Về nhóm các phép dời

Lời nói đầu Trong chơng trình học phần Đại số đại cơng năm thứ hai, đợc học số kiến thức Lý thuyết nhóm Chúng nhận thấy Lý thuyết nhóm khái niệm quan trọng, đợc ứng dụng rộng rãi số học, đại số, hình học , khoa học khác Do thấy cần phải học lại học thêm Lý thuyết nhóm để vừa mở rộng thêm kiến thức vừa học thêm phơng pháp t đại số Khoá luận ôn tập lại kiến thức nhóm năm thứ hai, học tập thêm kiến thức Lý thuyết nhóm, vận dụng kiến thức để chứng minh số mệnh đề mà sách giáo khoa ( Đại số đại cơng Hoàng Xuân Sính) cha đề cập cha chứng minh Đồng thời cố gắng vận dụng kiến thức để soi sáng số vấn đề môn học khác Khoá luận gồm chơng: Chơng Một số khái niệm nhóm Trong chơng trình bày số khái niệm nhóm cần cho chơng sau, giải số tập nhóm Chơng Nhóm phép dời Trong chơng trình bày khái niệm phép dời hình học, tích phép dời Vận dụng hiểu biết nhóm để nghiên cứu cấu trúc nhóm tập phép dời Vì lực thời gian có hạn, nên kết mà thu đợc bớc đầu Còn số vấn đề hứng thú nhóm phép dời Nhất nhóm phép dời không gian mà cha thể nghiên cứu đầy đủ Chúng hy vọng thu đợc nhiều kết đợc tiếp tục Chắc khoá luận không tránh khỏi thiếu sót, mong nhận đợc góp ý thầy cô giáo bạn Để hoàn thành khoá luận xin chân thành cảm ơn : - PGS TS Nguyễn Quý Dy Khoa Toán - Đại học Vinh - Các thầy cô giáo Khoa Toán trờng Đại học Vinh - Gia đình bạn bè giúp đỡ trình học tập hoàn thành khoá luận Tôi xin chân thành cảm ơn Vinh, tháng 04 năm 2003 Ngời thực Phùng Thị Tình Mục lục Trang Lời nói đầu Chơng I: Một số khái niệm nhóm Đ1 Nhóm nhóm Đ2 Đồng cấu nhóm 11 Đ3 Nhóm sinh tập hợp nhóm chuẩn tắc 15 Đ4.Nhóm hữu hạn 21 Chơng II : Nhóm phép dời 24 Đ1 Các khái niệm phép dời 24 Đ2 Phép dời đờng thẳng 27 Đ3 Phép dời mặt phẳng 28 Đ4 Phép dời không gian nhóm phép dời hình 32 Kết luận 35 Phụ lục: Mô tả cấu trúc đại số S4 36 Tài liệu tham khảo 39 Chơng I Một số khái niệm nhóm Đ1.Nhóm nhóm I Nhóm 1.1 Định nghĩa: Tập G có phép toán hai "." đợc gọi nhóm điều kiện sau đợc thoả mãn: (G1) Tập G ổn định phép toán : x, y G x.y G (G2) Phép toán có tính chất kết hợp: x,y,z G ( x.y).z = x.(y.z ) (G3) Có phần tử đơn vị e G cho: x.e = e.x = x, x G (G4) Có phần tử nghịch đảo: x G , x, G: x.x, = x,.x = e 1.2 Nhận xét: i) Nếu phép toán G phép nhân phần tử đơn vị e, ký hiệu e 1, phần tử nghịch đảo x ký hiệu x-1 ii) Nếu phép toán G phép toán cộng phần tử đơn vị e ký hiệu gọi phần tử 0, phần tử nghịch đảo x ký hiệu -x gọi phần tử đối x iii) Số phần tử x đợc gọi cấp G, ký hiệu |G| 0rd(G) Nếu G tập hữu hạn, |G| = n G đợc gọi nhóm hữu hạn Nếu |G| = G đợc gọi nhóm vô hạn iv) Nếu phép toán G có tính chất giao hoán, x,y G : xy = yx G đợc gọi nhóm giao hoán ( gọi nhóm aben ) Ví dụ: 1) (,+) nhóm aben vô hạn * x, y, z (x + y) + z = x + ( y + z ) ( tính chất kết hợp phép cộng số nguyên ) * x z x + = + x = x phần tử đơn vị (,+ ) nhóm * || = ( , + ) nhóm vô hạn Do phép cộng số nguyên có tính chất giao hoán x, y x+y = y + x ,nên (, + ) nhóm aben Tơng tự, ta có ví dụ: ( Q , + ), ( R, + ), ( C, + ) nhóm aben phép cộng Với Q tập số hữu tỉ; R tập số thực; C tập số phức 2) Tập hợp Sn phép {1, , n} với phép nhân (hoặc hợp thành) phép nhóm hữu hạn, cấp n! không giao hoán với n 3) Nửa nhóm số tự nhiên N nhóm phép toán cộng với phần tử x N không tồn phần tử x 1.3.Tính chất: Từ định nghĩa nhóm ta dễ dàng chứng minh đợc số tính chất sau: i) Phần tử đơn vị G ii) Nếu (G, ) nhóm với x G phần tử nghịch đảo x iii) Nếu (G, ) nhóm G thực đợc luật giản ớc, nghĩa x, y, z G: xy = xz ( yx = zx ) y = z Ví dụ: A, B, C GL ( n, k ): AB = AC B = C Thật vậy: A, B, C GL(n, k) |A| 0, |B| 0, |C| , nên A-1, B-1, C-1 GL Từ AB = AC nhân bên phải đẳng thức ( vế ) với A-1 ta có: A-1(AB) = A-1(AC) (A-1A)B = (A-1A)C I.B = IC với I ma trận đơn vị GL(n, k) B = C iv) Trong nhóm phơng trình xa = b ( ax = b ) có nghiệm x = ba-1 ( x = a-1b) v) x, y G (xy)-1 = y-1x-1 Tổng quát: {xi} i I G, đó: (x1,x2 xn)-1 = xn-1 x-1n-1 x2-1 x1-1l aa = a + , (a) = a, , Cấu trúc nhóm có tập mà phân tử số Ví dụ: 1) Nhóm phép quay hình học, phân tử phép quay, phép toán thực liên tiếp phép quay 2) Nhóm phép đối xứng, phần tử phép đối xứng, phép toán thực liên tiếp phép đối xứng 3) Nhóm cộng ma trận, phần tử ma trận cỡ, phép toán phép cộng ma trận 4) Nhóm nhân ma trận, phần tử ma trận cấp n không suy biến, phép toán phép nhân ma trận 5) Nhóm cộng vec tơ, phần tử vec tơ, phép toán phép cộng vec tơ 6) phụ lục khoá luận ta có nhóm S4 , có phần tử phép bậc 1.4 Cấp phần tử nhóm: Giả sử G nhóm với đơn vị e a G am e với m > , ta nói a có cấp vô hạn Nếu trái lại, số nguyên dơng nhỏ m, cho am = e đợc gọi cấp a 1.5 Mệnh đề: Cho (G, ) nhóm, a phần tử G, khác e cho a n = e Khi n chia hết cho cấp a Chứng minh: G nhóm với phân tử đơn vị e, a G, a e, giả sử a có cấp k ak = e Từ an = e q : n = kq + r (0 r < k ) an = akq + r = akqar =(ak)qar = eqar = ear = ar mà an = e ar = e r = n = kq, q Tức là: n k hay n Ord(a) 1.6 Mệnh đề: Cho (G, ) nhóm giao hoán a, b G có ( |a|, |b| ) = |ab| = |a| |b| Chứng minh: Giả sử a, b hai phần tử nhóm có đơn vị e Giả sử Ord(a)=r, Ordb = s (r, s) = ab = ba nên ta có: (ab)rs = arsbrs (vì ab = ba (ab)n = anbn) = (ar)s(bs)r = eser = e Ord(ab) \ rs Giả sử: Ord(ab) = t (ab)t = e Khi rs t (1) (ab)t = e mà ab = ba (ab)t = atbt atbt = e at = b-t Nâng luỹ thừa hai vế đẳng thức at = b-t lên mũ r ta đợc: art = b-n = e ( ar = e ) rt s t s ( r, s ) = (2) Cũng từ at = b-t nâng vế lên luỹ thừa mũ s ta đợc: (at)s = (b-t)s = e = ar ts r t r (s, r) = (3) Từ (2) (3) t rs Vậy (|a|, |b| ) = 1; ab=ba |ab| = |a| |b| 1.7 Mệnh đề: Cho (G, ) nhóm giao hoán a, b G có cấp tơng ứng m, n Khi đó, G tồn phần tử có cấp bội chung bé m, n Chứng minh: Giả sử nhóm G có đơn vị e, Ord(a) = m, Ord(b) = n Nếu (m, n) =1 ta có |ab| = mn ab G có cấp bội số chung bé m, n Nếu (|a|, |b|) UCLN (m, n) = d ( m n , ) =1 d d Khi đó, G c G: Ord(c) bội số chung bé m n II Nhóm con: 1.8 Định nghĩa: (G, ) nhóm, A tập khác rỗng G A đợc gọi nhóm G A với phép toán G lập thành nhóm Có nghĩa là: (A, ) thoả mãn định nghĩa nhóm x, y A x.y A x, y, z A: ( x y) z = x (y z ) x A, e A: x e = e x = x x A, x-1 A: x x-1 = x x-1 = e Ví dụ: 1) GL ( n, k ) L( m, k ) n m Thật vậy: GL ( n, k ) luôn có G (n, k) ma trận gồm phần tử phần tử đơn vị GL (n, k) GL (n, k) tập GL (m, k) A, B, C GL(n, k) (A+ B) + C = A + ( B + C ) ( phép cộng ma trận có tính chất kết hợp ) A GL (n, k), A-1 ma trận nghịch đảo: A.A-1 = A-1.A = I (GL (n, k), + ) nhóm (GL(n, k), + ) (GL(n, k), +), ( n m ) 2) Ta dễ dàng chứng minh đợc: ( , + ) ( Q, + ) ( R, + ) ( C, + ) 3) G nhóm G có nhóm {e} G gọi nhóm tầm thờng G Nếu G = {e} G có nhóm 1.9 Nhận xét: (G, ) nhóm (G, ) có nhóm con, nhóm {e} G Nhóm có nhóm ngời ta gọi nhóm đơn Ví dụ: Nhóm E2 = {0, 1}với phép cộng nhóm M ={-1, 1}với phép toán nhân Ta có bảng toán: + -1 0 -1 -1 1 -1 Do tính đơn giản bảng toán nhóm nên đợc ứngdụng việc lặp đặt mạng điện Ví dụ ta lắp sơ đồ điện cho bảng toán - đèn tắt ; - đèn đỏ ; Với công tắc : hở kín 1.10 Định lý ( tiêu chuẩn nhóm con): A phận khác rỗng nhóm G A nhóm G điều kiện sau thoả mãn: i) x, y A xy A ii) e A với e phần tử đơn vị G iii) x A, x-1 A 1.11 Hệ quả: A tập khác rỗng nhóm G Các điều kiện sau tơng đơng: i) A nhóm G ii) Với x, y A, xy A x-1 A iii) Với x, y A, xy-1 A Chứng minh: Theo định lý 1.10 ta có i) ii) ii iii) hiển nhiên Ta chứng minh iii ii) Vì A nên có x A theo giả thiết iii) e = x x-1A thoả mãn điều kiện ii) định lý 1.10 Giả sử x, y A, y-1 A theo iii) có x.(y-1)-1 = xy A thoả mãn điều kiện i) định lý 1.10 A nhóm G Ví dụ: m = {mx / x } (m, +) (, +) Thật vậy: Giả sử my, mx m mx - my = m(x-y) m Theo điều kiện iii) hệ ta có: (m, +) (, +) 1.12 Định lý: Cho (G, ) nhóm A, B nhóm G Khi đó: AB = {ab| a A, b B}là nhóm AB = BA Chứng minh: A G, B G, AB = {ab / aA, bB} Giả sử: AB G abAB, a A, b B Khi đó: ab = c1 AB ba = c2 BA Nếu: AB G a AB, b AB a, b G ab AB G, ba AB G, a A, b B AB = BA Nếu AB = BA { ab / a A, b B} = { ba / a A, b B }, x, y AB x = a1b1 ,a1 A, b1 B y-1 = ( a2,, b2 )-1, a2 A, b2 B xy-1 = a1b1(a2b2)-1 = a1b1b2-1a2-1 Khi a3 A, b3 B, (a2b2)-1 = b3a3 xy-1 = a1b1b3a3 = a1 (b1b3)a3 = a1b4a3 , với b1b3 = b4B với b4a3 BA, a4 A b B: b4a3 = a4b xy-1 = a1(b1a3) = a1(a4b) = (a1a4) b = ab với a = a1a4 A xy-1 = ab AB với a A, b B vậy: AB G Do đó: AB G AB = BA 10 Đ2 Đồng cấu nhóm 2.1 Định nghĩa: Cho G G hai nhóm bất kì, ánh xạ f từ nhóm G đến nhóm G cho f( ab) = f(a) f(b), a, b G Chú ý : + Trong định nghĩa 2.1 G G hai nhóm với phép toán nhân: f(ab) = f(a)f(b) + Nếu (G, +) (G, ) f: G G đồng cấu, a, b G: f(a+b) = f(a)f(b) + Nếu (G, +) (G, +) , f: G G đồng cấu : f(a+b) = f(a) + f(b) ), a, b G + Nếu (G, ) (G, +) f: G G đồng cấu : f(ab)= f(a) + f(b), a, b G Nhận xét: Một ánh xạ f: G G đợc gọi đồng cấu nhóm bảo tồn phép toán G G Ví dụ: f1:(Q, ) ( R, ) ab f1(ab) = f1(a) f1(b), a, b Q* đồng cấu f2: (, +) (R, +) x+y f(x) + f(y), x, y b đồng cấu 2.2 Định nghĩa: Cho G G nhóm, f đồng cấu từ G đến G + f đợc gọi đơn cấu f đồng cấu đơn ánh + f đợc gọi toàn cấu f đồng cấu toàn ánh + f đợc gọi đẳng cấu f đồng cấu song ánh , kí hiệu G G Nếu G G đợc gọi tự đồng cấu Tơng tự ta có khái niệm tự đơn cấu, tự toàn cấu, tự đẳng cấu Ví dụ: 1) iG : G G 22 Chơng II Nhóm phép dời Đ Các khái niệm phép dời 1.1 Định nghĩa: Giả sử F tập tất điểm đờng thẳng Khi đó, phép biến đổi F , nghĩa ánh xạ : F F bảo toàn khoảng cách hai điểm đợc gọi phép dời đờng thẳng Rõ ràng song ánh Tơng tự, ta mở rộng định nghĩa cho phép dời mặt phẳng không gian 1.2 Định nghĩa: Phép dời hình mặt phẳng(trong không gian) phép biến đổi mặt phẳng ( hay không gian ) bảo toàn khoảng cách điểm Ví dụ: + Phép đối xứng trục + Phép quay Về sau F ta hiểu tập điểm đờng thẳng, mặt phẳng không gian Và phép dời ta hiểu phép dời đờng thẳng, mặt phẳng hay không gian 1.3 Phép dời tích phép dời Cho : A B; g: B C phép dời Khi đó, thực liên tiếp hai phép dời g đợc gọi tích ( hay hợp thành hai phép dời) Kí hiệu là: g Rõ ràng tích hai phép dời g, phép dời g :A C Từ định nghiã suy ra: i) Tích phép dời thực đợc ảnh phép dời tập tạo ảnh phép dời g ' ii) Tích hai phép dời tính giao hoán Ví dụ: xét hai phép dời hình phép đối xứng trục : Đ phép quay góc , tâm O: Q0 Giả sử N điểm mp(P) '' 23 Gọi N = Đ (N) Q0(N) = N Theo định nghĩa tích phép dời hình ta có: (Q0 Đ) (N) = N Gọi N1 = Q0(N) N2 = Đ (N1) Theo định nghĩa tích phép dời hình ta có: (Đ Q0) (N) = N2 Nhận thấy N1 N2 (Q0 Đ) (N) (Đ Q0) (N) 1.4 Một số tính chất: i) , g phép dời : g phép dời ii) Tích phép dời có tính chất kết hợp Chứng minh: Giả sử g, h, G: : M M ; h M M g: M M Ta có g h: M M (g h )0 : M M Vậy: ( g o h) = g ( h ) iii) Gọi e phép đồng thì: e = f, e o = , G Chứng minh: Rõ ràng, ánh nên có ánh xạ đồng eG thoả mãn : e = e = , G iv) Với phép dời có phép dời -1 cho -1= e, -1 = e Trớc chứng minh tính chất ta định nghĩa -1 nh sau: Định nghĩa: Trong mặt phẳng cho phép dời hình biến điểm M thành điểm M Ta có: (M) = M Khi phép dời hình biến điểm M thành điểm M gọi phép dời nghịch đảo , ký hiệu -1 ta có: -1(M) = M 24 Chứng minh: Vì phép dời hình song ánh nên với G có -1 G, -1 phép dời hình đảo ngợc ta có -1 = -1 = e 1.4 Định lý: Tập phép dời D lập thành nhóm không giao hoán phép Sau đây, sở hiểu biết lí thuyết nhóm nghiên cứu số trờng hợp đặc biệt nhóm Ví dụ: Tập tất phép dời biến tam giác thành nhóm, đợc gọi nhóm đối xứng tam giác A Thật vậy: Nhóm có phần tử Phần tử đơn vị phép đồng e: e: A A , B B, C C C B Tam giác đợc quay góc 1200 theo chiều kim đồnghồ, tâm quay O Q1200 : A A, B B, C C Tam giác đợc quay góc 2400 theo chiều kim đồng hồ, tâm quay Q2400 : A C, B A, C B Tam giác lấy đối xứng qua trục 1: Đ1 : A A, B C, C B Tam giác lấy đối xứng qua trục 2: Đ2 : A C, B B, C A Tam giác lấy đối xứng qua trục 3: Đ3 : A B, B A, C C Phép dời đờng thẳng 2.1 Ví dụ: i) Phép đối xứng qua điểm ii) Phép tịnh tiến 25 iii) Phép đồng 2.2 Mệnh đề: Nhóm tất phép dời đờng thẳng nhóm đẳng cấu với nhóm cộng số thực Chứng minh: Gọi đờng thẳng Chọn O làm tâm đối xứng Khi đó, điểm tơng ứng với số thực r R Lập ánh xạ : R D := {Tập tất phép đối xứng qua O} r OM = r (r1 + r2) = r1 + r2 = OM + OM = (r1 ) +( r2) đồng cấu Im = { (r) / r R } = { OM / M } = D Ker = { r R / (r) = OO } = {r R / r = OO } = R D 26 Phép dời mặt phẳng 3.1 Phép đối xứng trục: a) Định nghĩa: Phép biến đổi biến điểm M đờng thẳng (hay không gian) thành M cho đoạn thẳng MM nhận đờng thẳng ký hiệu Đ Đ(M) = M d Ví dụ: Cho đoạn thẳng AB có đờng trung trực d, phép biến đổi A thành B phép đối xứng A B trục b)Tính chất: Từ định nghĩa đối xứng trục ta dễ dàng suy tính chất nó: + Phép đối xứng trục phép dời Có nghĩa là, phép đối xứng trục có đầy đủ tính chất phép dời hình + Nếu Đ(M) = M Đ(M) = M Đ(M) Đ(M) = M + a , a = I, a đờng thẳng, I điểm Đ(a) = a Đ(I) = I + Đ() = + Phép đối xứng trục hoàn toàn xác định biết trục đối xứng 3.2 Phép quay xung quanh điểm mặt phẳng: a) Định nghĩa: Phép dời hình có điểm bất động O đợc gọi phép quay quanh điểm O ( điểm bất động điểm biến thành ).O gọi tâm phép quay góc , ký hiệu Q0 Ví dụ: Trong ABC đều: Q60A : B C A Q60B : C A Q60C : A B b) Tính chất: C B 27 + Phép quay phép dời + = phép quay phép đối xứng tâm O + Q0 : M M Q- : M M + Q0 : A A, B B ( AB , AB) = + Phép quay đợc xác định biết tâm quay O góc quay 3.3 Phép tịnh tiến: a) Định nghĩa: Cho véc tơ a Phép biến đổi điểm mặt phẳng ( hay không gian ) biến điểm M thành điểm M cho MM ' = a đợc gọi phép tịnh tiến vectơ a ký hiệu Ta A B Ví dụ : Cho ABCD hình bình hành, ta có: Ta (AD) = BC , a = AB D C b) Tính chất: + Phép tịnh tiến phép dời hình + a , Ta (M) = M Ta (M) = M Ta1 = T a T a Ta = e + a , d nhận a làm véc tơ phơng T a ( d )= d + Ta Ta' = Ta + a' + Phép tịnh tiến Ta hoàn toàn xác định ta biết đợc véc tơ tịnh tiến a 3.4 Mệnh đề: Tập phép đối xứng trục, tập phép đối xứng tâm nhóm cấp nhóm phép dời Thật vậy: Gọi phép đối xứng trục phép đối xứng tâm, ta có : 28 : M M d M M' Và : MM M o (M) = M M M M' O hay = e M Nói cách khác, nhóm đối xứng trục nhóm đối xứng tâm nhóm hữu hạn sinh, (nhóm xyclic cấp 2) 3.5 Mệnh đề: Tập tất phép đối xứng trục S mặt phẳng tập sinh nhóm tất phép dời G mặt phẳng Chứng minh: Với phép quay tâm O, góc quay mà O = d1 d2 theo định nghĩa phép quay ta có QO = Đd1 Đd2 QO = Đd2 Đd1Tập tất phép đối xứng trục S mặt phẳng tập sinh nhóm tất phép quay mặt phẳng QO = < Đ > (S =Đ) Với phép tịnh tiến T theo v ta có nhận xét: Mọi phép tịnh tiến Tv phân tích đợc tích nhiều cách khác hai phép đối xứng trục với hai trục song song Thật vậy: Với phép tịnh tiến Tv với vectơ tịnh tiến v v v/2 d1 v T Chọn đờng thẳng d1 đó: d1 d2 v / : d1 d2 d2 Với Đd1 Đd2 phép đối xứng trục với trục d1 d2 Tv = Đd1 Đd2 Tập tất phép đối xứng trục S mặt phẳng tập sinh nhóm tất phép tịnh tiến mặt phẳng: 29 Tv = < S > Đối xứng tâm trờng hợp đặc biệt đối xứng trục Khi đó, trục đối xứng điểm Có nghĩa tập tất phép đối xứng trục S mặt phẳng.cũnglà tập sinh nhóm tất phép đối xứng tâm mặt phẳng Vậy tất phép đối xứng trục S mặt phẳng tập sinh nhóm tất phép dời G mặt phẳng 3.6 Mệnh đề: Tập tất phép tịnh tiến song song mặt phẳng nhóm ớc chuẩn nhóm tất phép dời mặt phẳng Chứng minh: Gọi G, H, Q lần lợt tập hợp tất phép dời hình, phép tịnh tiến, phép quay tâm O G, H, Q nhóm nhóm phép dời hình G mặt phẳng t1t2H t1t-12 H (Vì nghịch đảo phép tịnh tiến phép tịnh tiến tích phép tịnh tiến phép tịnh tiến ) HG Do phép dời hình phân tích thành tích phép tịnh tiến phép quay quanh O, nên ta có: tH qQ, tH: tq = qt Hq = qH ( t t phần tử tuỳ ý H) Và hiển nhiên Ht = tH = H Do đó, gG có Hg = gH HG Phép dời không gian nhóm phép dời hình 4.1 Mệnh đề: Cho hình không gian, G tập tất phép dời không gian, cho điểm bất động Khi G nhóm G = { / (x) = x, x } 30 Chứng minh: Nhận xét: Đối với phép đối xứng trục Đ, điểm nằm trục đối xứng điểm bất động, điểm lại không gian điểm bất động Đối với phép đối xứng tâm Đ0 có tâm đối xứng O điểm bất động Đối với phép tịnh tiến Tv mà v ta điểm bất động Nếu v = , điểm không gian bất động phép tịnh tiến Tv ta có Tv phép đồng Đối với phép quay QO , tâm quay O góc quay với k2 có điểm bất động O Nếu = k2, điểm không gian bất động phép quay QO ta có Q0 phép đồng ( k ) Do đó, ta nhận thấy G tập tập phép dời hình không gian , g G g-1 G g-1 G Vậy G nhóm 4.2 Nhóm đối xứng hình vuông Hình vuông đợc biến thành qua phép biến đổi sau: e ánh xạ đồng f1 phép quay 900 theo chiều kim đồng hồ f2 phép quay 1800 f3 phép quay 270 O f4 đối xứng trục nằm ngang qua O f5 đối xứng trục thẳng đứng qua O f6 đối xứng trục đờng chéo góc phần t thứ I, III 31 f7 đối xứng trục đờng chéo góc phần t thứ II, IV Tơng tự, hình đa giác khối thể đều có nhóm đối xứng đáng ý 4.3 Nhóm phép đối xứng hình lập phơng Nhóm có 48 phần tử + 24 phép quay: ánh xạ đồng phép quay quanh đờng chéo với góc 3 phép qua quanh đờng nối điểm cạnh đối góc quay phép quay quanh đờng nối tâm mặt đối với góc , , 4 24 phép biến đổi tổ hợp phép quay với phép nghịch đảo i tâm nghịch đảo tâm hình lập phơng Nhận xét: Nhận thấy 24 phép quay đầu làm đỉnh hình lập phơng đổi chỗ cho nhau, nhng không làm thay đổi vị trí hình lập phơng Nó tạo thành nhóm phép đối xứng hình lập phơng Và có 24 phần tử nên đẳng cấu với nhóm S4 Rõ ràng, toán nhóm phép dời giữ nguyên chỗ đa giác mặt phẳng, đa diện không gian, toán thú vị cấu trúc nhóm hình học Tuy nhiên, phức tạp số đỉnh số mặt tăng lên Chúng cố gắng tìm hiểu thêm toán vào dịp khác 32 Kết luận Qua trình nghiên cứu đề tài "Về nhóm phép dời" thu đợc số kết cụ thể sau: Ôn tập số kiến thức nhóm cần thiết để vận dụng nghiên cứu nhóm phép dời Khoá luận chứng minh đợc số mệnh đề nhóm mà sách giáo khoa Trần Xuân Sính cha đề cập Đó là, mệnh đề: 1.5; 1.6; 1.7; 1.12; 3.2; 3.7; 3.8; 13; 4.5; chơng 1, lập bảng toán nhóm phép bậc 4: S4 chơng 2, tác giả nghiên cứu cấu trúc nhóm phép dời đờng thẳng; mặt phẳng; không gian hình Đã thu đợc số kết qua định lý mệnh đề sau: 1.4; 2.2; 3.4; 3.5; 3.6; 4.1 Về nhóm phép dời đờng thẳng, mặt phẳng giải cách trọn vẹn Còn nhóm phép dời hình không gian kết thu đợc bớc đầu, nhng có ý nghĩa hình thành đợc phơng pháp để nghiên cứu vấn đề Khoá luận cố gắng vận dụng lý thuyết nhóm để soi sáng số vấn đề môn học khác Nhất vấn đề đại số hoá hình học Tuy nhiên, thời gian lực có hạn nên nhóm phép dời không gian tác giả cha nghiên cứu đợc cách đầy đủ 33 Phụ lục Mô tả cấu trúc Đại số S4 S4 nhóm phép phần tử Nó với phép hợp thành ánh xạ lập thành nhóm gọi nhóm đối xứng bậc Có phần tử đơn vị ánh xạ đồng {1,2,3,4} Phần tử nghịch đảo S4 ánh xạ ngợc -1 Số phần tử S4 4! = 24 Do đó, S4 có cấp 24 Các phần tử S4 là: o = e = 12 = 4 = 13 = = 14 = = 15 = 1 = 16 = = 17 = 1 = 18 = = 19 = = 4 20 = 34 = 21 = 10 = 1 22 = 31 2 11 = 23 = Nhận xét: Sau nghiên cứu bảng toán S4 ( ta có bảng toán trang 38) ta có: S4 có nhóm có A4 nhóm chuẩn tắc không abel không xiclic 35 Ta có bảng toán sau: e f1 f2 f3 f4 f5 f6 f7 f8 f9 f10 f11 f12 f13 f14 f15 f16 f17 f18 f19 f20 f21 f22 f23 e e f1 f2 f3 f4 f5 f6 f7 f8 f9 f10 f11 f12 f13 f14 f15 f16 f17 f18 f19 f20 f21 f22 f23 f1 f1 e f3 f2 f5 f4 f7 f6 f9 f8 f11 f10 f13 f12 f15 f14 f17 f16 f19 f18 f21 f20 f23 f22 f2 f2 f4 e f5 f1 f3 f8 f11 f6 f10 f9 f7 f14 f16 f12 f17 f13 f15 f20 f22 f18 f23 f19 f21 f3 f3 f5 f1 f4 e f2 f9 f10 f7 f11 f8 f6 f15 f17 f13 f16 f12 f14 f21 f23 f19 f22 f18 f20 f4 f4 f2 f5 e f3 f1 f11 f8 f10 f6 f7 f9 f16 f14 f17 f12 f15 f13 f22 f20 f23 f18 f21 f19 f5 f5 f3 f4 f1 f2 e f10 f9 f11 f7 f6 f8 f17 f15 f16 f13 f14 f12 f23 f21 f22 f19 f20 f18 f6 f6 f7 f12 f13 f18 f19 e f1 f14 f15 f21 f20 f2 f3 f8 f9 f22 f23 f4 f5 f11 f10 f16 f7 f7 f6 f13 f12 f19 f18 f1 e f15 f14 f20 f21 f3 f2 f9 f8 f23 f22 f5 f4 f10 f11 f17 f16 f8 f8 f11 f14 f16 f20 f22 f2 f4 f12 f17 f23 f18 e f5 f6 f10 f19 f21 f1 f3 f7 f9 f13 f15 f9 f9 f10 f15 f17 f21 f23 f3 f5 f13 f16 f22 f19 f1 f4 f7 f11 f18 f20 e f2 f6 f8 f12 f17 f10 f10 f9 f17 f15 f23 f21 f5 f3 f16 f13 f19 f22 f4 f1 f11 f7 f20 f18 f2 e f8 f6 f14 f12 f11 f11 f8 f16 f14 f22 f20 f4 f2 f17 f12 f18 f23 f5 e f10 f6 f21 f19 f3 f1 f9 f7 f15 f13 f11 f12 f12 f18 f6 f19 f7 f13 f14 f20 e f21 f15 f1 f8 f22 f2 f23 f3 f9 f11 f16 f4 f17 f5 f10 f13 f13 f19 f7 f18 f6 f12 f15 f21 f1 f20 f14 e f9 f23 f3 f22 f2 f8 f10 f17 f5 f16 f4 f11 f14 f14 f20 f8 f22 f11 f16 f12 f18 f2 f23 f17 f4 f6 f19 e f21 f5 f10 f7 f13 f1 f15 f3 f9 f15 f15 f21 f9 f23 f10 f17 f13 f19 f3 f22 f16 f5 f7 f18 f1 f20 f4 f11 f6 f12 e f14 f2 f8 f16 f16 f22 f11 f20 f8 f14 f17 f23 f4 f18 f12 f2 f10 f21 f5 f19 e f6 f9 f15 f3 f13 f1 f7 f17 f17 f23 f10 f21 f9 f15 f16 f22 f5 f19 f13 f3 f11 f20 f4 f18 f1 f7 f8 f14 f2 f12 e f6 f18 f18 f12 f19 f6 f13 f7 f20 f14 f21 e f1 f15 f12 f8 f23 f2 f9 f3 f16 f11 f17 f4 f10 f5 f19 f19 f13 f18 f7 f12 f6 f21 f15 f20 f1 e f14 f23 f9 f22 f3 f8 f2 f17 f10 f16 f5 f11 f4 f20 f20 f14 f22 f8 f16 f11 f18 f12 f23 f2 f4 f17 f19 f6 f21 e f10 f5 f13 f7 f15 f1 f9 f3 f21 f21 f15 f23 f9 f17 f10 f19 f13 f22 f3 f5 f16 f18 f7 f20 f1 f11 f4 f12 f6 f14 e f8 f2 f22 f22 f16 f20 f11 f14 f8 f23 f17 f18 f4 f2 f12 f21 f10 f19 f5 f6 e f15 f9 f13 f3 f7 f1 f23 f23 f17 f21 f10 f15 f9 f22 f16 f19 f5 f3 f13 f20 f11 f18 f4 f7 f1 f14 f8 f12 f2 f6 e 36 Tài liệu tham khảo Hoàng Xuân Sính: Đại số đại cơng Nxb GD - 2000 Bùi Huy Hiển: Bài tập Đại số đại cơng Nxb GD- 1996 Hoàng Kỳ - Trần Văn Hạo: Bài tập Đại số NxbĐH & THCN - 1980 Garrett Birkhoff Saundess Maclale: Tổng quan Đại số đại - Tập 2(Bản tiếng Việt) - Nxb ĐH THCN Hà Nội 1979 SZE- Tsenhu: Đại số đại (Bản tiếng Việt) Nxb ĐH THCN Hà Nội 1979 Nguyễn Hữu Việt Hng: Đại số đại cơng Nxb GD 1999 Lê Quốc Hán: Lý thuyết nhóm Sách Trờng Đại học Vinh - 1997 Nguyễn Văn Hiệu: Những giáo trình chuyên đề Vật lý - Tập Phần thứ nhất: Nhóm biểu diễn nhóm TTKHTN & CNQG Viện khoa học Vật liệu Viện Vật lý - 1997 Nguyễn Mộng Hy: Phép biến hình mặt phẳng Nxb GD 2001 10 Trơng Đức Hinh- Đào Tam Giáo trình sở hình học hình học sơ cấp Nxb GD 1995 [...]... Gọi G, H, Q lần lợt là tập hợp tất cả các phép dời hình, các phép tịnh tiến, các phép quay tâm O G, H, Q là các nhóm con của nhóm các phép dời hình G trong mặt phẳng t1t2H t1t-12 H (Vì nghịch đảo của phép tịnh tiến là phép tịnh tiến và tích của 2 phép tịnh tiến là phép tịnh tiến ) HG Do một phép dời hình có thể phân tích thành tích của một phép tịnh tiến và một phép quay quanh O, nên ta có: tH và... các phép dời Khi đó, sự thực hiện liên tiếp hai phép dời và g đợc gọi là tích ( hay hợp thành của hai phép dời) Kí hiệu là: g 0 Rõ ràng tích của hai phép dời g, là phép dời g 0 :A C Từ định nghiã suy ra: i) Tích của phép dời thực hiện đợc khi và chỉ khi ảnh của phép dời là tập con của tạo ảnh của phép dời g ' ii) Tích hai phép dời không có tính giao hoán Ví dụ: xét hai phép dời hình là phép đối... nghĩa: Phép dời hình trong mặt phẳng(trong không gian) là phép biến đổi của mặt phẳng ( hay không gian ) bảo toàn khoảng cách giữa các điểm Ví dụ: + Phép đối xứng trục + Phép quay Về sau F ta có thể hiểu là tập các điểm của đờng thẳng, mặt phẳng hoặc không gian Và phép dời ta có thể hiểu là phép dời của đờng thẳng, mặt phẳng hay không gian 1.3 Phép dời và tích các phép dời Cho : A B; g: B C là các phép. .. là một điểm Có nghĩa là tập tất cả các phép đối xứng trục S trong mặt phẳng.cũnglà tập sinh của nhóm tất cả các phép đối xứng tâm của mặt phẳng Vậy tất cả các phép đối xứng trục S trong mặt phẳng là tập sinh của nhóm tất cả các phép dời G của mặt phẳng 3.6 Mệnh đề: Tập tất cả các phép tịnh tiến song song của mặt phẳng là nhóm con ớc chuẩn của nhóm tất cả các phép dời trong mặt phẳng Chứng minh: Gọi... của nó 3.4 Mệnh đề: Tập các phép đối xứng trục, tập các phép đối xứng tâm là các nhóm con cấp 2 của nhóm phép dời Thật vậy: Gọi là phép đối xứng trục hoặc là phép đối xứng tâm, ta có : 28 : M M d M M' Và : MM M o (M) = M M M M' O hay 2 = e M Nói cách khác, nhóm đối xứng trục và nhóm đối xứng tâm là các nhóm hữu hạn sinh, (nhóm xyclic cấp 2) 3.5 Mệnh đề: Tập tất cả các phép đối xứng trục S trong... tập một số kiến thức cơ bản về nhóm cần thiết để vận dụng nghiên cứu nhóm các phép dời Khoá luận đã chứng minh đợc một số mệnh đề về nhóm mà trong sách giáo khoa Trần Xuân Sính cha đề cập Đó là, các mệnh đề: 1.5; 1.6; 1.7; 1.12; 3.2; 3.7; 3.8; 3 13; 4.5; ở chơng 1, lập bảng toán của nhóm các phép thế bậc 4: S4 2 ở chơng 2, tác giả đã nghiên cứu về cấu trúc nhóm các phép dời trên một đờng thẳng; trong... chéo trong các góc phần t thứ I, III 31 f7 đối xứng trục đờng chéo trong các góc phần t thứ II, IV Tơng tự, các hình đa giác đều và các khối thể đều đều có một nhóm đối xứng đáng chú ý 4.3 Nhóm các phép đối xứng của hình lập phơng Nhóm này có 48 phần tử + 24 phép quay: 1 ánh xạ đồng nhất 8 phép quay quanh các đờng chéo với các góc 2 4 và 3 3 6 phép qua quanh các đờng nối điểm giữa các cạnh đối... đồng cấu nhóm ta có: B/A B AB/A B AB = A B A AB = AB A B 22 Chơng II Nhóm các phép dời Đ 1 Các khái niệm về phép dời 1.1 Định nghĩa: Giả sử F là tập tất cả các điểm trên đờng thẳng Khi đó, mọi phép biến đổi của F , nghĩa là ánh xạ : F F bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm bất kì đợc gọi là phép dời trên đờng thẳng Rõ ràng là một song ánh Tơng tự, ta có thể mở rộng định nghĩa trên cho phép dời trong... : Đ và phép quay góc , tâm O: Q0 Giả sử N là một điểm của mp(P) 1 2 '' 23 Gọi N = Đ (N) và Q0(N) = N Theo định nghĩa tích của các phép dời hình ta có: (Q0 Đ) (N) = N Gọi N1 = Q0(N) và N2 = Đ (N1) Theo định nghĩa tích của các phép dời hình ta có: (Đ Q0) (N) = N2 Nhận thấy N1 N2 (Q0 Đ) (N) (Đ Q0) (N) 1.4 Một số tính chất: i) , g là các phép dời thì : g 0 phép dời ii) Tích các phép dời có... B A, C C 2 Phép dời trên một đờng thẳng 2.1 Ví dụ: i) Phép đối xứng qua một điểm ii) Phép tịnh tiến 25 iii) Phép đồng nhất 2.2 Mệnh đề: Nhóm tất cả các phép dời trên đờng thẳng là nhóm con đẳng cấu với nhóm cộng các số thực Chứng minh: Gọi là một đờng thẳng Chọn O làm tâm đối xứng của Khi đó, mỗi điểm trên tơng ứng với một số thực r R Lập ánh xạ : R D := {Tập tất cả các phép đối xứng ... niệm nhóm Đ1 Nhóm nhóm Đ2 Đồng cấu nhóm 11 Đ3 Nhóm sinh tập hợp nhóm chuẩn tắc 15 Đ4 .Nhóm hữu hạn 21 Chơng II : Nhóm phép dời 24 Đ1 Các khái niệm phép dời 24 Đ2 Phép dời đờng thẳng 27 Đ3 Phép dời. .. 3) G nhóm G có nhóm {e} G gọi nhóm tầm thờng G Nếu G = {e} G có nhóm 8 1.9 Nhận xét: (G, ) nhóm (G, ) có nhóm con, nhóm {e} G Nhóm có nhóm ngời ta gọi nhóm đơn Ví dụ: Nhóm E2 = {0, 1}với phép. .. Phép dời tích phép dời Cho : A B; g: B C phép dời Khi đó, thực liên tiếp hai phép dời g đợc gọi tích ( hay hợp thành hai phép dời) Kí hiệu là: g Rõ ràng tích hai phép dời g, phép dời g :A C