa nhóm với phần tử đơn vị 1 Nếu p và q là

các phần tử thuộc S sao cho pq =1, thì ta gọi p là nghịch đảo bên trái của q,còn q gọi là nghịch đảo bên phải của p.

1.2.2 Định nghĩa: Phần tử khả nghịch bên phải (trái) thuộc S được định nghĩa là

phần tử thuộc S có một nghịch đảo bên phải (trái) thuộc S Vậy nếu pq = 1 thì p khả nghịch bên phải, còn q khả nghịch bên trái.

1.2.3 Định nghĩa: Phần tử khả nghịch thuộc S là một phần tử vừa khả nghịch bên

trái vừa khả nghịch bên phải

1.2.4 Mệnh đề[1]: Giả sử S là một nửa nhóm với phần tử đơn vị là 1 Khi đó ta có:

(i) Tập P[Q] tất cả các phần tử khả nghịch bên phải (trái) của S là một nửa nhóm con với luật giản ước phải (trái) và chứa 1.

(ii) Tập U tất cả các phần tử khả nghịch thuộc S là một nhóm con của S và U = P∩ Q Mỗi phần tử khả nghịch có một phần tử nghịch đảo hai phía duy nhất thuộc U’ và không có nghịch đảo bên trái và bên phải nào thuộc tập đó.

(iii) Mỗi nhóm con của S chứa 1 đều được chứa trong U.

Từ các định nghĩa và định lý ta có các mệnh đề sau:

1.2.5.Mệnh đề: Giả sử ℑ X là nửa nhóm đầy đủ các phép biến đổi trên tập X thì nửa nhóm con các phần tử khả nghịch bên phải trong ℑ X gồm tất cả các ánh xạ (một - một ) từ X vào X.

Chứng minh Giả sử f: X  X khả nghịch phải.Khi đó tồn tại ánh xạ

g: X  X sao cho gf =1.

Ta chứng minh f đơn ánh.

Thật vậy, nếu f(x) = f(y) ⇒ g[f(x)] = g[f(y)] ⇒ 1X(x) =1X(y)

⇒x =y

 f đơn ánh.

Ngược lại f đơn ánh ta chứng minh khả nghịch phải.

Ta xây dựng ánh xạ g: X  X như sau:

)

(

a X

f

y

x x

Ngược lại f toàn ánh,ta chứng minh f khả nghịch trái.

Do f : X  X toàn ánh nên với mỗi y  X luôn tồn tại f-1(y).Với mỗi tập f-1(y) ta

cố định một phần tử xy (tức là f(x y ) = y ).

Xây dựng ánh xạ g: X  X sao cho g(y) = xy

Khi đó ta có: (fg)(y) = f(g(y)) = f(x y ) = y.

⇒ fg = 1X ⇒ f khả nghịch trái (đpcm)

1.2.7 Hệ quả : Nhóm tất cả các phần tử khả nghịch trong ℑ X trùng với nhóm đối xứngGX

1.3 Nửa nhóm ngược các phép biến đổi bộ phận một - một

Tiết này dành cho việc khảo sát nửa nhóm ngược các phép biến đổi bộ phậnmột - một của một tập hợp X cho trước.Trước hết, ta nhắc lại các định nghĩa vàtính chất đơn giản của nửa nhóm chính quy và nửa nhóm ngược

1.3.1 Định nghĩa: Giả sử S là một nửa nhóm.

(do f đơn)

(với a0 l phà ph ần tử cố định thuộc X)

i) Phần tử a thuộc S được gọi là phần tử chính qui nếu tồn tại phần tử x thuộc S

sao cho axa = a.

ii) Nửa nhóm S được gọi là nửa nhóm chính qui nếu mọi phần tử của S đều là

phần tử chính qui

1.3.2 Chú ý: Nếu axa = a thì e = ax là một luỹ đẳng Hơn nữa ea = a

Thật vậy, e 2 = ( ax)( ax) = ( axa)x = ax= e và ea = axa= a Tương tự f = xa cũng là

một luỹ đẳng của S và af = a Ta cũng chú ý rằng nếu a là phần tử chính qui của nửa nhóm S thì iđêan chính phải aS 1 = a aS sinh bởi a bằng aS , vì a = af kéo

theo a aS.Tương tự, S1a = Sa Về sau ta sẽ dùng hai chú ý đó mà không nói thêm

gì

1.3.3 Bổ đề : Phần tử a thuộc nửa nhóm S là phần tử chính qui khi và chỉ khi

iđêan chính phải (trái) của nửa nhóm S sinh bởi a được sinh bởi một luỹ đẳng e nào đó, nghĩa là aS1 = eS1 (hay S1a =S1e).

Chứng minh: Nếu a là phần tử chính qui thì axa = a với x nào đó thuộc S Khi đó

e = ax là phần tử luỹ đẳng của S và ea = a Khi đó eS1 = aS1

Đảo lại, giả sử rằng aS1 = eS1 và e2 = e.Khi đó a = ex với x nào đó thuộc S1 Vì

vậy ea = e2x = ex = a; e = ay với y là một phần tử nào đó của S1 Nếu y = 1 thì e =

a và a = ea = aa nên a =aa = aaa; nếu y  S thì a = ea = aya nên a  aSa Suy ra a

chính qui

1.3.4 Định nghĩa: Hai phần tử a và b của nửa nhóm S được gọi là ngược nhau

nếu aba = a và bab = b.

1.3.5.Bổ đề: Nếu a là một phần tử chính qui của nửa nhóm S thì a có ít nhất một

phần tử b thuộc S ngược với nó.

Chứng minh: Vì a là phần tử chính qui của S nên trong S tồn tại phần tử x sao

cho axa = a.Đặt b =xax Khi đó b thuộc S và aba = a(xax)a = ax( axa) = axa = a.

Tương tự, có bab = (xax)a(xax) = x(axa) xax = xa(xax) = (xax)ax = xax = b.

1.3.6.Bổ đề: Hai phần tử thuộc cùng một nửa nhóm S là nghịch đảo của nhau

trong một nhóm con nào đó của S khi và chỉ khi chúng ngược nhau và giao hoán được với nhau.

Chứng minh: Giả sử a và b là các phần tử ngược nhau và giao hoán được với nhau

thuộc một nửa nhóm S và e = ab Khi đó e là luỹ đẳng và ba = e, nên ea = aba = a

và ae = aba = a.Tương tự eb = be = b Do đó a và b là các phần tử khả nghịch

trong eSe và thuộc nhóm con tối đại He của S chứa e như một đơn vị của nó Vì

ab = ba = e nên a và b là nghịch đảo của nhau trong S.

1.3.7 Định nghĩa: Nửa nhóm ngược là nửa nhóm trong đó mỗi phần tử có một

phần tử ngược duy nhất

1.3.8.Bổ đề Nếu e,f,ef và fe là các luỹ đẳng thuộc nửa nhóm S thì ef và fe ngược

nhau.

Chứng minh: Ta có (ef)(fe)(ef) = ef2e2f = ef.ef = (ef)2 = ef.

Tương tự ta có (fe)(ef)(fe) =fe ⇒ ef và fe ngược nhau.

1.3.9.Định lý Ba điều kiện sau đối vơí một nửa nhóm là tương đương:

i) S chính quy và hai luỹ đẳng bất kì của nó giao hoán với nhau.

ii) Mỗi iđêan chính phải và mỗi iđêan chính trái của S có một phần tử sinh luỹ đẳng duy nhất

(iii) S là nửa nhóm ngược (tức là mỗi phần tử thuộc S có một phần tử ngược duy nhất).

Chứng minh (i) ⇒(ii):

Vì e và f là các luỹ đẳng cùng sinh ra một iđêan chính phải tức

eS = fS ⇒ ef = f và fe = e.

Nhưng theo (i) ta có: ef = fe nên e = f.

(ii)⇒ (iii) : Ta có phần tử a thuộc nửa nhóm S là chính qui khi và chỉ khi iđêan chính phải (trái) của nửa nhóm S sinh bởi một luỹ đẳng e nào đó, tức aS1 = eS1[S1a = S1e] nên suy ra nửa nhóm S chính quy.

Bây giờ ta chỉ cần chứng minh duy nhất của phần tử ngược

Thật vậy, giả sử b và c ngược với a Khi đó ta có

aba = a; bab = b; cac = c

Từ đó abS = aS = acS và Sba = Sa = Sca, nên ab = ac và ba = ca.

Do đó b = bab = bac = cac = a.

(iii)⇒(i) Rõ ràng một nửa nhóm ngược là chính qui.

Ta chỉ cần chứng minh hai luỹ đẳng bất kì giao hoán với nhau

Trước hết ta chứng minh tích ef của hai luỹ đẳng e và f là một luỹ đẳng Thật vậy,giả sử a là phần tử ngược (duy nhất) của ef Khi đó ta có :

(ef)a(ef) = ef ; a(ef)a = a.

Đặt b = ae ⇒ (ef)b(ef) = (ef)ae(ef) = efae2f = efaef = ef;

b(ef)b = ae2fae =aefae = ae = b

⇒ b là phần tử ngược của ef , theo (iii) ae = b = a.

Nhưng một luỹ đẳng là phần tử ngược với chính nó và theo (iii) ta suy ra a = ef

⇒ ef là luỹ đẳng

Bây giờ giả sử e và f là hai luỹ đẳng bất kì

Theo trên ta có ef và fe là luỹ đẳng, nên theo bổ đề 1.3.8 ta có chúng ngược

nhau.Vậy ef và fe đều ngược với ef, do đó ef = fe (đpcm).

1.3.10 Định nghĩa: Ta gọi phép biến đổi bộ phận một -một của tập X là một ánh

xạ một - một,  từ một tập con Y của X lên tập con Y’ = Y của X:

Ký hiệu  -1: Y  Y

y ’  -1 = y (yY;y ’  Y )  y ’ = y

Giả sử ℑX là tập tất cả các phép biến đổi bộ phận một - một của tập X,bao gồm cảánh xạ từ tập rỗng lên chính nó.“Phép biến đổi rỗng’’ đó ta sẽ kí hiệu là 0

1.3.11 Bổ đề Tích  của hai phần tử , ℑX được định nghĩa như sau:

Giả sử Y và Z là các miền xác định tương ứng của  và Nếu Y ∩ Z =  thì tađặt  = 0

Ngược lại, giả sử W =( Y ∩ Z ) -1 ⇒ là cái hợp thành của các phép biến đổi

 | W và | W theo nghĩa thông thường Khi đó ta có  là ánh xạ một -một từtập con W lên W  Do đó  thuộc ℑX nên ℑX là một nửa nhóm gọi là nửa nhóm

ngược đối xứng trên tập X.

Hai bổ đề sau rút trong[1]

1.3.12 Bổ đề: Đối với các phần tử a, b tuỳ ý thuộc một nửa nhóm ngược S có các

hệ thức :

(i) (a -1 ) -1 = a.

(ii) (ab) -1 =b -1 a -1

1.3.13.Bổ đề: Nếu e và f là các luỹ đẳng của nửa nhóm ngược S thì

Se  Sf = Sef (=Sfe).

1.3.14.Định lý: Mỗi nửa nhóm ngược tuỳ ý S đẳng cấu với một nửa nhóm con

ngược của nửa nhóm ngược đối xứng ℑ S tất cả các phép biến đổi bộ phận một một của tập S.

-Chứng minh:

* Với mỗi a ∈ S xác định ánh xạ a : Sa-1(=Saa-1)  Sa-1a ( =Sa )

* Bây giờ ta phải chứng tỏ rằng a  a là đẳng cấu từ S  ℑs.

Thật vậy,giả thiết rằng a = b (a,b S)

Khi đó Saa-1= Sbb-1; nên aa-1= bb-1 (theo định lý 1.3.9 ii ) và x  Saa-1

⇒ xa = xa = xb = xb Vì a  Saa-1,nên a-1a = a-1b.

Do đó a = aa-1a = aa-1b = bb-1b = b.

Vậy ánh xạ a  a là một - một

* Cuối cùng ta phải chứng minh ab = ab (a,b S)

Vì (xa)b = x(ab) với x bất kì thuộc S,nên ta chỉ cần chứng tỏ a b và ab có cùngmột miền xác định

Ta có miền xác định của ánh xạab là tập S(ab)(ab)-1.

Còn miền xác định của ánh xạ ab là tập (Sa-1a  Sbb-1) a 1 Theo 1.3.13 ta có

(Sa-1a  Sbb-1) a 1

= Sa-1abb-1 = Sabb-1

Theo 1.3.12 ta có (Sa-1a  Sbb-1) a 1

= Sabb-1a-1 = S(ab)(ab)-1(đpcm)

Đ2 NHÓM CÁC PHÉP BIẾN ĐỔI CỦA MỘT TẬP.

Trong tiết này, chúng ta xét nhóm G các phép biến đổi của một tập hợp Xcho trước Thực chất G là nhóm con nào đó của nhóm đối xứng GX

2.1: Nhóm các phép biến đổi của 1 tập.

2.1.1: Định nghĩa:

Giả sử X là tập hợp tuỳ ý, GX là nhóm đối xứng của X, GX ={f: X X/ f là song

ánh} Khi đó mỗi nhóm con G của GX được gọi là một nhóm các phép biến đổi của X.

Như vậy, ánh xạ đồng nhất 1x của GX thuộc G, và nếu f , g G thì g f và f -1 (ánh

xạ ngược của f) cũng thuộc G.

2.1.2: Định nghĩa: Giả sử G là 1 nhóm các phép biến đổi của tập hợp X Khi đó G

được gọi là bắc cầu, nếu với mọi x,y X, tồn tại f G sao cho f (x) = y.

Nói riêng, GX là một nhóm các phép biến đổi bắc cầu của X

2.1.3 Ví dụ: Giả sử Gn là nhóm tất cả các phép biến đổi của tập hữu hạn Xn gồm n

phần tử, chẳng hạn Xn = {1,2, ,n} Khi đó Gn chính là nhóm tất cả các phép thếbậc n, Gn = Sn và S n = n!.Mỗi phép thế được phân tích một cách duy nhất thànhtích các vòng xích độc lập Khi n  3, Gn không giao hoán

2.1.4 Định nghĩa: i) Nhóm G được gọi là nhóm các phép biến đổi của tập hợp

,nếu với mỗi phần tử x G đặt tương ứng được với một phép biến đổi x*, x* =

(x) của  sao cho (xy) = (x).(y) với mọi x,y G Khi đó G* là nhóm các phép biếnđổi của tập hợp X theo ý nghĩa của định nghĩa 2.1.1, còn : G G*là một ánh xạđồng cấu từ G lên G*

ii) Hạt nhân của  được gọi là hạt nhân không hữu hiệu của nhóm các phép biến

đổi G Nếu  là đẳng cấu, thì nhóm G được gọi là nhóm các phép biến đổi hữu

hiệu Trong trường hợp này, G có thể được đồng nhất với G* bằng cách đặt x = x*

và xem rằng mỗi phần tử thuộc G là một phép biến đổi của tập hợp 

iii) Nhóm G các phép biến đổi của tập hợp được gọi là bắc cầu nếu G* bắc cầu,

nghĩa là nếu với hai phần tử ,  tìm được một phần tử x G sao cho x* () = 

iv) Giả sử G là nhóm các phép biến đổi của tập hợp và G’ là nhóm các phép biếnđổi của tập hợp ’ Khi đó cặp ánh xạ  , được gọi là đồng dạng từ cặp (G, )lên cặp (G’, ’) nếu  : G G’ là ánh xạ đẳng cấu từ nhóm G lên nhóm G’ và

 :   ’ là ánh xạ một - một từ lên ’ sao cho nếu x ’ =  (x),  ’ =  () thì

Giả sử x,y  () Khi đó x*( ) = y*( ) nên (x-1y)* () = Trong trường hợp

 = , hệ thức đó kéo theo H-1  H  H , nghĩa là H là nhóm con của G Với

 tuỳ ý, suy ra rằng x,y thuộc cùng một lớp ghép trái của G theo H Nếu y 

() và x,y thuộc cùng một lớp ghép trái của G theo H ,thì (x-1y)* () = , nghĩa là

x*() = y*( );và do đó x  () Bởi vậy,  () là một lớp ghép trái của nhóm

G theo nhóm con H

Rõ ràng, nếu  và  là hai phần tử khác nhau của tập hợp ,thì các tập hợp

 () và  ( ) không giao nhau và bởi vậy  ()  ( ) Hơn nữa, nếu x H là

một lớp ghép trái tuỳ ý, thì  (x*()) = xH Bởi vậy,  :  



H

G là ánh xạ

một - một lên Phần tử x G đặt tương ứng với phép biến đổi x* của tập hợp  và

các phép biến đổi của tập hợp

y*( (x*( ))) = y*(x H ) = yx H = (yx)*( H ) =  (y*(x*( )))

Nếu trong hệ thức này thay thế x*( ) bởi , chúng ta nhận đượcy*( ()) = 

(y*()), và điều đó có nghĩa là cặp ánh xạ  , là đồng dạng của cặp (G, ) lên cặp (G,



H

G ), với  = 1G là ánh xạ đồng nhất của G

Nếu x*( ) =  thì tất cả các phép biến đổi mà các phần tử tương ứng của tập hợp xH x

-1 sẽ giữ  nguyên vị trí, nên x H x-1  H Tương tự, có x-1H x H Bởi vậy H = x H

ii) Phép biến đổi x x* của phỏng nhóm S được gọi là phản đẳng cấu đối hợp nếu

(x*)* = x và (xy)* = y*x*.

2.2.2 Định nghĩa: i) Giả sử S là một phỏng nhóm X là một tập hợp tuỳ ý và ℑX lànửa nhóm các phép biến đổi trên tập X Đồng cấu (phản đồng cấu)  : S  ℑ X

được gọi là biểu diễn (phản biểu diễn) của phỏng nhóm S bởi các phép biến đổỉ của tập X Biểu diễn  (phản biểu diễn) của phỏng nhóm S được gọi là trung

ánh xạa  a (phản biểu diễn)

2.2.5 Định nghĩa: i) Nếu S là một nửa nhóm, thì ánh xạ a  a gọi là biểu diễn

chính quy của S.

ii) Nếu S là một nửa nhóm, thì ánh xạ a  a gọi là phản biểu diễn chính quy của

S

iii) Giả sử  là một biểu diễn của S1 và  là cảm sinh của  trên S Khi đó  gọi

là biểu diễn chính quy mở rộng của nửa nhóm S (Chú ý rằng chính quy mở rộng

bao giờ cũng trung thành!)

2.2.6 Bổ đề[1]: Giả sử S là nửa nhóm Khi đó:

i) S rút gọn được bên trái (nghĩa là từ xa = xb với mọi x S suy ra a = b) nếu và chỉ nếu biểu diễn chính quy của S trung thành.

ii) S rút gọn được bên phải nếu và chỉ nếu phản biểu diễn chính quy của S trung thành.

iii) Nếu S có đơn vị thì biểu diễn và phản biểu diễn của S là trung thành.

2.2.7 Mệnh đề: Nửa nhóm S được biểu diễn trung thành bởi các ánh xạ một - một

từ một tập nào đó vào chính nó nếu và chỉ nếu S là nửa nhóm với luật giản ước phải và không có luỹ đẳng khác 1 Trong trường hợp đó:

i) Nếu a, b S sao cho ab = b thì a = 1 (và S = S 1 )

ii) S 1 là nửa nhóm với luật giản ước phải, không có luỹ đẳng khác 1.

iii) Biểu diễn chính quy mở rộng của nửa nhóm S là biểu diễn trung thành bởi các ánh xạ một - một từ nửa nhóm S 1 vào chính nó

Chứng minh: Giả sử S là một nửa nhóm các ánh xạ một - một từ tập X vào

chính nó, và , , là các phần tử thuộc S sao cho  = 

Khi đó, x, có: x = x hay (x )() = (x) nên x = x, vì  là ánh xạmột - một Do đó  =, nên S là nửa nhóm với luật giản ước phải

Nếu là một luỹ đẳng của S thì x  = x , x S nên x = x, x S (vì  làmột - một) Do đó  = 1X.

Đảo lại, giả sử S là nửa nhóm với luật giản ước phải và không chứa luỹ đẳng khác 1 Ta

sẽ chứng minh các khẳng định (i), (ii), (iii); đặc biệt từ (iii) suy ra điều kiện đủ củaphần đầu mệnh đề 2.2.7

Để chứng minh (i), ta lấy các phần tử a,b S mà ab = b Thế thì a 2 b = ab do đó

a 2 = a vì S giản ước phải Vì S không chứa luỹ đẳng khác 1 nên a = 1 và do đó S1 = S Khẳng định (ii) là tầm thường khi S1 = S, nên ta có thể giả thiết S1  S Giả sử

trái lại, tồn tại các phần tử a, b,c S1 sao cho ac = bc nhưng a b Thế thì c 1

nên c S Vì S giản ước phải nên a,b không thể đồng thời thuộcS Nếu a S và b =

1 chẳng hạn thì ac = c với a 1, trái với khẳng định (i) Như vậy S1 là nửa nhómvới luật giản ước phải và hiển nhiên nó không chứa luỹ đẳng khác 1

Ta chứng minh (iii) Giả sử  là biểu diễn chính quy mở rộng a  a của nửa

nhóm S (a S) trong đó a là phép chuyển dịch trong bên phải x  xa = xa của

nửa nhóm S1(x S1) Thế thì như đã chú ý ở trên,  trung thành Nếu x,y là các

phần tử của S1 sao cho xa = ya hay xa = ya thì x = y theo khẳng định (ii) Như

vậy mỗi phần tử a thuộc S =  (S) là ánh xạ một - một từ S1 vào chính nó