Nhóm luỹ linh hữu hạn sinh

Trờng đại học vinh Khoa toán Phạm khắc quý Nhóm luỹ linh hữu hạn sinh Khoá luận tốt nghiệp đại học Ngành cử nhân khoa học toán Vinh - 2005 Vinh - 2005 Trờng đại học vinh Khoa toán Nhóm luỹ linh hữu hạn sinh Chuyên ngành đại số Khoá luận tốt nghiệp đại học Ngành cử nhân khoa học toán Giáo viên hớng dẫn: pgs.ts lê quốc hán Sinh viên thực hiện: phạm khắc quý Lớp: 41e2 - toán Vinh - 2005 Vinh - 2005 Mục lục Trang Lời nói đầu Chỉ dẫn ký hiệu Đ1 Nhóm aben hữu hạn sinh Đ2 Nhóm luỹ linh 15 Đ3 Nhóm luỹ linh hữu hạn sinh Kết luận Tài liệu tham khảo 21 33 34 lời nói đầu: Trong lý thuyết nhóm, lớp nhóm Aben có nhiều tính chất tốt có nhiều ứng dụng đại số nói riêng toán học nói chung Do việc khảo sát nhóm Aben đợc đặc biệt quan tâm nghiên cứu từ sớm nhiều kết thu đợc trở thành kinh điển Một kết mô tả cấu trúc nhóm Aben hữu hạn sinh(xem định lý 1.9 1.10) Vì nhóm luỹ linh lớp nhóm gần với lớp nhóm Aben nhất, nên ý tởng nảy tự nhiên chuyển kết sang mô tả cấu trúc nhóm luỹ linh hữu hạn sinh Việc làm thuận lợi G nhóm luỹ linh hữu hạn sinh không xoắn(định lý 3.8) nhng trờng hợp nhóm luỹ linh phải đa vào sở chuẩn nhóm G thu đợc kết bớc đầu(xem định lý 3.12 hệ nó) Luận văn gồm tiết Tiết 1: Nhắc lại số kết biết nhóm Aben hữu hạn sinh Tiết 2: Nhắc lại kết biết nhóm luỹ linh Tiết 3: Đây phần chủ yếu luận văn nhằm khảo sát nhóm luỹ linh hữu hạn sinh với kết đợc nêu lên định lý 3.8, định lý 3.12 hệ Luận văn đợc hoàn thành dới hớng dẫn thầy giáo PGS - TS Lê Quốc Hán, xin bày tỏ lòng cảm ơn sâu sắc thầy giúp đỡ tận tình chu đáo góp ý thiết thực Tôi xin cảm ơn thầy, cô tổ đại số bạn học lớp động viên giúp đỡ hoàn thành luận văn này, Vì thời gian trình độ có hạn luận văn tránh khỏi nhng thiếu sót Rất mong nhận đợc góp ý bạn đọc để hoàn thiện trình học tập nghiên cứu sau Tác giả dẫn ký hiệu Ký hiệu AB Ai Ai i =1 i =1 ý nghĩa A tập B Nhóm sinh tập S Hợp Ai, i = 1, 2, Giao Ai, i = 2, AB A ớc chuẩn B A B Tổng trực tiếp A B M n G [a, b] M nhóm nhóm G Hoán tử a b [A,B] Nhóm sinh hoán tử dạng [a,b] [G, G] với a A, b B Hoán tập hay đạo nhóm nhóm G A Lực lợng tập hợp A Kết thúc chứng minh Đ1 Nhóm aben hữu hạn sinh Các nhóm Aben hữu hạn sinh đáng đợc quan tâm đặc biệt chúng đóng vai trò quan trọng nhiều ứng dụng Trong tiết nghiên cứu lớp nhóm 1.1 Định nghĩa: Một nhóm X đợc gọi hữu hạn sinh có tập hợp hữu hạn S phần tử X sinh X 1.2 Bổ đề: Mọi nhóm Aben đẳng cấu với nhóm thơng nhóm Aben tự Chứng minh: Giả sử X nhóm Aben tuỳ ý cho trớc, Ta rút tập sinh S X, chẳng hạn ta lấy S = X Xét nhóm Aben tự sinh S Khi hàm bao g : S X mở rộng thành đồng cấu h : F X Vì S = g(S) h(F) S sinh X, nên ta có h(F) = X Do h toàn cấu Giả sử K hạt nhân h Thế X đẳng cấu với nhóm th ơng F/K nhóm tự F Vậy bổ đề đợc chứng minh Từ chứng minh bổ đề 1.2, ta suy ra: Mọi nhóm Aben với n phần tử sinh đẳng cấu với nhóm thơng nhóm Aben tự hạng n Từ đó, để mô tả nhóm Aben hữu hạn sinh, trớc hết ta cần khảo sát nhóm nhóm Aben tự hạng n 1.3 Bổ đề: Mọi nhóm G nhóm Aben tự F hạng n nhóm Aben tự hạng r(G) n Hơn nữa, có sở X = {u1, u2, , un} F sở = {v1, v2, , vm} G, với m = r(G), thoả mãn: vi = tiui, i = 1, 2, , m t1, t2, , tm số nguyên cho ti+1 chia hết cho ti, với i = 1, 2, , m-1 Chứng minh: Ta chứng minh bổ đề quy nạp Khi n = 0, bổ đề trở thành tầm thờng Giả sử n > 0, giả sử bổ đề 1.3 thay n n - Nếu G = {0} hiển nhiên ta có điều phải chứng minh Vì ta giả thiết G không tầm thờng Giả sử = {x1, x2, , xn} sở tuỳ ý F Thế phần tử g F biểu thị cách dới dạng tuyến tính g = k1x1 + k2x2 + + knxn qua x1, x2, , xn với hệ số nguyên k1, k2, , kn Giả sử () số nguyên dơng nhỏ xuất nh hệ số dạng tuyến tính Số () phụ thuộc vào sở Ta giả thiết sở đợc lựa chọn cho () có giá trị nhỏ đợc Đặt t1 = () Theo định nghĩa số dơng (), có phần tử v1 cho t1 xuất nh hệ số dạng tuyến tính v Bằng cách hoán vị phần tử sở x1, x2, , xn, cần Ta có v1 = t1x1 + k2x2 + + knxn k1, k2, , kn số nguyên Chia số nguyên k2, k3, , kn cho số nguyên dơng t1, ta đợc ki = qi t1 + ri với ri < t1, i = 2, 3, , n Nếu ta kí hiệu u1 = x1 + q2x2 + + qnxn ta đợc sở = {u1, x2, , xn} F cho v1 = t1u1 + r2x2 + + rnxn ri < t1, i = 2, 3, , n Nên từ lựa chon số dơng t1, ta suy ri = 0, i = 2, 3, , n Do vi = t1u1 Gọi H nhóm F sinh n - phần tử x 2, , xn Thế H nhóm Aben tự hạng n - Xét nhóm K = H G nhóm cho G F Vì H nhóm Aben tự hạng n - K nhóm H nên từ giả thiết quy nạp ta suy K nhóm Aben tự hạng không lớn n - Giả sử hạng K m - Thế ta có m n Theo giả thiết quy nạp, có sở {u2, , un} H sở {v 2, , vm} K cho vi = tiui, i = 2, 3, , m Trong t2, , tm số nguyên dơng thoả mãn ti + chia hết cho ti, với i = 2, , m - Để chứng minh G nhóm Aben tự do, giả sử J nhóm xyclic vô hạn F sinh phần tử v1 Vì v1 G, nên ta có J G Vì = {u1, x2, , xn} sở F v1 = t1u1 nên ta có: J K J H = {0} Mặt khác, giả sử g phần tử tuỳ ý G Vì sở F, nên ta có G = c1u1 + c2x2 + + cnxn c1, c2, , cn số nguyên Chia c1 cho t1, ta đợc c1 = qt1+p với r < ti Thế nhóm G chứa phần tử k = g - qv1 = pu1 + c2x2 + +cnxn r < t1, nên từ lựa chọn số nguyên dơng t1, ta suy r = Do k = c2x2 + c3x3 + + cnxn H Điều kéo theo k H G = K Vì g = qv1 + k J + K Do g phần tử G nên ta có G J + K, điều suy G = J + K Mặt khác J K = {0} nên ta có G = J K Nh ta chứng minh đợc G nhóm Aben tự hạng m n Dĩ nhiên = {u , u , , u n } sở F Ta chứng minh = {v , v 2, ,vm} sở G Thật giả sử g phần tử tuỳ ý G Vì G = J K nên tồn x J y K thoả mãn g = x + y Do J nhóm xyclic vô hạn sinh v 1, nên x xác định số nguyên d cho x = d1v1 Vì K nhóm Aben tự nhận {v2, v3, , vm} làm sở, nên y đợc biểu thị dới dạng tuyến tính y = d2v2 + + dmvm phần tử v2, , vm d2, , dm số nguyên Nh ta chứng minh đợc g biểu thị dới dạng tuyến tính g = d1v1 + d2v2 + + dmvm Từ ta suy = {v1, v2, , vm} sở G Còn phải chứng minh t chia hết cho t1 Muốn vậy, ta chia t2 cho t1 ta đợc t2 = q0t1 + r0, r0< t1 Xét phần tử w1 = u1 - q0u2 Thế {w1, u2, , un} sở F Đối với sở ta có v2 - v1 = (- t1)w1 + r0u2 r0< t1, nên từ lựa chọn số nguyên dơng t1 ta suy r0 = Do t2 chia hết cho t1 Bổ đề đợc chứng minh 1.4 Bổ đề: Mọi nhóm Aben với n phần tử sinh đẳng cấu với tổng trực tiếp n nhóm xyclic cấp t1, t2, , tn với t1 t2 tn ti + chia hết cho ti, trờng hợp ti + hữu hạn Chứng minh Giả sử X nhóm Aben tuỳ ý cho trớc với tập S ={x1, x2, , xn} phần tử sinh Khi X đẳng cấu với nhóm thơng F/G nhóm Aben tự F hạng n sinh S nhóm G Theo bổ đề 1.2, G nhóm Aben tự hạng m n Ngoài ra, có sở = {u1, u2, , un} F sở = {v1, v2, , vm} G thoả mãn vi = tiui, i = 1, 2, , m Trong t 1, t2, , tm số nguyên dơng với ti + chia hết cho ti , i = 1, 2, , m - Định nghĩa n nhóm xyclic C1, C2, , Cn nh sau: Nếu i m Ci nhóm xyclic cấp ti sinh phần tử i Gọi tổng trực tiếp n nhóm xyclic C1, C2, , Cn Ta xhứng minh F/G Muốn thế, trớc hết ta nhắc lại phần tử ánh xạ : M C từ tập hợp M = {1, 2, , n} vào tập hợp C tổng n tập C1, C2, , Cn cho (i) Ci, i = 1, 2, , n Bây ta định nghĩa ánh xạ h : F nh sau Giả sử x phần tử tuỳ ý cho trớc F Vì = {u1, u2, , un} sở F, nên biểu thị cách dới dạng x = k1u1 + k2u2 + + knun, k1, k2, , kn số nguyên Ta cho x ứng với ánh xạ h(x): M C xác định 10 [h(x)](i) = kii Ci, với i M Khi h toàn cấu ker(h) = G, theo định lý đồng cấu ta có F/G Bổ đề đợc chứng minh Chú ý: Một nhóm Aben đợc gọi không phân tích đợc phân tích đợc thành tổng trực tiếp hai nhóm không tầm thờng 1.5 Bổ đề: nhóm cộng số nguyên không phân tích đợc Chứng minh Ta chứng minh phản chứng Giả sử phân tích đợc thành tổng trực tiếp hai nhóm không tầm thờng A B Vì A B không tầm thờng, nên tồn số nguyên a A b B Do A B nhóm , nên ta có ab A ab B Do ab A B A B {0} Điều mâu thuẫn với A B = {0} = A B Vậy Z không phân tích đợc Bổ đề đợc chứng minh 1.6 Bổ đề: Giả sử n = pm, p số nguyên tố m số nguyên dơng Khi nhóm cộng n không phân tích đợc Chứng minh Ta chứng minh bổ đề phản chứng Giả sử n phân tích đợc thành tổng trực tiếp hai nhóm không tầm thờng A B n, tồn tai hai số nguyên , hai nhỏ m cho A B nhóm xyclic Zn sinh phần tử p p theo thứ tự Ta suy hai nhóm A B chứa nhóm Vì A B không tầm thờng nên mâu thuẫn với điều kiện A B = {0} Vậy n không phân tích đợc Bổ đề đợc chứng minh 1.7 Bổ đề: Giả sử n = pq, p q hai số nguyên dơng nguyên tố Khi Zn Zp Zq 11 2.9 Định lý Trong nhóm luỹ linh phi xoắn, phép khai đơn trị, nghĩa an = bn a = b Chứng minh: Giả sử G nhóm luỹ linh phi xoắn a, b G thoả mãn a = b với n số nguyên dơng Ta cần chứng minh a = b Ta chứng minh định lý phơng pháp quy nạp theo bậc luỹ linh nhóm Giả sử bậc luỹ linh nhóm G 1, G nhóm Aben nên ab = ba n n (ab - 1).(ab - 1) (ab - 1) ab- = b-1a (a.b- 1)n = n = an b- n = bn.b- n = e Vì (a.b- 1)n = e G phi xoắn nên a b- = e a = b Giả sử kết luận mệnh đề với nhóm luỹ linh bậc bé thua s - G nhóm luỹ linh bậc s Ký hiệu N = a,[G, G] N G N nhóm với bậc luỹ linh bé thua -1 -1 aa b ab s - Khi a N ab = b- 1a b = [G, N G] -1 a b).(b -1a b) (b -1a b) Hơn (ab)n = (b- 1a b)n = (b n = b a b = b- 1bn b = bn = an -1 n ab = a, (theo quy nạp) b- 1.a.b = a b- 1a = ab- (ab- 1)n = an(b- 1)n = an b- n = bn b- n = e, (do G phi xoắn) a = b Định lý đợc chứng minh 2.10 Hệ Giả sử G nhóm luỹ linh phi xoắn a m.bn = bn.am với a, b G m, n số nguyên dơng Khi a.b = b.a -n ab n ).(b -n ab n ) (b -n ab n ) Chứng minh: Ta có (b- nabn)m = (b = b- nambn m nên từ am.bn = bn.am am = b- n.am.bn = (b- n.a.b)m Mặt khác theo định lý 2.9 ta có từ am = (b- n.a.b)m a = b- n.a.bn bn = a- 1.bn.a = (a- 1.b.a)n 20 Tức bn = (a- 1.b.a)n b = a- 1.b.a a.b = b.a Hệ đợc chứng minh 2.11 Định lý Giả sử G nhóm phi xoắn Khi đơn vị phần tử liên hợp với nghịch đảo Chứng minh: Giả sử {1} = G0 n G1 n n Gn = G dãy tâm nhóm luỹ linh G, nghĩa [G1 + 1, Gi] n Gi với i = 0, 1, , n x phần tử G liên hợp với x- Khi tồn phần tử g G cho x = g- 1x- 1g n x2 = g- 1x- 1gx = [g, x] [Gn, Gn - 1] Gn - Tơng tự x2 = g- 1x- 1g.g- 1x- 1g = g- 1x- 2g n x4 = g- 1x- 2gx2 [Gn - 1, Gn - 2] Gn - Do tồn số tự nhiên m cho x2m G0 = 1, G không xoắn nên x = Định lý đợc chứng minh 21 Đ3 Nhóm luỹ linh hữu hạn sinh Một ví dụ tờng minh lớp nhóm luỹ linh hữu hạn sinh nhóm UT(n; ) Cần ý nhóm UT(n; ) vét kiệt tất nhóm luỹ linh hữu hạn sinh không xoắn nhóm luỹ linh hữu hạn sinh mở rộng hữu hạn chúng Nói riêng, nhóm luỹ linh hữu hạn sinh nhúng vào nhóm tuyến tính đặc biệt SL(n; ) Trớc hết, ta thiết lập kết lớp nhóm luỹ linh hữu hạn sinh 3.1 Bổ đề Giả sử G nhóm tuỳ ý Nếu G sinh M, nhóm trung tâm i(G) đợc sinh nhóm trung tâm i + 1G tiếp sau hoán tử đơn tất i phần tử thuộc M Chứng minh: Đối với i = 1, khẳng định bổ đề hiển nhiên Giả sử khẳng định bổ đề đến i Theo định nghĩa, i + 1G đợc sinh hoán tử [x, y] x iG y G Theo giả thiết quy nạp x = x x x m z m xj hoán tử đơn i phần tử thuộc M, z i + 1G j= Hơn nữa, y M y M- Sử dụng hệ thức giao hoán tử, thấy [x, y] từ phần tử có dạng [xj, a]g = [xj, a][xj,a,g] [z,a]g với a M, g G Vì [xj, a, g], [z,a] i + 2G, nên từ bổ đề đợc chứng minh 3.2 Định nghĩa Giả sử G nhóm Dãy = G0 n G1 n n Gn = G (1) đợc gọi dãy chuẩn tắc Gi G, i = 1, 2, , n Dãy (1) đợc gọi dãy chuẩn, Gi Gi + 1, i = 0, 1, , n - Nhóm thơng Gi/Gi + đợc gọi thơng, n đợc gọi độ dài dãy (1) 3.3 Mệnh đề: Giả sử G nhóm với dãy chuẩn tắc (á chuẩn) (1) 22 i) Nếu H n G, {1} = H0 n H1 n n Hn = H; Hi = Gi H, dãy chuẩn tắc (á chuẩn) H, Hi + 1/Hi n Gi + 1/Gi ii) Nếu H G lấy ảnh thành phần dãy (1) qua đồng cấu tự nhiên p : G G/H, nhận đợc dãy chuẩn tắc (á chuẩn) G/H: {1} = G n G n n G n = G/H, G i = GiH/H Hơn G i + 1/ G i ảnh đồng cấu Gi + 1/Gi Chứng minh: Hệ thức Hi Hi + G i G i + 1, trờng hợp dãy chuẩn tắc: Hi H, G i G i + 1, đợc kiểm tra trực tiếp Hơn nữa, sử dụng định lý đồng cấu, ta có n Hi + 1/Hi = Hi/Hi + Gi Hi + 1Gi/Gi Gi + 1/Gi Gi + 1/Gi Gi + 1H/GiH Gi + 1/Gi(Gi H) (Gi + 1/Gi)/( ) Định lý đợc chứng minh Hai dãy chuẩn đợc gọi đẳng cấu, chúng có độ dài thơng chúng tơng ứng - một, với thơng tơng ứng đẳng cấu với Nếu dãy chứa tất phần tử dãy khác, dãy thứ đ ợc gọi mịn hoá dãy thứ hai 3.4 Mệnh đề Hai dãy chuẩn tắc (á chuẩn) nhóm có mịn hoá đẳng cấu Chứng minh: Giả sử nhóm G cho hai dãy Đặt {1} = A0 n A1 n n Am = G (2) {1} = B0 n B1 n n Bn = G (3) Cij = (Ai + Bj).Ai ta đợc xích Ai = Ci0 n Ci1 n n Cin = Ai + Tơng tự, ta đặt Dji = (Bj + Ai).Bj ta đợc xích 23 (2) Bj = Dj0 n Dj1 n n Djm = Bj + (3) Rõ ràng thành phần dãy (2) (3) nhóm dãy chuẩn tắc G, tất thành phần xích Ta phải chứng minh Cij + 1/Cij Dji + 1/Dji Thật ta có Ci.j + 1/Cij = (Ai + Bj + 1)Ai/(Ai + Bj)Ai (Ai + Bj + 1).(Ai + Bj + 1)/(Ai + Bj).( Ai Bj + 1) Dj.i + 1/Dji = (Bj + Ai + 1)Bj/(Bj + Ai)Bj (Bj + Ai + 1)/(Bj + Ai).(Bj Ai + 1) Bổ sung vào dãy (2) xích (2) bổ sung vào dãy (3) xích (3), ta đợc hai dãy chuẩn tắc(á chuẩn) đẳng cấu G mịn hoá tơng ứng (2) (3) định lý đợc chứng minh Từ mệnh đề trên, suy ra: Hai dãy chuẩn tắc có thành phần không lặp không mịn hoá đợc đẳng cấu với 3.5 Định nghĩa Nhóm G đợc gọi nhóm đa xyclic, có dãy chuẩn tắc {1}= G0 n G1 n n Gn = G cho nhóm thơng Gi + 1/Gi nhóm xyclic, i = 1, , n - 3.6 Mệnh đề Nhóm nhóm thơng nhóm đa xyclic nhóm đa xyclic Chứng minh: i) Giả sử G nhóm đa xyclic Khi G có dãy chuẩn tắc (1) với th ơng xyclic Giả sử H nhóm G Khi đó, đặt Hi = Gi H, i = 0, 1, , n H có dãy chuẩn tắc {1} = H0 n H1 n n Hn = H (2) thoả mãn điều kiện Hi + 1/Hi nhóm Gi + 1/Gi (xem mệnh đề 3.3) Vì nhóm nhóm xyclic nhóm xyclic Gi + 1/Gi xyclic nên Hi + 1/Hi nhóm xyclic, H nhóm đa xyclic ii) Giả sử N ớc chuẩn H p : G G/N toàn cấu tắc 24 Đặt G i = p(Gi), i = 0, 1, , n Khi G := G/N có đãy chuẩn tắc = G n G n n G n = G G i = GiN/N Vì Gi + 1/Gi xyclic G i + 1/ G i ảnh đồng cấu Gi +1/Gi (xem mệnh đề 3.3) nên G i + 1/ G i xyclic Do G nhóm đa xyclic Mệnh đề đợc chứng minh 3.7 Định nghĩa Ta nói nhóm G hầu nh có tính chất (A), có ớc chuẩn với số hữu hạn cho G/N có tính chất (A) 3.8 Định lý i) Mọi nhóm luỹ linh hữu hạn sinh G có dãy tâm với thơng xyclic hầu nh không xoắn ii) Nếu G nhóm luỹ linh hữu hạn sinh không xoắn, G có dãy tâm với thơng nhóm xyclic vô hạn Chứng minh: i) Giả sử G nhóm hữu hạn sinh Mỗi thơng dãy tâm dới nhóm Aben hữu hạn sinh (theo bổ đề 3.1), nghĩa có dãy tâm với thơng xyclic Vì mịn hoá dãy tâm lại dãy tâm, nên G có dãy tâm với thơng xyclic Ta chứng minh thơng hầu nh không xoắn phơng pháp quy nạp dãy tâm Giả sử H phần tử tối đại dãy đó, khác với G, a phần tử sinh G (mod H) Theo giả thiết quy nạp, H hầu nh không xoắn, với số tự nhiên m ta có nhóm Hm = (hm h H) không xoắn Vì phần xoắn nhóm luỹ linh hữu hạn sinh hữu hạn, nênH : Hm < Nếu G : H < Hm nhóm không xoắn cần tìm G Giả sử G : H = Khi (a).Hm chứa nhóm cần tìm, không xoắn G : (a).Hm =H : H (a).Hm H : Hm < ii) Giả sử G nhóm luỹ linh hữu hạn sinh không xoắn Theo chứng minh nhóm đa xyclic, thơng dãy tâm nhóm đa xyclic (vì nhóm nhóm thơng nhóm đa xyclic nhóm đa xyclic) 25 Vì chúng không xoắn theo kết quả: Trong nhóm luỹ linh không xoắn tất thơng dãy tâm không xoắn, nên dãy tâm đợc mịn hoá đến dãy với thơng nhóm xyclic vô hạn Định lý đợc chứng minh Từ định lý 3.8 ta suy trực tiếp số hệ sau 3.9 Hệ Nhóm luỹ linh hữu hạn sinh nhóm đa xyclic 3.10 Hệ Nhóm luỹ linh hữu hạn sinh với tâm hữu hạn nhóm hữu hạn 3.11 Hệ Trong nhóm luỹ linh hữu hạn sinh bất kỳ, phần xoắn hữu hạn Định lý 3.8 cho phép đa vào nhóm luỹ linh hữu hạn sinh không xoắn G hệ toạ độ nguyên dơng đặc biệt nhờ chúng biểu diễn G đợc ma trận tam giác unhita với phần tử nguyên Chính xác hơn, giả sử G tập hợp, họ hàm fi : G i, i = 1, 2, , s đợc gọi hàm toạ độ ánh xạ x (f1(x), f2(x), , fS(x)) - từ G lên tập hợp S với tất số nguyên s Giả sử G S ánh xạ : G r đợc gọi nửa chuẩn, tồn đa thức f1, f2, , fS s biến với tọ độ thuộc trờng , cho x = (f1(x), f2(x), , fr(x)), x G Nếu f1, f2, , fr đa thức bậc nhất, đợc gọi tuyến tính Bây giờ, giả sử G nhóm luỹ linh hữu hạn sinh phi xoắn Chúng ta xét dãy tâm G = G1 n G2 n n GS + = {e} với thơng nhóm xyclic vô hạn lấy phần tử a 1, a2, , aS thoả mãn điều kiện Gi = < ai, Gi + > Khi đó, phần tử x G đợc viết dới dạng x = a 1t ( x ) a t2 ( x ) a tS ( x ) , ti(x) S 26 nên họ hàm t1, t2, , tS họ hàm toạ độ Hệ phần tử đợc a1, , aS đợc gọi sở chuẩn nhóm G, số t1(x), t2(x), , tS(x) đợc gọi toạ độ phần tử x sở 3.12 Định lý Giả sử nhóm luỹ linh hữu hạn sinh phi xoắn với hệ toạ độ chuẩn t1, t2, , tS đợc đánh dấu Khi đó, tồn số tự nhiên n = r(G) đẳng cấu : G UT(n; ) cho đa thức G, ánh xạ ngợc tuyến tính G Nói riêng, phép nhân phép nâng lên luỹ thừa đợc viết đa thức hệ toạ độ chuẩn Cụ thể hơn, x, y G, m , i s ti(xy) đa thức {t(x), t(y) < i} + ti(x) + ti(y) (1) ti(xm) đa thức m {t(x) < i} + mti(x) (2) Chứng minh: Bớc Trớc hết, ta chứng minh cho trờng hợp riêng Đối với ma trận a UT(n, ) với n , ta có am = n cmi(a - e)i i =0 cmi = m.(m 1) (m i + 1) , i! c m = (3) nghĩa hệ số ma trận a m đa thức m hệ số ma trận a Do khẳng định sở định lý, toạ độ t i(xy), ti(xm) biễu diễn tuyến tính qua hệ số ma trận (xy) , (xm) mà chúng biễu diễn đa thức qua hệ số ma trận t(x), t(y), toạ độ theo sở chuẩn tích xy luỹ thừa x m đa thức hệ toạ độ theo sở chuẩn phần tử, y m Ngoài phần tử có dạng (1), (2) đợc suy trực tiếp từ định nghĩa dãy tâm 27 Bớc Bây giờ, thay phép nhúng chứng tỏ với phép nhúng : G GL(n; ), ánh xạ ngợc - tuyến tính G, G gồm ma trận tựa luỹ linh(ma trận a đợc gọi tựa luỹ linh, có đặc trng đơn vị, hay tơng đơng, (a - e)n = 0) Thật vậy, nhóm H = G ánh xạ GL(n; ) vào UT(n; ) nhờ vào phép liên hợp Trớc hết, ta chứng tỏ H liên hợp với nhóm UT(n; ) Chúng ta xét GL(n; ) nh nhóm tự đẳng cấu không gian vec tơ n chiều V trờng xích tăng không mịn hoá đợc V = V1 n V2 n n Vm + = {0} không gian bất biến H Trong sở chuẩn, có quan hệ với xích Các tự đẳng cấu thuộc H đợc viết dới dạng ma trận tam giác kẻ ô, ô chéo chúng biễu diễn tác động H vào nhóm thơng V i = Vi/Vi + 1, cần chứng minh rằng, thơng Vi nh có chiều Bởi hoán tập [H, H] có luỹ thừa cực tiểu luỹ linh, nên xem [H, H] luỹ linh Khi tồn véc tơ u U, khác không, bất động tự đẳng cấu [H, H] giả sử V không gian gồm tất véc tơ Nó bất biến H, h H, h [H, H], có (uh)h = u(hhh- 1)h = uh Vì thơng Vi không chứa không gian đặc biệt, bất biến đói với H, nên U = U Từ [H, H] = U, nghĩa H cảm sinh nhóm Aben tự đẳng cấu Vi Nhng tập hợp phép biến đổi tuyến tính giao hoán đợc có véc tơ riêng mở rộng trờng sở nhờ nghiệm đặc trng phép biến đổi Vì nhóm G tựa luỹ linh, nên có chung véc tơ riêng Vi Vì không gian sinh véc tơ này, bất biến thực sự, nên Vi không gian chiều Điều chứng tỏ H a UT(n; ), với a GL(n; ) Bây ta chọn Ha số hữu hạn ma trận sinh, chọn mẫu thức chung N hệ số chúng xét ma trận b = diag(1, N, N2, , N n - 1) 28 Hab n UT(n; ) Bớc Còn phải chứng minh tồn Ta chứng minh quy nạp theo độ dài sở chuẩn Giả sử nhóm có độ dài sở chuẩn < s, tìm đợc biểu diễn ma trận thoả mãn yêu cầu đòi hỏi định lý bớc bớc Giả sử G có sở chuẩn a1, , aS có độ dài s Thay việc dựng thiết lập công thức (1) nhóm G Ký hiệu: t1(x) = i, ti(y) = i Khi đó: xy = a + (a a a1 ) (a aS- a1 ).a2 aS 1 1 S a1-ai- 1a1 = [a1, ai] ai- Theo giả thiết quy nạp, theo bớc bớc 2, công thức (1) (2) với nhóm sở chuẩn với độ dài < s, phải kiểm tra toạ độ phần tử [a1, ai] sở chuẩn a1, , aS đa thức Thật vậy, có [a1, ai] = a1- .(ai- 1.a1ai) ai- 1.a1.ai = a1.a ci +1 a cS ; ci, j i ,i +1 i ,S Sử dụng giả thiết quy nạp cho nhóm (a1, + 1, , aS), kết luận (ai- 1a1ai) = a1.a i +1 a S i ,i +1 i ,S i, j đa thức Từ đó: [a1, ai] = a i +1 a S i ,i +1 i ,S công thức (1) đợc chứng minh nhóm G Bớc Xây dựng Giả sử [t] vành đa thức hàm t1, t2, , tS Xác định tác động nhóm G, cách đặt a G với f a(x) = f(ax), f [t], x Khi đó, toán tử op(a), đợc cho công thức đó, tự đẳng cấu [t], quy tắc a op(a) xác định đẳng cấu G Aut([t]) 29 Các tích dạng M(t) = t 1m t m t m đợc gọi đơn thức t1, , tS Do (1), S 2 S có : ti = ti + Cij(a) Mj(t), (4) Cij(a) đa thức với hệ toạ độ chuẩn a, M j(t), với hệ số khác không biểu thức ti, không chứa biến t1, , tS Từ nhận thấy op(a) - op(e) ánh xạ đơn thức tuỳ ý M(t) vào 0, vào tổ hợp tuyến tính đơn thức nhỏ hơn, xem đơn thức đợc theo luỹ thừa khác liên tiếp Nghĩa tiến gần đến m = m(a; M), phép biến đổi ( op(a) - op(e))m triệt tiêu Giả sử H nhóm cộng tính, đợc sinh quỹ đạo tập hợp hàm toạ độ {t1, t2, , tS} toán tử op(x), x G Do (4), H nằm nhóm Mi(t)} với số tự nhiên N đó, hữu hạn sinh N con, sinh hàm {ti; Giả sử h1, , hn sở nhóm Aben tự H Giả sử Hkx = kl(x).hl (5) l Nghĩa (kl(x)) ma trận thu hẹp op(x) H sở h1, , hn Vì H chứa hàm toạ độ t1, t2, , tS nên quy tắc x (kl(x)) xác định đẳng cấu : GGL(n; ), G bao gồm ma trận unhita ánh xạ ngợc - tuyến tính G, tập hợp {ti} biểu thị tuyến tính qua {hk} mà việc tính toán hàm công thức (5) điểm e, thấy{hk} biễu diễn tuyến tính qua {kl} Chính đa thức, nghĩa hàm kl thu hẹp G đa thức thuộc Thật vậy, giả sử x G Vì hk tổ hợp tuyến tính tig, g G đó, (4), có hkx tổ hợp nh tig.x = t1 + j 30 cij(gx)Mj(t) hkx = Từ j pkj(x).Mj(t) (6) Trong pkj đa thức , nói riêng hk = j pkj(e).Mj(t) (7) Vì tập hợp {hk} độc lập tuyến tính , nên dòng ma trận (pki(e)) độc lập tuyến tính Từ (6), (7) (5), sử dụng độc lập tuyến tính hệ {Mj(t)}, nhận đợc kl(x), hệ phơng trình tuyến tính Pkj(x) = kl(x).pij(e) l từ suy kl đa thức Định lý đợc chứng minh 3.13 Hệ Mọi nhóm luỹ linh hữu hạn sinh tuỳ ý nhúng đợc vào nhóm SL(n; ), với số tự nhiên Chứng minh Giả sử G nhóm luỹ linh hữu hạn sinh Trớc hết ta phép nhúng : G GL(m; ) Khi x x 0 cho ta phép nhúng G vào SL(n; ) x Giả sử H nhóm với số hữu hạn m nhóm G Giả sử a 1, , am đại diện bên phải G theo nhóm H Nếu biễu diễn điểm nhóm H ma trận cỡ n, công thức G (aigaj - 1) Cho biễu diễn điểm nhóm G ma trận cỡ m ì n (ở xem x = x H) Rõ ràng khác mà biễu diễn nhóm cảm ứng biễu diễn Hệ đợc chứng minh 3.14 Mệnh đề Tồn nhóm luỹ linh hữu hạn sinh không xoắn nhúng đẳng cấu đợc vào nhng không đẳng cấu với Chứng minh: Xét nhóm luỹ linh hữu hạn sinh không xoắn 31 a b A = c a, b, c 0 nx y B = z x , y , z 0 n số tự nhiên khác Khi A nhúng đẳng cấu đợc vào B nhng A B Mệnh đề đợc chứng minh 32 kết luận: Khoá luận thu đợc kết sau: - Tổng quan nhóm Aben hữu hạn sinhvà nhóm luỹ linh - Nêu lên số kết ứng dụng nhóm Aben hữu hạn sinh nhóm luỹ linh - Trình bày kết chủ yếu nhóm luỹ linh hữu hạn sinh 33 tài liệu tham khảo [1] Lê Quốc Hán, Giáo trình lý thuyết nhóm - Đại học Vinh - 1997 [2] S.ten Hu, Đại số đại, (Bản tiếng Việt) [3] Hoàng Xuân Sính, Đại số đại cơng, NXB GD, H 1972 34 [...]... xoắn nên x = 1 Định lý đợc chứng minh 21 Đ3 Nhóm luỹ linh hữu hạn sinh Một ví dụ khá tờng minh về lớp nhóm luỹ linh hữu hạn sinh là nhóm UT(n; ) Cần chú ý rằng các nhóm con của UT(n; ) vét kiệt tất cả các nhóm luỹ linh hữu hạn sinh không xoắn và các nhóm luỹ linh hữu hạn sinh là mở rộng hữu hạn của chúng Nói riêng, các nhóm luỹ linh hữu hạn sinh có thể nhúng vào nhóm tuyến tính đặc biệt SL(n; ) Trớc hết,... suy ra trực tiếp một số hệ quả sau 3.9 Hệ quả Nhóm luỹ linh hữu hạn sinh là nhóm đa xyclic 3.10 Hệ quả Nhóm luỹ linh hữu hạn sinh với tâm hữu hạn là một nhóm hữu hạn 3.11 Hệ quả Trong nhóm luỹ linh hữu hạn sinh bất kỳ, phần xoắn là hữu hạn Định lý 3.8 cho phép chúng ta đa vào nhóm luỹ linh hữu hạn sinh không xoắn G hệ toạ độ nguyên dơng đặc biệt và nhờ chúng biểu diễn G đợc bằng các ma trận tam giác... Trong nhóm luỹ linh G bất kỳ, tập hợp (G) các phần tử có cấp hữu hạn của G là một nhóm con của G Chứng minh: Ta chứng minh định lý bằng phơng pháp quy nạp theo bậc luỹ linh của nhóm Nếu G là nhóm luỹ linh có bậc là 1 thì G là nhóm Aben, do đó (G) là nhóm con của G 18 Giả sử định lý đúng với mọi nhóm luỹ linh mà bậc luỹ linh nhỏ hơn hoặc bằng s - 1 Ta chứng minh định lý cũng đúng với mọi nhóm luỹ linh. .. đợc chứng minh 32 kết luận: Khoá luận đã thu đợc các kết quả sau: - Tổng quan về nhóm Aben hữu hạn sinhvà nhóm luỹ linh - Nêu lên một số kết quả và ứng dụng của nhóm Aben hữu hạn sinh và nhóm luỹ linh - Trình bày những kết quả chủ yếu của nhóm luỹ linh hữu hạn sinh 33 tài liệu tham khảo [1] Lê Quốc Hán, Giáo trình lý thuyết nhóm - Đại học Vinh - 1997 [2] S.ten Hu, Đại số hiện đại, (Bản tiếng Việt) [3]... Mọi nhóm luỹ linh hữu hạn sinh tuỳ ý có thể nhúng đợc vào nhóm SL(n; ), với một số tự nhiên nào đó Chứng minh Giả sử G là nhóm luỹ linh hữu hạn sinh Trớc hết ta chỉ ra phép nhúng : G GL(m; ) Khi đó x x 0 0 sẽ cho ta phép nhúng G vào SL(n; ) x Giả sử H là nhóm con với chỉ số hữu hạn m trong nhóm G Giả sử a 1, , am là đại diện bên phải của G theo nhóm con H Nếu là một biễu diễn các điểm của nhóm. .. tự nhiên m nào đó ta có nhóm con Hm = (hm h H) không xoắn Vì phần xoắn của nhóm luỹ linh hữu hạn sinh là hữu hạn, nênH : Hm < Nếu G : H < thì Hm là nhóm con không xoắn cần tìm trong G Giả sử G : H = Khi đó (a).Hm chứa nhóm con cần tìm, vì nó không xoắn và G : (a).Hm =H : H (a).Hm H : Hm < ii) Giả sử G là nhóm luỹ linh hữu hạn sinh không xoắn Theo chứng minh trên nó là nhóm đa xyclic, bởi vậy... xyclic Do đó G là nhóm đa xyclic Mệnh đề đợc chứng minh 3.7 Định nghĩa Ta nói rằng nhóm G hầu nh có tính chất (A), nếu nó có một ớc chuẩn với chỉ số hữu hạn sao cho G/N có tính chất (A) 3.8 Định lý i) Mọi nhóm luỹ linh hữu hạn sinh G có dãy tâm với các thơng xyclic và hầu nh không xoắn ii) Nếu G là nhóm luỹ linh hữu hạn sinh không xoắn, thì G có dãy tâm với các thơng là các nhóm xyclic vô hạn Chứng minh:... cũng là nhóm đa xyclic (vì nhóm con và nhóm thơng của nhóm đa xyclic cũng là nhóm đa xyclic) 25 Vì chúng không xoắn theo kết quả: Trong nhóm luỹ linh không xoắn tất cả các thơng của dãy tâm trên đều không xoắn, nên dãy tâm đợc mịn hoá đến dãy với các thơng là nhóm xyclic vô hạn Định lý đợc chứng minh Từ định lý 3.8 ta suy ra trực tiếp một số hệ quả sau 3.9 Hệ quả Nhóm luỹ linh hữu hạn sinh là nhóm đa... luỹ linh của nhóm Giả sử bậc luỹ linh của nhóm G bằng 1, khi đó G là nhóm Aben nên ab = ba n n (ab - 1).(ab - 1) (ab - 1) ab- 1 = b-1a (a.b- 1)n = n = an b- n = bn.b- n = e Vì (a.b- 1)n = e và G phi xoắn nên a b- 1 = e a = b Giả sử kết luận của mệnh đề đúng với mọi nhóm luỹ linh bậc bé thua hoặc bằng s - 1 và G là nhóm luỹ linh bậc s Ký hiệu N = a,[G, G] N G và N là nhóm với bậc luỹ linh. .. Mọi nhóm Aben hữu hạn sinh đều có một sự phân tích chủ yếu duy nhất Số các hạng tử xyclic vô hạn trong sự phân tích tiêu chuẩn của một nhóm Aben hữu hạn sinh X đợc gọi là hạng của X và đợc ký hiệu là r(X) Cấp của các hạng tử nguyên sơ trong sự phân tích tiêu chuẩn của X đợc gọi là các bất biến nguyên sơ của X Chúng lập thành một hệ đầy đủ những bất biến của X Tức là, nếu hai nhóm Aben hữu hạn sinh ... 21 Đ3 Nhóm luỹ linh hữu hạn sinh Một ví dụ tờng minh lớp nhóm luỹ linh hữu hạn sinh nhóm UT(n; ) Cần ý nhóm UT(n; ) vét kiệt tất nhóm luỹ linh hữu hạn sinh không xoắn nhóm luỹ linh hữu hạn sinh. .. kết sau: - Tổng quan nhóm Aben hữu hạn sinhvà nhóm luỹ linh - Nêu lên số kết ứng dụng nhóm Aben hữu hạn sinh nhóm luỹ linh - Trình bày kết chủ yếu nhóm luỹ linh hữu hạn sinh 33 tài liệu tham... thơng nhóm xyclic vô hạn Định lý đợc chứng minh Từ định lý 3.8 ta suy trực tiếp số hệ sau 3.9 Hệ Nhóm luỹ linh hữu hạn sinh nhóm đa xyclic 3.10 Hệ Nhóm luỹ linh hữu hạn sinh với tâm hữu hạn nhóm hữu