Sử dụng phép đối xứng qua siêu phẳng để tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trong hình học

TRƯỜNG ĐẠI HỌC sư PHẠM HÀ NỘI 2 KHOA TOÁN VŨ THỊ MỪNG SỬ DỤNG PHÉP ĐỐI XỨNG QUA SIÊU PHẲNG ĐẺ TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT TRONG HÌNH HỌC KHÓA LUẬN TÓT NGHIỆP ĐẠI HỌC • • • • Chuyên ngành: Hình học Ngưòri hướng dẫn khoa học TH.S NGUYỄN VĂN VẠN ■ HÀ NỘI - 2014 Sau một thời gian nghiên cứu với sự cố gắng của bản thân, đặc biệt là sự hướng dẫn chỉ bảo tận tình của T h S . N g u y ễ n V ă n V ạ n đã giúp đỡ em trong suốt quá trình nghiên cứu và hoàn thành khóa luận. Qua đây em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới các thày cô giáo trong khoa Toán nói chung, các thầy cô giáo trong tổ Hình Học nói riêng, đặc biệt là T h S . N g u y ễ n V ă n V ạ n đã tạo điều kiện để em hoàn thành khóa luận tốt nghiệp của mình. Do điều kiện thòi gian & khả năng của bản thân còn nhiều hạn chế nên luận văn không thể tránh khỏi những thiếu sót. Kính mong các thầy, cô cùng các bạn nhận xét và góp ý kiến để em rút kinh nghiệm & có hướng hoàn thiện, phát triển khóa luận sau này E m x i n c h â n t h à n h c ả m ơ n ỉ Hà Nội, tháng 5 năm 2014 Sinh viên Vũ Thị Mừng Em xin cam đoan toàn bộ kết quả trong khóa luận này là do em tìm tòi, nghiên cứu dưới sự hướng dẫn của thày cô trong tổ Hình Học, đặc biệt T h S . N g u y ễ n V ă n V ạ n và không có sự trùng lặp với bất kỳ kết quả nào khác. Hà Nội, thảng 5 năm 2014 Sinh viên LỜI CẢM ƠN Vũ Thị Mừng LỜI CAM ĐOAN MỤC LỤC MỞ ĐẦU 1. Lí do chon đề tài • Hình học được coi là một môn học có tính chất hệ thống chặt chẽ, có tính logic và tính trừu tượng hóa cao. Do đó, đối với nhiều học sinh thì hình học được coi là môn học khó nhất trong tất cả các môn khác của toán học ở nhà trường phổ thông, đặc biệt là việc học hình học không gian cũng như việc học các phép biến hình. Trong chương trình hình học ở bậc trung học ta đã được biết đến các phép biến hình. Với bậc trung học cơ sở một số phép biến hình được đưa vào như một công cụ để giải một số các bài toán hình học một cách hợp lý và nhanh gọn. Với bậc trung học phổ thông, các em đã được học các phép biến hình trong mặt phẳng ở lớp 11 và các phép biến hình trong không gian ở lớp 12. Đứng trước một bài toán hình học ta có thể đưa ra nhiều phương pháp giải khác nhau trong đó ta có thể sử dụng một “công cụ” đó là phép biến hình. Trong nhiều trường họp phép biến hình tỏ ra là một công cụ khá hữu hiệu để giải toán, vấn đề là “Việc lựa chọn một phép biến hình nào để có một lời giải chính xác và ngắn gọn ?” vẫn là những câu hỏi mà không ít học sinh đặt ra. Với tất cả những lý do trên đồng thời với sự gợi ý của thầy giáo Nguyễn Văn Vạn em đã quyết định chọn đề tài “ Sử dụng phép đối xứng qua siêu phẳng để tìm Giá Trị Lớn Nhất và Giá Trị Nhỏ Nhất trong hình học”. 2. Mục đích nghiên cứu Nghiên cứu vấn đề này nhằm: + Củng cố các kiến thức về phép đối xứng trục trong mặt phẳng và trong không gian nhằm hiểu rõ hơn và có thể áp dụng tốt hơn phép này vào giải toán. + Áp dụng phép đối xứng trục để tìm GTLN và GTNN ừong hình học. 5 3. Đối tượng và phạm vỉ nghiên cứu + Đối tượng nghiên cứu: Phép đối xứng qua siêu phẳng trong mặt phẳng và trong không gian. + Phạm vi nghiên cứu: Phép đối xứng qua siêu phẳng trong hình học với bài toán cực trị. 4. Nhiệm vụ nghiên cứu Nghiên cứu về cơ sở lí luận của phép đối xứng qua siêu phẳng trong hình học. Nghiên cứu sử dụng phép đối xứng để tìm GTLN và GTNN trong hình học. 5. Phương pháp nghiền cứu Phân tích các tài liệu liên quan. 6. Cấu trúc khóa luậ] Ngoài phần Mở đầu, Ket luận, Tài liệu tham khảo, Nội dung khóa luận gồm 2 chương: C h ư ơ n g 1 . Kiến thức chuẩn bị. C h ư ơ n g 2 . Phép đối xứng qua siêu phẳng với bài toán về GTLN và GTNN trong hình học. NỘI DUNG Chương 1: KIÉN THỨC CHUẨN BỊ 1.1. Các định nghĩa 1.1.1. Định nghĩa phép biến hình Định nghĩa 1 Giả sử đã cho tập hợp bất kỳ T. Một song ánh từ T vào chính nó được gọi là 1 phép biến hình của tập T. Định nghĩa 2 6 Giả sử f và g là hai phép biến hình của tập T đã cho, dễ thấy ánh xạ tích của f và g cũng là một song ánh của T vào T nên tích đó cũng là phép biến hình của T. Ta gọi phép biến hình đó là tích của f và g. Định nghĩa 3 Phép biến hình f của tập T được gọi là phép biến hình đối họp nếu f 2 = Id, dễ thấy lúc đó ta có f và phép biến hình nghịch đảo của f là f 1 trùng nhau. Định nghĩa 4 Cho phép biến hình f của tập T. Điểm M của tập T được gọi là điểm bất động của phép biến hình f nếu f(M) = M. Định nghĩa 5 Cho phép biến hình f của tập T. Hình H bộ phận của T được gọi là hình kép đối với phép biến hình f nếu ta có f(H) = H. 1.1.2. Phép biến hình đẳng cự Định nghĩa Phép biến hình trong không gian E n ( n = 2 , 3 ) bảo tồn khoảng cách giữa 2 điểm gọi là phép đẳng cự. 1.1.3. Phép dời hình trong E 2 Một phép biến hình f: P—»Pđược gọi là phép dời hình nếu ttong mặt phẳng p với hai điểm M, N bất kì và hai ảnh của chúng làn lượt là M’ = f(M), N’ = f(N) ta luôn có M’N’ = MN. 1.1.4. Phép dời hình trong IEjj Định nghĩa Phép đẳng cự trong E 3 được gọi là phép dời hình nếu 2 tứ diện xác định nó là cùng chiều. 1.1.5. Phép đối xứng trục frong E 2 Cho đường thẳng d, phép biến hình M—>M' sao cho MM' _Ld và MM'nd=0, ừong đó o là trung điểm của MM’ được gọi là phép đối xứng qua đường thẳng d. Ký hiệu: Đ d . 1.1.6. Phép đổi xứng trục trong E 3 7 Trong không gian cho đường thẳng d. Phép biến hình f được xác định như sau: với mọi điểm M + Nếu Med thì f(M) = M. + Neu M Ể d gọi (P) là mặt phẳng qua M và vuông góc vói d, cắt d tại I thì f(M) = M’ được xác định sao cho ^ được gọi là phép đối xứng trong không gian, d gọi là trục đối xứng. Ký hiệu : Đ d Tập hợp ảnh của một điểm thuộc hình H qua phép biến đổi Đ d lập thành 1 hình H’ được gọi là hình đối xứng với hình H qua d, hoặc là ảnh của hình H qua phép biến đổi đó. Nếu H trùng với H’ thì ta nói hình H có trục đối xứng. 1.1.7. Phép tịnh tiến và phép quay quanh một diểm trong mặtphẳng - Phép tịnh tiến: Trong không gian E n ( n = 2 , 3 ) cho véctơ Phép biến hình của không gian cho ứng điểm M với điểm M’ sao cho MM' = u gọi là phép tịnh tiến theo véctơ «. Kí hiệu T . a - Phép quay quanh một điểm trong mặt phang: Trong E 2 cho một điểm o và một góc định hướng cp. Phép biến hình của E 2 cho mỗi M với điểm M J sao cho: + OM = OM’ "I" VUTA Ị Vệ/ Gọi là phép quay trong mặt phang quanh tâm o, góc quay cp. Kí hiệu Q(0,cp) 1.2. Các tính chất 1.2.1. Tính chất của phép đối xứng trục trong E 2 + Đ d là phép phản chiếu. + Đ 2 d =I d . + Đ d có duy nhất một đường thẳng bất động chính là d. 1.2.2. Tính chất của phép đối xứng trục trong IE3 + Phép đối xứng trục là phép dời hình. 8 + Phép đối xứng trục là phép đối hợp, tức là f 2 = id. + Tập các điểm bất động của phép đối xứng Đ d qua đường thẳng d là đường thẳng d. 1.2.3. Tính chất về phép biến hình đẳng cự a. Phép biến hình đẳng cự biến 3 điểm A, B, c thẳng hàng với B nằm giữa A và c thảnh 3 điểm A’, B’, C’ thẳng hàng với B’ nằm giữa A’ và c\ b. Phép biến hình đẳng cự biến: + Đường thẳng thành đường thẳng. + Tia thành tia. + Đoạn thẳng thành đoạn thẳng. + Góc thành góc bằng nó. + Đường tròn thành đường tròn có bán kính bằng đường tròn đã cho. 1.2.4. Tính chất của phép tịnh tiến và phép quay quanh một điểm trong mặt phẳng - Phép tịnh tiến: + Phép tịnh tiến là phép dời hình. + Phép tịnh tiến không có điểm bất động nếu véctơ tịnh tiến khác c - Phép quay quanh một điểm trong mặt phẳng: Gọi là phép quay ttong mặt phang quanh tâm o, góc quay cp. Kí hiệu Q(0, cp) Tính chất: Phép quay Q(0, cp) là phép dòi hình Phép quay Q(0, cp ) là phép đối hợp khi và chỉ khi cp-^180 . Phép quay Q(0, cp) luôn có điểm bất động chính là tâm o. 1.3. Dạng chính tắc của một phép dời hình 1.3.1. Trong E 2 Phép dời hình trong ]E 2 không là phép đồng nhất thì có thể biểu diễn duy nhất dưới dạng một phép quay hoặc 1 phép tịnh tiến. 9 1.3.2. Trong IEj Định lý Phép dời hình trong E 3 không là phép tịnh tiến có thể biểu diễn duy nhất dưới dạng tích của một phép quay quanh một trục d và một phép tịnh tiến theo véctơ V có giá trị song song với đường thẳng d. Tích này giao hoán được và được gọi là phép dời hình xoắn ốc. Chứng minh Ta đã biết, nếu f là một phép dòi hình khác tịnh tiến trong IE 3 thì ta có thể phân tích bằng vô số cách thành tích của một phép quay và một phép tịnh tiến hoặc ngược lại là tích của một phép tịnh tiến và phép quay. Giả sử f = 7 , ọ ) +) Nếu véc tơ a có giá vuông góc vói d thì 7 , ạ > ) làmột phép quay Q\d',00 ta có Q' — Ql- ' +) Nếu véc tơ a có giá không vuông góc với d thì ta có thể : Phân tích: l/*' t/v I V ừong đó z có giá vuông góc với đường thẳng d. к có giá song song với đường thẳng d. Khi đó ta có : f=TTQ TQ vởiTQ Q" Do véc tơ V giá song song với d nên véc tơ V có giá song song với trục quay của Q” do vậy / = T- Q Q T- . Như vậy trong cả 2 trường họp f đều có thể phân tích thành tích giao hoán của một phép quay và một phép tịnh tiến. Ta chứng minh tính duy nhất như sau: Giả sử f có hai cách phân tích theo kiểu trên : f=T.Q = QT với T=T a , Q = Q(d,<p) và f - T ' . Q ' — Q ' T ' với Г =71 Q ' = Q X d \ q f ) theo đó ta có QT — Q'T' nên T.Q.T = T'.Q'.T' =^T.Q'=T.Q'.T.T~ l =T.Q'T'.T'~ l (1) 1 [...]... cú th biu din: MM -MN , NM ú MN ^d,NM'^d Rừ rng trong cỏch biu din / = T Q = Q T thỡ a N M Tng t ta cú a - N M Do yy a a hay T=T suy ra Q=Q Tớnh duy nht ca biu din ó c chng minh Vy nh lý hon ton c chng minh CHNG 2 PHẫP I XNG QUA SIấU PHNG VI BI TON V GTLN V GTNN TRONG HèNH HC 2.1 Cỏc yu t cn bit liờn quan v GTLN v GTNN 2.1.1 Giỏ tr ln nht - nh nht trong hỡnh hc + Tỡm giỏ t ln nht v nh nht ca 1 i... th hn, khúa lun ó a ra 1 h thng lớ thuyt v cỏc bi toỏn liờn quan n s dng phộp i xng qua siờu phng tỡm GTLN v GTNN trong hỡnh hc nhm giỳp ngi c thy c tớnh u vit khi gii bi toỏn v GTLN v GTNN nh s dng phộp bin hỡnh, c th l phộp i xng qua siờu phng Tuy nhiờn, phộp bin hỡnh l mt vn mi & khú i vi hc sinh Vic s dng phộp bin hỡnh tỡm GTLN & GTNN trong hỡnh hc li cng khú khn hn Do ú, vn ny cn c tip tc cú... ph thuc vo nhiu i lng thay i, ta cú th ỏp dng cỏc bt ng thc, bt ng thc quan trng nh: Cauchy, Bunhiacopxki, 2.1.2 Bt ng thc tam giỏc Vi ba im A, B, c bt kỡ ta luụn cú: AB+AC > BC Du = xy ra khi v ch khi im A thuc on BC 2.1.3 ng vuụng gúc v ng xiờn - Trong cỏc on thng ni t mt im n mt ng thng, on vuụng gúc vi ng thng cú di ngn nht - Trong hai ng xiờn k t 1 im n mt ng thng, ng xiờn no cú hỡnh chiu ln hn... dnKH  2.3 Lp cỏc bi toỏn trong khụng gian v GTLN v GTNN V ớ d 6 Trong khụng gian, cho ng thng A v hai im , sao cho ng thng AB v A chộo nhau, mt im M di ng trờn Xỏc nh v trớ ca M : 1 MA + MB t giỏ tr nh nht 2 |MA-MB| t giỏ tr ln nht Gii 1) *Phõn tớch Gi s ó dng c im M tha món yờu cu bi toỏn Gi H & ln lt l hỡnh chiu vuụng gúc ca & lờn Dng mt phang (P) vuụng gúc vúi A ti K Trong (P) dng ng trũn (K)... ' B n ( P ) / A Vớ d 11 Cho mt phang (P) v hai ng thng X, nm v mt phớa vi (P) Hóy tỡm M trong (P) sao cho tng khong cỏch t M n 2 ng thng ú t GTNN Gii Do X, nm v mt phớa vi mt phng (P) v cựng song song vi mt ng thng thuc (P) nờn X11 Gi x l nh ca X qua phộp i xng (P), khi úx'|| Gi z l giao tuyn ca mt phng i qua x\ vi mt phang (P) Vi mi Gi D E d, D Vỡ d c= (P) =>d = p(d) =^DOB = DOB' Ta cú... ca gúc tam din) Du = xy ra khi d rrp(AOB') dcz(P) ^>d = (P)n(AOB') Ta cú cỏch dng: Dng B = p(B) D = AB'n(P) ng thng d i qua o, D l ng thng cn dng * Chng minh: Vỡ OD = (AOB')n(P) nờn AOD+DOB=AOD+DOB' = AOB' Ta chng minh AOB' l gúc nh nht Tht vy: Vi d l ng thng bt kỡ (P); dVd, d i qua o =>BOd = B'Od' => AOd'+d'OB=AOd'+d'OB' > AOB' Vy gúc AOB'l gúc nh nht * Biờn luõn Bi toỏn luụn cú duy nht 1 nghim . TRƯỜNG ĐẠI HỌC sư PHẠM HÀ NỘI 2 KHOA TOÁN VŨ THỊ MỪNG SỬ DỤNG PHÉP ĐỐI XỨNG QUA SIÊU PHẲNG ĐẺ TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT TRONG HÌNH HỌC KHÓA LUẬN TÓT NGHIỆP ĐẠI HỌC • • • • Chuyên. áp dụng tốt hơn phép này vào giải toán. + Áp dụng phép đối xứng trục để tìm GTLN và GTNN ừong hình học. 5 3. Đối tượng và phạm vỉ nghiên cứu + Đối tượng nghiên cứu: Phép đối xứng qua siêu phẳng. biết liên quan về GTLN và GTNN 2.1.1. Giá trị lớn nhất - nhỏ nhất trong hình học + Tìm giá tậ lớn nhất và nhỏ nhất của 1 đại lượng hình học biến thiên f (độ dài đoạn thẳng, diện tích, đa giác, thể