Nhóm các phép dờ
4.2. Nhóm các đối xứng của hình vuông
Hình vuông đợc biến thành chính nó qua 8 phép biến đổi sau: • e là ánh xạ đồng nhất.
• f1 phép quay 900 theo chiều kim đồng hồ. • f2 phép quay 1800.
• f3 phép quay 270 0.
• f4 đối xứng trục nằm ngang qua O. • f5 đối xứng trục thẳng đứng đi qua O.
• f6 đối xứng trục đờng chéo trong các góc phần t thứ I, III. O
• f7 đối xứng trục đờng chéo trong các góc phần t thứ II, IV.
Tơng tự, các hình đa giác đều và các khối thể đều đều có một nhóm đối xứng đáng chú ý.
4.3. Nhóm các phép đối xứng của hình lập ph ơng
Nhóm này có 48 phần tử. + 24 phép quay: • 1 ánh xạ đồng nhất. • 8 phép quay quanh các đờng chéo với các góc 3 2π và 3 4π
• 6 phép qua quanh các đờng nối điểm giữa các cạnh đối nhau và góc quay
2
π .
• 9 phép quay quanh các đờng nối tâm các mặt đối nhau với các góc 4 3 , 2 , 4 π π π .
• 24 phép biến đổi là tổ hợp của mỗi phép quay đó với phép nghịch đảo i đối với tâm nghịch đảo là tâm của hình lập phơng.
Nhận xét:
Nhận thấy 24 phép quay đầu làm các đỉnh của một hình lập phơng đổi chỗ cho nhau, nhng không làm thay đổi vị trí của hình lập phơng đó. Nó tạo thành một nhóm con của các phép đối xứng của hình lập phơng. Và vì nó có 24 phần tử nên nó đẳng cấu với nhóm S4.
Rõ ràng, bài toán về nhóm các phép dời giữ nguyên tại chỗ một đa giác đều trong mặt phẳng, một đa diện đều trong không gian, là một bài toán thú vị về cấu trúc nhóm trong hình học. Tuy nhiên, nó rất phức tạp khi số đỉnh và số mặt tăng lên. Chúng tôi sẽ cố gắng tìm hiểu thêm về bài toán đó vào những dịp khác.
Kết luận
Qua quá trình nghiên cứu đề tài "Về nhóm các phép dời" đã thu đợc một số kết quả cụ thể sau: