đề tài: nhóm hữu hạn sinh

TR TRƢỜNG ĐẠI HỌC CẦN THƠ KHOA SƢ PHẠM BỘ MÔN SP TOÁN-TIN HỌC - LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP Đề tài: NHÓM HỮU HẠN SINH Giáo viên hướng dẫn ThS Phạm Thị Vui Sinh viên thực Trần Thị Kim Thoa MSSV: 1090120 Lớp: SP Toán-tin học K35 Cần Thơ, 2013 BẢNG KÝ HIỆU VÀ CHỮ VIẾT TẮT tập rỗng  với  tồn tập số tự nhiên khác * tập số nguyên tập số nguyên không âm tập số hữu tỉ tập số thực tập số phức  ,  tập số nguyên với phép cộng  ,  tập số hữu tỉ với phép cộng  ,  tập số thực với phép cộng X /H nhóm thương X theo H [X : H ] số nhóm H nhóm X GL2 ( ) nhóm ma trận cấp trường H X H nhóm nhóm X H X H nhóm chuẩn tắc nhóm X Z(X ) Tâm giao hoán nhóm X X cấp nhóm X a cấp phần tử a nhóm X e phần tử đơn vị nhóm X x 1 nghịch đảo phần tử x S  x, y nhóm sinh S hoán tử X [X, X ] nhóm hoán tử nhóm X idX , 1X đẳng cấu dồng Im f ảnh đồng cấu f Kerf hạt nhân đồng cấu f Abel nhóm giao hoán S3 nhóm hoán vị phần tử i  X  nhóm tâm giảm X F  x xH nhóm Abel tự Lời Cảm ơn Sau nhận đề tài luận văn tốt nghiệp suốt trình làm luận văn, em nhận nhiều quan tâm giúp đỡ, lời động viên chân thành từ thầy cô, gia đình bạn bè Tất điều động lực lớn giúp em vượt qua khó khăn để hoàn thành luận văn tốt nghiệp Cảm ơn cha, mẹ, anh chị tất người thân gia đình tạo điều kiện vật chất lẫn tinh thần cho em suốt bốn năm học đại học vừa qua, đặc biệt suốt trình em làm luận văn tốt nghiệp Em xin cảm ơn tất thầy cô môn Toán trang bị cho em kiến thức giúp em có tản để hoàn thành tốt luận văn Cảm ơn bạn lớp SP Toán-Tin ủng hộ, đồng hành em chia khó khăn học tập sống Cám ơn Thư Viện Khoa Sư Phạm Trung Tâm Học Liệu trường Đại Học Cần Thơ tạo cho em điều kiện tìm kiếm tài liệu cách tốt Đặt biệt em xin gởi lời cảm ơn chân thành đến cô Phạm Thị Vui , Cô tận tình giúp đỡ em suốt trình em thực luận văn Không lời động viên khích lệ, Cô tận tình giảng giải kiến thức tản mà em chưa nắm vững để em có vững kiến thức hoàn thành luận văn Tuy nhiên luận văn em nhiều thiếu sót Em kính mong nhận góp ý chia thầy cô bạn Em xin thành thật biết ơn Người thực PHẦN MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Trong chương trình học, em học môn “ Đại số đại cương” Được biết khái niệm nhóm số nhóm đặt biệt như: nhóm hữu hạn , nhóm Abel, nhóm , nhóm sinh tập…Nhóm hữu hạn sinh đề tài em Trong trình học em chưa tìm hiểu kĩ biết đến vài tính chất Đối với em, đề tài tạo cho em nhiều hứng thú muốn học hỏi, giúp em hiểu sâu lý thuyết nhóm Được gợi ý Giáo viên hướng dẫn em mạnh dạng chọn dề tài “ Nhóm hữu hạn sinh” với mong muốn tìm hiểu nhiều nhóm hữu hạn sinh Mục đích nghiên cứu Thực đề tài “ Nhóm hữu hạn sinh”, em hướng đến mục đích rèn luyện kĩ tiếp cận, tìm hiểu nghiên cứu vấn đề Toán học Đây dịp để em nhìn lại tổng quan kiến thức lý thuyết nhóm Vận dụng kiến thức học vào thực đề tài luận văn Thấy liên hệ nhóm Bên cạnh đó, giúp cho em có thêm nhiều kiến thức chuẩn bị cho kì thi sau Phương pháp nghiên cứu Các phương pháp sử dụng trình nghiên cứu: tổng hợp, phân tích, khái quát hóa Nội dung luận văn Chương I : Kiến thức chuẩn bị Chương II: Nhóm hữu hạn sinh mối liên hệ với nhóm khác PHẦN NỘI DUNG Chương I CÁC KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Nhóm 1.1.1 Khái niệm nhóm Nhóm X tập hợp khác rỗng với phép toán nhân thỏa mãn điều kiện sau: (i) Với x, y, z  X ta có ( xy).z  x.( yz ) (ii) Tồn phần tử e  X cho ex  xe  x (iii) Với phần tử x  X tồn phần tử nghịch đảo y  X cho xy  yx  e Nhóm có tính chất giao hoán gọi nhóm giao hoán hay nhóm Abel 1.1.2 Nhóm a) Định nghĩa: Tập khác rỗng H nhóm nhân X gọi nhóm X H với phép toán cảm sinh X lập thành nhóm Kí hiệu H  X b) Các ví dụ: (i) Tập e X nhóm X nhóm nhóm X Hai nhóm gọi nhóm tầm thường Các nhóm khác ( có ) gọi nhóm thực X (ii) Mỗi nhóm cộng sau nhóm nhóm đứng trước    (iii) Mỗi nhóm nhân sau nhóm nhóm đứng trước   \ 0  \ 0  \ 0 1.2 Nhóm sinh tập 1.2.2 Mệnh đề Cho X nhóm , Hi iI họ không rỗng nhóm X Khi H  iI Hi nhóm X Chứng minh Ta có H   e  H Lấy hai phần tử x, y thuộc H 1 Khi x, y thuộc H , i  I Vì x y thuộc Hi i  I (vì Hi nhóm X ) Do xy 1  H Vậy H nhóm X  1.2.3 Hệ Cho X nhóm, S tập X Khi tồn nhóm nhỏ X chứa S Chứng minh Gọi H tập tất nhóm X chứa S Đương nhiên H khác rỗng S  H Như giao tất phần tử thuộc H nhóm nhỏ X chứa S  1.2.4 Định nghĩa Cho S tập nhóm X Nhóm nhỏ X chứa S gọi nhóm sinh S kí hiệu S Đặt biệt S   x nhóm x gọi nhóm xyclic X sinh x kí hiệu x Nếu S  X S tập sinh X X sinh S   Nếu H tập hữu hạn X với H  x , x , , xn ta viết x , x , , xn 2 thay cho  x1, x2, , xn nhóm sinh H 1.3 Nhóm chuẩn tắc 1.3.1 Định nghĩa Cho H nhóm nhóm X Tập H gọi nhóm chuẩn tắc X ( ước chuẩn ) với x  X xH  Hx , kí hiệu H X Chú ý: Từ định nghĩa nhóm chuẩn tắc dễ thấy (i) Mọi nhóm nhóm Abel nhóm chuẩn tắc (ii) Với X nhóm nhóm e , X nhóm chuẩn tắc X ( gọi nhóm chuẩn tắc tầm thường) Nếu nhóm X  e nhóm chuẩn tắc nhóm chuẩn tắc tầm thường X gọi nhóm đơn (iii) Cho H nhóm nhóm X x1Hx nhóm X , với x  X Nhóm x1Hx gọi nhóm liên hợp với nhóm H Như vậy, H X nhóm liên hợp H trùng với H 1.3.2 Định lí Một nhóm H nhóm X nhóm chuẩn tắc X với x  X , với h  H x1hx  H ( xhx1  H ) Chứng minh () Giả sử H X , với h  H tồn phần tử h'  H cho hx  xh' Do với x  X , với h  H ta có x1hx  x 1 ( xh' )  h'  H () Giả sử với x  X , với h  H ta có x1hx  H Khi với h  H hx  xH , suy Hx  xH Ngoài x1hx  H suy ( x 1 )1 hx 1  H Do với h  H xh  Hx , suy xH  Hx Nên xH  Hx  1.4 Nhóm thương Cho X nhóm H X Trong tập X / H  xH | x  X  xét phép toán nhân sau : xH yH  xyH với x, y  X Phép toán định nghĩa đắn Thật vậy, giả sử ta có xH  x' H , yH  y ' H , với x, x ' , y, y ' , suy x' x1  H y ' y 1  H Khi ta xét:  x' y '   xy    x' y '  y 1 x 1    x' x 1  xy ' y 1 x 1   H (do H 1 X) Nên x' y ' H  xyH , rõ ràng tập X / H với phép toán lập thành nhóm với phần tử đơn vị eH , phần tử nghịch đảo xH x1H Vậy nhóm X / H gọi nhóm thương , từ sau xét tập X / H ta hiểu nhóm thương Chú ý: Nếu X nhóm Abel nhóm thương X / H nhóm Abel 1.5 Nhóm hoán tử 1.5.1 Định nghĩa Cho X nhóm x, y  X Phần tử xyx 1 y 1 gọi hoán tử X , kí hiệu  x, y  Nhóm sinh tất hoán tử gọi nhóm hoán tử, kí hiệu X, X  X ' Như  X , X    x, y  | x, y  X 1.5.2 Mệnh đề Cho nhóm chuẩn tắc nhóm X , đó: (i)  X , X  nhóm chuẩn tắc nhóm X (ii) Nhóm X / H nhóm Abel X, X   H Chứng minh (i) Với x  X , h  X , X  xhx1h1  X , X  , suy tồn phần tử k  X , X  cho xhx1h1  k Suy xhx1  kh  X , X  ,  X , X  nhóm chuẩn tắc X  (ii) Ta có X / H nhóm Abel với phần tử x, y  X xH yH  yH xH Điều xảy với x, y  X xyx 1 y 1  H Vì  X , X   H  1.6 Cấp phần tử, cấp nhóm 1.6.1 Định nghĩa cấp phần tử Giả sử X nhóm ( nhân ) có phần tử đơn vị e x  X Nếu tồn số tự nhiên k  nhỏ cho xk  e Khi k gọi cấp phần tử x Nếu không tồn k thỏa tính chất ta nói x có cấp vô hạn Nếu nhóm X viết theo lối cộng phần tử đơn vị thay phần tử không, phép lũy thừa thay bội Khi k gọi cấp phần tử kx  0(k  0) 1.6.2 Ví dụ (i) Nhóm  ,   có tất phần tử có cấp vô hạn (ii) Xét nhóm nhân bậc n trường số phức Dễ thấy, tập n số phức w1, w2 , , wn1 lập thành nhóm với phép nhân số phức Với n  , ta có ( k  0,1, ,5 ) 0.2 0.2 w  cos  i sin 1 6 1.2 1.2 w  cos  i sin  i 6 2 2.2 2.2 w  cos  i sin   i 6 2 3.2 3.2 w  cos  i sin  1 6 4.2 4.2 w  cos  i sin   i 6 2 5.2 5.2 w  cos  i sin  i 6 2 Dễ thấy w1 , w5 có cấp 6, w2 , w4 có cấp 3, w3 có cấp 1.6.3 Định nghĩa cấp nhóm Cho X nhóm x  X Cấp x gọi cấp phần tử x , ký hiệu x o( x) Nếu x   x gọi có cấp hữu hạn, ngược lại x gọi có cấp vô hạn 1.6.4 Ví dụ Trong * có   *  7 Thật *  1,2,3,4,5,6 ta có  3       ;  ;  ;  ;  ; 1 Nên   *7  1.6.5 Mệnh đề Nếu a có cấp hữu hạn d an  e n d Trường hợp H  e , H  X nhóm X không chứa phần tử có cấp vô hạn ( mâu thuẩn giả thiết ) Vì H nhóm thật X Theo Định lí 2.1.15 X  X / H Nên nhóm hữu hạn sinh  (ii) Vì tập hợp phần tử có cấp vô hạn nên theo giả thiết X / H  x1, x2 , , xn  xi   Khi xi  X nên X   Vậy X nhóm cấp vô hạn  2.4.3 Mệnh đề (i) Mọi nhóm đơn Abel nhóm hữu hạn sinh (ii) Mọi nhóm xyclic cấp nguyên tố nhóm đơn Chứng minh (i) Cho X nhóm đơn Abel Nếu X  e X  e Ngược lại tồn x  X ; x  e x  e x  X Vì X nhóm Abel nên x X Do X  x Vậy X nhóm xyclic  (ii) Cho X nhóm xyclic cấp nguyên tố p Gọi H X H | X (theo định lí Langrange) Nên H  H  p + Nếu H  H  e + Nếu H  p H  X Vậy X nhóm đơn  2.4.4 Mệnh đề (i) Cho X nhóm giải có dãy chuẩn tắc X  X0 X1 X n  e thỏa X i 1 X i  Si , i  1, n với S   x , x , , x  i im i1 i  i 46 Thì X nhóm hữu hạn sinh (ii) Mọi nhóm X sinh tập S thỏa xi x j  x j xi với xi , x j  S nhóm giải Chứng minh (i) Theo giả thiết X n1 X n  Sn  x , x , , xnm Vì X n  e nên X n1  Sn n1 n2 n Mà X X  S  x ,x , , x n2 n1 n1 (n1)1 (n1)2 (n1)mn Theo Mệnh đề 2.1.12 X n2 hữu hạn sinh Bằng phương pháp qui nạp ta X X hữu hạn sinh X hữu hạn sinh, nên X  X nhóm hữu hạn sinh  (ii) Cho X  S , S  x1 , x2 , , xn  thỏa xi x j  x j xi với i, j  1, n Dễ thấy X nhóm Abel Theo Mệnh đề 1.12.6 X nhóm giải  2.4.5 Mệnh đề (i) Mọi nhóm X khác e nhóm lũy linh lớp k ( k>1) X / Z ( X ) hữu hạn X nhóm hữu hạn sinh (ii) Nhóm Abel hữu hạn sinh thoả phần tử sinh có cấp lũy thừa số nguyên tố cho trước luỹ linh Chứng minh i) Cho X nhóm luỹ linh khác e theo Định lí 1.13.4 Z ( X )  e Vì X  e nhóm luỹ linh lớp k (k>1) Nên theo Định lí 1.13.5 X nhóm không Abel Vì Z ( X ) nhóm thực X Theo Định lí 2.1.15 X  X / Z ( X ) Mà X / Z ( X ) hữu hạn (giả thiết) Vậy X nhóm hữu hạn sinh  47   k ii) Cho X  S , S  x , x , , xn thỏa xi  p i , với p số nguyên tố cho trước Theo Mệnh đề 2.3.5 X nhóm hữu hạn Theo Định lí 2.1.7 X  n i1 Hi với Hi  xi , i  1, n Vì X  H1H H n Ta chứng minh X có cấp p r (*) (với r số tự nhiên) Bằng qui nạp theo n, ta có Với n=2 X  H1 H    p k1 p k2 với k  k , Vì (*) với n=2 12 pk Giả sử ta có H H H  pt Vậy theo nguyên lí qui nạp X p_nhóm k Theo Định lí 1.13.6 X nhóm luỹ linh Vậy X nhóm luỹ linh  2.5 Một số tập Bài 2.5.1   1 1 Cho X nhóm, S tập khác rỗng X Gọi S  x | x  S Chứng   minh S  x x xn | xi  S  S 1, n  * Giải     1 1 Gọi H  x x xn | xi  S  S 1, n  * S  x | x  S ta chứng minh H S Thật H   S   Lấy x,y thuộc H Khi x  x x xn ; y  y y ym 12 ( với xi , y j  S  S 1; i  1, n, j  1, m ) Vì xy1   x1x2 xn  y1 y2 ym   x1x2 xn ym1 y21 y11 1 1 Nên xy  H xi yi  S  S Vậy H  X 48 Với x  S x  x1  H Giả sử tồn H ' nhóm X thỏa S  H ' Lấy x thuộc H x  x1 x2 xn với xi  S  S 1 , n  với xi  H ' , n  * * Hay x  x1 x2 xn Nên x  H ' ( xi  H H '  X ) Vì H  H ' Do H  S   Vậy S  x x xn | xi  S  S 1, n  * Bài 2.5.2 Cho X nhóm Abel sinh hai phần tử có cấp Chứng minh X có nhóm có số Giải Gọi X  a, b ; a  b  Với g thuộc X , ta có g  a mbn với m, n Khi g  a2sr b2s'r ' với  r, r '  Nếu r  r '  g  e Nếu r  0, r '  g  b Nếu r  1, r '  g  a Nếu r  r '  g  ab Do X  e, a, b, ab Gọi H  a  e, a , G : H   Vậy H nhóm cần tìm Bài 2.5.3 Chứng minh a) Nếu K X , K  H  X  H , X   K H / K  Z ( X / K ) b) Nếu H , K  X f : X  K đồng cấu f  H , K    f (H ), f (K ) Giải a) Điều kiện cần: Cho K X , K  H  X  H , X   K 49 Khi H  K H hay K H Lấy x thuộc H / K Khi với y thuộc X / K , xyx 1 y 1   H , X  Nên xyx1y 1  K hay xy  yx Do x  Z ( X / K ) Nên H / K  Z ( X / K ) mà H / K nhóm nên H / K  Z ( X / K ) Điều kiện đủ: Cho H / K  Z ( X / K ) ta có với hgh1g 1   H , X  với h  H , g  X suy h, h1  H / K  Z ( X / K ) Do hgh1g 1  h.g.h1.g 1  h.h1.g.g 1  hh1gg 1  e 1 1 Nên hgh g  K , suy  H , X   K , mà  H , X  nhóm nên  H , X   K b) Do f Nên f  h, k    f (h), f (k ) , h  H , k  K  H , K    f (H ), f (K ) Bài 2.5.4 Cho X nhóm Chứng minh : a)  X , X  b) H X X /  X , X  nhóm Abel X X / H giao hoán  X , X   H Giải  a) Ta thấy xyx 1y 1  1  yxy 1x 1 theo tập 2.5.1 tập hợp tất tích số hữu hạn toán tử X Như a  X a  x y y 1x1.x y y 1x1 xn yn yn1xn1 111 2 2 Lấy g  X ta có gag 1   gx1 y1 x11 y11 g 1  gx2 y2 x21 y21 g 1   gxn yn xn1 yn1g 1  1 1 1 1 1 1 1 1 mặt khác gxi yi xi yi g  gxi g xi xi gyi xi yi g  gxi g 1 xi1 xi ( gyi ) xi1 ( gyi ) 1 1 1 1 1 1 1 1 Nên gxi yi xi yi g  ( gxi g xi )  xi ( gyi ) xi ( gyi )  Do gxi yi xi1 yi1g 1  X , X  Vậy  X , X  X 50 Lấy a, b X  a, b  aba1b1  X , X  hay ab(ba)1  X , X  tương đương ab  X , X   ba  X , X  Vậy X /  X , X  nhóm Abel b) Ta có H X X / H giao hoán abH  baH hay  a, b  H tương đương với  X , X   H Vậy H   X X / H giao hoán X , X  H Bài 2.5.5 a) Chứng minh X nhóm đơn hữu hạn không Abel  X , X   X b) X nhóm Abel  X , X   e Giải a) Cho X nhóm đơn hữu hạn không Abel Vì  X , X  X (theo tập 2.5.4) nên  X , X   e  X , X   X 1 1 Giả sử  X , X   e Lấy x , y X xyx y  e Do xy  yx hay X nhóm Abel ( mâu thuẩn giả thiết X không nhóm Abel) Vậy  X , X   X b) Điều kiện cần : Cho nhóm Abel, x, y  X  x, y  X , X  ta có  x, y  e xy  yx Vậy  X , X   e 1 1 Điều kiện đủ: Cho  X , X   e , x, y  X ta có xyx y  e nên xy  yx Vậy X nhóm Abel Bài 2.5.6 Cho X nhóm hữu hạn sinh xoắn chứng minh Ann( X )  0 Giải * Cho X  S S   x1 , x2 , , xn  Vì X nhóm xoắn nên tồn  Z i cho xi  e Đặt d  a2 a2 an a  a * 51 xi  e; i  1, n Ta chứng minh a a  Ann( X ) Thật vậy, g  X tồn r1 , r2 , , rn  Z cho g  x1r x2r x2r , n ar ar suy g  x x xarn  e ( xia  e, i  1, n ), a  Ann( X ) 2 Vậy Ann( X )  0 Bài 2.5.7 Cho X nhóm Abel hữu hạn sinh xoắn p số nguyên tố cho trước Chứng minh Ann( X )  pl , l  N * phần tử thuộc X có cấp lũy thừa p Giải Điều kiện cần : g  X ta có g p  e Vì g có cấp hữu hạn nên g | pl Vì p số nguyên tố nên l g  p f với f  l Điều kiện đủ : * Gọi X  S S   x1 , x2 , , xn  theo giả thiết tồn r1 , r1 , , rn  Z cho xi  pr ; i  1, n i Đặt r  max r1, r1, , rn  r  , r  Khi xi pr maxr1 , r1 , ,rn   xi  e; i  1, n Lấy g thuộc Khi tồn mi  Z ; i  1, n cho g  x1 x2 x1 n Do m g pr m m r r r pr m m m m m m p  m p mn  mn p pr pr pr n   2   x x x    x   x  xn  x x xn               nên p r  Ann( X ) Lấy m thuộc Ann( X ) Khi xim  e; i  1, n , xi | m hay r p i | m; i  1, n Vì r  max r , r , , rn nên p r | m 1   Vì m  k p r Vậy Ann( X )  p r Bài 2.5.8 Mọi nhóm có cấp vô hạn có vô hạn nhóm 52 Giải  Nếu X  x nhóm xyclic có cấp vô hạn với số tự nhiên n, ta có   x nhóm xyclic cấp vô hạn X , A có vô hạn nhóm nên X có vô hạn nhóm  Nếu phần tử X có cấp hữu hạn số nhóm xyclic sinh phần tử X vô hạn xX x  X tập vô hạn x hữu hạn Bài 2.5.9 Giả sử X , X , , X k nhóm xyclic có cấp nguyên tố n1 , n2 , , nk Chứng minh X  X   X k nhóm xyclic   n , n  1, i  j; i  1, k ; j  1k i j Giải  Giả sử X1  a1 có cấp n1 X  a2 có cấp n2 …… X k  ak có cấp nk Dễ thấy X  X   X  k  x1, x2 , , xk  | xi  X i , i  1, k có n1.n2 nk phần tử    Giả sử n , n  1, i  j; i  1, k ; j  1, k i j   Ta chứng minh cấp a , a , , a n n n Thật vậy, ta xét 2 k k   n n n n n n  n n n n n n a , a , , a k   a k , a k , a k 2 k k   Giả sử a , a , , a k    a1l , a2l , , akl    e1, e2 , , ek  l 53     e1, e2 , , ek    al  e  1  l a  e2 =>   l n , l n , , l n k   l a  e k  k   Mà n , n  1i  j, i  1, k , j  1, k nên l n n n i j k   Vậy cấp a , a , , a n , n n 2 k k Vì X  X   X có cấp n , n n nên X  X   X nhóm xyclic sinh 2 k k k  a , a , , a k     Nếu tồn n p , nq  1, p  q, p, q  1, k  m   n , n , n   n n n k k  1   X1  X   X k , ta có m x , x , , x  k    x1m, x2m, , xkm   e1, e2, , ek  Với x , x , , x k Vậy cấp phân tử X  X   X nhỏ m nên k nhỏ n , n .n nên X  X   X không nhóm xyclic 2 k k Bài 2.5.10 a) Xét nhóm 12 với phép cộng, ta biết 12 nhóm xyclic với phép cộng phân tử sinh Liệt kê phần tử , b) 18 nhóm xyclic với phép cộng có phần tử sinh Tìm phân tử sinh khác 18 Giải a) Ta có  3.1 , 1,2,3  nên   12 4  Do = 0,3,6,9 54 Ta có = 4.1 , 12,4  nên  12 3 Do  0, 4, 8 b) Ta có 5, 7, 11, 13, 17 số nguyên tố với 18 nên phần tử sinh khác 18 5, 7, 11, 13, 17 Bài 2.5.11 1  1  1 1 Tìm cấp phần tử GL2(R) a   , b , c    0 1 0 1 0 1 Giải 1  1  1  1  Ta có a   , a  a.a     0   0   I          Do a có cấp 1  1  1  1  Ta có b   , b  b b   0 1 0 1  0 1  I 0 1      Do b có cấp 1  1 1 1 1 1 2 Ta có c   , c  c c   0 1 0 1  0  0 1      1 m  1 m  1 Giả sử c m   ta chứng minh c m1     0  0 1 m  1 1 1 m  1 Thật c m1  c m c      0  0 1 0 1 m  1 n   cn   => m  m.c m     0  0  Do cấp c  Bài 2.5.12 55 Cho X nhóm GL2   sinh phân tử 0  0 i  A B    i 0 1    Chứng minh : a) X nhóm cấp b) X có nhóm cấp Giải a) Ta có A  B  A2  B2 Nên AB2  A3  B2 A A2 B  I A2 B2  B A3 B  AB3 ; A3 B  A; A3 B  AB 3 Vậy X  I , A, A , B, B , AB, AB  b) Bằng cách kiểm tra trực tiếp ta thấy A2 phần tử có cấp Vậy H  A2 nhóm có cấp (vì nhóm cấp nhóm xyclic) Bài 2.5.13 Cho X nhóm sinh  x, y thõa mãn x  y Chỉ phần tử trùng phân tử sau: u1   xy  ; u2  yxyxy ; u3  x y ; u4  xy x 3 u5  x y 1 x3 yx ; u6  x 1 yx Giải Ta biết, ui  u j ui u j  e Ta có u u 1  yxyxy x1y 1x3 yx2  yxyxx2 x 1y 1x 3 yx 2  yxyx y 1x 3 yy 2 Hay u u 1  yxyxy x1y 1x3 y 1  yxyy x1y 1x3 y 1  yxy x2 x1y 1  yxx1y 1  e 56 Nên u  u tương tự ta u  u Bài 2.5.14 Cho X  a, b thỏa a3  e , b7  e , a1ba  b3 Chứng minh X nhóm xyclic cấp Giải Giả sử a  e b2  e Do b6  e hay b6  b7 Vì b  e ( mâu thuẫn ) Do a  e nên a  Vì a1ba  b3 nên a ba    b3  1 2 Do a1b2 a  b6 , suy a1b2 ab  b7 Kéo theo a1b2ab  e Hay  b ab   a 3 Vì b2 ab3ab  e nên b a(a 1ba)a.(a 1ba)ab  e suy b aba b  e ( a1b3a  b9 ) Nên ab10a2b  e ab3a2b  e ( b7  e ) Vì a(a 1ba)a 2b  e suy ba3b  e nên b6  e từ b6  b7  e hay b  e Vậy X  a X  a  Bài 2.5.15 * 12 Xét  1,5,7,11 tập số nguyên tố nhỏ 12.và nguyên tố với 12 Xét hai tập hợp A  1,5 , B  1,5,7 Chứng minh a) Nếu A  B A  B b) A  B  A  B  A  B  A  B c) Nếu Ai  * 12 n n Ai  A i1 i1 i Giải a) Dễ thấy A  B Ta có A  1,5  1,5 , B  1,5,7  1,5,7,11 nên A  B b) Ta có A  B  1,5,7  1,5,7,11 A  B  1,5,7 nên A  B  1,5,7,11 57 A  B  1,5,7,11 nên A  B  1,5,7,11 A  B  1,5,7,11 Dó A B  A  B  A B  A  B c) Ta xét A1  1,5 , A2  1,5,7 , A3  5 , A4  7 Ta có n Ai  1,5,7,11 , Ai i1 i1 Nên ta có điều phải chứng minh 58  1,5, 7,11 PHẦN KẾT LUẬN Trong luận văn em trình kiến thức nhóm hữu hạn sinh Trong bao gồm: - Những tính chất đặc trưng nhóm hữu hạn sinh - Nhóm xyclic - Giới thiệu nhóm Abel hữu hạn sinh - Mối quan hệ nhóm hữu hạn sinh với nhóm khác - Bên cạnh em sưu tầm 15 tập liên quan ( có kèm theo tập em tự giải) Nhóm hữu hạn sinh đề tài hay, liên quan đến nhiều kiến thức có ích Sau có điều kiện em nghiên cứu tiếp đề tài tạo nguồn liệu bổ ích Mặt dù dày công nghiên cứu, làm việc nghiêm túc, cố gắng tham khảo tài liệu trình bày luận văn Tuy nhiên, thời gian làm luận văn chưa nhiều, trình độ tân hạn chế nên thiếu sót tránh khỏi Em mong nhận ý kiến đóng góp quý báo quý thầy cô bạn Em xin chân thành cảm ơn 59 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Hoàn Xuân Xính (1997), Đại số đại cương, Nhà xuất giáo dục [2] Mỵ Vinh Quang (1998), Đại số đại cương, Nhà xuất Giáo dục [3] Nguyễn Hoàng Xinh (2008), Bài giảng lý thuyết nhóm, Đại học Cần Thơ [4] Nguyễn Hoàng Xinh(2010), Bài giảng đại số đại cương, Đại học Cần Thơ [5] Bùi Huy Hiền(1997), Bài tập đại số đại cương, Nhà xuất Giáo dục [6] Mỵ Vinh Quang(1998), Bài tập đại số đại cương, Nhà xuất Giáo dục Website: -luanvan.co/luan-van/mot-so-bai-tap-ly-thuyet-nhom-3273/ -http://vi.wikipedia.org/wiki/Nh%C3%B3m_cyclic 60 [...]... Nhóm đơn Nhóm X được gọi là nhóm đơn nếu X chỉ có hai nhóm con chuẩn tắc là e và X 13 Chương II NHÓM HỮU HẠN SINH VÀ MỐI LIÊN HỆ VỚI CÁC NHÓM KHÁC 2.1 Nhóm hữu hạn sinh 2.1.1 Định nghĩa nhóm hữu hạn sinh Cho nhóm X  S thì tập S được gọi là tập sinh của X Nếu X có tập sinh hữu hạn x1, x2, , xn thì X được gọi là nhóm hữu hạn sinh và ta kí hiệu là x , x , , xn Ngược lại X được gọi là nhóm vô hạn. .. của nhóm hữu hạn sinh là nhóm hữu hạn sinh (ii) Cho X là nhóm, H X Xét toàn cấu chính tắc  : X  X \ H x x Theo chứng minh trên thì X \ H  Im f   (S )  x , x , , x 1 2 k 23 Vậy nhóm thương của nhóm hữu hạn sinh là nhóm hữu hạn sinh  2.1.10 Hệ quả Nếu X  S và f : X  X ' là toàn cấu nhóm thì X '  f (S ) 2.1.11 Nhận xét Nhóm con của nhóm hữu hạn sinh nói chung không phải là nhóm hữu hạn sinh. .. Cho X i với i  1, n là nhóm Khi đó X   X i là nhóm hữu hạn sinh khi và chỉ i1 khi X i với i  1, n là nhóm hữu hạn sinh Chứng minh n Điều kiện cần : Cho X   X i là nhóm hữu hạn sinh Xét phép chiếu chính tắc chỉ i1 số i pi : X  X i Vì phép chiếu chính tắc là toàn cấu nên theo Mệnh đề 2.1.9 thì X i là nhóm hữu hạn sinh Điều kiện đủ : Cho X i với i  1, n là nhóm hữu hạn sinh Gọi X i  Si với... thành một nhóm hữu hạn sinh GLm ,n ( )  Aij | i  1, m; j  1, n Trong đó Aij là ma trận cấp m  n có phần tử tại vị trí (i, j ) bằng 1 và các phần tử còn lại đều bằng 0 2.1.2 Định nghĩa (i) Nhóm X được gọi là nhóm xoắn nếu và chỉ nếu mọi phần tử trong X đều có cấp hữu hạn (ii) Nhóm X được gọi là nhóm không xoắn nếu và chỉ nếu trong X chỉ có duy nhất phần tử đơn vị có cấp hữu hạn Ví dụ 14 a) Nhóm *... thì g  e hay g  S Vậy X  S  2.1.9 Mệnh đề (i) Ảnh đồng cấu của nhóm hữu hạn sinh là nhóm hữu hạn sinh (ii) Nhóm thương của nhóm hữu hạn sinh là nhóm hữu hạn sinh Chứng minh (i) Cho X là nhóm hữu hạn sinh với tập sinh là S , X ' là nhóm và f : X  X ' là đồng cấu nhóm Ta chứng minh f (S )  Im f Thật vậy Im f   vì e  Im f Lấy y , y bất kì 1 2  y1  f ( x1 ) thuộc Im f Khi đó x , x  X... gọi là p -nhóm nếu cấp của nó là một lũy thừa của p (ii) Nhóm H được gọi là p -nhóm con của X nếu H  X và H là p -nhóm (iii) Nhóm H được gọi là p -nhóm con Sylow của nhóm H nếu là p -nhóm con của X và H  pn là lũy thừa cao nhất của p chia hết X 1.11.2 Định lí ( Định lí Sylow 1) Giả sử X là nhóm hữu hạn , p là số nguyên tố chia hết X Khi đó luôn tồn tại p -nhóm con Sylow của X 1.12 Nhóm giải được... là nhóm Abel thì S Xét ánh xạ f : S  X ' x x Ta xét đồng cấu  : X  X ' x e Toàn cấu chính tắc  : X  X ' x x 22 Ta thấy  và  đều là ánh xạ mở rộng của f Do tính duy nhất của ánh xạ mở rộng nên      Suy ra   X     X  nên X '  e Do đó X \ S  e Lấy g bất kì thuộc X thì g  e hay g  S Vậy X  S  2.1.9 Mệnh đề (i) Ảnh đồng cấu của nhóm hữu hạn sinh là nhóm hữu hạn sinh (ii) Nhóm. .. , mn  0, j  1, 2, n  c Tương tự mn  0 ta cũng được điều này Vậy theo nguyên lí qui nạp thì B không thuộc H Vì vậy H là nhóm con thực sự của X và X là nhóm vô hạn sinh  2.1.12 Định lí Cho H là nhóm con chuẩn tắc của X Nếu H và X \ H là hữu hạn sinh thì X là nhóm hữu hạn sinh 25 Chứng minh Gọi H  x , x , , xn 1 2 X \ H  y , y , , ym ta chứng minh X  x , x , , xn , y , y , , ym 1 2 1 2 1 2 Đặt... module n , n là nhóm xoắn b) Tập hợp các số hữu tỉ * Thật vậy, Giả sử  a, b   * là nhóm không xoắn và  a, b   n hữu hạn Khi đó  a, b   n  n(a, b)  (0,0)  (na, nb)  (0,0)  (a, b)  (0,0) Vậy c) * là nhóm không xoắn là nhóm không xoắn Thật vậy, lấy a  b , giả sử a  n hữu hạn b Khi đó a a  n  na  0  a  0(n  0)   0 b b Vậy là nhóm không xoắn 2.1.3 Mệnh đề Cho X là nhóm Abel Ta gọi... của nhóm lũy linh X 1.13.3 Mệnh đề Mọi nhóm lũy linh đều giải được Chứng minh   Giả sử X là nhóm lũy linh lớp k Khi đó  X  1 Ta lại có X  k 1     nên ta có X  k  k   k 1  X  1 Vậy X là nhóm giải được  1.13.4 Định lí Nếu X là nhóm lũy linh khác e thì Z  X   e 1.13.5 Định lí Nhóm X  e là lũy linh lớp 1 khi và chỉ khi X là nhóm Abel 1.13.6 Định lí Mọi p -nhóm đều ... hệ nhóm hữu hạn sinh với nhóm khác 2.4.1 Mệnh đề (i) Mọi nhóm hữu hạn hữu hạn sinh (ii) Mọi nhóm Abel hữu hạn sinh xoắn nhóm hữu hạn Chứng minh i) Cho X nhóm hữu hạn X  X Vậy X nhóm hữu hạn sinh. .. 2.1.9 Mệnh đề (i) Ảnh đồng cấu nhóm hữu hạn sinh nhóm hữu hạn sinh (ii) Nhóm thương nhóm hữu hạn sinh nhóm hữu hạn sinh Chứng minh (i) Cho X nhóm hữu hạn sinh với tập sinh S , X ' nhóm f : X... LIÊN HỆ VỚI CÁC NHÓM KHÁC 2.1 Nhóm hữu hạn sinh 2.1.1 Định nghĩa nhóm hữu hạn sinh Cho nhóm X  S tập S gọi tập sinh X Nếu X có tập sinh hữu hạn x1, x2, , xn X gọi nhóm hữu hạn sinh ta kí hiệu