Nhóm các phép dờ
3.3. Phép tịnh tiến: a) Định nghĩa:
a) Định nghĩa:
Cho véc tơ a. Phép biến đổi điểm trong mặt phẳng ( hay không gian ) biến điểm M thành điểm M’ sao cho MM' = ađợc gọi là phép tịnh tiến vectơ
a ký hiệu là Ta . Ví dụ : Cho ABCD là hình bình hành, ta có: Ta (AD) = BC , a = AB . b) Tính chất: + Phép tịnh tiến là một phép dời hình. + a≠ 0 , Ta(M) = M’⇒ Ta(M’) = M ⇒ Ta−1 = T a − ⇒ T a − . Ta = e + a ≠ 0, d nhận a làm véc tơ chỉ phơng. ⇒ T a − ( d )= d. + Ta . Ta'= Ta+a' .
+ Phép tịnh tiến Ta hoàn toàn xác định nếu ta biết đợc véc tơ tịnh tiến
a của nó.
3.4. Mệnh đề:
Tập các phép đối xứng trục, tập các phép đối xứng tâm là các nhóm con cấp 2 của nhóm phép dời.
Thật vậy: Gọi φ là phép đối xứng trục hoặc là phép đối xứng tâm, ta có :
A B
φ: M α M’ ’ Và φ : M’αM’’≡ M ⇒φo φ(M) = M hay φ2 = e. Nói cách khác, nhóm đối xứng trục và nhóm đối xứng tâm là các nhóm hữu hạn sinh, (nhóm xyclic cấp 2).
3.5. Mệnh đề: Tập tất cả các phép đối xứng trục S trong mặt phẳng là tập sinh
của nhóm tất cả các phép dời G của mặt phẳng.
Chứng minh:
• Với phép quay tâm O, góc quay α mà O = d1 ∩ d2 thì theo định nghĩa phép quay ta có QαO = Đd1 . Đd2 hoặc là QαO = Đd2 . Đd1⇒Tập tất cả các phép đối xứng trục S trong mặt phẳng là tập sinh của nhóm tất cả các phép quay của mặt phẳng.
QαO = < Đ∆ > (S =Đ∆) • Với phép tịnh tiến T theo v ta có nhận xét: Mọi phép tịnh tiến
v
T đều có thể phân tích đợc bằng tích nhiều cách khác nhau của hai phép đối xứng trục với hai trục song song.
Thật vậy:
Với phép tịnh tiến Tv với vectơ tịnh tiến v Chọn một đờng thẳng d1 nào đó: d1 ⊥ v và d2 Tv/2 : d1 → d2
Với Đd1 và Đd2 là các phép đối xứng trục với các trục d1 và d2 thì
v
T = Đd1 . Đd2.
⇒ Tập tất cả các phép đối xứng trục S trong mặt phẳng là tập sinh của nhóm tất cả các phép tịnh tiến của mặt phẳng: M ≡ M' M M ≡ M' M O d d1 d2 2 / v v
v
T = < S >.
Đối xứng tâm là trờng hợp đặc biệt của đối xứng trục. Khi đó, trục đối xứng chỉ còn là một điểm. Có nghĩa là tập tất cả các phép đối xứng trục S trong mặt phẳng.cũnglà tập sinh của nhóm tất cả các phép đối xứng tâm của mặt phẳng.
Vậy tất cả các phép đối xứng trục S trong mặt phẳng là tập sinh của nhóm tất cả các phép dời G của mặt phẳng.
3.6. Mệnh đề:
Tập tất cả các phép tịnh tiến song song của mặt phẳng là nhóm con ớc chuẩn của nhóm tất cả các phép dời trong mặt phẳng.
Chứng minh:
Gọi G, H, Q lần lợt là tập hợp tất cả các phép dời hình, các phép tịnh tiến, các phép quay tâm O.
⇒ G, H, Q là các nhóm con của nhóm các phép dời hình G trong mặt phẳng •∀t1t2∈H ⇒ t1t-1
2∈ H.
(Vì nghịch đảo của phép tịnh tiến là phép tịnh tiến và tích của 2 phép tịnh tiến là phép tịnh tiến ).
⇒ H ⊂ G .
Do một phép dời hình có thể phân tích thành tích của một phép tịnh tiến và một phép quay quanh O, nên ta có:
∀t∈H và ∀q∈Q, ∃ t’∈H: tq = qt’⇒ Hq = qH ( vì t và t’ là các phần tử tuỳ ý của H). Và hiển nhiên Ht = tH = H. Do đó, ∀g∈G luôn có Hg = gH
⇒ H ∆ G
⇓ 4. Phép dời trong không gian và nhóm phép dời của một hình.
4.1. Mệnh đề: Cho Φ là một hình trong không gian, G là tập tất cả các phép
dời trong không gian, sao cho mọi điểm của Φ là bất động. Khi đó G là một nhóm.
Chứng minh:
Nhận xét:
• Đối với phép đối xứng trục Đ∆, mọi điểm nằm trên trục đối xứng ∆ đều là điểm bất động, các điểm còn lại của không gian đều không phải là điểm bất động.
• Đối với phép đối xứng tâm Đ0 chỉ có tâm đối xứng O là điểm bất động duy nhất.
• Đối với phép tịnh tiến Tvmà v≠ 0 ta không có điểm bất động nào. Nếu v= 0 , mọi điểm của không gian đều bất động đối với phép tịnh tiến Tv
và khi đó ta có
v
T là phép đồng nhất.
Đối với phép quay QαO , tâm quay O và góc quay α với α ≠ k2π thì có điểm bất động O. Nếu α = k2π, mọi điểm của không gian đều bất động đối với phép quay QαO và khi đó ta có Qα0 là phép đồng nhất ( k ∈ ℤ ).
Do đó, ta nhận thấy G là tập con của tập các phép dời hình của Φ trong không gian.
∀ ƒ , g ∈ G ⇒ g-1∈ G ⇒ƒ g-1∈ G. Vậy G là một nhóm