Sử dụng phép đối xứng qua siêu phẳng để tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trong hình học (KL06172)

Phép tịnh tiến và phép quay quanh một điểm trong mặt phẳng .... Tính chất của phép tịnh tiến và phép quay quanh một điểm trong mặt phẳng .... PHÉP ỐI XỨNG QUA SIÊU PHẲNG VỚI BÀI TOÁN VỀ

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

KHOA TOÁN -

VŨ THỊ MỪNG

SỬ DỤNG PHÉP ĐỐI XỨNG QUA SIÊU PHẲNG ĐỂ TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ GIÁ

TRỊ NHỎ NHẤT TRONG HÌNH HỌC

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

Chuyên ngành: Hình học

Người hướng dẫn khoa học TH.S NGUYỄN VĂN VẠN

LỜI CẢM ƠN

Sau một thời gian nghiên cứu với sự cố gắng của bản thân, đặc

biệt là sự hướng dẫn chỉ bảo tận tình của ThS Nguyễn Văn Vạn đã giúp

đỡ em trong suốt quá trình nghiên cứu và hoàn thành khóa luận

Qua đây em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới các thầy cô giáo

trong khoa Toán nói chung, các thầy cô giáo trong tổ Hình Học nói

riêng, đặc biệt là ThS Nguyễn Văn Vạn đã tạo điều kiện để em hoàn

thành khóa luận tốt nghiệp của mình

Do điều kiện thời gian & khả năng của bản thân còn nhiều hạn chế

nên luận văn không thể tránh khỏi những thiếu sót Kính mong các thầy,

cô cùng các bạn nhận xét và góp ý kiến để em rút kinh nghiệm & có

hướng hoàn thiện, phát triển khóa luận sau này

Em xin chân thành cảm ơn!

Hà Nội, tháng 5 năm 2014

Sinh viên

Vũ Thị Mừng

LỜI CAM ĐOAN

Em xin cam đoan toàn bộ kết quả trong khóa luận này là do em

tìm tòi, nghiên cứu dưới sự hướng dẫn của thầy cô trong tổ Hình Học,

đặc biệt ThS Nguyễn Văn Vạn và không có sự trùng lặp với bất kỳ kết

quả nào khác

Hà Nội, tháng 5 năm 2014

Sinh viên

Vũ Thị Mừng

MỤC LỤC

M 1

NỘI DUNG 3

Chương 1: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 3

1.1 Các định nghĩa 3

1.1.1 Định nghĩa phép biến hình 3

1.1.2 Phép biến hình đẳng cự 3

1.1.3 Phép dời hình trong 2 4

1.1.4 Phép dời hình trong 3 4

1.1.5 Phép đối xứng trục trong 2 4

1.1.6 Phép đối xứng trục trong 3 4

1.1.7 Phép tịnh tiến và phép quay quanh một điểm trong mặt phẳng 5

1.2 Các tính chất 5

1.2.1 Tính chất của phép đối xứng trục trong 2 5

1.2.2 Tính chất của phép đối xứng trục trong 3 5

1.2.3 Tính chất về phép biến hình đẳng cự 5

1.2.4 Tính chất của phép tịnh tiến và phép quay quanh một điểm trong mặt phẳng 6

1.3 Dạng chính tắc của một phép dời hình 6

1.3.1 Trong 2 6

1.3.2 Trong 3 6

CHƯƠNG 2 PHÉP ỐI XỨNG QUA SIÊU PHẲNG VỚI BÀI TOÁN VỀ GTLN VÀ GTNN TRONG HÌNH HỌC 9

2.1 Các yếu tố cần biết liên quan về GTLN và GTNN 9

2.1.1 Giá trị lớn nhất – nhỏ nhất trong hình học 9

2.1.2 Bất đẳng thức tam giác 9

2.1.3 Đường vuông góc và đường xiên 10

2.1.4 Trong đường tròn 11

2.1.5 Các bất đẳng thức Cauchy, Bunhiacopxki 11

2.2 Lớp các bài toán trong phẳng về GTLN và GTNN 11

2.3 Lớp các bài toán trong không gian về GTLN và GTNN 17

KẾT LUẬN 29

TÀI LIỆU THAM KHẢO 30

MỞ ĐẦU

1 L do chọn ề tài

H nh học đư c coi à một môn học c t nh chất hệ thống chặt ch ,

c t nh ogic và t nh trừu tư ng h a cao Do đ , đối với nhiều học sinh

th h nh học đư c coi à môn học kh nhất trong tất cả các môn khác của toán học nhà trường phổ thông, đặc biệt à việc học h nh học không gian c ng như việc học các ph p biến h nh

Trong chương tr nh h nh học bậc trung học ta đã đư c biết đến các

ph p biến h nh Với bậc trung học cơ s một số ph p biến h nh đư c đưa vào như một công c để giải một số các bài toán h nh học một cách h p

và nhanh gọn Với bậc trung học phổ thông, các em đã đư c học các ph p biến h nh trong mặt phẳng ớp 11 và các ph p biến h nh trong không gian

ớp 12

ứng trước một bài toán h nh học ta c thể đưa ra nhiều phương pháp giải khác nhau trong đ ta c thể s d ng một công c đ à ph p biến h nh Trong nhiều trường h p ph p biến h nh tỏ ra à một công c khá hữu hiệu để giải toán Vấn đề à Việc ựa chọn một ph p biến h nh nào để c một ời giải ch nh xác và ngắn gọn vẫn à những câu hỏi mà không t học sinh đặt ra

Với tất cả những do trên đ ng thời với sự g i của thầy giáo

Nguyễn Văn Vạn em đã quyết định chọn đề tài “ S d ng ph p ối

ng qua siêu phẳng ể tìm Gi Trị Lớn Nhất và Gi Trị Nhỏ Nhất trong hình học

M c ch nghiên c u

Nghiên cứu vấn đề này nh m:

+ Củng cố các kiến thức về ph p đối xứng tr c trong mặt phẳng và trong không gian nh m hiểu r hơn và c thể áp d ng tốt hơn ph p này vào giải toán

+ p d ng ph p đối xứng tr c để t m GTLN và GTNN trong h nh học

Đối tư ng và phạm vi nghiên c u

+ ối tư ng nghiên cứu: Ph p đối xứng qua siêu phẳng trong mặt phẳng và trong không gian

+ Phạm vi nghiên cứu: Ph p đối xứng qua siêu phẳng trong h nh học với bài toán cực trị

Phân t ch các tài iệu iên quan

6 Cấu trúc khóa luận.

Ngoài phần M đầu, Kết luận, Tài liệu tham khảo, Nội dung khóa luận

g m 2 chương:

Chương 1 Kiến thức chuẩn bị

Chương 2 Ph p đối xứng qua siêu phẳng với bài toán về GTLN và

GTNN trong hình học

Giả s đã cho tập h p bất kỳ T Một song ánh từ T vào chính nó

đƣ c gọi là 1 phép biến hình của tập T

Định nghĩa

Giả s f và g là hai phép biến hình của tập T đã cho, dễ thấy ánh xạ tích của f và g c ng à một song ánh của T vào T nên t ch đ c ng à phép biến hình của T Ta gọi phép biến h nh đ à t ch của f và g

Định nghĩa

Phép biến hình f của tập T đƣ c gọi là phép biến h nh đối h p nếu

f2 = Id, dễ thấy úc đ ta c f và ph p biến hình nghịch đảo của f là f-1trùng nhau

Định nghĩa

Cho phép biến hình f của tập T iểm M của tập T đƣ c gọi à điểm bất động của phép biến hình f nếu f(M) = M

Định nghĩa

Cho phép biến hình f của tập T Hình H bộ phận của T đƣ c gọi là

h nh k p đối với phép biến hình f nếu ta có f(H) = H

1.1.2 Phép biến hình đẳng cự

Định nghĩa

Phép biến hình trong không gian n (n =2, 3) bảo t n khoảng cách

giữa 2 điểm gọi à ph p đẳng cự

1.1.3 Phép dời hình trong 2

Một phép biến hình f: PPđƣ c gọi là phép dời hình nếu trong mặt phẳng Pvới hai điểm M, N bất kì và hai ảnh của chúng lần ƣ t là M’ = f(M), N’ = f(N) ta uôn c M’N’ = MN

+ Nếu M d gọi (P) là mặt phẳng qua M và vuông góc với d, cắt d

tại I thì f(M) = M’ đƣ c xác định sao cho IMIM' đƣ c gọi à ph p đối xứng trong không gian, d gọi là tr c đối xứng

Ký hiệu: d

Tập h p ảnh của một điểm thuộc hình H qua phép biến đổi d lập thành 1 h nh H’ đƣ c gọi à h nh đối xứng với hình H qua d, hoặc là ảnh của hình H qua phép biến đổi đ

Nếu H trùng với H’ th ta n i h nh H c tr c đối xứng

1.1.7 Phép tịnh tiến và phép quay quanh một điểm trong mặt phẳng

- Phép tịnh tiến:

Trong không gian n (n =2, 3) cho véctơ a Phép biến hình của

không gian cho ứng điểm M với điểm M’ sao cho ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = a gọi là phép tịnh tiến theo véctơ a Kí hiệu T a

- Phép quay quanh một điểm trong mặt phẳng:

Trong 2 cho một điểm O và một g c định hướngφ Phép biến hình của 2 cho mỗi M với điểm M’ sao cho:

1.2.4 Tính chất của phép tịnh tiến và phép quay quanh một điểm trong mặt phẳng

- Phép tịnh tiến:

+ Phép tịnh tiến là phép dời hình

+ Phép tịnh tiến không c điểm bất động nếu v ctơ tịnh tiến khác 0

- Phép quay quanh một điểm trong mặt phẳng:

Gọi là phép quay trong mặt phẳng quanh tâm O, góc quay φ Kí hiệu Q(O, φ)

Tính chất:

Phép quay Q(O, φ) là phép dời hình

Phép quay Q(O, φ) à ph p đối h p khi và chỉ khi φk180 Phép quay Q(O, φ) uôn c điểm bất động chính là tâm O

tịnh tiến theo véctơ v có giá trị song song với đường thẳng d Tích này giao hoán đư c và đư c gọi là phép dời hình xoắn ốc

Ch ng minh

Ta đã biết, nếu f là một phép dời hình khác tịnh tiến trong 3 thì ta

có thể phân tích b ng vô số cách thành tích của một phép quay và một phép tịnh tiến hoặc ngư c lại là tích của một phép tịnh tiến và phép quay

Giả s f = T Q d a ( , )

+) Nếu v c tơ a có giá vuông góc với d thì

T Q d a ( , ) là một phép quay '( ', ')

Q d  ta có Q'QT 0

+) Nếu v c tơ a có giá không vuông góc với d thì ta có thể :

Phân tích:

a u v  trong đ u có giá vuông góc với đường thẳng d

v có giá song song với đường thẳng d

Khi đ ta c :

''

 v u  v

f T T Q T Q với T Q Q u  "

Do v c tơ v giá song song với d nên v c tơ v có giá song song với

tr c quay của Q do vậy f T Q v "Q T Như vậy trong cả 2 trường " v

h p f đều có thể phân tích thành tích giao hoán của một phép quay và một phép tịnh tiến

Ta chứng minh tính duy nhất như sau:

Giả s f có hai cách phân tích theo kiểu trên :

 

f T Q QT với T T , a Q Q d ( , )

' ' ' ' '

Q T T Q T Q (2)

Từ (1) và (2) ta có 'T Q QT '

Khi đ v c tơ a d nên d d' a

Giả s M 3 và f(M) = M’ th ta c thể biểu diễn:

đ MNd NM, 'd

Rõ ràng trong cách biểu diễn f T Q QT thì  aNM'

Tương tự ta có a'NM' Do vậy a a ' hay T=T’ suy ra Q=Q’

Tính duy nhất của biểu diễn đã đư c chứng minh

Vậy định hoàn toàn đư c chứng minh

CHƯƠNG PHÉP ĐỐI XỨNG QUA SIÊU PHẲNG VỚI BÀI

ng thời chỉ rõ các vị trí hình học của đại ư ng biến thiên đang

x t để tại đ f đạt giá trị nhỏ nhất f1 hay lớn nhất f2

Thông thường bài toán chỉ yêu cầu tìm 1 trong 2 giá trị này ể giải loại bài toán này ta thường thực hiện như sau:

a) Biểu diễn đại ương cần tìm GTLN, GTNN theo các đại ư ng biến thiên của đề tài

b) Nếu đại ư ng đ chỉ ph thuộc vào 1 đại ư ng biến thiên ta

có thể:

Áp d ng các bất đẳng thức iên quan đến đoạn thẳng

Áp d ng các bất đẳng thức iên quan đến hàm số ư ng giác

Dùng ẩn ph để đưa về dạng hàm số áp d ng phương pháp đạo hàm

để tìm GTLN, GTNN

c) Nếu đại ư ng đ ph thuộc vào nhiều đại ư ng thay đổi, ta có thể áp d ng các bất đẳng thức, bất đẳng thức quan trọng như: Cauchy, Bunhiacopxki,…

2.1.2 Bất đẳng thức tam giác

Với ba điểm A, B, C bất kì ta luôn có:

AB+AC BC

Dấu = xảy ra khi và chỉ khi điểm A thuộc đoạn BC

2.1.3 Đường vuông góc và đường xiên

- Trong các đoạn thẳng nối từ một điểm đến một đường thẳng, đoạn vuông góc với đường thẳng c độ dài ngắn nhất

- Trong hai đường xiên kẻ từ 1 điểm đến một đường thẳng, đường xiên nào có hình chiếu lớn hơn th ớn hơn và ngư c lại

VD:

Cho đường thẳng d và đường tròn (O; R) có khoảng cách từ tâm O

đến d là OH > R Lấy hai điểm bất kì A d và B (O,R) Hãy chỉ ra vị trí của A, B sao cho độ dài AB ngắn nhất

2.1.4 Trong đường tròn

- ường kính là dây cung lớn nhất của đường tròn

- Trong hai dây cung không b ng nhau, dây nào lớn hơn th c khoảng cách từ tâm đến dây đ nhỏ hơn và ngư c lại

2.2 Lớp các bài toán trong phẳng về GTLN và GTNN

Ví d 1 Cho đường thẳng d và hai điểm A, B T m trên d điểm M sao

tổng AM + MB có giá trị nhỏ nhất khi:

a) A, B khác ph a đối với d

b) A, B n m cùng ph a đối với d

Giải

a) Lấy điểm M bất kỳ thuộc đường thẳng d:

Khi đ MA MB AB  Mà AB không đổi nên MA+MBnhỏ nhất b ng

AB Khi đ M chính là giao của đoạn thẳng AB và đường thẳng d

b) Lấy A’ đối xứng với A qua d

Lấy M bất kì thuộc d Khi đ MA + MB = MA’+MB A'B.

Mà A’B không đổi nên MA + MB nhỏ nhất b ng A’B Khi đ M chính

là giao của A’B với d Từ đ ta suy ra M M'

Vậy Min(MA + MB) = AB

Ví d 2 Cho góc nhọn xOy và một điểm A thuộc miền trong của góc này Hãy tìm trên cạnh Ox một điểm B và trên cạnh Oy một điểm C sao cho ΔABCcó chu vi nhỏ nhất

Lấy điểm B’ bất kỳ thuộc Ox, C’ bất kỳ thuộc Oy

Ox(A) = A1; Oy(A)= A2; B=A A1 2Ox; C=A A1 2Oy

- Nếu xOy 90 thì A OA1 22xOy 180 nên A

1A2 không cắt Ox,

Oy hoặc chúng cắt tại O trong trường h p A1A2 đi qua O

Với B, C Ox, Oy ta đều có:

Theo bài toán trên ΔMNP có chu vi nhỏ nhất, nếu ph p đối xứng

tr c à giao điểm của M1M2 với AC và AB và úc đ :

MN + NP + MP = M1M2

1 2

ΔAM M là tam giác cân tại đỉnh A có

M AM 2BAC (không đổi)

B i vậy M1M2 nhỏ nhất nếu AM1, AM2 nhỏ nhất hay AM ngắn nhất Nói cách khác M phải à chân đường cao H hạ từ A xuống BC

Ví d 4 Cho ΔABC nội tiếp trong đường tròn tâm O, cạnh BC cố định Tìm vị trí của A trên cung BmC sao cho chu vi ΔABC đạt giá trị lớn nhất

A0

A

a) MAMB 2 MCnhỏ nhất

b) 2MA +3MB 4MC +MAnhỏ nhất

Giải

a) Ta s đƣa bài toán về dạng quen thuộc:

Gọi K à trung điểm của AB.Theo tính chất trung điểm, ta có:

2.3 Lớp các bài toán trong không gian về GTLN và GTNN

Ví d 6 Trong không gian, cho đường thẳng  và hai điểm A, B sao

cho đường thẳng AB và  chéo nhau, một điểm M di động trên  Xác

1)

*Phân tích

Giả s đã dựng đư c điểm M thỏa mãn yêu cầu bài toán

Gọi H & K lần ư t là hình chiếu vuông góc của A & B lên 

Dựng mặt phẳng (P) vuông góc với  tại K Trong (P) dựng đường tròn

(K) tâm K, bán kính KB Suy ra  là tr c đối xứng của (K)

Do đ , với mọi điểm M & điểm N (K) ta đều có MN = MB Gọi (Q) là mặt phẳng xác định b i A &  Mặt phẳng (Q) cắt đường tròn (K) theo đường kính CD

Trong (Q), giả s hai điểm A & C n m về cùng một ph a đối với  Khi

đ , với mọi điểm M, ta luôn có

MB = MC = MD và MA + MB = MA + MD  AD

Dấu = xảy ra  M Ivới I à giao điểm của &AD

* Cách dựng

- Dựng H & K lần ư t là hình chiếu vuông góc của A & B lên .

- Dựng mặt phẳng (P) vuông góc với  tại K

- Trong mặt phẳng (P), dựng đường tròn (K) tâm K, bán kính KB Gọi (Q) là mặt phẳng xác định b i A & Mặt phẳng (Q) cắt đường tròn (K) theo đường kính CD

*Cách dựng

- Dựng các điểm H, K; mặt phẳng (P), (Q); đường tròn (K) và đường kính CD của n như phần 1

- Nếu AH = BK tức AC  thì bài toán vô nghiệm hình

- Nếu AH & BK không b ng nhau thì bài toán có 1 nghiệm hình

Ví d 7 Cho hai n a đường thẳng OA, OB về cùng một ph a đối với

mặt phẳng (P) và O thuộc mặt phẳng (P) Hãy t m trong (P) đường thẳng tạo với OA, OB các góc có tổng số đo nhỏ nhất

Giải

*Phân tích

Giả s đã dựng đư c đường thẳng d thỏa mãn đầu bài, không giảm tổng quát ta có thể giả s O d.

(Vì nếu O d thỏa mãn yêu cầu của bài toán th đường thẳng d’//d,

O d' c ng thỏa mãn bài toán)

Bài toán luôn có duy nhất 1 nghiệm hình

Ví d 8 Cho mặt phẳng (P) và hai điểm A, B không n m trên mặt phẳng

(P) iểm M thay đổi trên mặt phẳng (P) Xác định vị trí của M để MA +

Vậy : Khi M trùng với I thì MA+MB đạt giá trị nhỏ nhất & b ng AB

* Trường h p 2:

Hai điểm A, B n m cùng ph a đối với mặt phẳng (P)

Gọi A’ à điểm đối xứng của A qua mặt phẳng (P)

Ta có: MA = MA’

Gọi J à giao điểm của BA’ với mặt phẳng (P)  M (P)ta có:

MA+MB MA'+MB BA'  

ẳng thức xảy ra khi và chỉ khi:

Ví d 9 Cho mặt phẳng (P) và 2 điểm phân biệt A, B không n m trên

mặt phẳng (P) iểm M thay đổi trên mặt phẳng (P) Xác định vị trí của

ẳng thức xảy ra khi và chỉ khi ba điểm M, A, B thẳng hàng và M

n m ngoài đoạn thẳng AB, nhƣng M n m trên mặt phẳng (P) nên khi đ

M à giao điểm của đoạn thẳng AB và mặt phẳng (P) tức M I

Vậy: Khi M trùng với I thì MA MB đạt GTLN và b ng AB

Bài toán không có nghiệm hình

* Trường h p 2: Hai điểm A, B n m khác ph a đối với mặt phẳng (P) Gọi A’= (P) (A) thì MA = MA’ Gọi J à giao điểm của A’B với (P) (nếu có) Ta có

MA MB  MA' MB A'B ,  M (P)

Theo trường h p 1 suy ra khi M trùng với J thì MA MB đạt GTLN và

b ng A’B

Nếu d(A, (P)) = d(B, (P)) thì A'B P 

Bài toán không có nghiệm hình