CHƯƠNG 2. PHÉP ỐI XỨNG QUA SIÊU PHẲNG VỚI BÀI TOÁN VỀ GTLN VÀ GTNN TRONG HÌNH HỌC
2.3. Lớp các bài toán trong không gian về GTLN và GTNN
Ví d 6. Trong không gian, cho đường thẳng và hai điểm A, B sao cho đường thẳng AB và chéo nhau, một điểm M di động trên . Xác định vị trí của M để:
1. MA + MB đạt giá trị nhỏ nhất.
2. MA MB đạt giá trị lớn nhất.
Giải
M J
H
B
D C
A
I
P K
C M
B
A d
H K
1)
*Phân tích
Giả s đã dựng đƣ c điểm M thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Gọi H & K lần ƣ t là hình chiếu vuông góc của A & B lên .
Dựng mặt phẳng (P) vuông góc với tại K. Trong (P) dựng đường tròn (K) tâm K, bán kính KB. Suy ra là tr c đối xứng của (K).
Do đ , với mọi điểm M & điểm N (K) ta đều có MN = MB.
Gọi (Q) là mặt phẳng xác định b i A & . Mặt phẳng (Q) cắt đường tròn (K) theo đường kính CD.
Trong (Q), giả s hai điểm A & C n m về cùng một ph a đối với . Khi đ , với mọi điểm M, ta luôn có
MB = MC = MD và MA + MB = MA + MD AD.
Dấu = xảy ra M Ivới I à giao điểm của &AD.
* Cách dựng
- Dựng H & K lần ƣ t là hình chiếu vuông góc của A & B lên . - Dựng mặt phẳng (P) vuông góc với tại K.
- Trong mặt phẳng (P), dựng đường tròn (K) tâm K, bán kính KB.
Gọi (Q) là mặt phẳng xác định b i A &. Mặt phẳng (Q) cắt đường tròn (K) theo đường kính CD.
- Dựng M: M AD
M ch nh à điểm cần dựng.
*Ch ng minh
Theo cách dựng, hiển nhiên ta có Min(MA+MB)AD với D là điểm cố định đã dựng trên.
*Biện luận
Bài toán đã cho uôn c một nghiệm hình.
2)
*Phân tích
Giả s đã dựng đƣ c điểm M thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Theo phân tích phần 1 ta có, M :
MA MB MA MC AC
Dấu = xảy ra M trùng với điểm J, với J à giao điểm của &
đường thẳng AC.
*Cách dựng
- Dựng các điểm H, K; mặt phẳng (P), (Q); đường tròn (K) và đường kính CD của n như phần 1.
- Dựng M: M AC
M ch nh à điểm cần dựng.
*Ch ng minh
Theo cách dựng, hiển nhiên ta có Max( MA MB) ACvới C là điểm cố định đã dựng đƣ c trên.
*Biện luận
- Nếu AH = BK tức AC thì bài toán vô nghiệm hình.
- Nếu AH & BK không b ng nhau thì bài toán có 1 nghiệm hình.
Ví d 7. Cho hai n a đường thẳng OA, OB về cùng một ph a đối với mặt phẳng (P) và O thuộc mặt phẳng (P). Hãy t m trong (P) đường thẳng tạo với OA, OB các góc có tổng số đo nhỏ nhất.
Giải
*Phân tích
Giả s đã dựng đư c đường thẳng d thỏa mãn đầu bài, không giảm tổng quát ta có thể giả s O d.
(Vì nếu O d thỏa mãn yêu cầu của bài toán th đường thẳng d’//d, O d' c ng thỏa mãn bài toán)
X t ph p đối xứng qua mặt phẳng (P):
p: B B' Gọi D d, D O
Vì d(P)d = p(d) DOB DOB'
Ta có AOD + DOB AOD + DOB' AOB' (Theo tính chất của góc tam diện).
Dấu = xảy ra khi dmp(AOB').
B A
P
d
B’
’ O
D
d(P) d (P)(AOB') Ta có cách dựng:
Dựng B’ = p(B) D AB' (P)
ường thẳng d đi qua O, D à đường thẳng cần dựng.
*Ch ng minh:
Vì OD (AOB') (P) nên AOD+DOB AOD+DOB' AOB'. Ta chứng minh AOB' là góc nhỏ nhất.
Thật vậy:
Với d’ à đường thẳng bất kì (P); d'd, d’ đi qua O BOd B'Od'
AOd'+ d'OB AOd'+d'OB' AOB'
Vậy góc AOB'là góc nhỏ nhất.
* Biện luận
Bài toán luôn có duy nhất 1 nghiệm hình
Ví d 8. Cho mặt phẳng (P) và hai điểm A, B không n m trên mặt phẳng (P). iểm M thay đổi trên mặt phẳng (P). Xác định vị trí của M để MA + MB đạt giá trị nhỏ nhất.
Giải
Chia àm 2 trường h p:
*Trường h p 1: Hai điểm A, B n m khác ph a đối với mặt phẳng (P).
Gọi giao điểm của đoạn thẳng AB với mặt phẳng (P) là I.
Ta có: MA+MB AB , M (P)
ẳng thức xảy ra khi và chỉ khi M AB N (P)
M I
Vậy : Khi M trùng với I thì MA+MB đạt giá trị nhỏ nhất & b ng AB.
* Trường h p 2:
Hai điểm A, B n m cùng ph a đối với mặt phẳng (P).
Gọi A’ à điểm đối xứng của A qua mặt phẳng (P).
Ta có: MA = MA’.
Gọi J à giao điểm của BA’ với mặt phẳng (P). M (P)ta có:
MA+MB MA'+MB BA' . ẳng thức xảy ra khi và chỉ khi:
M BA' M (P)
M J
Vậy: Khi M trùng với điểm J thì MA + MB đạt GTNN và b ng BA’ với A’ à ảnh của A qua p.
M I
A
B P
Ví d 9. Cho mặt phẳng (P) và 2 điểm phân biệt A, B không n m trên mặt phẳng (P). iểm M thay đổi trên mặt phẳng (P). Xác định vị trí của M để MA MB đạt GTLN.
Giải
Chia àm 2 trường h p:
* Trường h p 1: Hai điểm A, B n m cùng ph a đối với mặt phẳng (P).
Giả s đường thẳng AB cắt mặt phẳng (P) tại I. Ta có:
MA MB AB , M (P)
ẳng thức xảy ra khi và chỉ khi ba điểm M, A, B thẳng hàng và M n m ngoài đoạn thẳng AB, nhƣng M n m trên mặt phẳng (P) nên khi đ M à giao điểm của đoạn thẳng AB và mặt phẳng (P) tức M I .
Vậy: Khi M trùng với I thì MA MB đạt GTLN và b ng AB.
Nếu d(A, (P)) = d(B, (P)) thì AB P .
A’
A
J M
B
P
Bài toán không có nghiệm hình.
* Trường h p 2: Hai điểm A, B n m khác ph a đối với mặt phẳng (P).
Gọi A’= (P) (A) thì MA = MA’. Gọi J à giao điểm của A’B với (P) (nếu có). Ta có
MA MB MA' MB A'B , M (P).
Theo trường h p 1 suy ra khi M trùng với J thì MA MB đạt GTLN và b ng A’B.
Nếu d(A, (P)) = d(B, (P)) thì A'B P .
Bài toán không có nghiệm hình.
A A’
B
J H
M P
A
B
M I
P
Ví d 10. Cho mặt phẳng (P), đường thẳng d (P), điểm A không n m trong (P) và trên d. Với vị trí nào của M thì MA + MB nhỏ nhất?
Giải
Chia àm 2 trường h p:
a) Trường h p 1: A và d khác phía với mặt phẳng (P).
Kẻ AHd. Khi đ B d ta luôn có AB AH .
ẳng thức xảy ra khi và chỉ khi B H . Khi đ MA MB AB , M (P)
ẳng thức xảy ra khi và chỉ khi M à giao điểm của AH với (P).
Vậy: MA + MB nhỏ nhất khi và chỉ khi B H
M AB (P)
b) Trường h p 2: A và d n m cùng phía với (P).
+ Gọi A’ à ảnh của A qua ph p đối xứng (P). Thế th MA=MA’.
+ Kẻ A'Hd. Khi đ B d ta luôn có A'B A'H . M
H B d
A P
ẳng thức xảy ra khi và chỉ khi B H . Khi đ M (P) ta có:
MA+MB MA'+MB A'B.
ẳng thức xảy ra khi và chỉ khi M à giao điểm của A’H với (P).
Vậy MA+MB nhỏ nhất khi và chỉ khi
' ( )
B H
M A B P
Ví d 11. Cho mặt phẳng (P) và hai đường thẳng x, y n m về một phía với (P). Hãy tìm M trong (P) sao cho tổng khoảng cách từ M đến 2 đường thẳng đ đạt GTNN.
Giải
Do x, y n m về một phía với mặt phẳng (P) và cùng song song với một đường thẳng thuộc (P) nên x y.
Gọi x’ à ảnh của x qua ph p đối xứng (P), khi đ x' y. Gọi z là giao tuyến của mặt phẳng đi qua x’, y với mặt phẳng (P).
Với mọi M0z, kẻ M A0 x', M B0 y thì A, M0, B thẳng hàng và M A0 x. Với mọi M (P) ta luôn có:
A
M B
A’
H d
P
d(M,x)+d(M, y)AB.
ẳng thức xảy ra khi và chỉ khi M M . 0
Vậy: Với mọi M z thì tổng khoảng cách từ M đến x, y đạt GTNN.
Ví d 12. Cho mặt phẳng (P) và 2 đường thẳng a, b song song với (P).
Tìm tất cả những điểm M trong (P) sao cho t n tại điểm A trên a và điểm B trên b có tổng khoảng cách MA + MB nhỏ nhất.
Giải
Chia àm 2 trường h p:
a) Trường h p 1: a, b n m khác phía với (P).
Từ điểm M bất kì thuộc (P) kẻ MAa, MBb.
Ta luôn có: MA +MB AB.
ẳng thức xảy ra khi M à giao điểm của (P) với AB. Khi đ M s thuộc vào mặt phẳng chứa a, b.
Vậy: MA + MB nhỏ nhất khi M thuộc giao tuyến của mặt phẳng (P) và mặt phẳng chứa a, b.
P P
B A a
b M
Trường h p 2: a, b n m về một phía với (P).
- Gọi a’ là ảnh của a qua (P), khi đ a' b
- Từ M bất kì thuộc (P) kẻ MA'a, MBb thì với A’ à ảnh của A ta c ng c .Ta c :
MA' +MB A'B
ẳng thức xảy ra khi và chỉ khi M là giao tuyến của A’B với (P).
Khi đ M thuộc mặt phẳng chứa a’, b.
Lấy A đối xứng với A’ qua mặt phẳng (P) thì ta có A a chính là điểm cần tìm.
Vậy: MA + MB nhỏ nhất khi M thuộc giao tuyến của mặt phẳng (P) và mặt phẳng chứa a’, b.
P P
M
a’
b a
A’
B A
KẾT LUẬN
Việc đưa ph p biến h nh vào chương tr nh toán phổ thông giúp cho học sinh có thêm một công c hữu hiệu để giải quyết một lớp các bài toán. C thể hơn, kh a uận đã đƣa ra 1 hệ thống lí thuyết và các bài toán iên quan đến s d ng ph p đối xứng qua siêu phẳng để tìm GTLN và GTNN trong hình học nh m giúp người đọc thấy đư c t nh ưu việt khi giải bài toán về GTLN và GTNN nhờ s d ng phép biến hình, c thể là ph p đối xứng qua siêu phẳng.
Tuy nhiên, phép biến hình là một vấn đề mới & kh đối với học sinh. Việc s d ng phép biến h nh để tìm GTLN & GTNN trong hình học lại càng kh khăn hơn. Do đ , vấn đề này cần đƣ c tiếp t c có sự nghiên cứu, tìm hiểu sâu hơn.
Do điều kiện thời gian & năng ực bản thân còn hạn chế khi bước đầu làm quen với việc nghiên cứu khoa học nên chắc chắn khóa luận không tránh khỏi những thiếu sót. Rất mong các thầy cô & các bạn đ ng góp ý kiến để khóa luận đƣ c hoàn thiện hơn, thực sự s là tài liệu tham khảo bổ ích.